پیوندهای مفید
اخبار و اعلانات
آمار
| تعداد نشریات | 44 |
| تعداد شماره‌ها | 1,473 |
| تعداد مقالات | 12,040 |
| تعداد مشاهده مقاله | 22,364,854 |
| تعداد دریافت فایل اصل مقاله | 9,808,612 |
بررسی چارچوب‌های درک شاگردان از رابطة بین نمودارهای تابع مشتق و ضد مشتق: فراتحلیل کیفی | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| رویکردهای نوین آموزشی | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| دوره 17، شماره 1 - شماره پیاپی 35، شهریور 1401، صفحه 59-84 اصل مقاله (1.63 M) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| نوع مقاله: مقاله پژوهشی | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| شناسه دیجیتال (DOI): 10.22108/nea.2023.134241.1791 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| نویسندگان | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| سعید حق جو1؛ ابراهیم ریحانی* 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1دانشجوی دکتری آموزش ریاضی دانشگاه تربیت دبیر شهید رجایی، تهران، ایران | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2دانشیار آموزش ریاضی، دانشگاه تربیت دبیر شهید رجایی، تهران، ایران | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| چکیده | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| مشتق یکی از مباحث مهم در حساب دیفرانسیل و انتگرال است که کاربردهای زیادی در علوم مختلف دارد. یکی از موضوعات مطرح در این حوزه، تفسیر نمودار تابع مشتق به کمک تابع اولیة آن و بالعکس است. پژوهش‌ها نشان‌دهندۀ آن است که درک نموداری مشتق نیازمند مهارت‌های مرتبة زیاد تفکر است و شاگردان در درک رابطه‌ای این موضوع مشکل دارند. پژوهش حاضر، به بررسی روش‌شناختی و محتوایی این پژوهش‌ها توجه دارد تا نظریة زیربنایی آنها را مشخص کند. این پژوهش توصیفی و به روش فراتحلیل کیفی است تا بینشی از کلیت این پژوهش‌ها را نشان دهد. میدان پژوهش شامل کلیة پژوهش‌های مرتبط بود که با جستجوی منظم کلیدواژه‌ها و از طریق جستجو میان استنادات مقاله‌ها در پایگاه‌های اطلاعاتی ملی و بین‌المللی مطابق با پریزما انجام شده است. براساس معیارهای ورود تعداد 182 پژوهش بین سال‌های 1992 تا 2022 (فوریه) شناسایی و درنهایت، براساس معیارهای خروج تعداد 26 تحقیق برای بررسی و تحلیل نهایی انتخاب شده است. یافته‌های فراتحلیل 13 چارچوب اصلی را بین پژوهش‌ها مشخص می‌کنند که محوریت اصلی آنها حول سه متفکر کروتتسکی (تحلیلی، بصری و هارمونیک)، نظریة APOS دوبینسکی و سه لایة آشکارسازی نمودار (اشیا، روابط و روابط تابعی) سوییدان است. روش نوین استفاده‌شده در فراتحلیل کیفی پژوهش حاضر قابل‌استفاده برای محققان حوزه‌های مختلف آموزش است؛ همچنین یافته‌های حاصل از این فراتحلیل برای یاددهی و یادگیری رابطة بین نمودار تابع مشتق و اولیة آن برای معلمان، اساتید، مؤلفان کتاب‌های درسی و پژوهشگران مفید خواهد بود. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| کلیدواژه‌ها | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| مشتق؛ نمودار مشتق؛ ضد مشتق؛ فراتحلیل کیفی | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| اصل مقاله | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
مشتق یکی از مفاهیم کلیدی حساب دیفرانسیل و انتگرال است که کاربردهای زیادی در علوم مختلف دارد؛ ولی در عین حال شاگردان در درک رابطه‌ای و مفاهیم مرتبط با آن یعنی مشتق در یک نقطه و مشتق به‌عنوان تابع با مشکلاتی مواجه هستند(حقجو[1] و همکاران، 2022؛ حقجو و ریحانی[2]، 2021؛ زندیه[3]،2000). تبدیل و ترجمة نمودارهای تابع مشتق و اولیه و بالعکس، از جمله فرایندهای مهم در این حوزه است. از طرفی، درک رابطه‌ای مفاهیم حساب دیفرانسیل و انتگرال به درک کاملی از رابطة بین توابع و نمودار آنها نیاز دارد (آسپینوال[4]، 1994). اگر درک درستی از رابطة بین نمودار تابع و مشتق آن نباشد، این امر ممکن است به درک ناکافی از مفاهیم مرتبط با مشتق نظیر مفهوم سرعت و آهنگ تغییر در علوم یا مفهوم سود و هزینۀ نهایی در اقتصاد منجر شود (فئودل و بیهلر[5]، 2021). هنگامی که شاگردان رابطة بین نمودار تابع و مشتق آن را بررسی می‌کنند، مشکلاتی دارند و اغلب مرتکب خطا می‌شوند (زندیه، 1997؛ حقجو و ریحانی، 2021؛ هاکیومروگلو[6] و همکاران، 2010). بیشتر دانش‌آموزان و دانشجویان بین شیب خط قاطع و مماس بر منحنی و ارتباط آنها بدفهمی دارند (فئودل و بیهلر، 2021؛ فئودل[7] ، 2019؛ اوبوز[8] ، 2007؛ آسیالا[9] و همکاران، 1997)؛ همچنین بیشتر شاگردان قادر به هماهنگی و ارتباط بین دو ویژگی تابع مشتق و تابع اولیة آن نیستند (حقجو و همکاران، 2020؛ هاکیومروگلو و چیکن[10]، 2012). برای فهم بهتر و اصلاح بدفهمی‌ها لازم است، برخی از مؤلفه‌های مهم در یاددهی و یادگیری درک نمودارها شناسایی شود. یکی از استانداردهای فرایندی که به درک نمودارها کمک می‌کند، بازنمایی[11] است. در یاددهی و یادگیری ریاضی بازنمایی مؤلفه‌ای مهم در ریاضیات است که استفاده از آن باعث افزایش یاددهی و یادگیری ریاضیات می‌شود(شورای ملی معلمان ریاضی[12]، 2000). بازنمایی نشانه یا ترکیبی از علائم، شکل‌ها، اشیا، تصاویر یا نمودارهاست. به‌طور معمول، چهار حالت دارد: کلامی، نموداری، جبری و عددی (مینالی[13]، 2021). اغلب نوع خاصی از بازنماییها در یاددهی و یادگیری ریاضیات غالب است؛ با این حال، برای درک رابطه‌ای[14]، بازنماییها باید از یک حالت به حالت دیگر ترجمه و تبدیل شوند. ترجمة بازنماییها و حرکت بین آنها، مهارت مهمی است که فراگیران باید آن را توسعه دهند تا در یادگیری ریاضیات تبحر بیشتری داشته باشند (دووال[15]، 2017). سند اصول و استانداردها برای ریاضیات مدرسه (شورای ملی معلمان یاضی، 2000) بر ایجاد بازنمایی‌های ریاضی توسط فراگیران به‌عنوان روش‌های یادگیری با درک رابطه‌ای تمرکز دارد و بر اهمیت توانایی‌های شاگردان برای «انتخاب، به کار بردن و حرکت بین بازنمایی‌های ریاضی» به‌منظور حل مسائل تأکید می‌کند (ص 360). بازنمایی‌های نموداری اطلاعات ریاضی را به‌صورت بصری منتقل می‌کند و درک کشف روابط بین بازنماییها در این حالت برای شاگردان مشکل است؛ در حالی که عباراتی که به‌صورت نمادین نمایش داده، آسان‌تر دستکاری، تجزیهوتحلیل یا تبدیل می‌شوند (زندیه، 2000). مؤلفة مهم دیگر در ریاضیات برای درک نمودارها، تجسم[16] است. تجسم، توانایی بازتاب بر روی تصاویر، شکل‌ها و نمودارها در ذهن، روی کاغذ یا با ابزارهای فناوری است. هدف از آن، تصویرسازی و برقراری ارتباط با اطلاعات، تفکر دربارۀ ایده‌های ناشناختۀ قبلی و توسعة درک و فهم است (زیاتدینوف و والس[17]، 2022). با این تعریف، تجسم طیفی از فرایندهای شناختی است که یکی از آنها استدلال بصری[18] است. استدلال بصری، به‌کارگیری مؤثر شکل‌ها، تصاویر و نمودارها برای حل تکالیف تفکر مرتبة بالاتر است (زیمرمان[19]، 1991). مؤلفة مهم دیگر در ریاضیات، شهود[20] است. شهود در ریاضی، فرایند شکل‌گیری تصورها (ذهنی یا به کمک فناوری) و استفاده از چنین تصورهایی به‌طور مؤثر برای کشف و درک مفاهیم ریاضی است (زیاتدینوف و والس[21]، 2022). درواقع، بازنمایی، تجسم و شهود سه مؤلفة کلیدی هستند که برای رسم و ترجمة نمودار توابع و کشف روابط بین نمودار و عبارات ریاضی کمک می‌کنند (جیسیسی و تورنوکلو[22]، 2021). در برنامة درسی ریاضی فعلی ایران، مبحث مشتق و کاربردهای آن در سال دوازدهم دورة دوم متوسطه در رشتة ریاضی- فیزیک و علوم تجربی ارائه شده است. ازنظر مفهوم‌سازی، نقش استدلال بصری برای درک حساب دیفرانسیل و انتگرال بسیار اساسی است. به‌طوری که تصور یک دورة آموزشی حساب دیفرانسیل و انتگرال موفق که تأکید بر مؤلفه‌های شهودی ندارد، دشوار است (هاگس-هالت[23] و همکاران، 2020؛ زیمرمان، 1991). گفته‌های زیمرمان (1991) دربارۀ استفاده از عناصر شهودی به‌عنوان ابزاری برای درک حساب دیفرانسیل، انتگرال، ریاضیات و حل مسائل ریاضی مسیر پژوهشگران، آموزشگران و ریاضی‌دانان را در سطح بین‌المللی به‌سمت توسعۀ مهارت‌های استدلال بصری سوق داده است. به نظر می‌رسد، جامعة آموزش ریاضی در این خصوص توافق نظر دارند که یادگیری ریاضیات به‌ویژه حساب دیفرانسیل و انتگرال، فقط از طریق دست‌ورزی نمادین بر مبنای فرمول‌های داده‌شده بی‌معنی است (یان[24] و همکاران، 2021). در حساب دیفرانسیل و انتگرال، دست‌ورزی نمادین و کار با فرمول‌ها به‌طور گسترده‌ای موردتوجه قرار گرفته و ارزش حساب دیفرانسیل با توجه بیش از حد به رویه‌ها، از بین رفته است (زیمرمان و کانینگهام[25]، 1991). دانشجویانی که با یک تصور ذهنی کار می‌کنند، اطلاعی ندارند که یادگیری ریاضیات چیست. شاگردان زیادی وجود دارند که مشتق توابع پیچیده را محاسبه می‌کنند؛ اما نمی‌توانند به یک نمودار نگاه کنند و به شما بگویند، کجا مشتق آن مثبت و کجا منفی است؛ حتی کمتر می‌توانند به‌صورت نموداری بگویند، درکجا مشتق افزایش یا کاهش می‌یابد (سوییدان[26]، 2022). درمان این مشکل، این است که حساب دیفرانسیل و انتگرال با استفاده از «قانون سه[27]» تدریس شود. قانون سه می‌گوید که هر موضوعی به‌صورت نموداری، عددی و تحلیلی آموزش داده می‌شود (هاگس-هالت، 1995). به این ترتیب، آنها هر ایدة اصلی را از چندین زاویه می‌بینند. این ایدة مهمی است که دانشجویان وقتی شهود را وارد کارشان می‌کنند، باعث تعادلشان می‌شود و به‌درستی درک می‌کنند. در حساب دیفرانسیل و انتگرال اصلاح‌شده، نقش شهود و استدلال بصری به‌خوبی دیده شده است (زیمرمان، 1991). با توجه به آنچه مطرح شد، محققان این پژوهش به‌دنبال این هستند که با فراتحلیل مطالعات موجود بررسی کنند که وقتی شاگردان (دانش‌آموزان یا دانشجویان) می‌خواهند از روی نمودارهای تابع مشتق، تابع اولیۀ آن را رسم کنند، چگونه فکر می‌کنند و چه فرایندهای ریاضی را انجام می‌دهند. بررسی فرایندهای تفکر فراگیران، دربارۀ محتوای مرتبط با نمودار مشتق به آموزشگران کمک می‌کند، شیوۀ آموزشی خود را به‌گونه‌ای انتخاب کنند که بیشترین دانش محتوا و درک مفهوم با آنها کسب و کم‌ترین بدفهمی ایجاد شود. آگاهی نسبت به این مفاهیم باعث یاددهی و یادگیری بهتر رابطة بین نمودار تابع مشتق و تابع اولیه خواهد شد. به دلیل خلأ مطالعاتی در این زمینه و با توجه به مشکلاتی که محققان این پژوهش حین تحقیق و تدریس با آن مواجه بوده‌اند[28]، این مطالعه با فراتحلیل مطالعات موجود، در پی فهم درک و فرایندهای تفکر دانشجویان از رابطة بین نمودار تابع مشتق و اولیه است. اهمیت این موضوع و کاربردی‌بودن آن در شاخه‌های دیگر علوم، توجیه مناسبی است که با نگاهی جامع‌تر، پژوهش‌های گذشته در این زمینه واکاوی شود؛ بنابراین محققان در این پژوهش قصد دارند، نوع ابزار پژوهش، انواع رویکردها، روش‌های تحقیق و چارچوب‌های رابطة بین نمودار تابع مشتق و اولیه را در مطالعات مرتبط بررسی کرده و علاوه بر آن، چارچوبی نوین برای یاددهی و یادگیری رابطة بین نمودار تابع اولیه و مشتق پیشنهاد کنند. بدین منظور با فراتحلیل کیفی چارچوب‌های نظری و روش‌شناسی رابطة بین نمودار تابع مشتق و تابع اولیة آن در پژوهش‌های موجود بررسی خواهد شد.
روش‌پژوهش هدف از پژوهش حاضر، بررسی چارچوب‌های درک شاگردان از رابطة بین نمودار تابع مشتق و اولیة آن است. روش تحقیق کیفی است و به‌منظور مرور نظام‌مند مطالعات انجام‌شده از فراتحلیل کیفی استفاده شده است. هدف از فراتحلیل کیفی، ارائة تصویری جامع و تفسیری از داده‌ها و پژوهش‌هایی است که تاکنون به موضوع خاصی توجه کرده‌اند (تیمولاک[29]، 2009). فراتحلیل کیفی درصدد است تا با یکپارچه‌کردن و ترکیب نظریه‌ها، روش‌ها و یافته‌های پژوهش‌های انجام‌گرفته، مؤلفه‌های اساسی آن پژوهش‌ها را کشف کرده و نتایج و کلیت آنها را در فرم جدیدی مفهوم‌سازی کند و درنهایت، به تفسیر و تبیین آن یافته‌ها توجه کند (گاروود[30] و همکاران، 2021؛ عالی[31] و همکاران، 2019). چیزی که بر اهمیت و کاربرد این روش تحقیق اضافه کرده، نقش آن در ترکیب و هماهنگی پژوهش‌هایی است که به‌صورت انفرادی و غیر متمرکز صورت گرفته است. فراتحلیل کیفی به‌وضوح نشان‌دهندۀ خلأها، مشکلات و نواقص پژوهش‌ها و مطالعات انجام‌شده است (تیمولاک، 2014؛ حقجو و ریحانی، 2022؛ تیمولاک، 2009). در فراتحلیل کیفی، نقش تفسیر برجسته‌تر است و پژوهشگر فقط به توصیف آماری و کمی داده‌های پژوهش توجه نمی‌کند، بلکه تلاش دارد تا با توجه به زمینه‌های اجتماعی و فرهنگی که موضوع پژوهش در آن شکل گرفته است، پژوهش‌های انجام‌شده را تفسیر و تحلیل کند[32] (حقجو و ریحانی، 2021؛ تیمولاک، 2009؛ طرخان و مصطفوی[33] ، 2020). بریمن (2012)، برای پژوهش‌هایی مانند فراقوم‌نگاری، 7 مرحله برای پژوهش پیشنهاد داده که در این پژوهش نیز استفاده شده است. مرحلة اول، شروع‌کردن یا گام آغازین[34]: مرحلة اول به یافتن عنوان تحقیق یا موضوع موردعلاقۀ[35] پژوهش تأکید دارد. عنوان باید در حیطة کار محقق بوده و ارزش کافی داشته باشد. در این پژوهش با توجه به ضرورت و اهمیت تحقیق، عنوان آن رابطة بین نمودار تابع مشتق و تابع اولیه در نظر گرفته شده است. مرحلة دوم: تصمیم‌گیری دربارۀ آنچه با علاقۀ اولیۀ محقق مرتبط[36] و درواقع، انتخاب مطالعات واجد شرایط برای ورود به مرحلة دوم فراتحلیل است. در این مرحله معیارهای ورود و خروج از مطالعه مشخص می‌شود. در این مطالعه میدان پژوهش شامل کلیة پژوهش‌های مرتبط است که با جستجوی منظم کلیدواژه‌های «رابطة بین نمودار تابع مشتق و اولیه»، «نمودار تابع مشتق»، «نمودار تابع مشتق و انتگرال»، «مشتق، تابع ضد مشتق» و “derivative and antiderivative graph”،derived function and the original function “graph of derivative function” ،“relation between derivative function and original function” "indefinite integral graph and anti-derivative function" و جستجو میان استنادات مقالات پژوهشگران در پایگاه‌های اطلاعاتی داخلی و خارجی انجام شده است که درواقع، یکی از معیارهای ورود است. داشتن ساختار کامل، قابل دانلودبودن متن کامل مقاله یا پایان‌نامه و اعتبار زیاد پژوهش از دیگر معیارهای اصلی ورود به اطلاعات در نظر گرفته شدند. پایگاه‌های اطلاعاتی معتبر در آموزش ریاضی شامل موارد زیر در نظر گرفته شده است: "Journal for Research in Mathematics Education (JRME), For the Learning Mathematics (FLM), Mathematics thinking and Learning (MTL), Journal of Mathematics Teacher Education (JMTE), Zenttralblatt fur Didaktik der Mathematik (ZDM), Mathematics Education Research Journal (MERJ), Journal of Mathematics Behavior (JMB), Educational Studies in Mathematics (ESM), Magiran, ScienceDirect,Library Genesis ,Scopus، ERIC، Springer link، JSTOR" براساس معیارهای ورود تعداد 182 پژوهش (مقالات علمی-پژوهشی، کنفرانسی، پایان‌نامه‌ها) بین سال‌های 1992 تا 2022 (فوریه) شناسایی و درنهایت، براساس معیارهای خروج تعداد 156 پژوهش حذف و 26 پژوهش برای بررسی و تحلیل نهایی انتخاب شده‌اند. معیارهای خروج شامل پژوهش‌هایی بود که دربارۀ مشتق بحث شده بود؛ ولی رابطة بین نمودار تابع و تابع مشتق مدنظر آنها نبود یا متن کامل آنها قابل دانلود نبود و نیز پژوهش‌هایی که فارسی یا انگلیسی نبودند. نمودار جریانی پریزما[37] بر مبنای مطالعة پیج و همکاران (2021) برای بررسی روش پژوهش اسناد فراتحلیل انتخاب شده است (شکل1). مرحلة سوم، خواندن پژوهش‌ها[38]: در مرحلة سوم مطالعات انتخاب‌شده به دقت خوانده و مرور می‌شود تا مفاهیم کلیدی و تم‌های آنها مشخص شود (لاوسون و پارکر[39]، 2019). مرحلة چهارم: تعیین اینکه چگونه مطالعات به یکدیگر مرتبط می‌شوند[40]. در مرحلة چهارم، محققان ارتباط مطالعات را با یکدیگر و استعاره‌های استفاده‌شده را در آنها بررسی کردند. تعیین ارتباط بین مطالعات با استخراج مفاهیم کلیدی و کنار هم گذاشتن آنها انجام می‌شود. مرحلة پنجم: ترجمۀ مطالعات به یکدیگر[41]: در این مرحله مطالعات به یکدیگر ترجمه و به سه شکل با یکدیگر مرتبط می‌شوند: اول، اینکه ترجمۀ متقابل از یکدیگر محسوب می‌شوند[42]. به عبارت دیگر، مطالعات به هم شبیه هستند و مستقیم به زبان یکدیگر ترجمه می‌شوند. از سوی دیگر، ممکن است مطالعات با یکدیگر همخوانی نداشته یا متضاد باشند. درنهایت، مطالعات ممکن است تا اندازه‌ای به هم شبیه باشند؛ ولی حدودی تناقض در آنها دیده شود[43]. منظور از ترجمۀ مطالعات به یکدیگر تبدیل مفاهیم کلیدی آنها به هم است. در روند ترجمۀ مفاهیم به یکدیگر، مفاهیم کلیدی یک مطالعه باید در ارتباط تنگاتنگ با مفاهیم کلیدی مطالعات دیگر باقی بمانند؛ همچنین در روند ترجمه، مفاهیم کلیدی هر یک از مطالعات با مفاهیم کلیدی مطالعات دیگر مقایسه شده و در فراتحلیل قرار داده می‌شوند. مرحلة ششم: ترکیب یا سنتز ترجمه‌ها[44]: در مرحلة ششم محقق از مطالعات اولیه، یک کل ایجاد می‌کند. این کل که نتیجة نهایی فراتحلیل است، تفسیری فراتر از هر یک از مطالعات گنجانده‌شده در فراتحلیل از پدیده مدنظر ارائه می‌کند و در عین حال در برگیرندة همة آنهاست. به‌گونه‌ای که هر یک از مطالعات اولیه در این کل جستجو می‌شود. مرحلة هفتم: بیان ترکیب یا سنتز[45]: این مرحلة انتشار تحقیق است؛ یعنی ترجمۀ ترکیب یا سنتز ایجادشده به شکلی است که برای مخاطب قابل‌درک باشد (بریمن[46]، 2012).
شکل 1: نمودار جریانی پریزما برای فراتحلیل انجام‌شده بر مبنای پیج و همکاران (2021)
به‌منظور دستیابی به داده‌های موردنیاز پژوهش، چک لیستی با 13 سؤال طراحی و تنظیم شد که تکمیل آن مستلزم مطالعة دقیق هر اثر و کشف دیدگاه‌های زیربنایی آن بود (پیوست)؛ از این رو، پس از مطالعة دقیق هر پژوهش و بر مبنای کدگذاری‌ها، مؤلفه‌های چک لیست در ارتباط با هر اثر تکمیل شد (حقجو و ریحانی، 2022). بعد از ارزیابی از سوی دو نفر، ضریب کاپای کوهن[47] 98/0 به دست آمد که نشان‌دهندة توافق خوب بین ارزیابان است؛ بنابراین روایی و پایایی فراتحلیل معتبر است (شکل 2).
شکل 2: روش‌شناسی پژوهش
یافته‌ها یافته‌های این پژوهش در سه بخش سیمای شکلی، روش‌شناختی پژوهش‌ها و تحلیل آنها، تحلیلی بر چارچوب‌ها و ترکیب چارچوب‌ها بیان شده است. در بخش یافته‌ها، گزارش آماری از پژوهش‌های بررسی‌شده ارائه شده است. در ادامه، پژوهش‌ها از جنبة محتوا و کیفیت تحلیل شده و درنهایت، به جمع‌بندی یافته‌های توصیفی و تحلیلی و ترکیب کلی چارچوب‌ها توجه شده است. الف) سیمای شکلی و روش‌شناختی پژوهش‌ها و تحلیل آنها: در این قسمت، 9 شاخص دربارة پژوهش‌ها بررسی شده که عبارت است از: قالب مقاله‌ها، دورة زمانی آثار، سنخ‌شناسی پژوهشگران، توزیع جغرافیایی، روش پژوهش، نمونة موردبررسی، موضوعات مورد پژوهش، مثال‌های برگزیدة استفاده‌شده و خلاصة نتایج حاصل از پژوهش‌ها. قالب مقاله‌ها: منظور از قالب مقاله‌ها، نحوة انتشار مقاله در قالب‌های گزارش کارشناسی، علمی پژوهشی، پایان‌نامه و کنفرانس است. در این مطالعه 76 درصد علمی پژوهشی، 12 درصد کنفرانسی و 12 درصد پایان‌نامه هستند. درصد زیاد علمی‌پژوهشی نشان از درجة علمی مناسب مقاله‌ها دارد (جدول 1).
جدول1: قالب آثار منتشرشده در حوزة نمودار تابع و مشتق آن
دورة زمانی آثار: منظور از دورة زمانی، تاریخ انتشار مقاله بوده است. پژوهش‌ها در فاصلة سال‌های 1992 تا 2022 (فوریه) بررسی شده‌اند. شکل (3) نشان‌دهندۀ توزیع مقاله‌ها و رگرسیون آنهاست؛ همان‌طور که مشاهده می‌شود، پژوهش‌های منتشرشده با مضمون رابطة بین نموار تابع مشتق و اولیه طی این 31 سال به‌جز سال 2021 رشد نسبی داشته‌اند. به‌خصوص در 9 سال اخیر تعداد این مقالات به‌صورت نسبی افزایش یافته است. شکل3: سری زمانی مقالات منتشرشده در حوزة نمودار یک تابع و مشتق آن
سنخ‌شناسی پژوهشگران: 26 پژوهش انتخاب‌شده، درمجموع از سوی 44 پژوهشگر به نگارش درآمده‌اند که شکل 4 نشان‌دهندۀ فراوانی توزیع آنهاست؛ همان‌طور که ملاحظه می‌شود، 90 درصد پژوهش‌ها از سوی اعضای هیئت‌علمی و 10 درصد از سوی پژوهشگران و دانشجویان انجام شده‌اند. سهم بالای اعضای هیئت‌علمی در انجام این پژوهش‌ها نشان‌دهندۀ سطح کیفی زیاد پژوهش‌های حوزة رابطة بین نمودار تابع و مشتق آن است.
شکل4: درصد فراوانی پژوهشگران در حوزة رابطة بین تابع و مشتق آن
توزیع جغرافیایی: براساس جدول (2)، 30 درصد تحقیقات در آمریکا، 19 درصد در ترکیه و 11 درصد به‌صورت مشترک از سوی چین و آمریکا انجام شده است.
جدول2: توزیع جغرافیایی کشورهایی که دربارۀ نمودار تابع مشتق و اولیة آن پژوهش انجام داده‌اند
نتایج جدول (5) نشان‌دهندۀ آن است که کشورهای آمریکا، ترکیه و چین بیش از کشورهای دیگر روی این مقوله متمرکز شده‌اند. روش‌های پژوهش مورداستفاده در آثار: ازلحاظ روش استفاده‌شده در پژوهش‌ها، 66 درصد مقاله‌ها از روش پژوهش کیفی، 19 درصد آمیخته و 15 درصد کمی استفاده کرده‌اند (شکل 5). در شکل (4) نمودار میله‌ای درصد انواع تحقیق موردمطالعه آورده شده است.
شکل 5: درصد انواع تحقیقات موردبررسی
بررسی‌ها نشان‌دهندۀ آن است که پژوهشگران به تحقیقات کیفی و درک عمیق پدیده‌ها علاقه دارند. جدول (3) حاکی از انواع تحقیق تجربی در این پژوهش است. مطالعة موردی با 50 درصد بیشترین روش تحقیق بوده است.
جدول 3: انواع تحقیق تجربی بررسی‌شده در این مطالعه
نمونه‌های موردبررسی در آثار: جدول (4) نشان‌دهندۀ توزیع نوع نمونة موردبررسی در پژوهش‌هاست.
جدول 4: توزیع نوع نمونة موردبررسی در پژوهش‌ها
نتایج حاصل از پژوهش‌ها: در این بخش خلاصۀ نتایج حاصل از پژوهش‌های انجام‌شده در فراتحلیل و گزیدة پیشنهادهای پژوهشگران از سال 1992 تا 2022 ارائه شده است. در جدول (5) مشکلاتی که پژوهشگران حین بررسی رابطة بین نمودار تابع مشتق و تابع اولیه مشاهده کردند، به‌همراه پیشنهاد برای رفع این موارد ارائه شده است.
جدول 5: مشکلات مطرح‌شده از سوی پژوهشگران به‌همراه راهکار در رابطه با رسم نمودار تابع مشتق و اولیه
با توجه به جدول (5) مشکلات شاگردان در رابطه با رسم نمودار تابع مشتق و اولیه شامل این موارد است: معادل‌گرفتن شیب با ارتفاع؛ یکسان‌نبودن واحدها روی محور؛ نبودِ تصور پویا و ناتوانی در حرکت بین بازنماییها؛ نبودِ تشخیص رفتار تابع در نقاط عطف قائم، عطف، گوشه، ناپیوسته و نقاط دارای مجانب روی نمودار تابع و متناظر آن روی نمودار تابع مشتق و بالعکس؛ ناتوانی در محاسبة مشتق تقریبی در یک نقطه به کمک جدول مقادیر؛ توجه صرف به ضابطه و داشتن درک ابزاری یا رویهای؛ به‌طور کلی رسم نمودار تابع مشتق یا اولیه. به‌دنبال آن راهکارهایی که پژوهشگران توصیه کرده‌اند، عبارت است از: استفاده از ابزارهای آموزشی و نرم‌افزارها برای درک بهتر شاگرد؛ هماهنگی بین تفکر هندسی و تحلیلی برای رسم بیشتر توابع؛ هماهنگی بین تفکر نقطه‌ای و سرتاسری؛ تقویت استدلال بصری شاگردان، هماهنگی بین تصورهای ذهنی؛ به‌کارگیری تجزیة ژنتیکی و چرخة ACE؛ توجه به فرایند ذهنی توصیفی-کلامی؛ به‌کارگیری استدلال مستقیم و معکوس و ترکیبی در رسم نمودارهای تابع اولیه؛ استفاده از مساحت زیر نمودار تابع مشتق برای یافتن مقادیر تابع اولیه در کتاب‌های درسی؛ تقویت استدلال بصری شاگردان؛ آموزش ویژگی‌های مشتق و تشخیص رابطة دوسویه بین نمودارها. ب) تحلیلی بر چارچوب‌ها: چارچوب‌های ارائه‌شده از سوی پژوهشگران هرکدام دارای ویژگی‌های مختلفی هستند و اشتراکات زیادی نیز بین برخی از آنها وجود دارد. 13 چارچوب اصلی از بین آنها شناسایی شد که البته برخی هم پوشانی دارند (جدول 6). جدول (6) چارچوب‌های پژوهشگران در رابطۀ بین نمودار تابع و مشتق آن
آنچه در جدول (6) قابل‌مشاهده است، 13 چارچوب اصلی در بین پژوهش‌ها مشخص شده است که عبارت است از سه نوع متفکر کروتتسکی (پرسمگ و کروتتسکی، کروتتسکی با نرم افزار اسکچ پد، کروتتسکی با توصیف کلامی)، انواع استدلال‌های ریاضی، درک جبری و نموداری (زندیه)، درک نقطه‌ای و در طول زمان (درک جبری و نموداری؛ با درک نقطه‌ای و در طول زمان)، انواع اتصالات ریاضی، درک معرفت‌شناسی مشتق، APOS (APOS-traid، APOS-traid و OSA، APOS-ACE، APOS و سه جهان ریاضی تال)، چارچوب گفتمان، نقش و عملکرد شهود در یاددهی و یادگیری، تفکر مقداری و مکانی، ATD، تصور مفهوم و تعریف مفهوم و سه لایة آشکارسازی نمودارها. 31 درصد چارچوب‌ها بر مبنای سه متفکر کروتتسکی، 23 درصد بر مبنای APOS و 7 درصد بر مبنای درک نقطه‌ای و جبری انجام شده‌اند. ج) ترکیب یا سنتز چارچوب‌ها: براساس تحلیل انجام‌شده و مطالعة پیشینة تحقیق ترکیب چارچوب‌ها برای بررسی نمودار تابع مشتق و نمودار تابع اولیه انجام شده است (شکل 6)؛ همان‌طور که در شکل (5) دیده می‌شود، هدف بررسی تفکر و رابطة بین نمودار تابع مشتق و تابع اولیه است. چارچوب‌ها از منظرهای مختلف به این موضوع نگاه کرده‌اند و برخی اشتراکاتی نیز دارند. درک ارتباطات و تشابهات بین چارچوب‌ها و شکل (6) به یاددهی و یادگیری رابطة بین نمودار تابع مشتق و تابع اولیه کمک کند. در ادامه، به تشریح بیشتر شکل (6) از منظرهای جنبة تفکر شاگردان، جنبة لایه‌های اشکارسازی نمودار و به‌کارگیری نظریه‌های آموزش ریاضی توجه شده است. جنبة تفکر فراگیران: سه نوع متفکر کروتتسکی (1976) و آسپینوال (1995) شامل تحلیلی، هندسی و هارمونیک با استدلال دانشجویان برای کشف رابطة بین نمودار تابع مشتق و تابع اولیه یعنی استدلال مستقیم، معکوس و ترکیبی ایکرام و همکاران (2020) نظیر می‌شود؛ همچنین مؤلفة تحلیل آسپینوال و همکاران (1997)، جهان نمادین تال (2008) و اتصالات درونی ریاضی گارسیا-گارسیا و دولارس-فلورس (2021) متناظر با متفکر تحلیلی کروتتسکی (1976) و آسپینوال (1995) هستند. مؤلفة توصیفی کلامی چارچوب آسپینوال و همکاران (2008؛ 1997) با متفکر هندسی کروتتسکی (1976) و آسپینوال (1995) نظیر هستند. مؤلفة شهود چارچوب آسپینوال و همکاران (1997) با جهان تجسم تال (2008)، تفکر بصری پرسمگ در مطالعة هاکیومروگلو و همکاران (2010) و نقش‌ها و عملکردهای شهود ناتشه و کارسنتی (2014) همخوانی دارد. از منظر تفکر مقداری و مکانی دیوید و همکاران (2017، 2019) نیز تفکر شاگردان برای هر یک از نمودار تابع اولیه و نمودار تابع مشتق بررسی می‌شود. جنبة لایة‌های آشکارسازی نمودار: سه لایة مهم و سلسله‌مراتبی برای درک رابطة بین نمودار تابع مشتق و تابع اولیه وجود دارد که با آشکارشدن این سه لایه شاگردان به‌راحتی از نمودار تابع اولیه به نمودار تابع مشتق و بالعکس حرکت می‌کنند. سه لایة نموداری که در شکل (6) با سایه نشان داده شده است، عبارت است از لایة آشکارسازی اشیا، روابط و تابع (سوییدان، 2022). شکل 6: ترکیب چارچوب‌های بررسی رابطة بین نمودار تابع مشتق و تابع اولیه
لایة آشکارسازی اشیا برای نمودار تابع اولیه یا مشتق است. این لایه متناظر با لایة حد زندیه (2000) در مطالعة عبدالحمید و ادریس (2014)، درک نقطه به نقطة پژوهش عبدالحمید و همکاران (2019)، استالی (2011)، سطح Intra چارچوب APOS-traid بیکر و کولی تریگوروس (2000)، فونتیلبا و همکاران (2017)، برجی و همکاران (2018a; b) باشد. پس از اینکه این لایه برای شاگرد آشکار شد، وارد لایة بعد یعنی آشکارسازی روابط شود. لایة آشکارسازی روابط سوییدان (2022) با سطح Inter چارچوب APOS-traid، بیکر و کولی تریگوروس (2000)، فونتیلبا و همکاران (2017)، برجی و همکاران (2018 a & b) نظیر شده است. این لایه نیز اهمیت دارد و شاگرد باید رابطه و ویژگی‌های متناظر بین نمودارهای تابع مشتق و تابع اولیه را تشخیص دهد تا بین این دو نمودار حرکت کند. شاگردان اغلب در این لایه مشکلاتی دارند که پژوهشگران برای تسهیل آشکارسازی این لایه، به‌کارگیری نرم‌افزار را توصیه می‌کنند؛ به‌عنوان نمونه، (زازکیس[49]، 2013؛ سوییدان، 2022). لایة سوم و آخرین لایه از منظر سوییدان (2022) همان لایة تابع است. این لایه متناظر با مرحله‌ای است که شاگردان به درک سرتاسری عبدالحمید و همکاران (2019) و استالی (2011) برسند؛ همچنین معادل لایة مشتق زندیه (2000) در مطالعة عبدالحمید و ادریس (2014) و سطح Trans چارچوب APOS-traid، بیکر و کولی تریگوروس (2000)، فونتیلبا و همکاران (2017)، برجی و همکاران (2018 a; b) است. شاگردی که به این مرحله رسیده باشد، با داشتن نمودار تابع اولیه، تابع مشتق آن را رسم می‌کند و بالعکس. به‌کارگیری نظریه‌های آموزش ریاضی: برخی از پژوهشگران به کمک نظریه‌های مختلف آموزش ریاضی درصدد بودند تا جنبه‌ای از درک رابطة بین نمودار تابع و تابع مشتق را برای یاددهی و یادگیری آشکار کنند. ازجمله به نظریه‌های انسان‌شناسی تعلیمی مارتین و گومز (2019)، درک معرفت‌شناسی مشتق اورهان (2012)، تصور مفهوم و تعریف مفهوم تال و وینر (1988) در مطالعة بری و نیمن (2003)، رویکرد هستی‌شناسی- نشانه‌شناسی در مطالعة برجی و همکاران (2018b) اشاره می‌شود. با توجه به جمع‌بندی استنتاج‌شده در شکل (7) چارچوب خلاصه‌تری برای بررسی درک فراگیران از رابطة بین نمودار تابع و نمودار تابع مشتق مشاهده می‌شود. این چارچوب از دو قسمت تشکیل شده است: انواع متفکر (تحلیلی، هندسی، هارمونیک) و فرایند درک شاگردان طی سه لایه درک (مشتق در یک نقطه، رابطة متناظر نقاط نمودار تابع مشتق و تابع اولیه و مشتق به‌عنوان تابع). البته در رسم نمودار تابع مشتق یا اولیه نقش شهود را نباید نادیده گرفت. برای فهم بهتر در دو مرحله این چارچوب تشریح می‌شود: مرحلة اول: نمودار تابع مشتق داده شده است. اگر ضابطة تابع مشتق قابل‌محاسبه یا داده شده باشد، متفکر تحلیلی به سراغ انتگرال رفته و ضابطة تابع اولیه را پیدا کرده و یکی از نمودارها را دقیق رسم می‌کند. متفکر بصری از ویژگی‌ها شامل یکنوایی، نقاط بحرانی، تقعر، اکسترمم، عطف و نقاط مشتق‌ناپذیر کمک گرفته است و متناظر آن در تابع اولیۀ یکی از نمودارهای تقریبی رسم خواهد کرد. منظور از لایة مشتق در یک نقطه درک شاگرد از نقاط مشتق‌پذیر و ناپذیر، نقطة اکسترمم، نقطة عطف و بحرانی است. در لایة دوم شاگرد باید رابطة بین نقاط تابع مشتق را در لایة اول با نقاط متناظر در نمودار تابع اولیه بداند و نظیر کند؛ به‌عنوان مثال، مثبت یا منفی بودن نمودار مشتق متناظر یکنوایی تابع اولیه است. سپس در لایة سوم به‌عنوان یک کل باید نمودار تابع اولیه را با توجه به لایه‌های اول و دوم ترسیم کند. مرحلة دوم: نمودار تابع اولیه داده شده است. اگر ضابطة تابع اولیه قابل‌محاسبه یا داده شده باشد، متفکر تحلیلی به سراغ فرمول مشتق می‌رود و ضابطة تابع مشتق را پیدا کرده و نمودار تابع مشتق را دقیق رسم می‌کند. متفکر بصری از ویژگی‌ها شامل یکنوایی، نقاط بحرانی، تقعر، اکسترمم، عطف و نقاط مشتق‌ناپذیر کمک گرفته (جدول تغییرات تابع) و متناظر آن در تابع مشتق نمودار تقریبی را رسم خواهد کرد. منظور از لایة مشتق در یک نقطه درک شاگرد از نقاط مشتق‌پذیر و ناپذیر، نقطة اکسترمم، نقطة عطف و نقطة بحرانی است. در لایة دوم شاگرد باید رابطة بین نقاط تابع اولیه در لایة اول را با نقاط متناظر در نمودار تابع مشتق بداند و نظیر کند. سپس در لایة سوم به‌عنوان یک کل باید نمودار تابع مشتق را با توجه به لایه‌های اول و دوم ترسیم کند. برخی شاگردان به‌صورت ترکیبی یعنی هم از ضابطه و هم از ویژگی‌ها برای رسم بهره می‌برند. برخی نیز به‌صورت بصری یا بر مبنای تصور خود نمودار را رسم می‌کنند.
شکل 7: چارچوب استنتاج‌شدة رابطة بین نمودار تابع مشتق و تابع اولیه بر مبنای پژوهش‌ها بحث و نتیجه‌گیری پژوهش حاضر به بررسی 26 پژوهش انجام‌شده دربارۀ نمودار تابع مشتق و اولیة آن به روش فراتحلیل کیفی توجه کرده تا نظریة اساسی آنها را مشخص کند. 13 چارچوب اصلی بین بیشتر محققان تعیین شد که شامل سه نوع متفکر کروتتسکی (پرسمگ و کروتتسکی، کروتتسکی با نرم‌افزار اسکچ پد، کروتتسکی با توصیف کلامی)، انواع استدلال‌های ریاضی، درک جبری و نموداری (زندیه)، درک نقطه‌ای و در طول زمان (درک جبری و نموداری؛ با درک نقطه‌ای و در طول زمان)، انواع اتصالات ریاضی، درک معرفت‌شناسی مشتق، APOS (APOS-traid، APOS-traid و OSA، APOS-ACE، APOS و سه جهان ریاضی تال)، چارچوب گفتمان، نقش و عملکرد شهود در یاددهی و یادگیری، تفکر مقداری و مکانی، ATD، سه لایة آشکارسازی نمودار و تصور مفهوم و تعریف مفهوم هستند. هر یک از چارچوب‌ها شباهت‌ها و تفاوت‌هایی با هم دارند. در بررسی فراتحلیل انجام‌شده از سال 1992 به بعد، تمرکز بیشتر پژوهشگران بر چارچوب‌های شامل سه متفکر کروتتسکی (1976) و نظریة APOS بوده است. نه پژوهش با شروع از پایان‌نامة آسپینوال (1994) و استاد راهنمای او پرسمگ با محوریت سه متفکر کروتتسکی انجام شده است. وقتی شاگردان با نمودار تابع مشتق مواجه می‌شوند، ممکن است تفکر تحلیلی، بصری و هارمونیک داشته باشند. بررسی‌ها نشان‌دهندۀ آن است که این نوع تفکر در بیشتر پژوهش‌های دیگر نیز با نام‌های دیگری تکرار شده‌اند؛ به‌عنوان نمونه، انواع استدلال‌های ریاضی ایکرام و همکاران (2020) نیز مشابه این سه نوع تفکر است. همچنین هفت پژوهش با محوریت نظریة APOS به مشکلات شاگردان در زمینة درک نموداری تابع مشتق و تابع اولیه توجه کرده‌اند. پژوهشگران معتقدند که درمان بدفهمی‌های شاگردان در این حوزه به کمک تجزیة ژنتیکی و چرخة ACE مرتفع می‌شود. در تحلیل چارچوب‌ها به نظر می‌رسد، پژوهشگران به‌وضوح مفهوم مشتق در یک نقطه و مشتق به‌عنوان تابع و رابطة بین آنها را در چارچوبشان مشخص نکرده‌اند. محققان تبیین نکرده‌اند که وقتی نمودار تابع مشتق باشد و نمودار تابع اولیه پیدا شود، چه فرایندهایی باید انجام شود. برای درک نموداری تابع مشتق، شاگردان باید دامنة تابع، پیوستگی، مجانب، بازه‌های یکنوایی و تقعر، نقاط مشتق‌ناپذیر، نقاط اکسترمم، بحرانی و عطف را هم در نمودار تابع مشتق و هم نقاط متناظر در نمودار تابع اولیه و نیز ارتباط بین آنها را به‌خوبی بفهمند و بین بازنمایی‌های مختلف جبری، نموداری و عددی حرکت کنند. با وجود تلاش پژوهشگران، همچنان مشکلات شاگردان در این زمینه باقی مانده است و رد پای این پژوهش‌ها در کتاب‌های درسی یا تدریس معلمان و اساتید کمتر دیده می‌شود. در پژوهش حاضر سعی شده است، روی این موضوع تمرکز و این اشتراکات و تفاوت‌ها نشان داده شود تا هم پژوهشگران در مطالعات آیندة خود چارچوب مناسب انتخاب و هم مؤلفان در ارائة این مطلب در کتاب‌های درسی ریاضی تجدیدنظر کنند. علاوه بر آن معلمان و اساتید نیز برای یاددهی بهتر این موضوع از آن بهره ببرند. آسپینوال (1994) در تحقیق خود اشاره می‌کند که بیشتر پژوهش‌های مرتبط با درک نموداری بر فرایندهای مفهومی و ادراکی به‌خصوص بر استخراج اطلاعات جاسازیشده در نمودارها تمرکز دارند. استدلال بصری شاگردان تعیین می‌کند که چگونه نمودارها، اطلاعات را در خود جاسازی می‌کنند. براساس فرضیة استدلال بصری، اثربخشی نمودارها براساس ویژگی‌های بصری- فضایی است و مزیت اصلی آنها پردازش شناختی کمتر در مقایسه با متن است. مطالعة حقجو و ریحانی (2019) دربارۀ توانایی فضایی شاگردان همسو با این مطلب است، به این صورت که دانش‌آموزان شرکت‌کننده در مطالعه برای حل مسئله سعی در کشیدن رسم شکل و استفاده از تصویر به جای متن داشتند. به‌طور خاص، نمودارها اطلاعات را از طریق مؤلفه‌های جداگانة خود و نحوة چیدمان عناصر در فضا به یکدیگر منتقل می‌کنند. کوسلین (1994) اجزای ساختاری نمودارها را به‌عنوان چارچوب، مشخص‌کننده‌ها، برچسب و پس‌زمینه معرفی کرده است. چارچوب مانند محورهای مختصات، اطلاعاتی را دربارۀ انواع داده‌های اندازه‌گیری ارائه می‌دهد. مشخص‌کننده‌ها مانند خط یا منحنی، نشان‌دهندۀ روابط بین داده‌های نمایش داده‌شده در چارچوب هستند. برچسب به‌عنوان خط یا منحنی یا محورها اطلاق می‌شود. پس‌زمینة نمودارها مانند شبکه یا رنگ‌ها و تصاویر هستند که به شفاف‌ترکردن، خواندن و تفسیر داده‌ها کمک می‌کنند. اجزای ساختاری نمودارها بازنمایی‌های مؤثری را تولید می‌کنند که درک روابط موجود را در داده‌ها برای شاگردان آسان‌تر می‌کنند. نمودارها در مقایسه با متن به‌تنهایی مزیت محاسباتی دارند؛ زیرا به شاگردان در بازیابی و استخراج اطلاعات از طریق فرایندهای ادراکی کمک می‌کنند. برای حل مسائل ریاضی در برخورد با متن به‌تنهایی، فراگیران باید قبل از ذخیره‌کردن آنها در حافظة فعال، کل متن را برای یافتن اطلاعات مرتبط و مهم بخوانند یا مرور کنند و در عین حال، به جستجوی سایر بخش‌های مرتبط توجه کنند. فرایندها تا زمانی که تمام اطلاعات در حافظة فعال جمع‌آوری شوند، ادامه می‌یابند. حافظة فعال به دلیل ظرفیت محدود خود شناخته شده است؛ زیرا قادر به نگهداری داده‌ها برای مدت طولانی نیست؛ بنابراین این فرایندها مستعد خطا هستند. از سوی دیگر، نمودارها، به‌طور نظام‌مند اطلاعات را به‌صورت مکانی سازماندهی می‌کنند تا خواندن آنها آسان‌تر شود. شاگردان ممکن است فرایند ذخیره‌سازی داده‌ها را در حافظة فعال نادیده بگیرند؛ زیرا آنها از قبل به‌صورت بصری برای بازیابی و تفسیر در دسترس هستند. این موضوع یکی از دلایلی است که شاگردان در رابطه با ارتباط بین نمودار تابع مشتق و اولیه مرتکب خطا می‌شوند (آسیالا و همکاران، 1997؛ اوبوز، 2007). در چارچوب‌های معرفی‌شده فقط دیوید و همکاران (2017؛ 2019) به این موضوع اشاره کرده‌اند. البته ممکن است به‌طور پیش‌فرض محققان دیگر آن را در نظر گرفته باشند؛ اما اشاره‌ای مستقیم به آن نکرده باشند. نتایج بررسی پژوهش‌هایی مانند عبدالحمید و همکاران (2019) نشان‌دهندۀ آن است که دانشجویان هنگام بررسی نمودار تابع مشتق اول، سعی در پیداکردن یک فرمول برای آن نمودار می‌کنند و سپس به کمک معادله و انتگرال‌گیری نمودار تابع اولیه را تشخیص می‌دهند. بیشتر دانشجویان مانند مشارکت‌کنندگان فونتیلبا و همکاران (2017) وقتی نمودار تابع مشتق به آنها داده می‌شود، از چپ به راست حرکت می‌کنند. برخی شاگردان مانند مشارکت‌کنندگان برجی و همکاران (2018a) وقتی که نمودار تابع مشتق دارای پیچیدگی بود، یعنی نقطة ناپیوستگی یا گوشه یا مجانب یا اکسترمم داشت، دچار سردرگمی می‌شدند و از آن نقطه به سمت راست آن نمودار را اشتباه رسم می‌کردند. شاگردان در رسم نمودارهای به غیر از توابع درجه یک در تابع مشتق و پیداکردن تابع اولیه اشتباهات زیادی داشتند. نقاط مشتق‌ناپذیر را به‌درستی تشخیص نمی‌دادند و نمی‌توانستند وضعیت تناظر بین نقاط مشتق‌ناپذیر و تابع اولیۀ آن را شناسایی کنند. مشتق در یک نقطه را بهتر تشخیص می‌دادند؛ ولی در بررسی مشتق روی بازه با مشکلاتی مواجه بودند. دانشجویانی که تفکر بصری و تحلیلی متعادلی داشتند (تفکر هارمونیک) بیشتر مسائل مرتبط با رسم را به‌درستی حل می‌کردند. تحقیقات آسپینوال (1994)، آسپینوال، شاو و پرسمگ (1997) و هاکیومروگلو، آسپینوال و پرسمگ (2010) به این موضوع توجه کرده‌اند که تصور عینی منشأ مشکلات دانشجویان است و داشتن تصور پویا به درک آنها کمک می‌کند. روابط بین علامت مشتق اول و صعودی / نزولی تابع، علامت مشتق دوم و تقعر تابع و پیوستگی و مشتق‌پذیری در بررسی نمودار تابع مشتق بسیار مهم هستند و دانشجویان در این موارد اشتباهات مفهومی و بدفهمی داشتند. در اتصالات و ارتباطات بین مفاهیم مختلف ریاضی و یا دنیای واقعی و همچنین باورهای آنها مشکلات فراوانی وجود دارد. بازنمایی‌های مختلف مشتق را به‌خوبی شناسایی نمی‌کنند. از لحاظ زبان‌شناسی و درکی که دانشجویان از مشتق در ذهن خود دارند (تصورمفهوم از مشتق)، باعث می‌شود، کلمة ضد مشتق را به معنی رسم نموداری متضاد با نمودار تابع مشتق داده‌شده در نظر بگیرند یا از شباهت بین نمودارهای مشتق و تابع اولیه استفاده کنند. بیشتر شاگردان وجود نقطة عطف در نمودارها، مشکلاتی برایشان ایجاد می‌کند. دلیل این امر شاید نبودِ درک کافی از مفهوم نقطة عطف و به‌طور کلی مشتق در یک نقطه باشد. بر مبنای تحقیقات در کتاب‌های درسی دانشگاهی نیز به مقولة رابطة بین نمودار تابع و نمودار تابع مشتق به خوبی پرداخته نشده است. با توجه به خلاصه ترکیب چارچوب‌ها و پیداکردن شباهت‌ها و تفاوت‌ها به نظر می‌رسد، چارچوب‌های سه متفکر و سه لایه به یاددهی و یادگیری رابطة بین نمودار تابع مشتق و تابع اولیه کمک کند. با توجه به فراتحلیل انجام‌شده برای بهبود یاددهی و یادگیری رابطة بین نمودار تابع مشتق و تابع اولیه بهتر است، شاگردان مشتق در یک نقطه، مشتق به‌عنوان تابع و اتصال و هماهنگی بین ویژگی‌های نمودار تابع اولیه و مشتق را به‌خوبی بشناسند.
[1]. Haghjoo [2]. Haghjoo & Reyhani [3]. Zandieh [4]. Aspinwall [5]. Feudel & Biehler [6]. Haciomeroglu [7]. Feudel [8]. Ubuz [9]. Asiala [10]. Haciomeroglu & Chicken [11]. Reprezentation [12]. NCTM [13]. Mainali [14]. Relational understanding [15]. Duval [16]. Visualization [17]. Ziatdinov & Valles [18]. Visual reasoning [19]. Zimmermann [20]. Intuition [21]. Ziatdinov & Valles [22]. Geçici & Türnüklü [23]. Hughes-Hallett [24]. Yan [25]. Zimmermann & Cunningham [26]. Swidan [27]. Rule of Three [28]. محققان دو مطالعۀ دیگر در این خصوص به چاپ رسانده‌اند (Haghjoo, et al., 2022 ; 2020؛Haghjoo & Reyhani, 2021). [29]. Timulak [30]. Garwood [31]. Aali [32]. «پرکاربردترین اصطلاح، برای آنچه به‌عنوان فراتحلیل کیفی از آن یاد می‌شود، فراسنتز کیفی است. نویسندگانی که اصطلاح فراسنتز را ترجیح می‌دهند، استدلال می‌کنند که رویۀ فراتحلیل، دربارۀ فراتحلیل کیفی، بیشتر تفسیری است تا گردآوری (فینفگلد، 2003)؛ بنابراین اصطلاح «سنتز» مناسب‌تر است. در عوض، استدلال برای استفاده از اصطلاح فراتحلیل کیفی، به‌کارگیری این اصطلاح به همان صورتی پیشنهاد می‌شود که در تحقیقات کمی استفاده شده است(تیمولاک، 2009). [33]. Tarkhan & Mostafavi [34]. Getting started [35]. Intellectual interest [36]. Deciding what is relevant to the initial interest [37]. موارد ترجیحی در گزارش مقالات مروری نظام‌مند و فراتحلیل [38]. Reading the studies [39]. Lawson & Parker [40]. Determining if and how the studies are related [41]. Translating the studies into one another [42]. Reciprocal Translation [43]. Line of arguments [44]. Synthesising translations [45]. Expressing the synthesis [46]. Bryman [47]. Cohen’s kappa coefficient [48] Genetic decomposition [49]. Zazkis | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| مراجع | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
حقجو، سعید و ریحانی، ابراهیم. (1398). مطالعۀ عملکرد دانش‌آموزان دورۀ دوم متوسطه در حل یک تکلیف توانایی فضایی با استفاده از نظریه SOLO. فناوری آموزش، 13(3)، 498-487. doi: 10.22061/jte.2018.3687.1918
حقجو، سعید و ریحانی، ابراهیم. (1400). فراتحلیل کیفی چارچوب‌های ارزیابی مهارت‌های طرح مسئلة ریاضی. فصلنامۀ علمی پژوهش در یادگیری آموزشگاهی و مجازی،9(3)، 28-9. doi: 10.30473/etl.2022.58505.3483
طرخان، رضا علی و مصطفوی، زینب. (1399). ارائۀ چهارچوب مفهومی برای تسهیل روند تعامل در محیط یادگیری الکترونیکی با استفاده از روش فراترکیب. رویکردهای نوین آموزش،15(2)، 136-113. doi: 10.22108/nea.2021.116797.1365
عالی، آمنه و همکاران. (1397). چه موقع یادگیری مسئله‌محور اثربخش‌تر است: یک فراتحلیل. رویکردهای نوین آموزشی، 13 (2)، 94-77. 13(2)، 94-77. doi: 10.22108/nea.2019.105216.1104
Abd Hamid, H., & Idris, N. (2014). Student’s visual reasoning of the connection between function and its derivative: A graphical approach. Jurnal Pendidikan Sains dan Matematik Malaysia, 4(2), 39–48.
Abd Hamid, H., Idris, N., & Tapsir, R. (2019). Students’ use of graphs in understanding the concepts of derivatives. Southeast Asian Mathematics Education Journal, 9(1), 3–16.
Asiala, M., Cottrill, J., Dubinsky, E., & Schwingendorf, K. E. (1997). The development of students' graphical understanding of the derivative. The Journal of Mathematical Behavior, 16(4), 399–431.
Aspinwall, L. N. (1994). The role of graphic representation and students' images in understanding the derivative in calculus: Critical case studies (Doctoral dissertation, The Florida State University).
Aspinwall, L., & Shaw, K. L. (2002). Representations in calculus: Two contrasting cases. The Mathematics Teacher, 95(6), 434.
Aspinwall, L., Haciomeroglu, E. S., & Presmeg, N. (2008). Students’ verbal descriptions that support visual and analytic thinking in calculus. Proceedings of PME 32 and PME-NA 30, 2, 97–104.
Aspinwall, L., Shaw, K. L., & Presmeg, N. C. (1997). Uncontrollable mental imagery: Graphical connections between a function and its derivative. Educational studies in mathematics, 33(3), 301–317.
Baker, B., Cooley, L., & Trigueros, M. (2000). A calculus graphing schema. Journal for Research in Mathematics Education, 31(5), 557–578.
Berry, J. S., & Nyman, M. A. (2003). Promoting students’ graphical understanding of the calculus. The Journal of Mathematical Behavior, 22(4), 479–495.
Borji, V., Alamolhodaei, H., & Radmehr, F. (2018a). Application of the APOS-ACE theory to improve students’ graphical understanding of derivative. EURASIA Journal of Mathematics, Science and Technology Education, 14(7), 2947–2967.
Borji, V., Font, V., Alamolhodaei, H., & Sánchez, A. (2018b). Application of the complementarities of two theories, apos and osa, for the analysis of the university students’ understanding on the graph of the function and its derivative. EURASIA Journal of Mathematics, Science and Technology Education, 14(6), 2301–2315.
Bryman, A. (2012). Social research methods (4th ed.). Oxford university press.
Çetin, N. (2009). The ability of students to comprehend the function-derivative relationship with regard to problems from their real life. Primus, 19(3), 232–244.
David, E. J., Roh, K. H., & Sellers, M. E. (2019). Value-thinking and location-thinking: Two ways students visualize points and think about graphs. The Journal of Mathematical Behavior, 54, 100675.
Dreyfus, T., & Halevi, T. (1991). QuadFun--A case study of pupil computer interaction. Journal of Computers in Mathematics and Science Teaching, 10(2), 43–48.
Duval, R. (2017). Understanding the mathematical way of thinking-The registers of semiotic representations. Cham: Springer International Publishing.
Feudel, F. (2019). Die ableitung in der mathematik für wirtschaftswissenschaftler. Wiesbaden: Springer.
Feudel, F., & Biehler, R. (2021). Students’ understanding of the derivative concept in the context of mathematics for economics. Journal für Mathematik-Didaktik, 42(1), 273–305. doi.org/10.1007/s13138-020-00174-z
Finfgeld, D. L. (2003). Metasynthesis: The state of the art—so far. Qualitative Health Research, 13(7), 893-904.
Frejd, P. (2013). Modes of modelling assessment—A literature review. Educational Studies in Mathematics, 84(3), 413–438.
Fuentealba, C., Sánchez-Matamoros, G., Badillo, E., & Trigueros, M. (2017). Thematization of derivative schema in university students: Nuances in constructing relations between a function's successive derivatives. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 48(3), 374–392.
García-García, J., & Dolores-Flores, C. (2021). Pre-university students’ mathematical connections when sketching the graph of derivative and antiderivative functions. Mathematics Education Research Journal, 33(1), 1–22.
Garwood, J. D., McKenna, J. W., Roberts, G. J., Ciullo, S., & Shin, M. (2021). Social studies content knowledge interventions for students with emotional and behavioral disorders: A meta-analysis. Behavior modification, 45(1), 147–176.
Geçici, M. E., & Türnüklü, E. (2021). Visual reasoning in mathematics education: a conceptual framework proposal. Acta Didactica Napocensia, 14(1), 115–126.
Gonzalez-Martin, A., & Hernandes-Gomes, G. (2019, February). The graph of a function and its antiderivative: A praxeological analysis in the context of mechanics of solids for engineering. In Eleventh Congress of the European Society for Research in Mathematics Education (No. 20). Freudenthal Group; Freudenthal Institute; ERME.
Haciomeroglu, E. S., & Chicken, E. (2012). Visual thinking and gender differences in high school calculus. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 43(3), 303–313.
Haciomeroglu, E. S., Aspinwall, L., & Presmeg, N. C. (2009). Connecting research to teaching: visual and analytic thinking in calculus. The Mathematics Teacher, 103(2), 140–145.
Haciomeroglu, E. S., Aspinwall, L., & Presmeg, N. C. (2010). Contrasting cases of calculus students' understanding of derivative graphs. Mathematical Thinking and Learning, 12(2), 152–176.
Haghjoo, S. & Reyhani, E. (2020). How has the derivative been presented in Iranian mathematics textbooks over four decades?- ETEST 2020: Emerging Trends In Engineering Science and Technology - Ankara, Turkey, Feb, 16–17, 2020.
Haghjoo, S. Radmehr, F. & Reyhani, E. (2022). Analyzing the written discourse in calculus textbooks over 42 years: The case of primary objects, concrete discursive objects, and a realization tree of the derivative at a point - Educational Studies in Mathematics. [Accepted]
Haghjoo, S., & Reyhani, E. (2021). Undergraduate basic sciences and engineering students’ understanding of the concept of derivative. JRAMathEdu (Journal of Research and Advances in Mathematics Education), 6(4), 277–298.
Haghjoo, S., Reyhani, E., & Kolahdouz, F. (2020). Evaluating the understanding of the university students (basic sciences and engineering) about the numerical representation of the average rate of change. International Journal of Educational and Pedagogical Sciences, 14(2), 111–121.
Hähkiöniemi, M. (2006). The role of representations in learning the derivative. University of Jyväskylä.
Hallett, D. H. (1994). for precalculus reform. In Preparing for a New Calculus: Conference Proceedings (No. 36, p. 111). Mathematical Assn of Amer.
Heid, M. K. (1988). Resequencing skills and concepts in applied calculus using the computer as a tool. Journal for Research in Mathematics Education, 19(1), 3–-25.
Hong, Y. Y., & Thomas, M. O. (2015). Graphical construction of a local perspective on differentiation and integration. Mathematics Education Research Journal, 27(2), 183–200.
Hughes-Hallett, D. (1995). Changes in the teaching of undergraduate mathematics: The role of technology. In Proceedings of the International Congress of Mathematicians (pp. 1546-1550). Birkhäuser, Basel.
Hughes-Hallett, D., Gleason, A. M., & McCallum, W. G. (2020). Calculus: Single and multivariable. John Wiley & Sons.
Ikram, M., Purwanto, P., Parta, I. N., & Susanto, H. (2020). Mathematical reasoning required when students seek the original graph from a derivative graph. Acta Scientiae, 22(6), 45–64.
Kastberg, S. E. (2002). Understanding mathematical concepts: The case of the logarithmic function.Doctoral dissertation, University of Georgia.
Kosslyn, S. M. (1994). Elements of graph design. WH Freeman.
Krutetskii, V. A. (1976). The psychology of mathematical abilities in schoolchildren. Chicago: University of Chicago Press.
Lawson, K., & Parker, R. (2019). How do young people with special educational needs experience the transition from school to further education? A review of literature. Pastoral Care in Education, 37(2), 143–161.
Mainali, B. (2021). Representation in teaching and learning mathematics. International Journal of Education in Mathematics, Science and Technology, 9(1), 1–21.
Monk, G. S. (1994). Students' understanding of functions in calculus courses. Humanistic Mathematics Network Journal, 1(9), 7.
National Council of Teachers of Mathematics. (2000). Principles and standards for school mathematics. NCTM.
Natsheh, I., & Karsenty, R. (2014). Exploring the potential role of visual reasoning tasks among inexperienced solvers. ZDM, 46(1), 109–122.
.
Orhun, N. (2012). Graphical understanding in mathematics education: Derivative functions and students’ difficulties. Procedia-Social and Behavioral Sciences, 55, 679–684.
Orton, A. (1983). Students' understanding of differentiation. Educational Studies in Mathematics, 14(3), 235–250.
Page, M. J., McKenzie, J. E., Bossuyt, P. M., Boutron, I., Hoffmann, T. C., Mulrow, C. D., ... & Moher, D. (2021). Updating guidance for reporting systematic reviews: Development of the PRISMA 2020 statement. Journal of Clinical Epidemiology, 134, 103–112.
Piaget, J., & García, R. (1983). Psychogenesis and the history of science. New York: Columbia University Press.
Pinto-Vergara, A., Soto, D., & Gaete-Peralta, C. (2022). Meaning of the derivative as a rate of change through a graphic argumentation. A case with chilean students. Journal of Physics: Conference Series (Vol. 2159, No. 1, p. 012016). IOP Publishing.
Presmeg, N. (2006). Research on visualization in learning and teaching mathematics: Emergence from psychology. Handbook of research on the psychology of mathematics education (pp. 205–235). Brill Sense.
Presmeg, N. (2020). Visualization and learning in mathematics education. Encyclopedia of mathematics education, 900–904.
Presmeg, N. C. (1985). The role of visually mediated processes in high school mathematics: A classroom investigation.Doctoral dissertation, University of Cambridge.
Presmeg, N. C. (1986). Visualisation and mathematical giftedness. Educational Studies in Mathematics, 17(3), 297–311.
Radovic, D., Black, L., Williams, J., & Salas, C. E. (2018). Towards conceptual coherence in the research on mathematics learner identity: A systematic review of the literature. Educational Studies in Mathematics, 99(1), 21–42.
Swidan, O. (2022). Meaning making through collective argumentation: The role of students’ argumentative discourse in their exploration of the graphic relationship between a function and its anti-derivative. Teaching Mathematics and its Applications: An International Journal of the IMA, 41(2), 92–-109.
Tall, D. (2008). The transition to formal thinking in mathematics. Mathematics Education Research Journal, 20(2), 5–24.
Tall, D., & Vinner, S. (1981). Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics, 12(2), 151–169.
Timulak, L. (2009). Meta-analysis of qualitative studies: A tool for reviewing qualitative research findings in psychotherapy. Psychotherapy Research, 19(4-5), 591–600.
Timulak, L. (2014). Qualitative meta-analysis. SAGE.
Ubuz, B. (2007). Interpreting a graph and constructing its derivative graph: Stability and change in students’ conceptions. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 38(5), 609–637.
Yan, X., Marmur, O., & Zazkis, R. (2020). Calculus for teachers: Perspectives and considerations of mathematicians. Canadian Journal of Science, Mathematics, and Technology Education, 20(2), 10–1007.
Zandieh, M. (2000). A theoretical framework for analyzing student understanding of the concept of derivative. CBMS Issues in Mathematics Education, 8, 103–127.
Zazkis, D. (2013). Fostering students’ understanding of the connection between function and derivative: a dynamic geometry approach. In Proceedings of the Conference for Research in Undergraduate Mathematics Education.
Ziatdinov, R., & Valles, J. R. (2022). Synthesis of modeling, visualization, and programming in geogebra as an effective approach for teaching and learning stem topics. Mathematics, 10(3), 398.
Zimmermann, W., & Cunningham, S. (1991). Editor’s introduction: What is mathematical visualization. Visualization in teaching and learning mathematics, 1–7. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
آمار تعداد مشاهده مقاله: 143 تعداد دریافت فایل اصل مقاله: 55 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||