تأثیر آموزش حل مسئله با تأکید بر راهبرد رسم شکل و روش مدل بر عملکرد حل مسئله‏ی کلامی دانش‏آموزان پایه‏ هفتم

    تاکنون ریاضیدانان و آموزشگران ریاضی تعاریف متعددی از «مسئله» مطرح کرده‌اند. از نظر پولیا^[1] (1968، ترجمة شهریاری، 1379) مسئله عبارت است از «ضرورت جست‌وجوی آگاهانة وسیلة مناسبی، برای رسیدن به هدفی که در بدو امر دسترس‌ناپذیر به نظر می‌رسد. درواقع، حل مسئله به‌معنای پیداکردن این وسیله است» (همان: 206). به اعتقاد شونفلد[2] (1985)، نیز مسئله به موقعیت‌های ناشناخته‌ای ارجاع داده می‌شود که افراد به ابزار ازپیش‌آماده‌ای برای حل دسترسی ندارند. درواقع، مسئله موقعیتی است که فرد بلافاصله نمی‌تواند به جواب مسئله دست یابد، اما احتمالاً پس از صرف مدت زمانی- که به عوامل مختلفی ازجمله مهارت مسئله‌حل‌کن، میزان دانش او دربارة مسئلة مدنظر یا داشتن تجربة قبلی در مواجهه با مسئلة مشابه، بستگی دارد- پاسخ مسئله را می‌یابد. بدیهی است مسئله، مفهومی نسبی است؛ بدین معنا که ممکن است موقعیتی برای یک فرد مسئله باشد، ولی همان موقعیت برای فرد دیگری، تمرین عادی و برای ریاضی‌دان، یک یادآوری محسوب شود.

   برای اینکه بتوان مسئلة پیشِ‌رو را حل کرد، می‌توان از راهبرد[3]‌های مختلفی ازجمله راهبرد رسم شکل، جدول نظام‌دار، الگویابی، حدس و آزمایش، حل وارونه، تشکیل معادله و ... استفاده کرد. درواقع، حل مسئله هنر است و هدف از آموزش حل مسئله به‌منزلة نوعی هنر این است که توانایی‌های دانش‌آموزان توسعه یابد تا مسئله‌حل‌کن‌های ماهری شوند. آموزش حل مسئله‌ مشکل است، حل مسئله همان‌قدر که برای معلم وقت‌گیر و سخت است، برای دانش‌آموز نیز وقت‌گیر و سخت است (گیلک و گویا، 1385). پولیا و شونفلد به تفصیل دربارة حل مسئله و راهبردهای رسیدن به پاسخ صحیح مسئله سخن گفته‌اند. به اعتقاد شونفلد (1985)، راهبرد‌های رهیافتی^[4] فنونی هستند که حل‌کنندگان ماهر به کار می‌بندند‌ تا در تکالیف مسئله‌محور پیشرفت کنند. «مسلماً مسئله‌حل‌کن‌های خبره در طول مطالعات ریاضی خود، به‌خاطر دست‌وپنجه نرم‌کردن با مسائل ریاضی، شگردها و حیله‌هایی را برای گونه‌های به‌خصوصی از مسائل به ‌دست آورده‌اند» (روزدار، 1385: 24)؛ که این شگردها به آنان در حل مسائل مختلف کمک شایانی می‌کند و درواقع، رویارویی با انواع مختلف مسئله و راهبردهای متفاوتی که قبلاً برای حل به‌کار برده‌اند، آنها را به مسئله حل‌کن‌های ماهر مبدل ساخته است.

از بین راهبردهای مختلف حل مسئله، راهبرد رسم شکل یکی از مؤثرترین راهبردهای حل مسئله به شمار می‌آید (پخونن[5] و همکاران، 2016؛ مگلیکو[6]، 2016؛ کور[7]، 2019 و کور، 2015). آموزش مهارت‌های حل مسئله در برخی از سیستم‌های آموزشی، معمولاً مبتنی‌بر راهبرد رسم شکل و روش مدل[8] است و دانش‌آموزان مدارس ابتدایی با شیوه‌های واقعی و دیداری آموزش می‌بینند تا بتوانند مسائل کلامی حساب و جبر را حل کنند. روش مدل [رسم شکل]، ابزاری کارآمد برای حل مسائل کلامی در حساب و جبر شامل اعداد صحیح، کسرها، نسبت‌ها و درصدهاست. اگر دانش‌آموزان به ابزارهایی برای درک مسائل کلامی مجهز شوند - ممکن است مسائل کلامی ساده در حساب یا جبر باشد - ساختار اساسی مسئله روشن‌تر خواهد شد. وقتی دانش‌آموزان ساختار اساسی مسئله را درک کنند، احتمال بیشتری دارد که بتوانند مسئله را حل کنند (خو^[9]، 1987 نقل شده در فونگ و لی[10]، 2009). باتوجه‌به آنکه دانش‌آموزانی که معمولاً برای حل مسئله از این روش استفاده می‌کنند، از سال‌های اولیة دبستان با این روش آموزش می‌بینند، به‌تبعِ آن، غالباً در حل مسئله موفق هستند. استفادة مداوم و منسجم از یک بازنمایی با گذشت زمان می‌تواند با تمرکز بر روابط ریاضی و فرایندهای حل مسئله، درک دانش‌آموز و تواناییِ حل مسئلة او را بهبود روزافزون بخشد (موراتا[11]، 2008). بدیهی است برای آنکه دانش‌آموزان در حل مسئله موفق باشند، باید آموزش‌های لازم در این زمینه را دیده باشند. لازمة این امر آن است که معلمان قبل از ورود به کلاس درس از آموزش‌های کافی و مطلوبی برخوردار شده باشند. بی‌تردید وقتی معلمان درزمینة حل مسئله توانایی کافی کسب کنند، در انتقال این توانایی به دانش‌آموزان نقش مؤثرتری ایفا می‌کنند. تغییر در رفتار و رویه‌های معلم تنها در صورتی می‌تواند پایدار و مؤثر باشد که معلمان کاملاً در برنامه‌ریزی و اجرای پروژه‌ها مشارکت داشته باشند.

مسئلة اصلی پژوهش حاضر، از آنجا هویدا شد که پژوهشگران در حین تجربه‌های آموزشی خود ملاحظه کرده بودند که اکثر دانش‌آموزان از حل‌کردن مسائل چالش‌برانگیز و خصوصاً کلامی ریاضی واهمه دارند و حاضرند تعداد زیادی سؤالات محاسبه‌ای جبر و یا حساب حل کنند، ولی حتی با یک مسئلة چالش‌برانگیز کلامی ریاضی مواجه نشوند؛ زیرا به نظر آنها راه‌حل سؤالاتِ محاسبه‌ای جبر یا حساب روتین و مشخص است و بیشتر اوقات طبق دانش رویه‌ای و گاهی مفهومی، مسئله را حل می‌کنند؛ اما هنگام مواجه‌شدن با مسئلة کلامی نمی‌دانند از چه روشی برای حل باید استفاده کنند. در برخی مواقع، برای حل مسئلة ریاضی، بدون اینکه درک درستی از مسئله داشته باشند، به یافتن کلمات کلیدی مسئله روی می‌آورند و سپس باتوجه‌به آنها شروع به حل می‌کنند که با این روش، همواره جواب صحیح به دست نمی‌آید.

با اینکه دانش‌آموزان ایرانی از ابتدای دورة دبستان با حل مسئله و راهبردهای متعددی آشنا می‌شوند و در ابتدای کتاب ریاضی پایة هفتم یادآوری مختصری در این زمینه شده است، همچنان هنگامی که با یک مسئلة کلامی مواجه می‌شوند، به‌درستی نمی‌توانند راهبرد مناسبی را برای حل مسئله انتخاب کنند. معمولاً دانش‌آموزان از راهبردهای متنوعی برای حل مسئله استفاده نمی‌کنند و به‌طور کلیشه‌ای، استفاده از کلمات کلیدیِ مسئله یا با استفاده از راهبرد حدس و آزمایش برای حل انواع و اقسام مسائل استفاده می‌کنند؛ درحالی‌که آنها می‌توانند در برخی مواقع برای سادگیِ حل، از راهبرد رسم شکل استفاده کنند.

هدف اصلی پژوهش حاضر آن است که پس از آموزش راهبرد رسم شکل با تکیه‌بر روش مدل به معلمان، تأثیر آن را بر عملکرد حل مسئله دانش آموزان بررسی کند. به این ترتیب که ابتدا مسائل آموزشی در جلسات مطرح شود، سپس مستقل از اینکه اعضای حاضر در جلسه از چه راهبردی برای حل استفاده می‌کنند، روش مدل برای حل ارائه شود. این مدل باعث درک بهتر مسئله می‌شود که درنهایت به حل صحیح مسئلة کلامی منجر می‌شود. انتظار می‌رود با این عمل، دانش‌آموزان ابزاری قوی در اختیار داشته باشند و آگاهانه‌تر به حل مسئله بپردازند.

   سؤالات بررسی‌شده در پژوهش حاضر عبارت‌اند از:

1- دانش‌آموزان پایة هفتم قبل از اینکه آموزش‌های ویژه را از معلمان خود دریافت کنند، معمولاً برای حل مسائل کلامی از چه راهبردهایی استفاده می‌کنند؟

2- آیا آموزش با تأکید بر روش مدل، با معلمانی که به‌طور خاص این روش را آموزش دیده‌اند، باعث تغییر در راهبردهای انتخابی دانش‌آموزان آنها در حل مسائل کلامی می‌شود؟

3- پس از آموزش روش مدل به‌کمک معلمان، عملکرد حل مسئلة دانش‌آموزان و میزان توانایی آنها در حل مسائل کلامی چگونه بوده است؟

پیشینه و چارچوب نظری تحقیق

    استفاده از راهبرد رسم شکل در حل مسئله

همان‌طور که قبلاً ذکر شد، از بین انواع مختلف راهبردها، رسم شکل یکی از مؤثرترین راهبردهای حل مسئله است (پخونن و همکاران، 2016؛ مگلیکو ، 2016؛ کور ، 2019 و کور، 2015). در اغلب مسائل کلامی، حل‌کنندة مسئله، برای درک معنای مسئله، به رسم شکل روی می‌آورد؛ سپس در حین حل مسئله، جست‌وجو می‌کند که چگونه باید مسئلة مزبور را حل کند؛ شکل به حل‌کنندة مسئله کمک می‌کند بتواند مسئله را بهتر ببیند، بفهمد و سپس دربارة آن فکر کند. در ابتدا دانش‌آموزان به مقداری تمرین برای یادگیری چگونگی تفسیر مسئله و رسم شکل مناسب نیاز دارند. بهتر است در شروع آموزش به دانش‌آموزان، یک مسئله ارائه شود که می‌توان با رسم یک شکل ساده آن را حل کرد؛ سپس وقتی‌ شکل رسم شد، باید به چگونه حل‌کردن آن بیندیشند. مثلاً اگر برای حل‌کردن مسئله پس از رسم شکل به محاسبه یا استفاده از فرمول خاصی نیاز هست، این‌کار را انجام دهند. برتل^[12] (2009)، بیان می‌کند استفادة مناسب از نمودارها[13]و شکل‌ها، برای درست انجام‌دادن یک مسئله ضروری است. همچنین سندری[14] و نیکل[15] (2006)، در تحقیق خود بررسی می‌کنند وقتی به دانش‌آموزان مسئله‌ای ریاضی برای حل ارائه می‌شود، چگونه دانش‌آموزان انواع شکل‌ها را خودبه‌خود رسم می‌کنند و چگونه معلمان می‌توانند آنان را در توسعة این مهارت‌ها برای بهتر حل‌کردن مسئله حمایت کنند. همچنین، آنها گفته‌اند هر شکلی برای حل هر مسئله‌ای مناسب نیست؛ به این ترتیب که بعضی از دانش‌آموزان شکل‌های پیچیده‌ای حتی برای ساده‌ترین مسائل رسم می‌کنند تا راه حل نهایی خود را در یک شکل بازنمایی کنند.

دانش‌آموزانی که روی رسم عناصر فرعی و ظاهری مسئله (مانند مژة افرادی که روی صندلی اتوبوس نشسته‌اند) تمرکز می‌کنند، ممکن است نکتة ریاضی مسئله را از دست بدهند. سایر دانش‌آموزان، رسم شکل را به شیوة کاملاً متفاوتی– با هدف و نتیجة کاملاً متفاوت- به کار می‌برند. این افراد از رسم برای حل مسئله استفاده می‌کنند. برای آنان، عمل ترسیم هم فرایند است و هم محصول. در این مورد، ترسیم - یا بازنمایی - در طول حل مسئله انجام شده است. ولز^[16] و پونت^[17] (2013) نیز معتقدند بازنمایی‌های تصویری (غیر رسمی)^[18] مانند رسم‌کردن حیوانات با جزئیات می‌تواند فرایند بازنمایی را بسیار کُند، گیج‌کننده و ناکافی جلوه دهد (شکل 1).

 شکل 1: رسم شکل با جزئیات غیرضروری

همان‌طور که در شکل 1 ملاحظه می‌شود، پرداختن به جزئیات در رسم شکل کمکی به حل مسئله نمی‌کند. بنابراین باید به دانش‌آموزان یادآوری کرد که در هنگام حل مسئله به روش رسم شکل، قسمت‌های اصلی مسئله را بازنمایی کنند؛ یعنی قسمت‌هایی که فرد را به حل مسئله رهنمون می‌سازد. برای بازنمایی می‌توان از نماد خط، دایره و ... استفاده کرد. برای مثال مسئلة زیر مطرح می‌شود:

در مزرعه‌ای جمعاً 21 مرغ‌ و گاو وجود دارد. اگر تعداد کل پاها 54 تا باشد، در این مزرعه چند مرغ و چند گاو زندگی می‌کنند؟ (برای گاو 4 پا در نظر بگیرید).

برای حل، می‌توان به‌ازای هر پا یک خط و به‌ازای سر دایره قرار داد و اگر دو خط داخل دایره گذاشته شود، به‌منزلة یک حیوان دوپا و اگر چهار خط داخل دایره قرار داده شود، نشانة حیوان چهارپاست (شکل 2).

شکل 2- رسم شکل مناسب (بازنمایی صحیح) (ولز و پونت، 2013: 387)

شکل2: رسم  شکل مناسب(بازنمایی صحیح)

ترسیم درون شکل 2، برای بازنمایی حیوانات دوپا و چهارپا کافی است و دیگر نیازی به ترسیم کل حیوان نیست؛ زیرا توجه به جزئیات و نکات غیرضروری، مسیر حل مسئله را نه‌تنها هموار نمی‌کند، دشوارتر نیز می‌سازد. شکل 3 نمونه‌ای دیگر از ترسیم مناسب و صحیح، برای مسئلة فوق است.

شکل 3: رسم شکل مناسب (بازنمایی صحیح)

اما نکتة مهم در راهبرد رسم شکل این است که استفاده از شکل مناسب در حل مسئله، که منجر به حل شود کار ساده‌ای نیست. چنان‌چه دوفویر[19] و همکاران (1987)، اذعان می‌دارند اگر فرض کنیم اشکال به خودیِ خود ابزار مؤثر حل مسئله هستند، فریبنده است (نقل شده در دزمن[20]، 2000).

روش مدل

روش مدل، یکی از انواع راهبرد رسم شکل محسوب می‌شود و ترکیبی از راهبرد رسم شکل و راهبرد نمادین است. فونگ و لی (2009) موانع مختلفی را که دانش‌آموزان در به‌کارگیری نمادهای رسمی جبر برای بازنمایی مسائل کلامی برخورد می‌کنند، به این صورت دسته‌بندی می‌کنند: (الف) درک معنی حروف به‌کاررفته در جبر نمادین؛ (ب) ترجمة زبان عادی به معادلات؛ (ج) فهم ساختار معنایی در مسائل کلامی، به‌ویژه ماهیت روابط بین اعداد و اینکه چگونه به‌هم مرتبط شده‌اند؛ (د) به‌کاربردن اشارات معنایی^[21] براساس متن در ساختار معادلات. بنابراین باوجود این موانع، نیاز به روش دیگری شبیه روش مدل که برای دانش‌آموزان قابل فهم‌تر باشد، ضروری به نظر می‌رسد. در روش مدل لازم است تا دانش‌آموزان بتوانند با سه نوع مختلف بازنمایی متنی[22]، تصویری[23] و نمادین[24] کار کنند. دانش‌آموزان در پایه‌های پایین‌تر اشیا، تصاویر و نمادها را در روش مدل به کار می‌برند و دانش‌آموزان در پایه‌های بالاتر از مستطیل‌هایی متناسب با اندازه استفاده می‌کنند؛ این‌گونه که برای مقادیر بیشتر مستطیل‌های بزرگ‌تر و برای مقادیر کمتر، مستطیل‌های       کوچک‌تری را رسم می‌کنند. موراتا (2008) باور دارد برنامة آموزشی‌ای که به‌طور مداوم از این نمودارهای نواری و مستطیل شکل استفاده می‌کند، نشان می‌دهد آنها ابزار مهمی برای حل مسئلة ریاضی هستند.

فونگ و لی (2009) بعضی از مثال‌های مرجعی را که معمولاً به دانش‌آموزان مقطع ابتدایی تدریس شده است، به سه دسته تقسیم می‌کنند: مدل جزء- کل، مقایسه و ضرب و تقسیم. در ادامه این سه مورد بررسی می‌شود.

مدل جزء–کل^[25]: در این مدل، مسئله دارای اجزایی است که روی‌هم کل را تشکیل می‌دهند. اگر مقدار اجزاء در صورت مسئله مشخص و مقدار کل (حاصل‌جمع) مجهول باشد مدل به صورت حسابی[26] است (شکل 4، سمت چپ) و اگر مقدار یکی از اجزاء و مقدار کل (حاصل‌جمع) در صورت مسئله مشخص و مقدار جزء دیگر مجهول باشد، مدل به صورت جبری[27] است (شکل 4، سمت راست).

شکل 4: مدل‌ جزء- کل: سمت راست مدل جبری و سمت چپ مدل حسابی (فونگ و لی، 2009: 286)

مدل مقایسه^[28]: در این مدل، بین دو شیء با واژه‌های «بیشتر از» و «کمتر از» مقایسه انجام می‌گیرد. در این مدل نیز، مانند مدل جزء-کل، اگر مقدار دو شیء که یکی از آنها چند واحد از دیگری بیشتر و یا کمتر است، مشخص باشد و حاصل‌جمع دو شیء، مجهول باشد، مدل حسابی است (شکل 5، سمت چپ) و اگر یکی از دو شیء- شیء کمتر یا بیشتر- مجهول باشد و شیء دیگر و همچنین حاصل‌جمع آنها مشخص باشد مدل جبری است (شکل 5، سمت راست).

شکل 5: مدل‌ مقایسه: سمت راست مدل جبری و سمت چپ مدل حسابی (فونگ و لی، 2009: 287)

مدل ضرب و تقسیم^[29]: در این نوع مسائل، داده‌های مسئله به‌گونه‌ای است که یکی از آنها چندبرابر دیگری یا یکی کسری از دیگری است. این مسائل نیز همانند دو مدل قبل دارای نوع حسابی و جبری هستند. نوع حسابی مربوط به زمانی است که حاصل‌جمع، مجهول است (شکل 6، سمت چپ) و نوع جبری مربوط به زمانی است که یکی از اجزاء –بزرگ‌تر یا کوچک‌تر- مجهول است (شکل 6، سمت راست).

شکل 6: مدل‌های ضرب و تقسیم: سمت راست مدل جبری و سمت چپ مدل حسابی (فونگ و لی، 2009: 289)

پژوهش‌های مرتبط با آموزش روش مدل

روش مدل، در سال‌های اولیة دبستان در کشور سنگاپور به دانش‌آموزان آموزش داده می‌شود و این روش، جزو برنامة آموزشی این کشور محسوب می‌شود. مطالعات متعددی ازجمله مطالعة فونگ و لی (2009) موفقیت این دانش‌آموزان را در حل مسائل ریاضی گزارش می‌دهند. ماهونی[30] (2012)، روش مدل را در ایالت ماساچوست روی دانش‌آموزان سوم و چهارم ابتدایی به کار برد و اثر مطلوب آن را مشاهده کرد و سپس نتیجه گرفت روش مدل، نه‌تنها بر عملکرد حل مسئلة دانش‌آموزان سنگاپوری که از ابتدا با این شیوه آموزش می‌بینند مؤثر است، بر عملکرد حل مسئلة دانش‌آموزانی که قبلاً هرگز با این شیوه آموزش ندیده‌اند، نیز مؤثر است.

 ماهونی (2012) در رسالة دکتری خود، در ابتدا به یک دانش‌آموز کلاس سوم دبستان در 8 جلسه آموزش داد، سپس برای تأیید کار خود، به چهار دانش‌آموز مختلف پایة سوم و چهارم نیز باردیگر کار آزمایشی خود را تکرار کرد. قبل از مداخلة رسم شکل، این افراد قادر به حل مسائل کلامی چالش برانگیز نبودند؛ اما پس از آموختن روش مدل، آنها توانستند بازنمایی‌های مناسب‌تری برای مسئله ارائه دهند. ترسیم این بازنمایی‌ها به شرکت‌کنندگان اجازه می‌داد تا روابط بین اعداد و متغیرها را در مسئله درک کرده و سپس عملیات صحیح را برای حل مسئله انتخاب کنند. مدلی که به‌درستی رسم شده باشد، در 92درصد مواقع به معادلة صحیح منجر می‌شود. بدون این پل، بعید به‌نظر می‌رسد شرکت‌کنندگان بتوانند موفقیت زیادی در عملکرد حل مسئلة خود کسب کنند. افزون بر این، هنگامی‌که دانش‌آموزان برای مسئله‌ای که با آن مواجه شده‌اند، طرح‌واره‌‌ای از قبل ندارند، بازنمایی آنها از مسئله غالباً نادرست است (مایر[31]، 1983 نقل‌شده در ماهونی، 2012). بازنمایی‌های نادرست از مسئله ممکن است به راه‌حل نادرستی منجر شوند.

تسپینر و بولوت[32] (2012) و سولاک[33] (2010) برای موفقیت در عملکرد حل مسئلة دانش‌آموزان، آموزش‌های مکرر در این زمینه ارائه دادند. البته آنان بر چندین راهبرد محدود تمرکز داشته‌اند و درنهایت اثر مثبت آموزش‌های خود را مشاهده کرده‌اند. رلنسمن[34] و همکاران (2016) مطالعة خود را روی 61 دانش‌آموز در پایه‌های نهم و دهم انجام دادند و از آنان خواستند قبل از حل مسئله، مدل توصیف‌شده در مسئله را ترسیم کنند. قسمتی از تحلیل آنان نشان داد که دانش راهبردی راجع به ترسیم، بر عملکرد مدل‌سازی دانش‌آموزان اثر مثبت می‌گذارد و درستی ترسیمات ریاضی دقیقاً به عملکرد دانش‌آموزان مرتبط است. پخونن و همکاران (2016) نیز یک پروژة تحقیقاتی دربارة حل مسئله را در سال‌های 2010 تا 2012 در گروه آموزش معلمان در دانشگاه هلسینکی اجرا کرده‌اند و به‌طور ویژه بر نتایجی تمرکز کرده‌اند که ترسیم‌های دانش‌آموزان را در درس ریاضی نشان داده است. آنان می‌گویند شکل‌های ترسیم‌شدة دانش‌آموزان، ابزاری قدرتمند برای جمع‌آوری اطلاعات از دانش‌آموزان، خصوصاً در دانش‌آموزان پایه‌های پائین‌تر است. به کمک شکل‌ها، می‌توان ابعاد مختلفی در تفکر دانش‌آموزان را بررسی کرد.

شین[35] (2018) برنامة مداخله روش مدل سنگاپور را همچون پلی به سمت معادلات نمادین ریاضی، در افزایش عملکرد حل مسائل کلامی دانش‌آموزان ابتدایی به کار برد. یافته‌های این مطالعه حاکی از آن است که دانش‌آموزان از طریق بازنمایی موقعیت‌های مسائل کلامی، برای تعمیم مهارت‌های حل مسئله آماده می‌شوند.

کور (2019) نیز تاریخچة روش مدل را بررسی کرد. وی به بررسی کارآیی آن و نقش آن به‌عنوان یک اکتشاف در حل مسئله در برنامة درسی ریاضیات دبستان سنگاپور می‌پردازد. این یافته ها نشان می‌دهد این روش، ابزاری برای بازنمایی و تجسم روابط بین کمّیت‌ها هنگام حل مسائل کلامی حساب است. وی می‌گوید در گذشته، مطالعاتی در کشورهای مختلف انجام شده که حاکی از آن است استفاده از این روش در یادگیری دانش‌آموزان مؤثر است و به دانش‌آموزان، خصوصاً کسانی که دارای ضعف یادگیری ریاضی هستند کمک فراوانی می‌کند؛ بنابراین، اقدامی ضروری برای تجسم و شناخت روابط در مسئله است. با تمام مزایایی که راهبرد رسم شکل در حل مسئله دارد، دارای محدودیت‌هایی نیز هست؛ ازجمله، دزمن (2000) بر این باور است که باوجود مفیدبودن راهبرد رسم شکل، این راهبرد با دشواری‌هایی روبه‌روست و اینکه چه شکلی باید رسم کرد که برای حل مسئله مفید باشد، خود مسئلة حساس و مهمی است.

بنابر مطالعات انجام‌شده راهبرد رسم شکل در حل مسائل ریاضی کمک شایان توجهی به فراگیران می‌کند و فرایند آموزش ریاضی را برای معلمان و دانش‌آموزان تسهیل می‌کند. این مطالعه بر آن است که تأثیر آموزش روش مدل و راهبرد رسم شکل را به‌طور ویژه روی دانش‌آموزان بررسی کند. ضرورت انجام چنین مطالعاتی در کشور ما باتوجه‌به تأکید بیش از حد به آموزش مبتنی‌بر الگوریتم‌ها و رویه‌های ریاضی و معرفی زودرس نمادهای رسمی و ریاضیات صوری در کلاس‌های درس بیشتر نمایان می‌شود. برمبنای پژوهش‌های انجام‌شده، آموزش راهبرد رسم شکل خصوصاً روش مدل، به دانش‌آموزان به‌ویژه در دوره‌های ابتدایی و متوسطة اول، می‌تواند نقش واسطه‌ای برای آنها به‌منظور ورود به ریاضیات رسمی در دوره‌های بعدی را فراهم سازد.  

روش و ابزار پژوهش

روش تحقیق در این پژوهش، شبه‌آزمایشی با استفاده از طرح پیش‌آزمون و پس‌آزمون همراه با گروه گواه بود. نخست 8 معلم ریاضی شاغل در مناطق بهار، لالجین و ناحیة 2 همدان از بین معلمان علاقه‌مند –برای سهولت در همکاری- به روش نمونه‌گیری در دسترس به‌صورت هدفمند انتخاب شدند. هرکدام از معلمان، دو کلاس از کلاس‌های پایة هفتم خود را یکی به‌عنوان گروه آزمایش و دیگری به‌عنوان گروه گواه به تصادف انتخاب کردند. دانش‌آموزان گروه آزمایش 207 نفر و دانش‌آموزان گروه گواه 216 نفر بودند. درواقع، این 423 نفر (مجموع دانش‌آموزان گروه آزمایش و گروه گواه) از جامعةآماری 2734 نفر -کلیة دانش‌آموزان دختر مناطق بهار، لالجین و ناحیة 2 همدان- مشغول به تحصیل در پایة هفتم سال ‌تحصیلی 1392-93 انتخاب شدند. در گام نخست، پیش‌آزمون از کلیة دانش‌آموزان به عمل آمد، سپس معلمان به مدت 12 جلسه تحت آموزش راهبرد رسم شکل قرار گرفتند و این آموزش‌ها را فقط به دانش‌آموزان گروه آزمایش خود (207 نفر) ارائه کردند؛ یعنی دانش‌آموزان گروه آزمایش علاوه‌بر مطالب کتاب درسی، روش مدل و راهبرد رسم شکل را به‌طور تخصصی به مدت 5 ماه آموزش دیدند؛ ولی دانش‌آموزان گروه گواه فقط از آموزش‌های کتاب درسی به روال معمول برخوردار شدند.

 معلمانی که در این پژوهش همکاری داشتند، طی 12 جلسة 90 دقیقه‌ای گرد هم آمدند و آموزش‌های لازم در این زمینه به آنها ارائه شد. محتوای آموزشی این جلسات با همفکری پژوهشگران تحقیق حاضر، از منابع آموزشی و پژوهشی معتبر گردآوری می‌شد. در این جلسات، نخست مسائل کلامی ریاضی مطرح و سپس از معلمان درخواست می‌‌شد که مسائل کلامی ارائه‌شده را با استفاده از هر نوع راه‌حل‌ و راهبر مناسب به تشخیص خودشان حل کنند. در ادامة جلسه، انواع راهبردهای استفاده‌شدة معلمان بررسی می‌شد و سپس پژوهشگران راهبرد رسم شکلِ مناسبی برای آن مسئلة کلامی ارائه می‌دادند.

 پس از چند جلسه، در نتیجة آموزش‌های ارائه‌شده، خود معلمان نیز به توانایی ارائة روش مدل و راهبرد رسم شکلِ مناسب دست یافتند. برنامة معلمان در کلاس‌های گروه آزمایش به این ترتیب بود که مدت 20 دقیقه از کلاس‌های 90 دقیقه‌ای خود را - هفته‌ای 40 دقیقه، زیرا هر کلاس، در هفته از 2 جلسة ریاضی برخوردار است- صرف آموزش راهبرد رسم شکل می‌کردند؛ اما در کلاس‌های گروه گواه، کل 90 دقیقه از کلاس درس، به مباحث کتاب درسی پرداخته می‌شد. پس از اتمام دورة آموزشی از کلیة دانش‌آموزان پس‌آزمون گرفته شد.

روایی صوری و محتوایی سؤالات پیش‌آزمون و پس‌آزمون را تعدادی از استادان ریاضی و آموزش ریاضی و دبیران ریاضی مجرب تأیید کردند. برای بررسی پایایی سؤالات پیش‌آزمون و پس‌آزمون، نخست سؤالات روی نمونة 30 نفری اجرا شد. آلفای کرونباخ سؤالات پیش‌آزمون 81/0 و آلفای کرونباخ سؤالات پس‌آزمون 77/0 به دست آمد که هردو در سطح مطلوبی است. در این آزمون برای پاسخ‌های کاملاً درست نمرة 2، برای پاسخ‌های ناقص نمرة 1 و برای پاسخ‌های نادرست و سؤالات بدون پاسخ نمرة صفر در نظر گرفته شد. برای تجزیه و تحلیل داده‌ها از آمار توصیفی و آمار استنباطی و برای پردازش و محاسبات آماری از نرم‌افزار spss21 استفاده شد.

یافته‌های تحقیق

   سؤال اول پژوهش: دانش‌آموزان پایة هفتم قبل از اینکه آموزش‌های ویژه را از معلمان خود دریافت کنند، معمولاً برای حل مسائل کلامی از چه راهبردهایی استفاده می‌کنند؟

برای بررسی راهبردهای انتخابی دانش‌آموزان پایة هفتم، سؤالات پیش‌آزمون در اختیار کل دانش‌‌آموزان (گروه آزمایش و گروه گواه) قرار گرفت؛ بدین‌معنا که اگر دانش‌آموزان با اطلاعات قبلی خود، مطابق با اهداف کتاب درسی، به حل مسئله بپردازند، معمولاً به کدام‌یک از راهبردهای حل مسئله روی می‌آورند. در ضمن ازدانش‌آموزان خواسته شده بود از راهبردهای دلخواه خودشان استفاده کنند و اگر برای مسئله‌ای توانایی به کار بردن بیش از یک راه‌حل دارند، همة راه‌حل‌های خود را بنویسند.

   نحوة پاسخگویی دانش‌آموزان به سؤالات پیش‌آزمون در جدول 1 گردآوری شده است.

جدول 1: راهبردهای به‌کارگرفته‌شدة دانش‌آموزان در پیش‌آزمون

همان‌طور که ملاحظه می‌شود، اکثر دانش‌آموزان به سؤالات بالا پاسخ نادرست داده‌اند. پس از پاسخ نادرست، سؤالات بدون پاسخ، بیشترین درصد را به خود اختصاص داده‌ است. نتایج نشان می‌دهد راهبردی که برای حل مسائل، با استقبال تعداد بیشتری از دانش‌آموزان همراه بوده، راهبرد حدس و آزمایش بوده است. راهبرد حدس و آزمایش که        به‌طور کاملاً درست استفاده شده باشد، در سؤالات 1 تا 5 به‌ترتیب با استقبال 04/8، 93/9، 91/5، 24/0 و 95/0 و در کل سؤالات با استقبال 01/5درصدی مواجه شده است. اما همان‌طور که جدول 1 گزارش می‌دهد، در پاسخ‌های ناقص راهبرد رسم شکل با 79/2درصد بیشتر استفاده شده است. در مسئلة 4، وضعیت متفاوت‌تری به چشم می‌خورد؛ 26/4درصد از دانش‌آموزان رسم شکل را به‌طور کاملاً صحیح به کار برده‌اند. شاید علت این باشد که مشابه مسئلة مذکور در کتاب‌های درسی به‌کرّات دیده شده است و معمولاً به‌دلیل این که در صورتِ ظاهریِ آن مسئله، کسر به چشم می‌خورد، راهبرد رسم شکل با استقبال بیشتری مواجه شده است. به‌دلیل محدودیت (در تعداد صفحات مقاله)، تنها به نمونه‌هایی از راه‌حل‌های دانش‌آموزان که در مسئلة 2 پیش‌آزمون استفاده شده است، اشاره می‌شود. در این مسئله، دانش‌آموزان راهبردهای مختلفی را به‌کار بردند. راه‌حل‌های دانش‌آموزان در جدول 2 گردآوری شده است.

جدول 2: انواع راه‌حل‌های دانش‌آموزان در مسئلة دوم پیش‌آزمون

همان‌طور که ملاحظه می‌شود، قبل از اینکه آموزش خاصی صورت پذیرد- طبق آموزش‌های قبلی مبتنی‌بر کتاب درسی و بدون تأکید بر این‌که از راهبرد خاصی استفاده کنند- بیشترین راهبردی استفاده‌شدة دانش‌آموزان، راهبرد حدس و آزمایش بوده است. به نظر می‌رسد از نظر دانش‌آموزان راهبرد حدس و آزمایش مفیدترین راهبرد برای حل هر نوع از مسائل است.

دانش‌آموزان پایة هفتم علاوه‌بر اینکه در دورة دبستان با راهبردهای حل مسئله آشنا شده‌اند، در مهرماه نیز، 8 راهبرد حل مسئله طی 12 صفحه برای آنان مرور شده است؛ اما باتوجه‌به نتایج پیش‌آزمون، مهارت‌نداشتن دانش‌آموزان در حل مسائل کلامی هویداست. با اینکه آنها ظاهراً با 8 راهبرد آشنا هستند، اما همچنان راهبرد حدس و آزمایش را ابزاری قوی برای حل مسئله به کار می‌گیرند. معمولاً در کتاب‌های درسی برای حل مسائل کلامی‌ای که در صورت مسئله، کسر وجود دارد از راهبرد رسم شکل استفاده می‌‌شود. باتوجه‌به این موضوع شاید بتوان سبک کتب درسی و راهبردهای رایج آنها را بر حل مسئلة دانش‌آموزان اثر گذار دانست.

 سؤال دوم پژوهش: آیا آموزش با تأکید بر روش مدل با معلمانی که به‌طور خاص این روش را آموزش دیده‌اند، باعث تغییر در راهبردهای انتخابی دانش‌آموزان آنها در حل مسائل کلامی می‌شود؟

برای پاسخگویی به این سؤال، میزان استفادة دانش‌آموزان از راهبردهای مختلف در پیش‌آزمون و پس‌آزمون مقایسه می‌شود. راهبردهایی که دانش‌آموزان برای حل مسائل ریاضی، در پیش‌آزمون (قبل از شروع جلسات آموزش) به کار ‌بردند، به تفکیک گروه آزمایش و گروه گواه در جدول‌های 3 و 4 آمده است.

 جدول 3: راهبردهای انتخابی دانش‌آموزان گروه آزمایش در پیش‌آزمون

جدول 4: راهبردهای انتخابی دانش‌آموزان گروه گواه در پیش‌آزمون

به‌دلیل اینکه در برخی سؤالات بیش از یک پاسخ داده شده بود (البته در پس‌آزمون)، تعداد کل پاسخ‌ها نیز ارائه شده است. همچنین در مواردی که سؤال بدون پاسخ رها شده بود، به‌دلیل اینکه در نتایج این پژوهش تأثیری نداشت، در ادامة پژوهش، پاسخ نادرست در نظر گرفته شده است.

   همان‌طور که در جدول‌های 3 و 4 مشاهده می‌شود، اکثر قریب به اتفاق دانش‌آموزان گروه آزمایش و گروه گواه به سؤالات پیش‌آزمون پاسخ نادرست داده‌اند (% 69/92). در مواقعی هم که توانسته‌اند کاملاً درست مسئله را حل کنند، بیشترین راهبرد دانش‌آموزان، راهبرد حدس و آزمایش بوده است (% 07/4) اما برای کسانی که به‌طور ناقص مسئله را حل کرده‌اند، راهبرد رسم شکل بیشترین آمار را به خود اختصاص داده است (% 31/2).

  حال به راهبردهای انتخابی دانش‌آموزان در پس‌آزمون پرداخته می‌شود.

راهبردهای انتخابی دانش‌آموزان گروه آزمایش و گروه گواه در پس‌آزمون آنان در جدول‌های 5 و 6 ارائه شده است.

جدول 5: راهبردهای انتخابی دانش‌آموزان گروه آزمایش در پس‌آزمون

جدول 6: راهبردهای انتخابی دانش‌آموزان گروه گواه در پس‌آزمون

همان‌طور که در جدول‌های 5 و 6 مشاهده می‌شود، عملکرد حل مسئلة کل دانش‌آموزان نسبت به پیش‌آزمون پیشرفت چشمگیری داشته و تعداد پاسخ‌های نادرست کاهش یافته است؛ اما عملکرد دانش‌آموزان گروه آزمایش بهتر از عملکرد گروه گواه بوده است: پاسخ‌های نادرست در دانش‌آموزان گروه آزمایش%35/36 و در دانش‌آموزان گروه گواه    ۷۴/۹۳% بدیهی است باتوجه‌به تأکیدی که کتاب هفتم بر راهبردهای حل مسئله دارد، توانمندی دانش‌آموزان در طول سال‌تحصیلی بیشتر شده است؛ خصوصاً راهبرد تشکیل معادله را که جزو مطالب کتاب پایة هفتم است و در حل مسائل کمک زیادی می‌کند نیز آموخته‌اند؛ اما با اینکه دانش‌آموزان گروه آزمایش در طول دورة ‌آموزشی هم‌زمان با راهبرد رسم شکل، راهبرد تشکیل معادله را نیز تعلیم دیده‌اند،‌ اما استقبالی از آن نکرده‌اند (در گروه آزمایش راهبرد رسم شکل و راهبرد تشکیل معادله به‌ترتیب %96/35 و %77/0 به‌طور کاملاً صحیح و %11 و %48/0 به طور ناقص)، احتمالاً به‌دلیل کوتاه‌تربودن و سادگی بیشتر راهبرد رسم شکل و همچنین، عمیق‌تربودن آموزش آن استفاده از این راهبرد را ترجیح داده‌اند و تعداد بیشتری از آنان به کمک این راهبرد به پاسخ درست رسیده‌اند.

 با مقایسة پس‌آزمون دانش‌آموزان گروه آزمایش و گروه گواه تأثیر آموزش با تأکید بر یک یا چند راهبرد آشکارا دیده می‌شود. براساس گزارش جدول 5، دانش‌آموزان گروه آزمایش در پس‌آزمون بدون اینکه تأکیدی باشد که از راهبرد رسم شکل استفاده کنند، استفاده از راهبرد رسم شکل را نسبت به استفاده از سایر راهبردها ترجیح داده‌اند.

اکنون مسئلة 5 پس‌آزمون و راه‌حل‌های انتخابی دانش‌آموزان بررسی می‌شود. گفتنی است که دانش‌آموزان برای اولین‌بار با سؤالات پس‌آزمون روبه‌رو شده بودند و حل این سؤالات را از قبل ملاحظه نکرده بودند.

نمونه‌ای از راه‌حل‌های دانش‌آموزان در مسئلة 5 پس‌آزمون، در جدول 7 آمده است.

 جدول 7: انواع راه‌حل‌های دانش‌آموزان در مسئلة پنجم پس‌آزمون

نکتة مهم این است که دانش‌آموزان با تحلیل مسئلة بالا، خود به این نتیجه رسیده‌اند «مریم» از سایر دختران کوچک‌تر است و برای مریم شکل کوچک‌تری نسبت به بقیه رسم شده است. همان‌طور که ملاحظه می‌شود، راه‌حل‌های با استفاده از رسم شکل که برگرفته از پس‌آزمون دانش‌آموزان گروه آزمایش بوده، دارای تنوع بیشتری نسبت به پیش‌آزمون آنان بوده است. این موضوع نشان‌دهندة این است که شکل‌هایی که برای حل مسئله ترسیم می‌شوند، یکتا نیستند و هر فردی متناسب با دانش و توانایی‌های شخصی خود و آن تصوری که از مسئله دارد و همچنین به استناد تجربه‌های قبلی خود شکل رسم می‌کند.

همچنین غالب دانش‌آموزان گروه آزمایش و گروه گواه به سؤالات پیش‌آزمون پاسخ نادرست داده ‌بودند. در مواردی هم که موفق به ارائة راه‌حل درست شده بودند، بیشترین راهبرد،‌ راهبرد حدس و آزمایش بوده است. این در حالی است که دانش‌آموزان گروه آزمایش در پس‌آزمون، در صورتی که توانسته‌اند مسئله را حل کنند، راهبرد رسم شکل را بیشتر استفاده کرده بودند. البته بدون اینکه در زمان اجرای آزمون تأکیدی باشد که از این راهبرد استفاده کنند؛ اما در گروه گواه، راهبرد زیر مسئله و حدس و آزمایش، بیشتر استفاده شده است. همچنین، در هردو گروه میزان پاسخ‌های نادرست کاهش یافته است. در توضیح این مطلب می‌توان گفت دانش‌آموزان در مدت 5 ماه اجرای عمل آزمایشی، با مطالب بیشتری در کتاب درسی آشنا شده‌اند و به دانش ریاضی آنها اضافه شده است؛ اما پاسخگویی دانش‌آموزان گروه آزمایش بهتر از پاسخگویی دانش‌آموزان گروه گواه بوده است و پاسخ‌های نادرست آنها به مقدار بیشتری کاهش یافته است. در گروه آزمایش به‌جز سؤال 4، تعداد پاسخ‌های نادرست، کمتر از نیمی از دانش‌آموزان بوده است، ولی در گروه گواه بیش از نیمی از دانش‌آموزان، در همة سؤالات پاسخ نادرست داده‌اند. نکتة مهم این است با اینکه افزایش دانش ریاضیِ دانش‌آموزان گروه آزمایش همانند دانش‌آموزان گروه گواه، همگام با کتاب درسی بوده است -ازجمله راهبرد مفید تشکیل معادله را هر دو گروه آموخته‌اند؛ به‌دلیل سادگی، کوتاه و ملموس‌بودن راهبرد رسم شکل، دانش‌آموزان گروه آزمایش راهبرد رسم شکل را برای حل برگزیده‌اند. این امر، نشان‌دهندة این می‌تواند باشد باتوجه‌به اینکه استفاده از راهبردهای دیگر در بین دانش‌آموزان گروه آزمایش تقریباً شبیه پیش‌آزمون بوده است، اما درصد پاسخ‌های نادرست آنها در حل مسئله کاهش یافته است. شاید به‌دلیل اینکه آنان در به‌کارگیری راهبرد رسم شکل برای حل مسئله توانایی بیشتری یافته‌اند، توانسته‌اند به این موفقیت نائل شوند.

سؤال سوم پژوهش: پس از آموزش راهبرد رسم شکل به کمک معلمان ریاضی، عملکرد حل مسئلة دانش‌آموزان و میزان توانایی آنها در حل مسائل کلامی چگونه بوده است؟

منظور از عملکرد حل مسئله، نمرة حاصل از آزمون (پیش‌آزمون و پس‌آزمون) دانش‌آموزان است؛ که نمرات آنها نشان‌دهندة میزان توانایی آنها در حل مسئله است. برای پاسخگویی به این سؤال تحقیق، لازم است نمرات دانش‌آموزان در پیش‌آزمون و پس‌آزمون آنها مقایسه شود. بنابراین از آزمون t مستقل برای مقایسة عملکرد گروه آزمایش و گواه استفاده شده است. نخست به بررسی پیش‌فرض‌های این آزمون پرداخته می‌شود.

1-      استفاده از داده‌های نسبی فاصله‌ای: در این پژوهش، پیش‌آزمون و پس‌آزمون به‌صورت آزمون‌ تشریحی برگزار شد و برگه‌های سؤالات را پژوهشگران تصحیح کردند. برای سهولت بررسی پاسخ‌ها فقط از سه نمرة 0، 1 و 2 استفاده شد.

2-     نرمال‌بودن جامعه: باتوجه‌به اینکه عملکرد دانش‌آموزان در پیش‌آزمون مساعد نبود و نمرة صفر در بین آنها زیاد دیده شده بود، جامعه در پیش‌آزمون نرمال نبود. به همین منظور از اختلاف نمرة پیش‌آزمون و پس‌‌آزمون در نقش متغیر در آزمون t استفاده شد. برای بررسی نرمال‌بودن از محاسبة چولگی و کشیدگی استفاده شده که اگر در بازة (2،2-) قرار داشته باشد، به‌معنای نرمال‌بودن جامعه است (جدول 8).

جدول 8: بررسی نرمال‌بودن از طریق مقدار چولگی و کشیدگی

جدول 8 مقدار چولگی را 534/0 و مقدار کشیدگی را 405/0- گزارش می‌دهد که هردو مقدار در بازة (2،2-) قرار دارند؛ بنابراین متغیر دارای توزیع نرمال است. حال با استفاده از آزمون t مستقل نمرة دو گروه آزمایش و کنترل مقایسه می‌شود. این نمره شامل اختلاف نمرة پیش‌آزمون و پس‌آزمون است (جدول 9).

جدول 9: مقایسة واریانس‌ و میانگین دو گروه آزمایش و کنترل

 بنابر اطلاعات جدول 9، نخست به بررسی فرض برابری واریانس‌ها با استفاده از آزمون لوین پرداخته می‌شود. باتوجه‌به اینکه سطح معنی‌داری در آزمون لوین صفر است، واریانس دو گروه آزمایش و گواه برابر نیست؛ یعنی داده‌ها از مفروضة یکسانی واریانس‌ها تخطی کرده است. در چنین حالتی از مقدار t جایگزینی که برای مواقع نابرابری واریانس‌ها ارائه می‌شود؛ یعنی ردیف دوم جدول استفاده می‌شود (پالانت^[36]، 1389). همان‌طور که در ردیف دوم ملاحظه می‌شود، سطح معناداری صفر بوده که این مقدار از 05/0 کمتر است. پس فرض صفر با 95درصد اطمینان رد و فرض پژوهش تأیید می‌شود. بدین معنا که بین نمرات دو گروه پیش‌آزمون و پس‌آزمون اختلاف معنی‌دار وجود دارد و می‌توان ادعا کرد آموزش راهبرد رسم شکل باعث بهبود عملکرد حل مسئلة دانش‌آموزان شده است.

بحث و نتیجه‌گیری

نتایج این مطالعه نشان داد که آموزش این راهبرد توانسته است بر عملکرد حل مسئلة دانش‌آموزان گروه آزمایش مؤثر واقع شود. این نتیجه با مطالعات شونفلد (1985) همسوست که آموزش راهبردهای کمتر ولی با عمق بیشتر می‌تواند بر توانایی حل مسئلة فراگیران بیفزاید. همچنین پس از آموزش راهبرد رسم شکل، افرادی وجود داشتند که توانستند شکل درست را رسم کنند، اما مسئله را تا رسیدن به جواب نهایی ادامه نداده بودند. این موضوع در تأیید مطالعة دزمن (2000) است که گفت باوجود مفیدبودن راهبرد رسم شکل، اما این راهبرد با دشواری‌هایی روبه‌روست.

مطالعة حاضر نشان می‌دهد تمرکز بر یکی از راهبردهای حل مسئله باعث بهبود عملکرد حل مسئلة دانش‌آموزان شده است و این نتیجه با یافته‌‌های مطالعات تسپینر و بولوت (2012) و سولاک (2010) همسوست. آنها برای موفقیت در عملکرد حل مسئلة دانش‌آموزان، آموزش‌های مکرر در این زمینه ارائه دادند. البته با این تفاوت که آنان بر چندین راهبرد تمرکز داشته‌اند، اما در پژوهش حاضر تمرکز فقط بر راهبرد رسم شکل بوده است. در هر صورت می‌توان ادعا کرد با آموزش‌های مستمر ممکن است که قابلیت حل مسئله ارتقا یابد.

همچنین، نتایج این پژوهش در تأیید نتایجی است که ماهونی (2012)، رلنسمن و همکاران (2016)، پخونن و همکاران (2016)، شین (2018)، مگلیکو (2016)، کور (2015) و کور (2019) به آن‌ رسیده‌اند. آنها گفته‌اند از بین راهبردهای مختلف حل مسئله، راهبرد رسم شکل می‌تواند از مؤثرترین راهبردهای حل مسئله به شمار آید.

در مطالعة حاضر که آموزش حل مسئله، بر یک راهبرد مشخص(رسم شکل) مبتنی بود، موفقیت چشمگیری به ‌دست آمد. به این ترتیب که دانش‌آموزان با حل انواع مسائل کلامی و با درگیرشدن در ترسیم شکل‌ها و مدل‌های متنوع و تجربة موقعیت‌های متفاوت، در حل مسئله توانمندی‌هایی کسب کردند و هنگام برخوردن به مسئلة جدید از تجربة خوشایند قبلی استفاده کردند. البته این به معنای غیر مفیدبودن سایر راهبردهای حل مسئله نیست؛ بلکه بدین معناست که آموزش راهبردها باید به صورت عمیق باشد و حل چند نمونه محدود نمی‌تواند باعث کسب مهارت کافی در به‌کارگیری آن راهبرد شود. قطعاً اگر برای آموزش هرکدام از راهبردهای حل مسئله، تمرکز کافی وجود داشته باشد و وقت مقتضی صرف شود، آن راهبردها نیز به‌خوبی و در موقعیت مناسب، دانش‌آموزان به کارش خواهند گرفت. باتوجه‌به یافته‌های این مطالعه به برنامه‌ریزان آموزشی پیشنهاد می‌شود به جای روبه‌رو کردن یکبارة دانش‌آموزان با چندین راهبرد در یک زمان محدود، راهبردها را در طول زمان و در پایه‌های مختلف، باتوجه‌به توانایی‌های دانش‌آموزان و تمرکز کافی روی آنها آموزش دهند. در این میان از نقش بسزای معلمان ریاضی نباید غافل ماند. این بدان معنی است که در امر آموزش معلمان، آموزش حل مسئله باید جایگاه مناسب خود را پیدا کند.