کنترل همگام‌سازی مبتنی بر رویتگر اغتشاش در سیستم‌های چند عاملی با دینامیک اویلر - لاگرانژ در حضور عدم قطعیت‌های پارامتری و غیرپارامتری

• مقدمه[1]

شبکه اویلر - لاگرانژ با ساختار رهبر - پیرو شبکه‌ای متشکل از یک یا چند عامل رهبر و یک یا چند عامل پیرو به همراه لینک ارتباطی و کنترل‌کننده است؛ به‌ طوری که هر عامل با دینامیک غیرخطی اویلر - لاگرانژ توصیف می‌شود [1]. دلیل در نظر گرفتن دینامیک اویلر - لاگرانژ این است که این مدل دینامیکی دسته‌ای وسیع از سیستم‌های فیزیکی دارای اهمیت کاربردی را در بر می‌گیرد. به‌طور مشخص، سیستم‌های مکانیکی، الکتریکی، الکترومکانیکی، شبکه‌های قدرت و سیستم‌های الکترونیک قدرت را می‌توان بر این اساس توصیف کرد. یک هدف کنترلی مهم در این شبکه همگامی حالت‌ها بین عامل‌های مختلف است. در صورت وجود عامل رهبر باید عامل‌های پیرو، حالت خود را با عامل رهبر همگام کنند. در غیر این صورت، حالت کلیه عامل‌ها باید به یک مقدار توافق شده همگرا شود.

همچنین، در طی دهه گذشته، لزوم به‌کارگیری ربات‌ها در محیط‌هایی که حضور انسان خطرناک یا دشوار است، محرز شده است. در سال‌های گذشته و با توجه به همه‌گیری ویروس کرونا، انجام بسیاری از فعالیت‌ها ازقبیل اقدامات درمانی [2]، آموزشی [3] و توانبخشی [4] با هدف کاهش میزان انتشار ویروس در اثر ارتباطات فیزیکی غیرضروری در دستور کار قرار گرفته است. با توجه به اهمیت روزافزون استفاده از ربات‌های تحت شبکه، در این مقاله حالت خاصی از دینامیک اویلر - لاگرانژ که مختص بازوهای رباتیکی است، مدنظر قرار خواهد گرفت.

خلاصه روش‌های موجود کنترل موقعیت سیستم‌های دارای دینامیک اویلر - لاگرانژ در جدول 1 آمده است. در بسیاری از مطالعات از روش‌های کنترل کلاسیک که ازجمله آنها روش کنترل تناسبی - مشتقی (PD) است برای کنترل شبکه‌های اویلر - لاگرانژ استفاده شده است. این رویکرد کنترلی نیازی به مدلسازی سیستم ندارد و پیاده‌سازی آن نسبتاً ساده است. در رویکرد کنترلی مذکور، کنترل‌کننده خطای سیستم را نظارت می‌کند و براساس بزرگی خطای مشاهده‌شده و مشتق آن، تلاش کنترلی اعمال می‌شود. در پژوهش انجام‌شده در [5] روش کنترل تناسبی مشتقی برای یک شبکه اویلر - لاگرانژ شامل یک ربات رهبر و یک ربات پیرو پیشنهاد شده و پایداری کلی شبکه با فرض انفعال اپراتور و محیط تحلیل شده است. توسعه روش مذکور در پژوهش‌های مختلفی در حضور تأخیر متغیر با زمان [6]، برای شکل‌دهی خطا در آموزش جراحی [7] و برای تعداد دلخواه عامل اویلر - لاگرانژ [8] انجام شده است. از مزایای کنترل‌کننده‌های پیشنهادی اشاره‌شده، نبود پارامترهای مدلسازی در فرمول‌‌بندی قانون کنترل (به علت عدم وابستگی به مدل) است. باوجود اینکه این رویکرد کنترلی با توجه به عدم نیاز به مدل دینامیک، منجر به سادگی اجرا می‌شود، در صورت پیچیدگی دینامیک، ممکن است عملکرد مطلوبی نداشته باشد. به‌طور خاص، در صورتی که در دینامیک ربات عبارت مربوط به بردار جاذبه غیرصفر باشد، پایداری مجانبی سیستم توسط کنترل‌کننده تناسبی - مشتقی تضمین نمی‌شود.

جدول (1): خلاصه‌ای از روش‌های کنترل موقعیت سیستم‌های دارای دینامیک اویلر - لاگرانژ

رویکرد کنترلی دیگری که می‌تواند برخی از محدودیت‌های کنترل تناسبی - مشتقی را برطرف کند، کنترل تطبیقی است که در [9] از آن برای حل مسئله ردیابی موقعیت در شبکه‌های اویلر - لاگرانژ با یک ربات رهبر و یک ربات پیرو استفاده شده است. بعدها در پژوهش [10] نشان داده شد که روش ارائه‌شده در [9] تنها زمانی می‌تواند به‌خوبی عمل کند که معادله دینامیکی سیستم فاقد نیروهای ناشی از جاذبه زمین باشد یا این نیروها جبران شده باشند و روشی برای حل این مشکل ارائه دادند. طراحی کنترل‌کننده تطبیقی برای شبکه‌های چند عاملی با تعداد دلخواه عامل اویلر - لاگرانژ نیز در مقالات مختلفی ازجمله [11] و [12] بررسی شده است. باید توجه شود کنترل‌کننده‌های تطبیقی ارائه‌شده در پژوهش‌های [9،10،11،12] باوجود آنکه توانایی مناسبی برای غلبه بر نامعینی پارامتری دارند، عملکرد آنها در حضور نامعینی‌های غیر پارامتری چندان پذیرفتنی نیست.

روش کنترلی دیگری که باوجود توانایی در مراجع کمتری در حوزه سیستم‌های اویلر - لاگرانژ به آن پرداخته شده است، کننده مبتنی بر رویتگر اغتشاش است. ایده رویتگر اغتشاش برای سیستم‌های اویلر - لاگرانژ در پژوهش [13] معرفی شد و بعدها در پژوهش‌های دیگری ازجمله [14] و [15] برای شبکه‌های اویلر - لاگرانژ با یک ربات رهبر و یک ربات پیرو توسعه پیدا کرد و معرفی کاملی از این روش کنترلی در [16] انجام شده است.

با توجه به اینکه روش رویتگر اغتشاش به‌عنوان روشی جایگزین برای کنترل تطبیقی برای غلبه بر عدم قطعیت معرفی می‌شود، مرور مختصری بر مزایای این روش در مقایسه با کنترل تطبیقی در سیستم‌های رباتیک ارائه می‌شود. دو دسته از روش‌های کنترل تطبیقی شناخته‌شده‌تر برای سیستم‌های رباتیک، شامل کنترل‌کننده‌های دینامیک معکوس تطبیقی و کنترل‌کننده‌های مبتنی بر انفعال تطبیقی هستند. روش دینامیک معکوس تطبیقی به فرم رگرسیون معمول ربات‌ها نیاز دارد که در آن ماتریس رگرسیون تابعی از سه متغیر است. مهم‌ترین عیب این روش نیاز به شتاب مفاصل است که در موارد عملی تعیین آن مشکل است. همچنین، روش کنترل تطبیقی مبتنی بر انفعال نیازی به شتاب مفاصل ندارد؛ بلکه به فرم رگرسیون پیچیده‌تری نیاز دارد که در آن ماتریس رگرسیون تابعی از چهار متغیر است. این نوع ماتریس رگرسیون در ادبیات به‌عنوان رگرسیون اسلوتین - لی شناخته می‌شود و به دست آوردن آن از ماتریس رگرسیون معمولی دشوارتر است. علاوه بر این، هر دو نوع روش‌های کنترل تطبیقی مذکور، رفتار گذرا نامطلوبی را به دلیل زمان هم‌گرایی قانون انطباق نشان می‌دهند. باید توجه شود روش کنترل مبتنی بر رویتگر اغتشاش دارای مزیت‌های متعددی نسبت به روش‌های کنترل تطبیقی در برخورد با عدم قطعیت است. این روش به شتاب‌های مفاصل نیاز ندارد و ازطرفی هیچ نوعی از فرم رگرسوری در این روش مورد نیاز نیست. علاوه بر این، کنترل‌کننده مبتنی بر رویتگر اغتشاش در حالت کلی در مقایسه با کنترل‌کننده‌های تطبیقی منجر به رفتار گذرای مطلوب‌تر می‌شود.

باوجود آنکه در پژوهش‌های موجود، روش کتترلی مبتنی بر رویتگر اغتشاش برای سیستم‌های اویلر - لاگرانژ به‌خصوص به‌صورت خارج از شبکه به شکل پایه‌ای تحقیق شده است، موارد فراوانی در استفاده از این روش کنترلی در سیستم‌های اویلر - لاگرانژ تحت شبکه در آنها لحاظ نشده است. درواقع ارائه چارچوب ریاضی محکم‌تر برای تحلیل پایداری کنترل‌کننده‌های مبتنی بر رویتگر اغتشاش در شبکه‌های اویلر - لاگرانژ موضوع بسیار مهمی است که ارزش تحقیقاتی زیادی دارد. علاوه بر آن، در پژوهش‌های انجام‌شده در این زمینه، هنوز طراحی کنترل‌کننده مبتنی بر رویتگر اغتشاش به‌صورت جدی و پایه‌ای برای شبکه‌های اویلر - لاگرانژ در حالت کلی (برای بیش از دو عامل اویلر - لاگرانژی) بررسی نشده است و این موضوع می‌تواند انگیزه‌ای برای تحقیقات بیشتر در این حوزه باشد.

با توجه به مرور ادبیات انجام‌شده، به طراحی روش کنترل مبتنی بر رویتگر اغتشاش برای شبکه‌های اویلر - لاگرانژ در تحقیقات اندکی توجه شده است که عمده آنها شبکه‌های اویلر - لاگرانژ در حالت ساده شامل یک عامل رهبر و یک عامل پیرو را پوشش می‌دهند. با توجه به این موارد، نوآوری اصلی این مقاله، توسعه یک روش کنترلی مبتنی بر رویتگر اغتشاش برای شبکه‌های اویلر - لاگرانژ و تحلیل پایداری روش پیشنهادی است.

ادامه این مقاله به این صورت تنظیم شده است. در بخش 2 نمادهای استفاده‌شده معرفی می‌شوند و در کنار توصیف شبکه‌های اویلر - لاگرانژ، مسئله پژوهشی بیان می‌شود. در بخش 3 ساختار کنترلی پیشنهادی معرفی می‌شود. تحلیل پایداری سیستم در بخش 4 تشریح می‌شود. در بخش 5 نتایج شبیه‌سازی ارائه می‌شود. درپایان، نتیجه‌گیری در بخش 6 بیان می‌شود.

2- مفاهیم مقدماتی

1-2- نمادها

نمادهای به‌کاررفته در این بخش معرفی می‌شوند.  نشان‌دهنده ماتریس همانی با  سطر و  ستون است.  نشان‌دهنده یک ماتریس ستونی (بردار) با  سطر است که کلیه درایه‌های آن یک است. ضرب کرونکر بین دو ماتریس  و  با نماد  مشخص شده و به‌صورت زیر تعریف می شود.

که در آن  نشان‌دهنده عنصر موجود در سطر  و ستون  ماتریس  است.

2-2- شبکه‌های اویلر - لاگرانژ

یک شبکه اویلر - لاگرانژ دارای N عامل است که دینامیک هر یک با معادلات اویلر - لاگرانژ زیر توصیف می‌شود.

که در آن ، ، ، ، و  به‌ترتیب معادل با ماتریس اینرسی، ماتریس کوریولیس، بردار اثر گرانش زمین، بردار گشتاور کنترلی اعمالی و گشتاور خارجی هستند. همچنین، بردارهای ،  و  به‌ترتیب معادل موقعیت، سرعت و شتاب مفصلی ربات‌ها هستند. در ادامه مدل دینامیک عدم قطعیت‌های موجود در سیستم به‌صورت جمع‌شونده، طبق روابط زیر در نظر گرفته می‌شوند.

که در آن ،  و  معرف مدل‌های نامی دینامیک مربوطه بوده و ،  و  معرف عدم قطعیت جمع‌شونده است.

براساس مطالب بیان‌شده در مراجعی ازقبیل [17]، معادلات دینامیکی ربات‌ها دارای ویژگی‌های ذاتی به‌خصوصی هستند که از این ویژگی‌ها در طراحی کنترل‌کننده استفاده می‌شود. در اینجا این ویژگی‌ها برای مدل واقعی سیستم و مدل نامی بیان می‌شود.

ویژگی 1- ماتریس اینرسی واقعی سیستم  و همین‌طور ماتریس اینرسی نامی سیستم  متقارن و مثبت معین‌اند.

ویژگی 2- ماتریس‌های  و همین‌طور  پادمتقارن هستند.

در ادامه با قراردادن معادلات (3)، (4) و (5) در دینامیک (2)، معادله دینامیکی زیر حاصل می‌شود.

که در آن  عدم قطعیت تجمیعی بوده و به‌صورت زیر تعریف می‌شود.

همچنین، تبادل داده بین عوامل مختلف توسط تعدادی کانال ارتباطی انجام می‌شود. عامل‌های همسایه به عامل‌هایی گفته می‌شود که با یکدیگر تبادل اطلاعات دارند. برای عامل شماره  می‌توان مجموعه‌ای با عنوان  تعریف کرد که شامل عامل‌هایی هست که در همسایگی با عامل شماره  قرار دارند. یک روش مرسوم در نظریه گراف‌ها برای بیان ریاضی شبکه ارتباطی استفاده از ماتریس لاپلاسین است که یک ماتریس  است و با نماد  نشان داده می‌شود و عناصر آن به‌صورت زیر تعریف می‌شوند.

که در آن

فرض می‌شود گراف مرتبط با شبکه، غیرجهت دار و متصل است.

3- ساختار کنترلی پیشنهادی

هدف از طراحی کنترل، حل مسئله همگام‌سازی در دو حالت دارای رهبر و بدون رهبر است. در حالت دارای رهبر موقعیت کلیه عامل‌ها با موقعیت رهبر یکسان می‌شود و در حالت بدون رهبر، کلیه عوامل به موقعیت یکسان اجماع‌شده همگرا می‌شوند. برای حل این مسئله بردار خطای تعمیم‌یافته برای عامل شماره  به‌صورت زیر تعریف می‌شود.

در رابطه فوق در حالت دارای رهبر  و در حالت بدون رهبر  است و  خطا در عامل شماره  است که به‌صورت زیر تعریف می‌شود.

که در آن  در حالت دارای رهبر برابر موقعیت رهبر و در حالت بدون رهبر برابر صفر است. حال قانون کنترلی زیر در نظر گرفته می‌شود.

که در آن،  ضریب ثابت مثبت،  ماتریس بهره مثبت معین و  تخمینی از  است و مقدار  با استفاده از معادلات دینامیکی زیر به دست می­آید.

در رابطه فوق  بهره رویتگر است و به همراه تابع برداری  باید طوری انتخاب شوند که پایداری رویتگر حفظ شود و رابطه زیر نیز برقرار باشد.

یک انتخاب مناسب می‌تواند به‌صورت زیر باشد.

در روابط فوق  یک ثابت اسکالر مثبت است که مقدار آن باید با توجه به شرایط پایداری حلقه بسته انتخاب شود که این موضوع در ادامه مقاله تشریح خواهد شد.

حال با قراردادن قانون کنترلی (12) در معادلات دینامیکی سیستم (2) می‌توان سیستم حلقه بسته را به‌صورت زیر به دست آورد.

که در آن

از طرف دیگر، با تعریف  و با توجه به (13) و (14) و با فرض مرسوم آهسته‌بودن تغییرات اغتشاش ( ) معادله خطای رویتگر به‌صورت زیر محاسبه می­شود.

حال با هدف رسیدن به یک مدل تجمیع‌شده، متغیرهای زیر تعریف می‌شوند.

درنتیجه، می‌توان سیستم حلقه بسته کلی را به‌صورت زیر بیان کرد.

که در آن ، ،  و  ماتریس‌های بلوکی هستند که عناصر بلوکی غیرقطری آنها صفر بوده و عناصر بلوکی قطری آنها شامل المان‌های متناظر دارای اندیس است که به ترتیب اندیس مرتب شده‌اند. در بخش بعد تحلیل پایداری سیستم حلقه بسته فوق انجام خواهد شد.

4- تحلیل پایداری

پیش از بیان نتیجه اصلی، چند لم کاربردی ارائه می‌شوند. در لم بعد نامساوی معروف به نامساوی یانگ ارائه می‌شود.

لم 1 [18]: برای بردارهای دلخواه  و  با ابعاد یکسان و مقدار اسکالر دلخواه مثبت ، نامساوی زیر همواره برقرار است.

در لم بعد چند تساوی مرتبط با ضرب کرونکر ارائه می‌شوند.

لم 2 [19]: ماتریس‌های ، ، ، و  با ابعاد مناسب در روابط زیر صدق می­کنند.

لم بعد مرتبط با مقادیر ویژه ماتریس لاپلاسین است و در تحلیل پایداری کلی سیستم اهمیت زیادی دارد.

لم 3 [20]: در صورتی که گراف متناظر با سیستم متصل باشد، ماتریس  دقیقا دارای یک مقدار ویژه صفر است و سایر مقادیر ویژه آن دارای بخش حقیقی مثبت هستند.

نتیجه نهایی تحلیل پایداری در قضیه زیر بیان می‌شود.

قضیه 1: در صورتی که قانون کنترلی (12) به همراه رویتگر اغتشاش (13) و (14) به سیستم (2) اعمال شود، خطای ردیابی سیستم حاصله پایدار مجانبی است.

اثبات: در ابتدا برای تحلیل پایداری بخش غیرخطی سیستم حلقه بسته، تابع کاندید لیاپانوف زیر در نظر گرفته می‌شود.

با مشتق گیری از تابع فوق داریم

حال با جایگزاری عبارات از روی سیستم حلقه بسته (25) و (26) داریم.

با استفاده از ویژگی 2 دینامیک ربات‌ها، عبارت سطر اول رابطه فوق برابر صفر می‌شود. از طرف دیگر، با استفاده از لم 1 می‌توان عبارت زیر را نتیجه گرفت.

حال در صورتی که انتخاب  مطابق رابطه (16) باشد و پارامتر  نیز در رابطه زیر صدق کند

درنتیجه، می‌توان رابطه زیر را نتیجه گرفت

که نشان‌دهنده پایداری مجانبی بخش غیرخطی سیستم حلقه بسته شامل متغیرهای  و  است. در ادامه پایداری بخش خطی سیستم حلقه بسته براساس معادله (27) تحلیل می‌شود. نکته درخور توجه در این رابطه آن است که براساس آنچه در ادامه بررسی خواهد شد ماتریس حالت سیستم یعنی  به‌ازای  هرویتز است؛ اما به ازای  هرویتز نیست؛ درنتیجه، تحلیل پایداری در حالت دارای رهبر نسبتاً سرراست‌تر از حالت بدون رهبر است که در ادامه دربارۀ هر دو حالت بحث خواهد شد.

یا توجه به لم 3 می‌توان نتیجه گرفت ماتریس  هرویتز است و با توجه به اینکه  مثبت است، ماتریس  نیز هرویتز است؛ درنتیجه، معادله (27) بیانگر یک سیستم خطی تغییرناپذیر با زمان پایدار با ورودی  و متغیر حالت  است و با توجه به پایدار مجانبی‌بودن متغیر ورودی  ، پایدار مجانبی‌بودن متغیر  نیز نتیجه می‌شود.

در ادامه دربارۀ تحلیل پایداری در حالت بدون رهبر بحث خواهد شد. برای این کار با الهام از مرجع [21]، ماتریس  به‌صورت زیر تعریف می‌شود.

که در آن

می‌توان نشان داد ماتریس  در روابط زیر صدق می‌کند.

حال بردار  براساس رابطه زیر تعریف می‌شود.

حال می‌توان سیستم (25) را به‌ازای  به‌صورت زیر بازنویسی کرد.

در مرجع [21] هرویتزبودن ماتریس  (موسوم به ماتریس لاپلاسین کاهش‌یافته) برای یک گراف متصل نشان داده شده است و براساس آن می‌توان نتیجه گرفت ماتریس نیز هرویتز است؛ درنتیجه، سیستم (45) پایدار است و با توجه به اینکه همگرایی متغیر  قبلاً نشان داده شد می‌توان همگرایی متغیر  را نیز نتیجه گرفت؛ درنتیجه،  و با توجه به ویژگی­های  می‌توان نتیجه گرفت بردار  وجود دارد؛ طوری که  و درنتیجه، همگرایی موقعیت همه عامل‌ها در حالت بدون رهبر به مقدار یکسان  اثبات شد.

• نتایج شبیه سازی

در این بخش روش کنترلی پیشنهادی به یک شبکه اویلر - لاگرانژ شامل 4 عامل و با توپولوژی شبکه نمایش داده شده در شکل 1 اعمال می‌شود. ماتریس لاپلاسین متناظر با شبکه مدنظر به‌صورت زیر بیان می‌شود:

شکل (1): توپولوژی شبکه در نظر گرفته شده در شبیه‌سازی

هر عامل یک ربات سریال دو درجه آزادی RR است که ماتریس جرمی آن به‌صورت زیر بیان می‌شود.

که در آن

ماتریس کوریولیس ربات نیز به‌صورت زیر بیان می‌شود

که در آن

علاوه بر آن، بردار جاذبه ربات به‌صورت زیر بیان می‌شود.

که در آن

در روابط فوق،  و  به‌ترتیب بیانگر جرم لینک اول و لینک دوم ربات،  و  به‌ترتیب بیانگر طول لینک اول و لینک دوم ربات،  و  به‌ترتیب بیانگر فاصله مرکز جرم لینک اول و لینک دوم ربات از ابتدای لینک،  و  به‌ترتیب بیانگر ممان اینرسی لینک اول و لینک دوم و  ضریب گرانش زمین است. در شبیه‌سازی‌ها مقادیر جرم لینک‌ها به‌صورت ، مقادیر طول لینک‌ها به‌صورت و مقادیر ممان اینرسی لینک‌ها به‌صورت  در نظر گرفته شده است. علاوه بر آن، فرض شده است مرکز جرم هر لینک در وسط آن است و درنتیجه، برای  رابطه  را داریم.

علاوه بر آن، پارامترهای کنترل‌کننده به‌صورت    ، و  تنظیم می‌شوند. با هدف اطمینان از عملکرد مناسب کنترل‌کننده در حضور عدم قطعیت، مقادیر در نظر گرفته شده برای کلیه پارامترها در کنترل‌کننده دارای انحراف به میزان 25% نسبت به مقدار اصلی خود در نظر گرفته می‌شوند.

در بخش اول شبیه‌سازی، عملکرد سیستم در حالت وجود رهبر استاتیکی بررسی می‌شود. در این حالت موقعیت رهبر برابر مقدار ثابت  در نظر گرفته می‌شود. علاوه بر آن، شرایط اولیه عامل‌ها براساس مقادیر زیر مشخص می‌شود.

نتایج شبیه‌سازی در حالت وجود رهبر استاتیکی در شکل(1 نمایش داده شده است و در آن نتایج مفاصل اول رباتها در شکل(1-الف و نتایج مفاصل دوم رباتها در شکل(1-ب ارائه شده است. علاوه بر آن موقعیت رهبر با خط ممتد آبی و موقعیت رهروهای شماره 1، شماره 2، شماره 3 و شماره 4 به ترتیب با خط مقطع قرمز، نقطه خط ارغوانی، نقطه چین قهوه‌ای و خط سبز ممتد دارای نقطه نمایش داده شده است. همانطور که نتایج نشان می‌دهد، هر یک از ربات‌های رهرو عملکرد قابل قبولی در رسیدن به مقادیر متناظر تعیین شده توسط رهبر دارند.

(الف)

(ب)

شکل(1): نتایج شبیه سازی در حالت وجود رهبر استاتیکی (الف) موقعیت مفاصل اول (ب) موقعیت مفاصل دوم

در بخش دوم شبیه‌سازی، بررسی عملکرد سیستم در حالت وجود رهبر دینامیکی انجام می‌شود. در این حالت موقعیت رهبر به‌صورت  در نظر گرفته می‌شود که مقادیر آن به‌صورت زیر است.

نتایج شبیه‌سازی در حالت وجود رهبر دینامیکی برای مفاصل اول در شکل-الف و برای مفاصل دوم در شکل-ب نشان داده شده است و همان‌طور که دیده می‌شود عملکرد ربات‌های رهرو در ردیابی موقعیت رهبر پذیرفتنی است.

در بخش سوم شبیه‌سازی، عملکرد سیستم چند عاملی با دینامیک اویلر - لاگرانژ در حالت بدون رهبر بررسی می‌شود. در این حالت انتظار می‌رود که متغیرهای حالت کلیه عامل‌ها به مقدار مشخص توافق شده‌ای همگرا شوند. نتایج شبیه سازی در حالت بدون رهبر برای مفاصل اول در شکل-الف و برای مفاصل دوم درشکل-ب نشان داده شده است. براساس نمودار موقعیت‌های هر دو مفصل در کلیه عامل‌ها با سرعت قابل قبولی به مقادیر یکسانی همگرا شده است.

در ادامه نتایج شبیه‌سازی دیگری جهت بررسی عملکرد سیستم در مقابل اغتشاش خارجی و نحوه تخمین اغتشاش خارجی توسط رویتگر اغتشاش ارائه می‌شود. این شبیه‌سازی تنها برای حالت وجود رهبر دینامیکی انجام شده است. برای انجام این کار، کلیه پارامترهای ربات‌ها و سیگنال مرجع، مشابه حالت وجود رهبر دینامیکی در نظر گرفته شد. از طرف دیگر، برای بررسی مناسب اثر اغتشاش خارجی، فرض می‌شود معادلات دینامیکی ربات‌ها بدون هیچ‌گونه عدم قطعیتی موجود است و تنها عامل شماره 1 تحت تاثیر اغتشاش سینوسی با مقدار زیر قرار دارد.

نتایج شبیه‌سازی مربوط به این حالت در حالت وجود رهبر دینامیکی برای مفاصل اول در شکل (5)-الف و برای مفاصل دوم در شکل (5)-ب نشان داده شده است و همان‌طور که دیده می‌شود عملکرد ربات‌های رهرو در ردیابی موقعیت رهبر پذیرفتنی است و عامل شماره 1 باوجود اغتشاش خارجی عملکرد پذیرفتنی داشته است.

(الف)

(ب)

شکل (3): نتایج شبیه‌سازی در حالت وجود رهبر دینامیکی (الف) موقعیت مفاصل اول (ب) موقعیت مفاصل دوم

(الف)

(ب)

شکل (4): نتایج شبیه سازی در حالت بدون رهبر (الف) موقعیت مفاصل اول (ب) موقعیت مفاصل دوم

(الف)

(ب)

شکل (5): نتایج شبیه‌سازی اثر اغتشاش خارجی (الف) موقعیت مفاصل اول (ب) موقعیت مفاصل دوم

(الف)

(ب)

شکل(6): تخمین اغتشاش در عامل شماره 1 (الف) موقعیت مفصل اول (ب) موقعیت مفصل دوم

از طرف دیگر، نتایج تخمین اغتشاش در عامل شماره 1 نیز در شکل-الف برای مفصل اول و در شکل-ب برای مفصل دوم نشان داده شده است. همان‌طور که دیده می‌شود مقدار اغتشاش تخمین زده شده توسط رویتگر اغتشاش با دقت پذیرفتنی به اغتشاش واقعی نزدیک است. نکته شایان توجه در این خصوص آن است که مقدار اندک خطا در تخمین اغتشاش توسط مکانیزم فیدبک جبران شده و درنهایت، همگرایی مناسب موقعیت‌ها اتفاق افتاده است.

6- تشکر و قدردانی

این اثر تحت حمایت بنیاد ملی ایران (طرح شماره 4013621) انجام شده است

7- نتیجه‌گیری

در این تحقیق، طراحی کنترل‌کننده برای یک سیستم چندعاملی با دینامیک اویلر - لاگرانژ در حضور عدم قطعیت بررسی شد. در این سیستم رابطه دینامیکی هر عامل از معادلات اویلر - لاگرانژ تبعیت می‌کند. علاوه بر آن، هر سیستم با سیستم‌های همسایه خود تبادل اطلاعات دارد و برای توصیف ارتباط بین عامل‌های مختلف از نظریه گراف‌ها استفاده می‌شود. هدف اصلی کلی همگرایی موقعیت کلیه عامل‌ها در دو حالت دارای رهبر و بدون رهبر است. برای رسیدن به این هدف در حضور عدم قطعیت، در این مقاله یک کنترل‌کننده مبتنی بر رویتگر اغتشاش معرفی شده است. نتایج شبیه‌سازی، نشان‌دهنده عملکرد پذیرفتنی روش پیشنهادی در همگرایی موقعیت عامل‌های مختلف در دو حالت بدون رهبر و دارای رهبر است.

باوجود آنکه براساس تحلیل‌های انجام‌شده، ساختار کنترلی ارائه‌شده در این مقاله می‌تواند برای مقابله با عدم قطعیت‌های دینامیکی مناسب باشد، نوع دیگری از عدم قطعیت موسوم به عدم قطعیت سینماتیکی در چارچوب پیشنهادی لحاظ نشده است. منظور از عدم قطعیت سینماتیکی، عدم قطعیت در هندسه ربات است و در سیستم‌های تحت شبکه، زمانی که ربات‌ها دارای ساختار هندسی یکسانی نباشند، می‌تواند موضوع مهمی باشد؛ درنتیجه، یکی از محدودیت‌های ساختار پیشنهادی آن است که در شبکه تحت رباتیک باید حتماً کلیه ربات‌ها دارای ساختار هندسی یکسانی باشند و در صورتی که ساختارهای هندسی آنها یکسان نباشد، برای استفاده از این روش باید حتماً ساختارهای هندسی ربات‌ها معلوم باشد. برای یک شبکه رباتیک با ساختارهای هندسی مختلف نامعلوم، لازم است عدم قطعیت سینماتیکی در تحلیل‌ها لحاظ شود و این موضوع در مطالعات آینده در دستور کار قرار خواهد گرفت. علاوه بر آن، پیاده‌سازی آزمایشگاهی ساختار پیشنهادی برای یک سیستم واقعی نیز در پژوهش‌های بعدی مدنظر قرار خواهد گرفت.

[1] تاریخ ارسال مقاله: 20/06/1402

تاریخ پذیرش مقاله: 09/03/1403

نام نویسندۀ مسئول: محمد مطهری‌فر

نشانی نویسندۀ مسئول: ایران، اصفهان، دانشگاه اصفهان، دانشکده فنی و مهندسی، گروه برق