• مقدمه[1]

براساس آمارهای موجود، یکی از عوامل اصلی مرگ‌ومیر در دهه‌های اخیر بیماری سرطان بوده است؛ بنابراین، تاکنون مدل‌های ریاضی مختلفی برای دینامیک سرطان و انواع درمان‌های آن ازجمله پرتودرمانی، شیمی‌درمانی و گرمادرمانی پیشنهاد شده است [3-1]. گرمادرمانی یکی از رایج‌ترین روش‌های درمان سرطان است که در آن دمای ناحیه‌ای از بدن که تأثیرگرفته از سرطان است، از طریق عملگرهای خارجی برای رسیدن به دمای مطلوبی در بازه 40 تا 45 درجه سانتی‌گراد افزایش می‌یابد [4]. براساس نتایج تجربی، گرمادرمانی را می‌توان به‌صورت یک درمان منفرد یا مکمل با سایر روش‌های درمانی سرطان (مانند پرتودرمانی و شیمی‌درمانی) برای افزایش اثربخشی آنها استفاده کرد [6 ،5]. انجام همزمان گرمادرمانی و پرتودرمانی با افزایش جریان خون و پرفیوژن[i] سلول‌های هیپنوتیزمی سبب افزایش یک تا پنج برابری اثرگذاری پرتودرمانی در درمان سلول‌های سرطانی می‌شود [2]. به‌طور مشابه، ترکیب گرمادرمانی و شیمی‌درمانی با تسهیل جذب دارو ازطریق غشای سلولی می‌تواند اثرگذاری روش شیمی‌درمانی را بهبود ببخشد [2]. گفتنی است ساختار عروق در تومورهای جامد (برخلاف بافت‌های طبیعی) آشوبناک است که منجر به ایجاد مناطقی با میزان اکسیژن و پی‌هاش[ii] پایین می‌شود. با توجه به عوامل محیطی فوق و براساس مطالعات موجود، سلول‌های سرطانی در مقایسه با سلول‌های طبیعی نسبت به افزایش دما حساس‌تر هستند [4]؛ بنابراین، علت مرگ سلولی در طول گرمادرمانی ترکیبی از تغییر ماهیت پروتئین‌های سلولی و نکروز ناشی از گرما است؛ در حالی که علت مرگ سلولی ناشی از تشعشع، آسیب به دئوکسی‌ریبونوکلئیک اسید[iii] است [7].

روش‌های گرمادرمانی در کاربردهای بالینی بر مبنای گستردگی ناحیه درمان به گرمادرمانی سراسری، منطقه‌ای و موضعی تقسیم می‌شوند [4]. در روش گرمادرمانی سراسری که برای درمان تومورهای گسترش‌یافته در سراسر بدن استفاده می‌شود، کل بدن بیمار به مدت یک ساعت در دمای 42 درجه سانتی‌گراد حفظ [2] و تلفات انرژی در همان زمان به حداقل رسانده می‌شود [4]. رایج‌ترین روش‌ها برای گرمادرمانی سراسری عبارت‌اند از پیچیدن بیمار در پتوهای گرم، گرم‌کردن اتاق بیمار و استفاده از محفظه ویژه مادون قرمز [7]. از گرمادرمانی منطقه‌ای نیز معمولاً برای درمان سرطان در بافت‌های عمیق‌تر یا اندام‌های بزرگ بدن مانند دست و پا، با افزایش دما به 43 درجه سانتی‌گراد به مدت دو ساعت استفاده می‌شود. دمای مورد نیاز را می‌توان با افزایش پرفیوژن اندام‌ها ازطریق مایع گرم‌شده [4]، شستشوی حفره‌های بدن [7] یا ازطریق روش‌های غیرتهاجمی دیگر مانند آرایه‌ای از آنتن‌ها با استفاده از عملگرهای مختلف [2] تأمین کرد. گرمادرمانی موضعی نیز روشی است که عمدتاً برای درمان توده‌های سرطانی در سطح پوست یا منافذ طبیعی بدن استفاده می‌شود. در این روش، دمای تومور تا سطوح بالا طوری افزایش می‌یابد که بافت‌های طبیعی اطراف آن آسیب نبینند [4]. با توجه به محل تومور، از منابع مختلف انرژی خارجی یا داخلی (مانند امواج مایکروویو، اولتراسوند و فرکانس رادیویی) برای رساندن انرژی گرمایی به تومور استفاده می‌شود [2]؛ برای مثال، برای تومورهایی با قطر کمتر از 5 سانتی‌متر، معمولاً عملگرها در داخل تومور قرار می‌گیرند. این در حالی است که در برخی موارد گرمادرمانی به‌طور همزمان با براکی‌تراپی[iv] انجام می‌شود [2]. با توجه به حساسیت سلول‌های زنده به دما، کارایی روش گرمادرمانی تابعی از کنترل دقیق دما است؛ به گونه‌ای که علی‌رغم نابودی سلول‌های سرطانی، بافت‌های سالم پیرامون آنها آسیب نبیند [8 ،5]. شایان ذکر است رابطه بین شار حرارتی اعمال ‌شده و دمای تومور حین گرمادرمانی موضعی را می‌توان با یک تابع تبدیل مرتبه کسری تأخیردار با ضرایبی توصیف کرد که تابعی از خواص حرارتی بافت هستند (جزئیات بیشتر در بخش 2-1 آمده است).

نظر به سهولت، جامعیت و اثربخشی طراحی کنترل‌کننده در حوزه فرکانس براساس حد فاز و فرکانس گذر بهره، روش مذکور برای تحلیل و طراحی سیستم‌های خطی تغییرناپذیر با زمان به‌طور گسترده استفاده می‌شود [10، 9]. در اینگونه سیستم‌ها، حد فاز شاخصی صریح از میرایی (به‌عنوان معیار عملکرد) و پایداری نسبی (به‌عنوان معیار قوام) سیستم است [11]. با توجه به اینکه افزایش شدید دمای تومور سبب آسیب به بافت‌های سالم مجاور می‌شود، دمای تومور حین درمان حتی به‌صورت گذرا نباید به مقادیر بحرانی برسد؛ ازاین‌رو، به‌دلیل وابستگی درصد فراجهش پاسخ پله یک سیستم کنترل به مقدار حد فاز پاسخ فرکانسی آن، تنظیم مقدار حد فاز ضروری است. همچنین فرکانس گذر بهره، به‌عنوان شاخصی از سرعت یک سیستم کنترل، پهنای باند سیستم و زمان صعود پاسخ پله آن را مشخص می‌کند [12]. برای تعیین فرکانس گذر بهره مدنظر، غالباً از رابطه  استفاده می‌شود که  و  به‌ترتیب معرف فرکانس گذر بهره و زمان صعود پاسخ پله سیستم کنترل‌اند [13]؛ بنابراین، با تنظیم مطلوب مقادیر حد فاز و فرکانس گذر بهره، خواسته‌های مربوط به پایداری نسبی، میرایی سیستم، فراجهش پاسخ پله و سرعت پاسخ گذرا را می‌توان برآورده کرد [19-14].

همچنین، اعمال دماهای فوق فیزیولوژیکی[v]، یعنی دماهای بیشتر از 40 درجه سانتی‌گراد به بافت‌های بیولوژیکی حین گرمادرمانی سبب تغییراتی در سطوح مولکولی، سلولی و ساختاری می‌شود. چنین تغییرات بافتی می‌تواند بر خواص حرارتی بافت، شامل هدایت حرارتی، گرمای ویژه و چگالی جرمی آن اثر بگذارد [20]. علاوه بر این، گرمادرمانی موضعی ممکن است به بروز عوارض جانبی نظیر درد، عفونت، لخته‌شدن خون، خون‌ریزی، تورم، تاول، سوختگی و آسیب به پوست، اعصاب و عضلات اطراف ناحیه تحت درمان منجر شود که عاملی برای تغییر پارامترهای مدل فرایند انتقال حرارت است [2].

با توجه به توضیحات بخش 2-1، فرایند انتقال گرما حین درمان توسط یک تابع تبدیل مرتبه کسری با تأخیر زمانی توصیف می‌شود که سه پارامتر آن با تأثیر از شرایط محیطی و فیزیولوژیکی بیمار می‌توانند به‌طور همزمان تغییر کنند؛ بنابراین، کنترل‌کننده مطلوب برای تحقق اهداف طراحی باید در برابر عدم قطعیت در سه پارامتر مدل نیز مقاوم باشد. تاکنون کنترل‌کننده‌های مقاوم متعددی برای تنظیم حد فاز و فرکانس گذر بهره پیشنهاد شده‌اند؛ به گونه‌ای که خواسته‌های فوق علی‌رغم وجود عدم قطعیت تنها در یک پارامتر از تابع تبدیل فرایند، مانند بهره سیستم [21-23، 17، 16،14]، ثابت زمانی [15]، یک صفر یا قطب [18]، تأخیر زمانی [25، 24] یا نامعینی یک پارامتر مستقل [19، 26] تضمین می‌شوند؛ برای مثال، در مقاله [26] با فرض ساده‌سازی که هر سه پارامتر مدل توابع مشخصی تنها از دمای تومور هستند، یک روش تحلیلی برای تنظیم کنترل‌کننده‌های تناسبی - انتگرالی / مشتقی مرتبه کسری ارائه شده است. با توجه به اینکه تمام پارامترهای مدل فرایند انتقال حرارت می‌توانند به‌طور همزمان و مستقل از یکدیگر تغییر یابند، روش‌های ذکرشده برای طراحی کنترل‌کننده‌ها نمی‌توانند قوام مطلوب را برآورده کنند. با توجه به لزوم تنظیم مقاوم مقادیر حد فاز و فرکانس گذر بهره برای سیستم کنترل دما در طول گرمادرمانی موضعی، علی‌رغم وجود عدم قطعیت در خواص حرارتی که بر همه ضرایب مدل سیستم اثرگذار است، در این مقاله یک معیار قوام جدید برای حفظ مقدار حد فاز با وجود عدم قطعیت در ضرایب مدل سیستم پیشنهاد می‌شود.

گفتنی است کنترل‌کننده‌های مرتبه کسری به‌دلیل بهره‌مندی از مزایای حسابان کسری از قابلیت اطمینان، قوام و سازگاری بیشتری در مقایسه با انواع مرتبه صحیح برخوردارند [29-27]. در سال‌های اخیر، کنترل‌کننده‌های تناسبی – انتگرالی - مشتقی مرتبه کسری توجه زیادی را به خود جلب کرده‌اند [32-30، 23]؛ زیرا اینگونه کنترل‌کننده‌ها سیگنال خطا (تفاضل مقادیر واقعی و مطلوب خروجی) را به سه صورت در نظر می‌گیرند: جمله تناسبی خطای فعلی کنترل را ازطریق بهره تناسبی بهبود می‌بخشد. جمله انتگرال کسری، ضمن حذف خطای حالت ماندگار سیستم، با یک حافظه انتخابی (که تابعی از مرتبه انتگرال‌گیر است) به مقادیر گذشته خطا واکنش نشان می‌دهد. جمله مشتق کسری نیز به مقادیر پیش‌بینی‌شده خطا (که تابعی از مرتبه مشتق‌گیر است) وابسته است [32]؛ ازاین‌رو، با توجه به اهمیت تنظیم مقاوم حد فاز مطلوب در فرکانس گذر بهره دلخواه، این مقاله یک روش تحلیلی برای طراحی کنترل‌کننده تناسبی - انتگرالی - مشتقی مرتبه کسری به‌منظور کنترل مقاوم دما در هنگام گرمادرمانی موضعی را ارائه می‌دهد؛ به طوری که اهداف طراحی تأمین و خواسته‌های قوام پیشنهادی تضمین شوند. به‌منظور ارزیابی کارایی کنترل‌کننده مقاوم پیشنهادی نیز نتایج یک شبیه‌سازی با استناد به داده‌های عملی موجود در مقاله [33] ارائه می‌شوند.

ادامه این مقاله به‌صورت زیر سازماندهی شده است. در بخش دوم، مسئله کنترل مقاوم دما حین گرمادرمانی موضعی توده‌های سرطانی براساس یک معیار قوام نوآورانه بیان خواهد شد. به این منظور، تابع تبدیل از شار حرارتی در سطح خارجی عملگر حرارتی به دمای سطح داخلی تومور نیز به‌طور تحلیلی تعیین می‌شود. در بخش سوم، طراحی تحلیلی یک کنترل‌کننده تناسبی - انتگرالی - مشتقی مرتبه کسری برای تنظیم حد فاز و فرکانس گذر بهره سیستم کنترل دما حین گرمادرمانی موضعی توده‌های سرطانی، ضمن تضمین قوام سیستم فوق با وجود نامعینی در تمام پارامترهای مدل آن به‌صورت یک قضیه بیان و اثبات خواهد شد. همچنین، بخش چهارم به اعتبارسنجی دستاوردهای مقاله ازطریق یک شبیه‌سازی عددی کاربردی تخصیص داده می‌شود. نتیجه‌گیری این مقاله نیز در بخش 5 آمده است.

 

2- تعریف مسئله

در این بخش، فرایند انتقال حرارت در طول گرمادرمانی موضعی یک توده سرطانی به‌صورت تحلیلی مدل‌سازی می‌شود. پس از آن، معیار قوام نوآورانه‌ای معرفی می‌شود و مسئله کنترل مقاوم دما در طول فرایند درمانی فوق براساس این معیار تبیین خواهد شد.

 

• مدل‌سازی تحلیلی فرایند انتقال حرارت حین گرمادرمانی موضعی

با توجه به اهمیت و کاربرد روزافزون روش‌های مبتنی بر حرارت برای درمان توده‌‌های سرطانی در علوم بالینی و مهندسی پزشکی، تحلیل حرارتی اجسام بیولوژیکی که توسط منابع خارجی گرم می‌شوند، به‌تازگی توجه بسیاری را به خود جلب کرده است [4]. همان‌گونه که در مقدمه نیز اشاره شد، عملگرهای استفاده‌ شده برای گرمادرمانی موضعی تومورهایی با قطر کمتر از 5 سانتی‌متر در داخل توده سرطانی قرار می‌گیرند [2]. از آنجایی که انتقال حرارت با حرکات نامنظم ذرات از ناحیه‌ای با دمای بالاتر به ناحیه‌ای با دمای پایین‌تر در امتداد بردار گرادیان صورت می‌گیرد، این فرایند را به‌صورت یک پدیده انتشار می‌توان تفسیر کرد [34]؛ ازاین‌رو، برای توصیف این فرایند از ابزارهای ریاضی مبتنی بر تئوری احتمال، نظیر ولگشت زمان پیوسته به‌عنوان تعمیمی از فرایندهای انتشار فیزیکی می‌توان استفاده کرد [35]. همچنین، به‌دلیل برخورداری عملگرهای مرتبه کسری از حافظه طولانی، حسابان مرتبه کسری کاندیدای قدرتمندی برای مدل‌سازی فرایند انتقال حرارت فوق است [37، 36].

 

 

شکل (1): ساختار هندسی عملگر مغناطیسی در تومور سرطانی

 

به‌منظور مدل‌سازی فرایند انتقال حرارت در گرمادرمانی موضعی، مطابق شکل 1، فرض کنید یک عملگر مغناطیسی با شعاع  در داخل یک تومور کروی جامد با شعاع  قرار گرفته است [8]. اگر عملگر مغناطیسی یک شار حرارتی تصادفی بر سطح خارجی خود (به‌طور معادل سطح داخلی تومور) اعمال کند و پدیده انتقال حرارت همسان‌گرد و یک‌طرفه فرض ‌شود، براساس قانون اول پدیده‌شناسی فیک، شار حرارتی ماندگار در هر نقطه از تومور متناسب با گرادیان دمای محلی است؛ بنابراین، اگر  و  به‌ترتیب معرف دما و بردار شار حرارتی در نقطه‌ای با فاصله  از مرکز تومور در لحظه  باشند و همچنین  بیان‌کننده ضریب رسانش حرارتی توده سرطانی باشد، آنگاه [38]:

(1)

 

با توجه به عدم یکنواختی و ناهمگن‌بودن بافت‌های زنده، انتشار انرژی در آنها با سرعت محدود صورت می‌گیرد و حالت ماندگار پس از گذشت یک دوره زمانی به نام زمان استراحت حاصل می‌شود [39، 40]. به‌دلیل محدودیت مذکور در سرعت انتشار، قضیه رسانش حرارتی که پدیده‌های انتشار را در ابعاد ماکروسکوپی توصیف می‌کند، قادر به توصیف رفتار حرارتی - بیولوژیکی فوق با دقت کافی نیست [41]. با توجه به قضیه موج رسانش گرما، بردار شار حرارتی بر گرادیان دما در مقاطع زمانی مختلف مقدم است؛ بنابراین، با تعریف  به‌عنوان زمان استراحت و استفاده از مدل تأخیر دو فازی، قانون اول فیک که در رابطه 1 آمده است، مطابق رابطه 2 اصلاح می‌شود.

(2)

 

همچنین، با توجه به معادله پیوستگی برای فرایند انتقال حرارت، تغییرات دما در هر نقطه از تومور با رابطه 3 به شار حرارتی وابسته است. در این رابطه،  و  به‌ترتیب معرف چگالی جرمی و گرمای ویژه بافت‌اند [38].

(3)

 

با ترکیب روابط 2 و 3، معادله رسانش حرارت حین گرمادرمانی موضعی به‌صورت زیر حاصل می‌شود:

(4)

 

بنابراین، برای توصیف فرایند انتقال حرارت حین گرمادرمانی موضعی بافت سرطانی از معادله‌های 2 و 4 با شرایط اولیه 5 و 6 در بازه  استفاده می‌شود.

(5)
(6)		ثابت

 

با در نظر گرفتن  و  به‌ترتیب به‌عنوان ورودی و خروجی سیستم و محاسبه تبدیل لاپلاس معادلات دیفرانسیل جزئی 2 و 4 با شرایط اولیه 5 و 6، تابع تبدیل سیستم به‌صورت زیر حاصل می‌شود:

(7)

 

به‌منظور ساده‌سازی تابع تبدیل فوق، رفتار جمله غیرخطی آن در فرکانس‌های پایین را می‌توان با بهره ثابت

(8)

 

تقریب زد؛ در حالی که رفتار این بخش از تابع تبدیل در فرکانس‌های بالا مشابه یک انتگرال‌گیر با مرتبه نیم است:

(9)

 

با در نظر گرفتن روابط 7 تا 9، تابع تبدیل از شار حرارتی در سطح خارجی عملگر به دمای سطح داخلی تومور در شکل 1 به‌صورت رابطه 10 توصیف می‌شود.

(10)

 

اگر  معرف سرعت موج حرارتی باشد، پارامترهای ،  و  در رابطه 10 با روابط 11 تا 13 تعریف می­شوند.

(11)
(12)
(13)

مطالعات تجربی گسترده دربارة وابستگی بافت‌های بیولوژیکی به دما نشان داده‌اند رسانش حرارتی، گرمای ویژه و چگالی جرمی بافت‌های بدن انسان به شدت به دما وابسته‌اند [42]؛ ازاین‌رو، با توجه به تغییر دمای بدن بیمار متأثر از عملگر حرارتی و واکنش‌های فیزیولوژیکی بیمار حین گرمادرمانی سلول‌های سرطانی، پارامترهای ،  و  از تابع تبدیل مرتبه کسری فرایند انتقال حرارت در طول درمان به‌طور همزمان تغییر می‌یابند [43]؛ بنابراین، شرط کارایی روش درمانی مذکور کنترل مقاوم دما علی‌رغم تغییر تمامی پارامترهای فوق است.

 

• معرفی معیار قوام نوآورانه

با توجه به لزوم کنترل دقیق دما در گرمادرمانی توده‌های سرطانی ضمن حفاظت از بافت‌های سالم مجاور [8، 5] و وابستگی پارامترهای مدل فرایند انتقال حرارت به عملگر خارجی و واکنش فیزیولوژیکی بیمار [5]، کنترل مقاوم دما حین این درمان ضروری است. براساس نقش حد فاز در تعیین میرایی و پایداری نسبی سیستم و تناسب سرعت پاسخ‌دهی سیستم با فرکانس گذر بهره، هدف کنترلی را می‌توان به‌صورت تنظیم مقاوم حد فاز در فرکانس گذر بهره، با وجود عدم قطعیت در تمام پارامترهای مدل سیستم تعبیر کرد.

همان‌گونه که در مقدمه بیان شد، تاکنون کنترل‌کننده‌های مقاوم متعددی برای تنظیم مقاوم حد فاز و فرکانس گذر بهره سیستم با وجود نامعینی در یک پارامتر از تابع تبدیل فرایند (مانند بهره سیستم [23-21، 17، 16، 14]، ثابت زمانی [15]، یک صفر یا قطب [18]، تأخیر زمانی [25، 24] یا تغییرات یک پارامتر مستقل [26، 19]) ارائه شده‌اند. با توجه به زیربخش قبلی، انتقال حرارت در گرمادرمانی موضعی نوعی فرایند انتشار میکروسکوپی است که توسط تابع تبدیل 10 با سه پارامتر نامعین توصیف می‌شود. به‌دلیل وجود عدم قطعیت در بیش از یک پارامتر از مدل فرایند، روش‌های ذکرشده نمی‌توانند قوام مطلوب را تأمین کنند؛ بنابراین، تضمین قوام سیستم نیازمند معرفی یک معیار قوام جدید است.

به‌منظور تبیین معیار قوام پیشنهادی، یک سیستم کنترل حلقه بسته با فیدبک واحد منفی مشابه شکل 2 را در نظر بگیرید. اگر تابع تبدیل حلقه باز این سیستم تابعی از پارامتر  با مقدار نامی  باشد، آنگاه پاسخ فرکانسی حلقه  در فرکانس گذر بهره  نسبت به نامعینی پارامتر  مقاوم است، اگر بخش حقیقی و موهومی آن در این فرکانس هموار باشند، به‌طور معادل معادله‌های 14 و 15 برآورده شوند.

(14)
(15)

 

با استفاده از معادله 14، می‌توان نوشت:

(16)

 

با جایگذاری تساوی 16 در معادله 15، خواهیم داشت:

(17)

 

بنابراین، چنانچه مدل فرایند و تابع تبدیل حلقه باز سیستم تابعی از بیش از یک پارامتر نامعین باشند، برای حفظ قوام سیستم علی‌رغم وجود نامعینی در تمام پارامترها لازم است معادله 17 متناظر با هریک از پارامترها تضمین شود. شایان ذکر است در حالت خاصی که تنها بهره مدل فرایند نامعین باشد، تضمین خواسته قوام پیشنهادی 17 به‌صورت خاصیت میرایی منفرد^[vi] ساده می‌شود [44].

 

 

شکل (2):. سیستم کنترل دمای حلقه بسته در گرمادرمانی موضعی توده‌های سرطانی

• فرمول‌بندی مسئله کنترل مقاوم دما در گرمادرمانی موضعی

به‌منظور تبیین مسئله کنترل مقاوم دما در گرمادرمانی موضعی تومورهای سرطانی، یک عملگر حرارتی با شعاع  را درون یک تومور سرطانی کروی با شعاع  در نظر بگیرید (شکل 1). اگر ،  و  به‌ترتیب معرف چگالی جرمی، گرمای ویژه و رسانش حرارتی تومور سرطانی باشند، تابع تبدیل از شار حرارتی روی سطح عملگر به دمای سطح داخلی تومور با رابطه 10 توصیف می‌شود که پارامترهای آن با روابط 11 تا 13 تعریف می‌شوند. فرض کنید ،  و  به‌ترتیب معرف مقادیر نامی پارامترهای ،  و  در مدل فرایند 10 باشند. با توجه به مزایای کنترل‌کننده‌های تناسبی - انتگرالی - مشتقی مرتبه کسری، هدف ارائه یک روش تحلیلی برای طراحی ضرایب کنترل‌کننده

(18)

 

که ، به نحوی است که علی‌رغم وجود نامعینی همزمان در پارامترهای ،  و ، کنترل مقاوم دما به کمک تنظیم مقاوم حد فاز مطلوب در فرکانس گذر بهره دلخواه انجام شود. این خواسته معادل تضمین دو خواسته کنترلی زیر است:

خواسته الف: فرایند نامی 10 در حضور کنترل‌کننده طراحی‌شده حد فاز مطلوب  رادیان را در فرکانس گذر بهره دلخواه  رادیان بر ثانیه برآورده کند؛ به‌طور معادل:

(19)

 

خواسته ب: معیارهای قوام زیر که به‌ترتیب با جایگذاری سه تابع تبدیل حلقه باز  ،  و  در معیار قوام پیشنهادی 17 حاصل می­شوند، تضمین شوند:

(20)

 

(21)

 

(22)

 

تذکر: در حالت کلی، برای ارضای پنج خواسته کنترلی مذکور، کنترل‌کننده‌ای حداقل با پنج پارامتر قابل تنظیم نیاز است. براساس پیشینه پژوهش، در نظر گرفتن دو پارامتر قابل تنظیم به‌عنوان مرتبه انتگرال‌گیر و مشتق‌گیر مرتبه کسری در کنتر‌ل‌کننده 18، انعطاف‌پذیری آن را در مقایسه با یک کنترل‌کننده مرتبه صحیح با دو صفر یا قطب مازاد افزایش می‌دهد [45]؛ بنابراین، ساختار پیشنهادی بر قابلیت حل‌پذیری مسئله (تضمین همزمان خواسته‌های فوق) می‌افزاید.

 

• طراحی تحلیلی کنترل‌کننده پیشنهادی

در قضیه زیر یک روش تحلیلی برای طراحی کنترل‌کننده تناسبی - انتگرالی - مشتقی مرتبه کسری 18 به‌منظور تأمین خواسته‌های مسئله‌ تبیین‌شده در بخش قبل ارائه می‌شود.

قضیه 1: مسئله کنترل مقاوم دما در گرمادرمانی موضعی تومورهای سرطانی که در بخش 2-3 تبیین شد را در نظر بگیرید. فرض کنید مقادیر نامی  و  مثبت باشند و مقادیر  ، ،  و  به‌ترتیب مطابق روابط زیر تعریف شوند:

(23)

 

(24)

 

(25)

 

	(26)

 

کنترل‌کننده مرتبه کسری 18 خواسته‌های الف و ب را تضمین می‌کند؛ اگر مرتبه‌های  و  پاسخ‌های دستگاه معادلات 27 و  باشند؛

(27)

 

به طوری که توابع  و  به‌ترتیب با روابط 28 و 29 تعریف می­شوند.

 

(28)

 

(29)

 

در این صورت، سایر پارامترهای کنترل‌کننده مرتبه کسری 18 با استفاده از روابط صریح زیر محاسبه می‌شوند:

(30)

 

(31)

 

(32)

 

اثبات: با جایگذاری پاسخ‌های فرکانسی فرایند انتقال حرارت 10 و کنترل‌کننده 18 در رابطه 19 که معرف تنظیم حد فاز سیستم نامی در فرکانس گذر بهره دلخواه (خواسته الف) است، دو معادله زیر حاصل می‌شوند:

(33)

 

(34)

 

بنا بر صورت قضیه، مقادیر نامی پارامترها و فرکانس گذر بهره مثبت هستند. در این صورت، با حل همزمان معادلات 33 و 34 به‌ازای  و با فرض ، نتیجه‌گیری می‌شود که خواسته الف برای سیستم کنترل نامی مذکور محقق می‌شود؛ اگر پارامترهای  و  برابر روابط 35 و 36 باشند.

(35)

 

(36)

 

با تعریف ضرایب ثابت  و  مطابق روابط 23 و 24، برحسب پارامترهای نامی مدل فرایند و اهداف کنترلی و با انجام محاسبات ساده ریاضی، دو رابطه اخیر به‌ترتیب به‌صورت معادلات 31 و 32 بازنویسی می‌شوند. به بیان دیگر، به‌ازای هر  و ضرایب  و  متناظر حاصل از معادلات فوق، کنترل‌کننده 18 خواسته الف را ارضا می‌کند.

از سوی دیگر، با جایگذاری پاسخ‌های فرکانسی فرایند انتقال حرارت 10 و کنترل‌کننده 18 در معادله 20 که نشان‌دهندة قوام سیستم کنترل علی‌رغم نامعینی در بهره فرایند است و تعریف ضرایب ثابت و مثبت  و  مطابق روابط 25 و 26، معادله زیر حاصل می‌شود:

 

(37)

 

با جایگذاری ضرایب  و  کنترل‌کننده از روابط 31 و 32 در معادله 37، تساوی  حاصل می‌شود که در این رابطه:

 

(38)

و

 

(39)

 

با انجام محاسبات ساده ریاضی، ضریب  مطابق رابطه 30 حاصل می‌شود.

به‌طور مشابه، با جایگذاری پاسخ‌های فرکانسی فرایند انتقال حرارت 10 و کنترل‌کننده 18 در معادلات 21 و 22 که به‌ترتیب تضمین‌کننده قوام سیستم با وجود نامعینی در ثابت زمانی و تأخیر فرایند هستند و تعریف ضرایب ، ،  و  مطابق روابط 23 تا 26 و با در نظر گرفتن فرض  معادلات 40 و 41 حاصل خواهند شد.

 

(40)

 

(41)

 

با جایگذاری ضرایب ،  و  از روابط 30 تا 32 در معادلات 40 و 41 و انجام محاسبات ساده ریاضی، دستگاه معادلات 27 حاصل می‌شود که  و  به‌ترتیب مطابق روابط 28 و 29 خواهند بود.

به‌منظور تبیین اهمیت و نوآوری مقاله، در جدول 1 روش طراحی تحلیلی پیشنهادی با تعدادی از معروف‌ترین روش‌های طراحی کنترل‌کننده مقاوم در حوزه فرکانس که تاکنون ارائه شده‌اند، مقایسه شده است. معیار مقایسه در این جدول پارامترهایی از مدل فرایند است که قوام سیستم کنترل علی‌رغم نامعینی در آ‌نها تضمین می‌شود. با توجه به جدول فوق، کنترل‌کننده مقاوم طراحی‌شده در این مقاله تنها کنترل‌کننده‌ای است که قوام سیستم را در برابر عدم قطعیت همزمان در سه پارامتر مستقل مدل، یعنی بهره dc، ثابت زمانی و تأخیر زمانی تضمین می‌کند؛ بنابراین، روش طراحی ارائه‌شده مقاوم‌ترین روش طراحی تحلیلی کنترل‌کننده در مقایسه با سایر روش‌های طراحی در حوزه فرکانس است.

 

 

 

جدول (1): مقایسه روش تحلیلی پیشنهادی و روش‌های مرتبط طراحی کنترل‌کننده، بر مبنای پارامترهای مدل که قوام سیستم کنترل با وجود نامعینی آنها تضمین می‌شود.

تعداد پارامتر حفظ قوام	حفظ قوام سیستم علی‌رغم نامعینی در					روش طراحی کنترل‌کننده
	بهره dc	ثابت زمانی	تأخیر زمانی		پارامتر مستقل
1						[14]
1						[15]
1						[16]
1						[17]
1						[18]
1						[19]
1						[21]
1						[22]
1						[23]
1						[24]
1						[25]
1						[26]
3						این مقاله

 

• شبیه‌سازی مسئله کنترل مقاوم دما در گرمادرمانی موضعی یک توده سرطانی

براساس بخش دوم این مقاله، فرایند انتقال حرارت حین گرمادرمانی موضعی تومورهای سرطانی با استفاده از تابع تبدیل مرتبه کسری تأخیردار 10 توصیف می‌شود؛ که پارامترهای ،  و  مدل فوق تابعی از دما و سایر شرایط فیزیولوژیکی بدن بیمار هستند. به‌منظور صحت‌سنجی دستاوردهای این پژوهش، تومور کوچکی با شعاع 1 سانتی‌متر مشابه شکل 1 را در نظر بگیرید که یک عملگر مغناطیسی با شعاع 15/3 میلی‌متر درون آن قرار گرفته است [8]. بر مبنای نتایج بالینی ارائه‌شده در [33]، چگالی جرمی، گرمای ویژه و رسانش حرارتی توده سرطانی فوق در دمای نامی 37 درجه سانتی‌گراد به‌ترتیب عبارت‌اند از 1660 کیلوگرم بر متر مکعب، 3720 ژول بر کیلوگرم سانتی‌گراد و 788/0 وات بر متر سانتی‌گراد؛ بنابراین، پارامترهای نامی مدل 10 به کمک روابط 11 تا 13 برابر ،  و  حاصل می‌شوند.

از آنجایی که دمای پیرامون بر سلول‌های زنده تأثیر چشمگیری دارد، کارایی روش گرمادرمانی موضعی بر کنترل دقیق دما استوار است؛ به طوری که علی‌رغم تخریب تومور سرطانی، بافت‌های سالم پیرامون آن دچار آسیب نشوند [5]. شایان ذکر است حضور عملگر حرارتی در تومور حین گرمادرمانی موضعی و آثار جانبی حفظ بافت‌های بیولوژیکی در دماهای فوق فیزیولوژیکی در طول درمان با تأثیر بر خواص حرارتی بافت تومور، پارامترهای مدل فرایند انتشار 10 را تغییر می‌دهد [20]؛ بنابراین، کنترل مقاوم دمای تومور به کمک روش پیشنهادی ضروری است [5].

همان‌گونه که پیش از این نیز اشاره شد، ارزیابی پایداری نسبی، پاسخ گذرا و سرعت سیستم کنترل مذکور به کمک تنظیم مقاوم حد فاز و فرکانس گذر بهره با استفاده از معیارهای قوام پیشنهادی 20 تا 22 امکان‌پذیر است. علاوه بر این، افزایش ناگهانی دمای تومور سبب آسیب به بافت‌های سالم اطراف می‌شود؛ بنابراین، دمای گذرای تومور در طول درمان نباید از مقادیر مجاز فراتر رود. به این منظور، حد فاز سیستم در محدوده 90 تا 180 درجه انتخاب می‌شود. همچنین، به‌دلیل تناسب سرعت پاسخ‌دهی سیستم با فرکانس گذر بهره آن، فرکانس گذر بهره مطلوب معمولاً به‌صورت ضریبی از فرکانس گذر بهره فرایند انتشار، یعنی 3671/12 رادیان بر ثانیه انتخاب می‌شود. در حالتی که حد فاز مطلوب برابر 150 درجه و فرکانس گذر بهره نامی نیز 2 یا 4 برابر فرکانس گذر بهره فرایند انتقال حرارت انتخاب شوند، پارامترهای کنترل‌کننده تناسبی - انتگرالی - مشتقی مرتبه کسری پیشنهادی با استفاده از قضیه 1 در جدول 2 محاسبه شده‌اند.

 

جدول(2): ضرایب کنترل‌کنندة 18 پیشنهادی برای کنترل مقاوم دما در گرمادرمانی موضعی تومورهای سرطانی

8597/2	2047/2	1155/4-	0808/0	0913/0	25
4925/5	8092/4	0762/9-	0679/0	0755/0	50

 

در گام نخست، برای بررسی اثر فرکانس گذر بهره در روش درمانی مذکور، پاسخ‌های پله‌ سیستم‌های کنترلی حلقه بسته نامی متناظر با کنترل‌کننده‌های جدول 2 در شکل 3 ترسیم شده‌اند. در این شبیه‌سازی، دمای بدن بیمار و تومور حین گرمادرمانی به‌ترتیب برابر 37 و 43 درجه سانتی‌گراد در نظر گرفته شده است. با توجه به شکل 3، افزایش فرکانس گذر بهره از 25 به 50 رادیان بر ثانیه زمان نشست پاسخ را کاهش و سرعت پاسخ‌دهی سیستم را افزایش می‌دهد.

 

 

شکل (3): پاسخ زمانی سیستم‌های کنترل دما متناظر با جدول 2 در حالت نامی (با در نظر گرفتن دمای هدف 43 درجه سانتی‌گراد در گرمادرمانی موضعی تومور سرطانی)

 

به‌منظور ارزیابی قوام کنترل‌کننده پیشنهادی علی‌رغم نامعینی همزمان در پارامترهای فرایند انتقال حرارت 10، پاسخ فرکانسی و پاسخ زمانی سیستم کنترلی پیشنهادی متناظر با سطر دوم از جدول 2 به‌ترتیب در شکل‌های 4 و 5 به‌ازای حالت نامی و هشت حالت غیرنامی رسم شده‌اند: فرایند نامی: ،  و ، فرایند غیرنامی اول: ،  و ، فرایند غیرنامی دوم: ،  و ، فرایند غیرنامی سوم: ،  و ، فرایند غیرنامی چهارم: ،  و ، فرایند غیرنامی پنجم: ،  و ، فرایند غیرنامی ششم: ،  و ، فرایند غیرنامی هفتم: ،  و  و فرایند غیرنامی هشتم: ،  و . گفتنی است در شبیه‌سازی فوق نیز دمای هدف در روش گرمادرمانی برابر 43 درجه سانتی‌گراد در نظر گرفته شده است.

با توجه به شکل 4، پاسخ فرکانسی سیستم کنترل نامی هموار است و حد فاز مطلوب 150 درجه در فرکانس گذر بهره انتخابی 50 رادیان بر ثانیه تأمین شده است. همچنین پاسخ‌های فرکانسی در تمام حالت‌های غیرنامی دارای حد فاز مطلوب فوق هستند که معرف حصول قوام پیشنهادی است. علاوه بر این، پاسخ‌های زمانی شکل 5 نشان‌دهنده ثابت‌ماندن مقدار فراجهش پاسخ سیستم کنترلی و به‌طور معادل قوام حد فاز سیستم علی‌رغم تغییرات 25 درصدی در پارامترهای مدل فرایند هستند. براساس نتایج فوق، طراحی تحلیلی کنترل‌کننده تناسبی - انتگرالی - مشتقی مرتبه کسری بر مبنای معیارهای قوام پیشنهادی به کنترل مقاوم دما حین گرمادرمانی موضعی تومور سرطانی علی‌رغم تغییرات گسترده در پارامترهای مدل فرایند از مقادیر نامی آنها منجر شده است.

 

 

شکل(4): پاسخ فرکانسی سیستم کنترل دمای پیشنهادی متناظر با سطر دوم از جدول 2 در گرمادرمانی موضعی تومور سرطانی در حالت نامی و حالت‌های غیرنامی

 

شکل (5): پاسخ زمانی سیستم کنترل دمای پیشنهادی متناظر با سطر دوم از جدول 2 در گرمادرمانی موضعی تومور سرطانی در حالت نامی و حالت‌های غیرنامی

 

5- نتیجه‌گیری

گرمادرمانی موضعی که معمولاً با استفاده از عملگرهای مغناطیسی انجام می‌شود، روشی درمانی برای افزایش دمای تومور به‌منظور از بین بردن توده‌های سرطانی سطحی ضمن محافظت از بافت‌های سالم پیرامون آن است. به‌دلیل حرکت نامنظم ذرات در فرایند انتقال حرارت حین درمان و عدم همگنی بافت‌های زنده، رابطه بین دمای تومور و شار حرارتی اعمال‌شده با استفاده از تابع تبدیل مرتبه کسری و تأخیردار 10 توصیف می‌شود. از آنجا که وجود عملگر خارجی، آثار فیزیولوژیکی درمان بر بدن بیمار و سایر عوامل محیطی، بر مقدار پارامترهای مدل فرایند اثرگذار هستند، کنترل مقاوم دما حین درمان الزامی است؛ ازاین‌رو، معیارهای قوام نوآورانه 20 تا 22 برای حفظ حد فاز سیستم علی‌رغم عدم قطعیت در سه پارامتر فرایند انتقال حرارت در این مقاله ارائه شده‌اند. علاوه بر این، با توجه به مزایای متعدد کنترل‌کننده‌های تناسبی - انتگرالی - مشتقی مرتبه کسری و بر مبنای معیارهای قوام پیشنهادی، در قضیه 1 روشی تحلیلی و صریح برای طراحی ضرایب کنترل‌کننده فوق به‌منظور تنظیم مقاوم حد فاز و فرکانس گذر بهره علی‌رغم وجود نامعینی در تمام پارامترهای مدل فرایند ارائه شده است. به‌منظور اعتبارسنجی دستاوردهای مقاله، مسئله کنترل مقاوم دما حین گرمادرمانی موضعی مغناطیسی یک تومور سرطانی با استفاده از پارامترهای بالینی موجود در [33] در نرم‌افزار متلب شبیه‌سازی و نتایج ارائه شدند.

 

تاریخ ارسال مقاله: 15/05/1401

تاریخ پذیرش مقاله: 18/10/1401

نام نویسندۀ مسئول: نگین سیاف

نشانی نویسندۀ مسئول: ایران، اصفهان، دانشگاه اصفهان، دانشکده فنی و مهندسی، گروه مهندسی برق

 

[i] Perfusion

[ii] PH

[iii] DNA

[iv] Brachytherapy

[v] Supraphysiological

[vi] Iso-damping

 

تعداد مشاهده مقاله: 37

تعداد دریافت فایل اصل مقاله: 23