ارزیابی درک دانش‌آموزان دختر و پسر پایه دهم رشته ریاضی و فیزیک از شکل‌های هندسی بر اساس نظریه دووال

بسیاری از مفاهیم و روابط موجود در هندسه در فضای سه‎بُعدی پیرامون ما دیده می‌شود و این ویژگی «ملموس‌بودن»، در روابط و مفاهیم موجود در هندسۀ مدرسه‌ای، پررنگ‌تر است (اگسگارد^[1]، 1970). با وجود این، بسیاری از دانش‌آموزان معتقدند که این شاخه از ریاضیات نه‌تنها آسان نیست، آنها را دچار چالش و سردرگمی می‌کند و فرایند یادگیری هندسه برای آنها با مشکلات متعددی همراه است (برگر و شاوسی[2]، 1986؛ صفابخش، 1394؛ ریحانی و همکاران، 1391؛ آدولفس[3]، 2011؛ کارپوز و آتاسوی[4]، 2019؛ باروت و رتاواتی[5]، 2020).

دشواری هندسه علت‌های متعددی برای دانش‌آموزان دارد. درواقع، عوامل بسیاری در پیدایش آن نقش دارند. برای شناسایی این عوامل و بهبود یادگیری هندسه، لازم است تا چارچوب‌های یاددهی و یادگیری آن مطالعه شود. دووال[6] (1998) یکی از پژوهشگرانی است که در زمینۀ تدریس و یادگیری هندسه، چارچوبی ارائه کرده است. او یادگیری هندسه را مرتبط با سه فرایند شناختی می‌داند که عبارت است از تجسم^[7]، ساخت^[8] و استدلال^[9]. تجسم به معنای ایجاد بازنمایی ملموس از گزاره‌ای هندسی یا تلاش برای کشف راه‌حل در موقعیتی هندسی، ساخت به معنای ترسیم شکل‌های هندسی با استفاده از ابزارهای مخصوص و استدلال به معنای توضیح و اثبات به‌منظور گسترش دانش در یک زمینه است. دووال معتقد است که این سه فرایند شناختی به یکدیگر مرتبط هستند و هماهنگی میان آنها برای کسب مهارت در هندسه ضروری است. طبق گفتۀ وی مسئلۀ اصلی آن است که چطور دانش‌آموزان متوجه ارتباط بین این سه فرایند شوند و نه‌تنها تک تک این فرایندها، تعامل آنها نیز در فرایند تدریس موردتوجه قرار داده شود (دووال، 1998). بر پایۀ این فرایندها، وی نظریۀ درک شکل‌های هندسی را ارائه کرده است. علت تمرکز دووال بر شکل‌های هندسی از آن جهت است که طبق پژوهش‌های انجام‌شده یکی از بزرگ‌ترین مشکلات دانش‌آموزان در زمینۀ هندسه، ارتباط با مسائلی است که نیازمند به‌کارگیری شکل‌های هندسی هستند (فیش‌باین[10]، 1993). استفاده از این شکل‌ها نیازمند توانایی‌های گوناگونی است؛ برای مثال، گاهی در حل مسائل لازم است که یک شکل هندسی رسم شود. گاهی شکل در صورت مسئله داده شده است و باید پس از تشخیص اجزایی که در آن مشاهده می‌شود، تغییراتی ایجاد شود تا به راه‌حل صحیح مسئله دست یافت. گاهی نیاز است، براساس داده‌های قابل‌مشاهده در شکل و ارتباط بین آنها، استدلال و نتیجه‌گیری‌هایی صورت گیرد. هر یک از این توانایی‌ها برای یادگیری هندسه و حل مسائل آن ضروری است و باید در دانش‌آموزان تقویت شود (دووال، 1995).

 در نظریۀ درک شکل‌های هندسی، یادگیری هندسه و ارتباط با شکل‌ها مستلزم چهار نوع درک[11] است و در فرایند یاددهی و یادگیری هندسه لازم است، به همۀ این ابعاد توجه شود (گاجتسیس^[12] و همکاران، 2015؛ دلیانی[13] و همکاران، 2010؛ دووال، 1999). این نظریه به این دلیل که با ارائۀ یک چارچوب، تمرکز ویژه‌ای بر شکل‌های هندسی دارد و پژوهش‌ها نیز نشان‌دهندۀ آن است که پرورش ابعاد ارائه‌شده در آن موجب بهبود یادگیری هندسه می‌شود (دلیانی و همکاران، 2010) و خلاقیت را بالا می‌برد (گریدوس^[14] و همکاران، 2021)، توجه پژوهشگران را به خود جلب کرده است.

مسکیتا[15] (1996) شکل هندسی را بازنمایی ظاهری یک مفهوم یا موقعیت در هندسه تعریف می‌کند؛ همچنین فیش ‌باین (1993) شکل‌های هندسی را «مفاهیم شکلی» می‌نامد و این نام‌گذاری به دلیل ماهیت دوگانۀ آنهاست. درواقع، هر شکل هندسی علاوه بر اینکه یک تصویر است، با یک تعریف نیز توصیف می‌شود. دووال (1995) معتقد است که اهمیت شکل‌های هندسی در تجزیه‌و‌تحلیل مسائل هندسی انکارناپذیر است؛ زیرا نمایشی شهودی از مؤلفه‌ها و روابط موقعیتی هندسی ارائه می‌کند. اگرچه یک شکل هندسی نشان‌دهندۀ اطلاعات زیادی است، دانش‌آموزان همۀ آنها را تشخیص نمی‌دهند (دووال، 1998).

طی چهار دهۀ گذشته پژوهشگران متعددی بر روی درک هندسی دانش‌آموزان پژوهش کرده‌ که برای این کار از چارچوب‌های نظری مختلف کمک گرفته‌اند؛ برای مثال، فن هیلی[16] (1986) مدلی را برای سطوح تفکر هندسی طراحی کرد. فیش باین (1993) نظریۀ مفاهیم شکلی را ارائه داد و دووال (1995) چهار نوع درک برای ارتباط با شکل‌های هندسی تعیین کرد که عبارت است از: درک‌های ادراکی[17]، مرحله‌ای[18]، استدلالی[19] و عملیاتی[20]. هر یک از این درک‌ها، ویژگی و سازمان‌دهی مختص به خود را دارند که در ادامه، شرح داده می‌شوند.

الف) درک ادراکی: در نگاه اول به یک تصویر، آنچه تشخیص داده می‌شود، یک شکل یا بازنمایی از شی‌ء در صفحه یا فضاست. علاوه بر تشخیص شکل، نام آنچه تشخیص داده شده است، بیان می‌شود؛ به‌طور مثال، گفته می‌شود که این یک نقطه است. علاوه بر این، در یک شکل، چندین زیرشکل[21] تشخیص داده شد که ممکن است مرتبط با روند ساخت شکل اصلی نباشد. درواقع، تعداد اجزا و زیرشکل‌های یک شکل هندسی اغلب بیشتر از تعداد اجزا و زیرشکل_‌هایی است که در روند ساخت آن استفاده می‌شود. به‌طور کلی تشخیص نام شکل‌های هندسی و همچنین توانایی یافتن زیرشکل‌های آنها، نیازمند درک ادراکی است (دووال، 1995)؛ برای مثال، در نگاه اول به هر یک از شکل‌های الف، ب و پ در شکل (1)، زیرشکل‌هایی مشاهده می‌شود که در زیر هرکدام توضیح داده شده است.

شکل 1:  اولین مشاهدات از چند شکل هندسی (مایکل[22]، 2013)

به‌طور کلی مسائلی که درک ادراکی را می‌سنجند، به دو دسته تقسیم می‌شوند (دلیانی و همکاران، 2010):

1- مسائلی که نیاز به توانایی ادراکی دارند و فرد به کمک این توانایی نام شکل‌های هندسی را بیان می‌کند.

2-‌مسائلی که نیاز به توانایی بازشناختی دارند و فرد به کمک این توانایی زیرشکل‌ها را در شکلی اصلی تشخیص می‌دهد.

با توجه به مسئلۀ داده‌شده و هدف آن، گاهی لازم است، از یک یا هر دو این توانایی‌ها استفاده کرد.

ب) درک مرحله‌ای: این درک زمانی لازم است که باید یک شکل را رسم یا روند ترسیم آن را توصیف کرد. به نظر می‌رسد، علت نام‌گذاری این درک آن است که در ظاهرشدن اجزای شکل، ترتیب و اولویت خاصی وجود دارد. این سازمان‌دهی و ظاهرشدن اجزای اولیۀ شکل، به عواملی وابسته است؛ برای مثال، کارکردن و ترسیم با هر یک از ابزارهای خط‌کش، پرگار، نرم‌افزارها و غیره اصولی دارد. به‌طور کلی، تنها زمانی می‌توان موفق به رسم دقیق یک شکل هندسی شد که ابزارهای مناسب را به‌درستی و با توجه به تعریف و خصوصیات آن به کار برد؛ برای مثال، در رسم یک دایره به کمک پرگار، نیاز به نقطه‌ای به‌عنوان مرکز است تا بتوان دایره را رسم کرد؛ همچنین ویژگی بارز یک دایره، آن است که شعاع ثابتی دارد. پس باید پرگار را به‌اندازۀ مشخصی باز کرد که همان شعاع دایره است؛ بنابراین با هماهنگ‌کردن این دو ویژگی، شکل دایره به‌درستی رسم می‌شود (دووال، 1995).

در فرایند یاددهی هندسه و حل تکالیفی که نیازمند ترسیم یک شکل هندسی هستند، اغلب توجه کمی به انتخاب ابزار مناسب شده است. در صورتی که مهم‌ترین نکته در حل چنین مسائلی انتخاب ابزار مناسب است. ابزارهایی که برای ترسیم استفاده می‌شوند، نوع نگاه دانش‌آموزان را به شکل‌های هندسی کنترل می‌کنند. درواقع، مجموعه‌ای از فعالیت‌ها برای رسم شکل‌ها که به کمک ابزارهای مختلفی انجام می‌شوند، نگرش دانش‌آموزان را نسبت‌به شکل‌های هندسی تغییر می‌دهند (دووال و گودین[23]، 2005، نقل‌شده در مایکل، 2013). در شکل (2) نمونه‌ای از مسائلی مشاهده می‌شود که حل آنها نیازمند درک مرحله‌ای است.

شکل 2: نمونه‌ای از مسائل نیازمند درک مرحله‌ای (مایکل، 2013)

در این مسئله، دانش‌آموز باید به کمک ابزارهای ترسیم، آنچه را در صورت مسئله خواسته شده است، رسم کند و دربارۀ مراحل رسم خود توضیح دهد. گام‌هایی که دانش‌آموز در ترسیم خود طی می‌کند و نحوۀ به‌کارگیری ابزارها حائز اهمیت هستند.

پ) درک استدلالی: ویژگی‌های ریاضی ارائه‌شده در یک شکل تنها از طریق درک ادراکی نمایان نمی‌شوند. درواقع، ابتدا، باید دربارۀ بعضی از آنها به کمک نام‌گذاری‌ها و فرضیه‌ها بحث و بعضی دیگر با توجه به داده‌های مسئله نتیجه شود؛ برای مثال، فرض کنید، دو خط که موازی به نظر می‌رسند، روی تختۀ کلاس رسم شود. بعضی از دانش‌آموزان ادعا می‌کنند که این دو خط به‌طور تقریبی موازی هستند. درواقع، این استدلال براساس اولین مشاهدات از یک شکل و نشانه‌های ظاهری آن است؛ اما هیچ‌گاه گفته نمی‌شود که یک ویژگی ریاضی در یک شکل دیده می‌شود. در هر بازنمایی هندسی، شناخت ادراکی از ویژگی‌های شکل باید تحت کنترل گزاره‌های ریاضی باشد. گاهی بین آن چیزی که یک شکل نشان‌دهندۀ آن است و چیزی که قصد دارد، ارائه کند، شکاف بزرگی وجود دارد. درواقع، آن چیزی که یک شکل نشان می‌دهد، چیزی است که بدون تجزیه‌و‌تحلیل آگاهانه در شکل دیده می‌شود؛ اما آنچه شکل ارائه می‌کند با بحث پیرامون نام‌گذاری‌ها، تعاریف، دستورالعمل‌های اولیه و غیره تعیین می‌شود (دووال، 1995). یک ترسیم بدون نام‌گذاری یا فرضیه، تنها یک بازنمایی مبهم است. به‌طوری که همۀ افراد برداشت یکسانی از یک شکل هندسی ندارند. مسائلی که درک استدلالی را می‌سنجند، به دو دسته تقسیم می‌شوند (دلیانی و همکاران، 2010):

• مسائلی که نیازمند اثبات به کمک تعاریف هستند.
• مسائلی که نیازمند اثبات به کمک رویه‌ها[24] هستند.

برای مثال، مسئلۀ ارائه‌شده در شکل (3) برای سنجش درک استدلالی استفاده می‌شود.

شکل 3: نمونه‌ای از مسائل نیازمند درک استدلالی (مایکل، 2013)

پ) درک عملیاتی: از طریق این درک بینشی برای حل مسئله‌ای هندسی پیدا می‌شود. درواقع، این درک وابسته به عملیات و روش‌های مختلف تغییر و تعدیل یک شکل هندسی است و به‌طور کلی این عملیات به سه صورت انجام می‌شود. اولین روش زمانی استفاده می‌شود که در حل یک مسئله، لازم است، شکل را به اجزای مختلفی تقسیم کرد. گاهی نیز لازم است که فراتر رفت و همه یا بعضی از این اجزا را ترکیب کرد تا شکل یا زیرشکل‌های دیگری ساخته شوند (دووال، 1995؛ دووال، 1988، نقل‌شده در مایکل، 2013)؛ برای مثال، برای حل مسئلۀ ارائه‌شده در شکل (4) باید از این روش استفاده کرد.

شکل 4: نمونه‌ای از مسائل نیازمند درک عملیاتی (گاجتسیس و همکاران، 2010)

در این روش، شناخته‌شده‌ترین عملیات آن است که شکل به اجزای مختلفی تقسیم و با استفاده از آن اجزا، شکل دیگری ساخته شود که آن را پیکربندی مجدد[25] می‌نامند؛ برای مثال، یک متوازی‌الاضلاع این قابلیت را دارد که به مستطیلی تبدیل یا به‌صورت ترکیب چند مثلث ظاهر شود. در شکل (5) نمونه‌ای از کاربرد این عملیات مشاهده می‌شود (دووال، 1999).

شکل 5: نمونه‌ای از عملیات‌های مورداستفاده در درک عملیاتی (دووال، 1999)

عملیات دیگری که در این روش استفاده می‌شود، برعکس عملیات استفاده‌شده در شکل (5) است؛ برای مثال، یک مثلث قسمتی از یک متوازی‌الاضلاع فرض و به این صورت بخش‌های جدیدی به شکل اولیه اضافه می‌شود (دووال، 1988، نقل شده در مایکل، 2013). در حل مسائلی که نیازمند درک عملیاتی هستند، گاهی لازم است تا شکلی هندسی در ذهن خود بزرگ یا کوچک شود؛ یعنی باید اندازۀ اضلاع یک شکل هندسی تغییر داده شود تا یافتن پاسخ آسان‌تر شود. گاهی نیز حل مسئلۀ مدنظر، نیازمند تغییر مکان یا جهت شکل در صفحه است (دووال، 1995).

تغییراتی که در شکل‌های هندسی ایجاد می‌شوند، به‌صورت ذهنی یا فیزیکی و از طریق عملیات‌های مختلفی صورت می‌گیرند. این عملیات‌ها فرایندی را در پی خواهند داشت که به شکل‌های هندسی یک ماهیت اکتشافی و رهیافتی می‌دهند. در مسئله‌ای هندسی، یک یا چند مورد از این عملیات‌ها موجب تغییراتی در شکل اصلی می‌شوند که یا نشان‌دهندۀ راه‌حل مسئله هستند یا ما را در یافتن مراحل اصلی حل یا اثبات راهنمایی می‌کنند و به این طریق است که شکلی هندسی بینشی دربارۀ راه‌حل مسئله به ما ارائه می‌دهد (دووال، 1995).

با توجه به اهمیت درک‌های ارائه‌شده در این نظریه، لازم است تا در فرایند تدریس و یادگیری هندسۀ آنها را موردتوجه قرار داد و برای تقویت هر یک از آنها برنامه‌ریزی کرد. از میان این چهار بٌعد از درک شکل‌های هندسی، دووال اهمیت ویژه‌ای برای درک عملیاتی قائل است. او معتقد است که این درک، ارتباط مستقیمی با تجسم دارد و درک هندسۀ مدرسه‌ای بدون تجسم غیرممکن است؛ بنابراین در آموزش هندسه باید بر تقویت این بُعد تأکید کرد؛ زیرا تقویت آن، توانایی ایجاد تغییرات مناسب در شکل‌ها و همچنین قدرت تجسم دانش‌آموزان را زیاد خواهد کرد (گاجتسیس و همکاران، 2015؛ دلیانی و همکاران، 2010)؛ همچنین، پژوهش‌ها نشان‌دهندۀ آن است که به‌جز درک ادراکی، سایر ابعاد درک شکل‌های هندسی به‌ویژه درک عملیاتی در بروز مؤلفه‌های خلاقیت ریاضی دانش‌آموزان تأثیر می‌گذارد و در ارتقا و پرورش خلاقیت دانش‌آموزان سودمند است (گریدوس و همکاران، 2019؛ گریدوس و همکاران، 2021؛ گاجتسیس و همکاران، 2022). مایکل (2013) در پژوهش خود ارتباط بین ابعاد درک شکل‌های هندسی را بررسی کرد. نتایج پژوهش وی نشان‌دهندۀ آن است که ارتباطی قوی بین درک‌های عملیاتی و استدلالی وجود دارد. این مطلب اهمیت تجسم را در استدلال‌های هندسی آشکار می‌کند. بین درک‌های استدلالی و مرحله‌ای نیز ارتباط محکمی برقرار است. درواقع، هر ترسیم هندسی براساس یک یا چند استدلال صورت می‌گیرد؛ همچنین نقش درک ادراکی در فراخوانی درک‌های استدلالی و عملیاتی انکارناپذیر است. درک عملیاتی نیز مستقل از سایر درک‌ها نیست و در بسیاری از مواقع، فقدان درک‌های استدلالی و ادراکی در حل مسائل، چگونگی به‌کارگیری درک عملیاتی را با مشکل مواجه می‌کند. درواقع، در صورتی که فردی درک ادراکی یا استدلالی مقبولی نداشته باشد، ایدۀ ایجاد تغییرات مناسب در شکل‌های هندسی به ذهنش خطور نخواهد کرد. برای تقویت هر یک از این درک‌ها لازم است تا آموزش جداگانه و مخصوصی طراحی شود؛ برای مثال، کارکردن با نرم‌افزارهای هندسی در تقویت درک‌های مرحله‌ای و عملیاتی نقش بسزایی دارد. دووال معتقد است که این درک‌ها با وجود تفاوت‌های متعدد، به یکدیگر وابسته هستند؛ بنابراین در آموزش هندسه نباید هیچ‌یک از آنها نادیده گرفته شوند. درواقع، حل هر مسئلۀ هندسی، نیاز به درک مختص به خود دارد؛ به همین دلیل دووال معتقد است که نگاهی ریاضی‌وار به شکل‌های هندسی تنها از طریق ایجاد هماهنگی و ارتباط بین چهار بٌعد مدنظر، طی یک مدت‌زمانی طولانی حاصل می‌شود (دووال، 1995).

پژوهش‌های متعددی براساس نظریۀ درک شکل‌های هندسی انجام شده است؛ برای مثال، مایکل (2013) در پژوهش خود ابعاد درک شکل‌های هندسی را براساس درجۀ سختی آنها برای دانش‌آموزان طبقه‌بندی کرده است. نتایج پژوهش وی نشان‌دهندۀ آن است که دشوارترین مسائل برای دانش‌آموزان، نیازمند درک مرحله‌ای و بعضی نیازمند درک استدلالی هستند که حل آنها مستلزم تشخیص روش اثبات است و دانش‌آموزانی که به این نوع مسائل پاسخ درست می‌دهند، مهارت هندسی زیادی دارند. در رتبۀ دوم، مسائل مرتبط با درک‌های ادراکی و عملیاتی و بعضی از مسائل نیازمند درک استدلالی قرار دارند. مایکل ارتباط میان ابعاد مختلف درک را بررسی کرد و نتایج پژوهش او حاکی از آن است که بین دو به دو این ابعاد، ارتباط وجود دارد. راماتلاپانا و برگر[26] (2018) در پژوهش خود درک ادراکی و استدلالی دانشجومعلمان را از طریق یک آزمون بررسی کردند. در ارزیابی پاسخ‌ها، مفاهیم درک ادراکی و استدلالی برای تفسیر عملکرد شرکت‌کنندگان استفاده شده‌ است. نتایج این پژوهش نشان‌دهندۀ آن است که بسیاری از دانشجومعلمان در ارتباط‌دادن بین دو فرایند تجسم و استدلال با مشکل مواجه هستند و درک ادراکی و استدلالی ضعیف آنها گواهی بر این مدعاست. این مشکلات تنها مختص معلمان نیست و دانش‌آموزان نیز با چنین مسائلی دست‌وپنجه نرم می‌کنند. کارپوز و آتاسوی[27] (2019) در پژوهش خود، با استفاده از یک آزمون، درک دانش‌آموزان پایۀ نهم را از شکل‌های هندسی ارزیابی کردند. نتایج پژوهش آنها نشان‌دهندۀ این است که سطح درک‌های ادراکی، استدلالی و عملیاتی بیش از نیمی از دانش‌آموزان شرکت‌کننده در پژوهش در حد موردانتظار دبیرستان نیست و بیشتر دانش‌آموزان در تشخیص زیرشکل‌های یک شکل هندسی، استدلال و نتیجه‌گیری براساس داده‌های مسئله، استدلال بدون توجه به ظاهر شکل و در دست‌ورزی و تغییر شکل‌های هندسی برای رسیدن به پاسخ مسئله با مشکل مواجه هستند.

به‌طور کلی، نظریۀ درک شکل‌های هندسی از آن نظر که به‌کارگیری شکل‌ها را در حل مسائل هندسی به‌صورت ویژه‌ای مورد تمرکز قرار داده، توجه پژوهشگران متعددی را به خود جلب کرده است. از طرفی، برخی از مفاهیم معرفی‌شده در این نظریه مانند درک عملیاتی در دیگر پژوهش‌های هندسی موجود مشاهده نشده است یا پژوهشگران مقالۀ حاضر در یافتن آن موفق نبوده‌اند. علاوه بر این، از آنجایی که هیچ پژوهش داخلی مرتبط با این نظریه از سوی پژوهشگران این مقاله یافت نشد، به ‌احتمال زیاد برای معلمان و دست‌اندرکاران آموزش ریاضی جالب‌توجه خواهد بود. طبق نتایج حاصل از پژوهش‌های مرتبط، یکی از مهم‌ترین موضوعات در یاددهی ریاضیات و به‌ویژه هندسه آن است که ارتباط و اتصال میان مباحث تئوری و عملی به‌طور کامل برقرار شود و بدین منظور لازم است که در آموزش هندسه بر روی همۀ ابعاد مدنظر تمرکز کرد. این ابعاد مکمل هم هستند و در مواجهه با شکل‌های هندسی، مشارکت همۀ آنها موجب درک بهتر و یافتن پاسخ مسائل می‌شود (گاجتسیس و همکاران، 2015؛ دلیانی و همکاران، 2010؛ دووال، 1999). اهمیت دیگری که تسلط بر همۀ ابعاد درک شکل‌های هندسی دارد، آن است که پیش‌نیازی به‌منظور ارائۀ پاسخ‌های مختلف برای مسائل هندسی است. درواقع، آشنایی با این ابعاد، توانایی حل مسائلی را، که راه‌حل چندگانه دارند، در دانش‌آموزان تقویت خواهد کرد؛ بنابراین میان این درک‌ها رابطۀ سلسه‌مراتبی برقرار نیست و برای تقویت مهارت در حل مسائل هندسی، لازم است که همۀ آنها موردتوجه قرار گیرند. با وجود این، پژوهش‌ها نشان‌دهندۀ آن است که در آموزش هندسه باید تأکید ویژه‌ای بر درک عملیاتی داشت (گریدوس و همکاران، 2019). دووال (1995) نیز اهمیت خاصی برای دو درک استدلالی و عملیاتی قائل است؛ زیرا به کمک درک عملیاتی به‌صورت اکتشافی و رهیافتی به حل مسائل توجه می‌شود و به کمک درک استدلالی با توجه به داده‌های مسئله نتایج جدیدی به دست می‌آید.

نتایج پژوهش‌های انجام‌شده در زمینۀ درک دانش‌آموزان از مفاهیم هندسی، نشان‌دهندۀ مشکلات و اشتباهات متعدد آنهاست؛ برای مثال، بسیاری از دانش‌آموزان در تشخیص صحیح و درواقع، شناخت ویژگی‌های اصلی شکل‌های هندسی با مشکل مواجه هستند. بسیاری از آنها ممکن است مستطیلی را که طول بسیار بلند و عرض کوتاهی داشته باشد، به‌عنوان مستطیل نپذیرند یا یک بیضی را تنها به دلیل انحنایی که دارد، دایره فرض کنند (صفابخش، 1394؛ کلمنتس[28] و همکاران، 1999؛ باروت و رتاواتی، 2020). این اشتباهات نشان‌دهندۀ آن است که درک ادراکی قابل‌قبولی ندارند. حل برخی از مسائلی که نیازمند به‌کارگیری ابزارهای ترسیم به‌منظور رسم شکل هندسی است، برای بسیاری از دانش‌آموزان دشوار است و ابزارها را به‌درستی و در جهت هدف مسئله به‌ کار نمی‌گیرند (مایکل، 2013). این نشان‌دهندۀ درک مرحله‌ای پایین آنهاست. بسیاری از دانش‌آموزان قادر نیستند، دانسته‌های هندسی خود و داده‌های مسئله را به زبان ریاضی تبدیل کرده و یک استدلال رسمی ارائه کنند (کارپوز و آتاسوی، 2019؛ باروت و رتاواتی، 2020). این نشان‌دهندۀ آن است که درک استدلالی مقبولی ندارند. زمانی که مسئله‌ای هندسی به دانش‌آموزان داده می‌شود، بسیاری از آنها این توانایی را ندارند که به کمک تجسم و با اضافه‌کردن خطی به شکل هندسی، تقسیم آن به بخش‌های مختلف یا تغییر جهت یا چرخش شکل به راه‌حل مسئله دست یابند (مایکل و همکاران، 2011؛ کارپوز و آتاسوی، 2019) که نشان‌دهندۀ درک عملیاتی پایین آنهاست؛ بنابراین ارزیابی درک دانش‌آموزان در چهار بُعد معرفی‌شده در نظریۀ درک شکل‌های هندسی، امکان آگاهی از برخی مشکلات و اشتباهات آنها را فراهم می‌کند. برخی از پژوهش‌های انجام‌شده در زمینۀ تدریس و یادگیری هندسه نشان‌دهندۀ آن است که بین عملکرد دانش‌آموزان دختر و پسر ازنظر توانایی یادگیری هندسه، تسلط بر مهارت‌ها و تشخیص شکل‌های هندسی، تفاوت معناداری وجود ندارد (یوسسکین[29]، 1982؛ کلمنتس و همکاران، 1999) با وجود این، نتایج برخی پژوهش‌های داخلی در کشورمان نشان‌دهندۀ آن است که در بعضی از موارد، دختران عملکرد بهتری دارند (صفابخش، 1394)؛ به همین دلیل، بررسی تأثیر جنسیت بر درک دانش‌آموزان از شکل‌های هندسی به‌عنوان یکی از اهداف پژوهش حاضر در نظر گرفته شد. درمجموع، گفته می‌شود، با توجه به نقش مهمی که شکل‌های هندسی در تمام پایه‌های تحصیلی دارند، شناخت نظریۀ درک شکل‌های هندسی این امکان را به معلمان و مؤلفان کتب درسی می‌دهد تا تدریس بهتر و برنامۀ درسی دقیق‌تری تنظیم کنند؛ همچنین آشنایی برنامه‌ریزان آموزشی با این ابعاد موجب می‌شود که محتوای آموزشی به شکلی طراحی شود که گذر از مقطع ابتدایی به متوسطه با شیب ملایم‌تری رخ دهد. ضروری است که معلمان با ابعاد مختلف درک شکل‌های هندسی آشنا باشند تا محتوای تدریس خود را متناسب با پیشرفت آنها سازمان‌دهی و از این طریق فعالیت‌ها و تکالیف هندسی را متناسب با نیاز دانش‌آموز طراحی کنند. پیش از هرچیز لازم است تا معلمان میزان درک دانش‌آموزان را از شکل‌های هندسی ارزیابی کنند تا از نقاط قوت و ضعف آنها آگاه شوند (گاجتسیس و همکاران، 2015). در این راستا، پژوهش حاضر قصد دارد، به سؤال‌های زیر پاسخ دهد:

• عملکرد دانش‌آموزان پایۀ دهم رشتۀ ریاضی و فیزیک در حل مسائل مربوط به هر یک از ابعاد درک شکل‌های هندسی براساس نظریۀ دووال چگونه است؟
• چه ارتباطی بین ابعاد درک شکل‌های هندسی در دانش‌آموزان پایۀ دهم رشتۀ ریاضی و فیزیک وجود دارد؟
• آیا تفاوت معناداری بین هر یک از درک‌ها در دانش‌آموزان دختر و پسر پایۀ دهم رشتۀ ریاضی و فیزیک براساس نظریۀ دووال وجود دارد؟

روش پژوهش

برای بررسی درک دانش‌آموزان از شکل‌های هندسی، روش پیمایشی یا زمینه‌یابی استفاده شد.

جامعه، روش نمونه‌گیری و حجم نمونه:  جامعۀ آماری کلیۀ دانش‌آموزان دختر و پسر پایۀ دهم رشتۀ ریاضی و فیزیک شهرستان پاکدشت است و 235 نفر از آنها به روش تصادفی خوشه‌ای انتخاب شدند که 126 نفر از آنها دختر و 109 نفر نیز پسر بودند. علت انتخاب پایۀ دهم برای اجرای آزمون پژوهش آن است که در این پایه، دانش‌آموزان رشتۀ ریاضی و فیزیک برای اولین بار مباحث هندسی را در یک کتاب مجزا با عنوان هندسه (1) می‌آموزند. گفتنی است که پژوهش حاضر در انتهای سال تحصیلی و درواقع، پس از تدریس کامل کتاب هندسه (1) انجام شد.

ابزار پژوهش: برای گردآوری داده‌ها از یک آزمون تشریحی براساس پژوهش‌های مرتبط استفاده شد که روایی صوری و محتوایی آن از سوی تعدادی از اساتید ریاضی و آموزش ریاضی و همچنین چند دبیر ریاضی باتجربه تأیید شد و ضریب آلفای کرونباخ آن 79/0 به دست آمد که این مقدار نشان‌دهندۀ وضعیت مناسبی دربارۀ پایایی آن است. این آزمون متشکل از 8 مسئله است که هر دو مسئلۀ آن یکی از چهار بُعد درک شکل‌های هندسی را ارزیابی می‌کند. البته ممکن است مسئله‌ای نیازمند بیش از یکی از ابعاد درک باشد؛ اما مشابه پژوهش‌های مرتبط، به بارزترین درک موردنیاز برای حل آن مسئله توجه شد. مسائل آزمون در پیوست 1 مقاله دیده می‌شود. به‌طور کلی، مسائل 2 و 3 نیازمند درک ادراکی، مسائل 1 و 4 نیازمند درک مرحله‌ای، مسائل 5 و 8 نیازمند درک استدلالی و مسائل 6 و 7 نیازمند درک عملیاتی هستند.

برای امتیازدهی و ارزیابی پاسخ‌های دانش‌آموزان به مسائل آزمون پژوهش از روشی استفاده شد که براساس پیشینۀ پژوهش و پس از مشورت با اساتید آموزش ریاضی و چند دبیر با تجربه به کار گرفته شد. به‌طور کلی، به پاسخ‌های درستی که با استدلال درست نیز بیان شده‌اند، امتیاز 2، به پاسخ‌های ناقص امتیاز 1 و به پاسخ‌های نادرست یا بدون پاسخ، امتیاز 0 داده شد. البته در مسائل مختلف آزمون، پاسخ‌های ناقص به شکل‌های متفاوتی ظاهر شدند؛ برای مثال، در پاسخ به مسئلۀ 1، در صورتی که یک دانش‌آموز فقط دو ارتفاع مثلث را به‌درستی رسم کند، امتیاز 1 و در پاسخ به مسئلۀ 7، در صورتی که پاسخ درست با استدلال ناقص بیان شود، امتیاز 1 داده شد. با توجه به شیوۀ امتیازدهی، بیشترین امتیاز ممکن 16 و کمترین امتیاز 0 است.

تجزیه‌وتحلیل داده‌ها: برای تجزیه‌وتحلیل داده‌ها از آمار توصیفی و استنباطی به کمک نرم‌افزار SPSS و در بخش توصیفی از جداول مقادیر میانگین و انحراف معیار بهره گرفته شد. در بخش استنباطی برای بررسی معناداری تفاوت میانگین‌ها با میانگین معیار از آزمون t تک‌نمونه‌ای، به‌منظور بررسی ارتباط بین ابعاد چهارگانه از ضریب همبستگی پیرسون و برای بررسی تأثیر جنسیت بر متغیرهای وابسته از آزمون تحلیل واریانس چند متغیره یا مانوا ( 05/0= α) استفاده شده است.

یافته‌ها

سؤال اول پژوهش: عملکرد دانش‌آموزان پایۀ دهم رشتۀ ریاضی و فیزیک در حل مسائل مربوط به هر یک از ابعاد درک شکل‌های هندسی براساس نظریۀ دووال چگونه است؟

برای پاسخ به این سؤال، عملکرد دانش‌آموزان در پاسخ به سؤالات آزمون پژوهش بررسی شد. با توجه به درک موردنیاز هر مسئله و نحوۀ امتیازدهی به مسائل آزمون که برای هر یک، امتیاز 2 در نظر گرفته شده است، میانگین و انحراف معیار امتیازهای مرتبط با هر درک محاسبه شده است و در جدول (1) مشاهده می‌شود.

جدول 1: میانگین و انحراف معیار امتیازهای دانش‌آموزان در هر مسئلۀ آزمون

همان‌طور که در جدول (1) نیز مشاهده می‌شود، میانگین امتیازهای دانش‌آموزان در پاسخ‌دهی به مسائل مرتبط با درک‌های استدلالی و عملیاتی به‌نسبت کم‌تر از دو درک دیگر است.

برای بررسی میزان تسلط دانش‌آموزان پایۀ دهم در هر یک از ابعاد درک شکل‌های هندسی از آزمون t تک نمونه‌ای با میانگین معیار 2 استفاده شد. از آنجا که بیشترین امتیازی که هر دانش‌آموز در هر یک از چهار بُعد کسب می‌کند، مقدار 4 است، میانگین معیار 2 در نظر گرفته شد که حد متوسط امتیاز 4 است. پیش از اجرای آزمون t تک نمونه‌ای، پیش‌شرط نرمال‌بودن داده‌ها، با استفاده از چولگی و کشیدگی بررسی شد (کلاین[30]، 2005) که نتایج حاصل از آن در جدول (2) مشاهده می‌شود.

جدول2: نتایج بررسی توزیع نرمال داده‌ها

با توجه به مقادیر به‌دست‌آمده در جدول (2) توزیع داده‌ها نرمال در نظر گرفته شده (کلاین، 2005) و از آزمون t تک نمونه‌ای استفاده شده است. در جدول (3) نتایج حاصل از این آزمون مشاهده می‌شود.

جدول3: نتایج آزمون t تک‌نمونه‌ای

جدول (3) نشان‌دهندۀ آن است که درک دانش‌آموزان از شکل‌های هندسی در بُعد درک ادراکی و مرحله‌ای به‌طور معناداری بیشتر از میانگین معیار، در درک استدلالی پایین‌تر از میانگین معیار و در درک عملیاتی مساوی با میانگین معیار است.

سؤال دوم پژوهش: چه ارتباطی بین ابعاد درک شکل‌های هندسی در دانش‌آموزان پایۀ دهم رشتۀ ریاضی و فیزیک وجود دارد؟

برای پاسخ به این سؤال پژوهش، ارتباط بین دو به دو ابعاد درک شکل‌های هندسی به کمک ضریب همبستگی بررسی و با توجه به نرمال‌بودن داده‌ها که در بخش قبل مشخص شد، ضریب همبستگی پیرسون استفاده شد. پیش از ارائۀ یافته‌های حاصل از آن، میانگین امتیازهای دانش‎آموزان در هر یک از چهار بُعد مدنظر در جدول (4) ارائه شده است.

جدول 4: میانگین و انحراف معیار امتیازهای دانش‌آموزان

همان‌طور که در جدول (4) مشاهده می‌شود، میانگین امتیازهای کسب‌شده از سوی دانش‌آموزان در ابعاد مختلف درک شکل‌های هندسی، یکسان نیست و عملکرد دانش‌آموزان در حل مسائل مربوط به درک استدلالی، پایین‌ترین و در حل مسائل مربوط به درک ادراکی، بیشترین میزان است. نتایج حاصل از ضریب همبستگی پیرسون در جدول (5) ارائه شده است.

جدول 5: نتایج ضریب همبستگی پیرسون

همان‌طور که در جدول (5) مشاهده می‌شود، تمام ضرایب همبستگی مقادیری بزرگ‌تر از صفر هستند و معناداری در همۀ موارد، کوچک‌تر از 05/0 است. درواقع، گفته می‌شود، بین دو به دو ابعاد درک شکل‌های هندسی، همبستگی مثبت و معنادار وجود دارد و این بدان معناست که با افزایش یک درک، سایر درک‌ها نیز افزایش پیدا می‌کنند.

سؤال سوم پژوهش: آیا تفاوت معناداری بین هر یک از درک‌ها در دانش‌آموزان دختر و پسر پایۀ دهم رشتۀ ریاضی و فیزیک براساس نظریۀ دووال وجود دارد؟

به‌منظور پاسخ‌دهی به سؤال دوم پژوهش ابتدا، داده‌های حاصل از میانگین و انحراف معیار امتیازهای کسب‌شدۀ دانش‌آموزان به تفکیک جنسیت در جدول (6) ارائه شده است.

جدول 6: میانگین و انحراف معیار امتیازهای دانش‌آموزان به تفکیک جنسیت

همان‌طور که در جدول (6) مشاهده می‌شود، میانگین امتیازهای کسب‌شدۀ دانش‌آموزان دختر و پسر در پاسخ‌دهی به مسائل آزمون نوسان‌هایی دارد و درواقع، در بعضی از مسائل عملکرد شرکت‌کنندگان پسر بهتر بوده و در برخی نیز این موضوع برعکس است؛ اما در بیشتر مسائل، میانگین‌ها مقادیری نزدیک به هم هستند. خلاصه‌ای از عملکرد دانش‌آموزان در پاسخ‌دهی به مسائل مرتبط با هر درک به تفکیک جنسیت و براساس میانگین امتیازهای کسب‌شده در جدول (7) ارائه شده است.

جدول 7: نتایج توصیفی متغیرهای وابسته به تفکیک جنسیت

همان‌طور که در جدول (7) مشاهده می‌شود، در ارتباط با درک‌های مرحله‌ای، استدلالی و عملیاتی، میانگین امتیازهای پسران شرکت‌کننده در پژوهش، بیشتر از دختران است و در ارتباط با درک ادراکی، میانگین امتیازهای دختران بیشتر است. البته لازم است تا معناداری تفاوت میانگین‌ها بررسی شود که در ادامه به آن توجه می‌شود. به‌منظور بررسی تأثیر جنسیت بر عملکرد دانش‌آموزان در چهار بُعد درک شکل‌های هندسی، از تحلیل واریانس چندمتغیره (مانوا) استفاده شده است. پیش از اجرای این آزمون، پیش‌شرط‌های آن یعنی توزیع نرمال داده‌ها، برابری واریانس‌ها و همگنی ماتریس‌های واریانس-کواریانس بررسی شد. توزیع نرمال داده‌ها در پاسخ به سؤال اول پژوهش تحلیل شد. به‌منظور بررسی برابری واریانس‌ها آزمون لوین به کار رفته است و سطح معناداری برای هر چهار متغیر وابسته یعنی درک‌های ادراکی، مرحله‌ای، استدلالی و عملیاتی به‌ترتیب مقادیر 32/0، 08/0، 08/0 و 53/0 حاصل شد. از آنجایی که همۀ مقادیر بزرگ‌تر از 05/0 هستند، نشان‌دهندۀ برابری واریانس‌هاست. برای بررسی همگنی ماتریس‌های واریانس-کواریانس از آزمون باکس استفاده و سطح معناداری مقدار 3/0 حاصل شد که بزرگ‌تر از 05/0 بوده و نشان‌دهندۀ همگن‌بودن ماتریس‌های واریانس-کواریانس است. پس از تأیید پیش‌شرط‌ها، آزمون تحلیل واریانس چند متغیره (مانوا) اجرا شد که نتایج حاصل از آن در جدول (8) مشاهده می‌شود.

جدول 8:  نتایج حاصل از آزمون تحلیل واریانس چندمتغیره (مانوا)

همان‌طور که از جدول (8) مشخص است، سطوح معناداری همۀ آزمون‌ها (اثر پیلایی، لامبدای ویلکز، اثر هتلینگ و بزرگ‌ترین ریشه روی) بیشتر از 05/0 است که نشان‌دهندۀ آن است که بین عملکرد دانش_‌آموزان دختر و پسر ازنظر درک شکل‌های هندسی براساس نظریۀ دووال، تفاوت معناداری وجود ندارد؛ بنابراین با احتمال 95 درصد گفته می‌شود که متغیر مستقل یعنی جنسیت بر هیچ یک از چهار متغیر وابسته اثرگذار نبوده است.

بحث و نتیجه‌گیری

هندسه یکی از چالش‌برانگیزترین دروس ریاضی محسوب می‌شود که از گذشته تاکنون توجه بسیاری از آموزشگران ریاضی را به خود جلب کرده است. برای درک هندسۀ مدرسه‌ای، شناخت شکل‌های هندسی نقش تعیین‌کننده‌ای دارد. در جای جای کتاب‌های درسی هندسه، شکل‌های هندسی مختلفی مشاهده می‌شود و می‌توان گفت، شناخت و ارتباط با این شکل‌ها بخش مهمی از فرایند یادگیری هندسه است؛ اما نتایج پژوهش‌ها و تجارب معلمان، نشان‌دهندۀ این موضوع است که دانش‌آموزان در درک شکل‌های هندسی و به‌طور کلی مفاهیم شکلی با مشکلات بسیاری مواجه هستند که این امر مانع بزرگی برای یادگیری هندسه محسوب می‌شود. یکی از مهم‌ترین چارچوب‌هایی که در ارتباط با شکل‌های هندسی ارائه شده است، نظریۀ درک شکل‌های هندسی نام دارد. در این نظریه برای ارتباط با شکل‌های هندسی چهار نوع درک مختلف معرفی شده که عبارت است از درک‌های ادراکی، مرحله‌ای، استدلالی و عملیاتی. طبق پیشینۀ پژوهش این ابعاد سلسله‌مراتبی نیستند و در فرایند یاددهی و یادگیری هندسه، تمرکز بر همۀ آنها ضرورت دارد. از آنجایی که در پایۀ دهم، دانش‌آموزان مباحث هندسی را برای اولین بار به‌صورت رسمی در کتاب درسی مجزا می‌آموزند، در این پژوهش درک دانش‌آموزان این پایه بررسی شده است.

نتایج پژوهش حاضر نشان‌دهندۀ آن است که عملکرد کلی دانش‌آموزان در پاسخ‌دهی به مسائل مربوط به درک‌های استدلالی و عملیاتی پایین‌تر از عملکرد آنها در حل مسائل مرتبط با درک‌های ادراکی و مرحله‌ای است و بین عملکرد دانش‌‌آموزان دختر و پسر تفاوت معنا‌داری وجود ندارد. پژوهش‌ها نیز مشکلات دانش‌آموزان را در ارائۀ استدلال‌های رسمی و ساخت اثبات تأیید می‌کنند؛ برای مثال، ریحانی و همکاران (1391) در پژوهش خود سطح درک و فهم دانش‌آموزان مقطع متوسطه از اثبات ریاضی را بررسی کردند. نتایج پژوهش آنها نیز نشان‌دهندۀ آن است که اغلب دانش‌آموزان، درک مناسبی از فرایند استدلال و ساخت اثبات‌های معتبر در ریاضیات مدرسه‌ای ندارند و به نظر می‌رسد، بیشترین مشکل آنها در ساخت اثبات‌های ریاضی است؛ ولی در ارزیابی اثبات‌های درست به نسبت بهتر عمل می‌کنند. بررسی و مطالعۀ پژوهش‌های مرتبط که در حوزۀ نظریۀ دووال انجام شده، نشان‌دهندۀ هم‌سویی و شباهت یافته‌های آنها با نتایج پژوهش حاضر است؛ برای مثال، پژوهش مایکل (2013) نیز حاکی از آن است که برای دانش‌آموزان پایه‌های نهم، دهم و یازدهم مسائل مرتبط با درک‌های مرحله‌ای و استدلالی نسبت‌به دو درک دیگر دشواری بیشتری دارند. نتایج پژوهش کارپوز و آتاسوی (2019) نیز حاکی از آن است که بسیاری از دانش‌آموزان در پاسخ به مسائلی که نیازمند درک‌های استدلالی و عملیاتی هستند، عملکرد پایین‌تری دارند و بررسی پاسخ‌های آنان نشان‌دهندۀ آن است که در تبدیل مشاهدات و داده‌های دیداری به نوشتاری، نتیجه‌گیری براساس استدلال منطقی بدون توجه به شهود و ظاهر شکل و همچنین در تجزیۀ یک شکل و ایجاد تغییرات در شکل‌های هندسی با مشکلات بسیاری مواجه هستند که مشابه اشتباهات دانش‌آموزان در پژوهش حاضر است. نتایج پژوهش مایکل و همکاران (2011) نیز حاکی از آن است که حل مسائل مرتبط با درک عملیاتی به‌ویژه مسائلی که نیازمند تجزیۀ شکل اصلی به زیرشکل‌ها و سپس ایجاد شکل‌های جدید هستند، برای دانش‌آموزان پایه‌های نهم و دهم دشوار است؛ بنابراین به‌طور کلی پژوهش‌های مرتبط نیز دشواری مسائلی را تأیید می‌کنند که نیازمند درک‌های استدلالی و عملیاتی هستند.

بررسی پاسخ‌های دانش‌آموزان به مسائل مرتبط با درک‌های عملیاتی و استدلالی که دانش‌آموزان عملکرد به‌نسبت پایین‌تری در آنها داشتند، نشان‌دهندۀ مشکلات و اشتباهات متعددی است؛ برای مثال، برخی از دانش‌آموزان قادر نبودند، با توجه به داده‌های مسئله، استدلال‌های رسمی بسازند. برخی از آنها لزومی برای اثبات یک ادعا ندیدند و حکم مسئله را امری بدیهی تلقی کردند. برخی نیز براساس مشاهدات ظاهری خود از شکل، استدلال‌های نادقیقی مطرح کردند. تعدادی از دانش‌آموزان نیز به دلیل اطلاعات هندسی نادرست خود، استدلال‌های نامربوطی ارائه دادند. در پاسخ به مسائل مرتبط با درک عملیاتی آزمون نیز برخی از دانش‌آموزان فقط بر شهود تکیه کردند و نتوانستند به کمک تجسم و ایجاد تغییرات مناسب در شکل هندسی به راه‌حل مسئله دست یابند؛ برای مثال، ایدۀ اضافه‌کردن یک خط به یک شکل هندسی، چرخش و تغییر جهت آن یا تجزیۀ شکل به بخش‌های مختلف به‌منظور دستیابی به راه‌حل مسئله، به ذهن بسیاری از دانش‌آموزان خطور نکرد؛ از این رو، نتیجه گرفته می‌شود، سیستم آموزشی که دانش‌آموز در آن تحصیل کرده است و مهم‌ترین عناصر آن معلم و کتاب درسی هستند، به‌درستی قادر نبوده است، درک عملیاتی و استدلالی دانش‌آموزان را تا حد مقبولی پرورش دهد و پس از انجام پژوهش‌های بیشتری در این زمینه، لازم است تا شیوه‌های تدریس یا کتاب‌های درسی اصلاح شوند.

همچنین نتایج پژوهش حاکی از ارتباط بین دو به دو ابعاد درک شکل‌های هندسی است. مایکل (2013) نیز در پژوهش خود به نتایج مشابهی دست یافته است و ارتباط بین دو به دو این ابعاد را تأیید می‌کند. او ارتباط بین ابعاد درک شکل‌های هندسی را در فرایند حل مسائل مربوط به آنها توجیه کرده است؛ برای مثال، در پاسخ به مسائل مرتبط با درک عملیاتی، به‌کارگیری درک ادراکی نقش مهمی دارد. درواقع، ایجاد تغییرات مناسب در شکل‌های هندسی تنها پس از تشخیص این شکل‌ها و زیرشکل‌های موجود در آنها امکان‌پذیر است. این موضوع در ارتباط با مسائل مرتبط با درک‌های استدلالی و مرحله‌ای نیز صدق می‌کند؛ زیرا به کمک درک ادراکی استدلال‌های درستی برای توجیه ادعایی هندسی ارائه و شکل‌های هندسی به‌درستی رسم می‌شوند؛ بنابراین تقویت درک ادراکی برای پاسخ‌دهی به مسائل مرتبط با سایر درک‌ها ضرورت دارد. ارتباط بین درک مرحله‌ای و استدلالی نیز از آن جهت است که انجام ترسیم‌های هندسی نیازمند توانایی استدلال و تجزیه‌وتحلیل است. گاهی نیز لازم است، برای ارائۀ یک استدلال هندسی، اقدام به ترسیم کرد. ارتباط بین درک مرحله‌ای و عملیاتی زمانی آشکار می‌شود که گاهی برای دستیابی به پاسخ صحیح یک مسئله، لازم است تا با کمک ترسیم، تغییراتی در شکل ایجاد کرد و از این طریق، هر دو درک عملیاتی و مرحله‌ای استفاده می‌شود. ارتباط بین درک‌های استدلالی و عملیاتی نیز به دلیل نقش درک عملیاتی و توانایی ایجاد تغییرات مناسب در شکل‌های هندسی به‌منظور ارائۀ استدلال و اثبات است. عکس این مطلب نیز رخ می‌دهد. درواقع، از طریق تجزیه‌وتحلیل و استدلال منطقی تغییرات مناسب در شکل‌های هندسی حاصل می‌شود (مایکل، 2013).

با توجه به پیشینۀ پژوهش و اهمیت زیاد ابعاد معرفی‌شده در نظریۀ درک شکل‌های هندسی، شناسایی و ارزیابی میزان درک دانش‌آموزان از شکل‌های هندسی در چهار بُعد معرفی‌شده ضرورت دارد و معلمان باید ضمن آگاهی از نقاط قوت و ضعف دانش‌آموزان خود، مطابق با نیازهای آنها اقدام به طراحی تدریس خود و با تأکید بر همۀ ابعاد درک شکل‌های هندسی، تدریس خود را سازمان‌دهی کنند. نتایج حاصل از این پژوهش مؤلفان و برنامه‌ریزان آموزشی را در راستای تدوین کتاب‌های درسی و تعیین خط‌مشی‌های آموزشی یاری می‌رساند تا در راستای تقویت مهارت‌ها، دانش و درک دانش‌آموزان قدم بردارند.

با توجه به اهمیت هندسه و چالش‌های فراوان دانش‌آموزان در این شاخه از ریاضیات، توصیه می‌شود که پژوهش‎های دیگری در این حوزه و با محوریت کتاب‎های درسی و نقش معلمان در بهبود فرایند آموزش و یادگیری هندسه به‎ویژه در زمینۀ شکل‌های هندسی صورت گیرد؛ برای مثال، پیشنهاد می‌شود که درخصوص ارزیابی درک دانش‌آموزان از شکل‌های هندسی در پایه‌های دیگر به‌ویژه پایه‌های نهم و یازدهم پژوهش‌هایی صورت گیرد تا امکان مقایسۀ عملکرد دانش‌آموزان در گذر از متوسطۀ اول به دوم و مقایسۀ راهبرد‌های به‌کاررفته از سوی دانش‌آموزان در حل مسائل فراهم شود؛ همچنین تأثیر محتوای هندسی ارائه‌شده به دانش‌آموزان در تقویت درک آنها از شکل‌های هندسی در گذر از متوسطۀ اول به دوم بررسی شود.

[1]. Egsgard

[2]. Burger & Shaughnessy

[3]. Adolphus

[4]. Karpuz & Atasoy

[5]. Barut & Retnawati

[6]. Duval

[7]. visualization

[8]. construction

[9]. reasoning

[10]. Fischbein

[11]. apprehension

[12]. Gagatsis

[13]. Deliyianni

[14]. Gridos

[15]. Mesquita

[16]. Van Hiele

[17]. perceptual

[18]. sequential

[19]. discursive

[20]. operative

[21]. sub-figure

[22]. Michael

[23]. Duval & Godin

[24]. procedures

[25]. reconfiguration

[26]. Ramatlapana & Berger

[27]. Karpuz & Atasoy

[28]. Clements

[29]. Usiskin

[30]. Kline