مدل‌سازی چندهدفۀ فازی زمان‌بندی پروژه با محدودیت منابع چندمهارته: با قابلیت تغییر سطح مهارت‌ها و انقطاع فعالیت‌ها

1- مقدمه

زمان‌بندی یکی از مسائل مهم در برنامه‌ریزی پروژه و بخشی از مدیریت پروژه است. زمان‌بندی پروژه عبارت است از تعیین زمان شروع هریک از فعالیت‌های پروژه، با توجه به محدودیت‌ها و به‌منظور رسیدن به یک یا چند هدف مشخص (دمئولمستر و هرولن[i]، 1996؛ رنجبر[ii] و همکاران، 2022). یکی از مهم‌ترین شاخه‌های حوزۀ دانشی زمان‌بندی پروژه، مسئلۀ زمان‌بندی پروژه با منابع محدود[iii] است. بروکر[iv] (1999) بیان می‌کند که مسائل زمان‌بندی، مسائل زمان‌بندی کارگاهی، جریان کارگاهی، زمان‌بندی و دیگر مسائل زمان‌بندی همگی زیرمجموعۀ این مسائل به حساب می‌آیند. این مسئله با توجه با ماهیت غیر چند جمله‌ای سختی[v] که دارد، یکی از دشوارترین و پیچیده‌ترین مسائل تحقیق در عملیات به شمار می‌رود.

با گسترش زمان‌بندی پروژه با منابع محدود، یک فعالیت می‌تواند از چندین راه یا حالت انجام گیرد که هریک از حالات، منعکس‌کنندۀ ترکیبی از زمان لازم و منابع موردنیاز برای انجام فعالیت مدنظرند (هارتمن و بریسکون[vi]، 2011). این مفهوم جدید سبب توسعۀ یکی از عمومی‌ترین حالت‌های مسائل زمان‌بندی با عنوان زمان‌بندی پروژه با منابع محدود چندحالته شده است که بسیاری از مسائل واقعی را با استفاده از آن می‌توان مدل‌سازی کرد. با این حال MRCPSP  مسئله‌ای مهم و سخت شناخته شده است؛ زیرا بلازویک[vii] و همکاران (1983) اثبات کرده‌اند که RCPSP یک مسئلۀ NP-hard است و درنتیجه حالت عمومی‌تر آن یعنی MRCPSP نیز یک مسئلۀ NP-hard خواهد بود. جامع‌ترین مطالعه و دسته‌بندی در زمینۀ مسئلۀ زمان‌بندی پروژه با منابع محدود و زیرشاخه‌های گسترش‌یافتۀ آن را می‌توان در تحقیقات هارتمن و بریسکون (2011)، دمئولمستر و هرروئلن (1996)، یو آن[viii] و همکاران (2021)، سون[ix] و همکاران (2022) و مولالینگ[x] و همکاران ( 2022) جست‌وجو کرد. به همین سبب پژوهشگران در این پژوهش به‌دنبال بهینه‌کردن سیاست زمان‌بندی پروژه و استخدام مهارت‌هایند.

به‌طور کلی می‌توان گفت که دو عنصر زمان و هزینه در هر پروژه از اهمیت بسیار بالایی برخوردارند. در هر پروژه هزینۀ تأمین منابع مختلف مورد نیاز برای به انجام رساندن فعالیت‌ها، بیشترین سهم از هزینه‌های پروژه را به خود اختصاص می‌دهد؛ بنابراین با کاهش منابع تخصیص داده شده به پروژه، هزینه‌های پروژه کاهش خواهد یافت و این در حالی است که کاهش منابع در دسترس، به معنی نبود امکان اجرای هم‌زمان فعالیت‌ها و یا انجام فعالیت‌ها در کوتاه‌ترین زمان ممکن است که این امر به سهم خود باعث افزایش مدت‌زمان پروژه می‌شود. این در حالی است که در تمامی پروژه‌ها، اتمام پروژه‌ها در زودترین زمان ممکن یکی از پارامترهای مهم پروژه در نظر گرفته می‌شود. با توجه به کاربرد عملی بالای مسئلۀ مورد بررسی، می‌توان در نظر گرفتن مسئلۀ زمان‌بندی پروژه را با سرمایه‌گذاری منابع چندمهارته، با امکان تغییر سطح مهارت‌ها در شرایط فازی، گامی مثبت در جهت نزدیک‌ترکردن مسائل زمان‌بندی پروژه، با سرمایه‌گذاری منابع، به واقعیت دانست. به همین سبب محقق، اهداف متعددی مدنظرش است که مهم‌ترین این موارد به شرح ذیل است:

• توسعه و بهبود یک مدل ریاضی چندهدفه و چندحالته برای توسعه و حل مسئلۀ زمان‌بندی پروژه با سرمایه‌گذاری منابع چندمهارته، با تغییر سطوح مهارت‌ها در شرایط فازی؛
• ارائۀ الگوریتم فرا ابتکاری چندهدفۀ ژنتیک و فاختۀ چندهدفه به‌‌عنوان روشی برای حل مسئلۀ زمان‌بندی پروژه، با منابع چندمهارته و سرمایه‌گذاری آن با تغییر سطوح مهارت‌ها در شرایط فازی؛
• طراحی آزمایش‌ها برای تنظیم پارامترهای الگوریتم‌های فرا ابتکاری؛
• تولید مسائل نمونه و ارزیابی روش حل پیشنهادی؛
• ارائۀ پیشنهادهایی برای تحقیقات آتی.

2 مبانی نظری پژوهش

در زبان‌های گوناگون و حتی در سازمان‌های مختلف هر کشور دربارۀ واژه‌های برنامه، طرح یا پروژه، اختلافات لغوی، معنایی قانونی وجود دارد؛ از این رو چارچوب آنان روشن و آشکار نیست و گاه به‌جای یکدیگر نیز استفاده می‌شوند. آرمان‌ها و اهداف تعیین‌شدۀ حکومت در سطح برنامه‌ریزی بلندمدت یا استراتژیک، برنامه نامیده می‌شود که این برنامه‌ها دارای اهداف کیفی‌اند؛ مانند برنامۀ توسعۀ صنایع شیمیایی، برنامۀ توسعۀ شبکۀ راه‌های کشوری. دستیابی به این اهداف و آرمان‌ها در یک فاصلۀ زمانی بلندمدت، که معمولاً بین ده تا بیست و پنج سال است، امکان‌پذیراست. پس از اینکه برنامه‌ها در سطح برنامه‌ریزی بلندمدت مشخص شدند، هر برنامه در سطح برنامه‌ریزی میان‌مدت یا تاکتیکی توسط مدیریت طراز اول یا سیستم اجرایی کشور، به مجموعه‌ای از طرح‌ها یا برنامه‌های اجرایی تفکیک می‌شود. یک پروژه مجموعه‌ای از فعالیت‌هاست که برای دستیابی به‌ منظور یا هدف خاصی انجام می‌گیرد. پروژه‌ها شامل فعالیت‌هایی‌اند که باید در تاریخ‌های معین، با هزینه‌های معین و کیفیت تعیین‌شده‌ای به انجام برسند. لازمۀ موفقیت هر پروژه، دستیابی توأمان به هر سه عامل زمان، هزینه و کیفیت معین است و خارج‌شدن هریک از سه عامل مذکور از حدود تعیین‌شده، می‌تواند به انجام پروژه‌ای ناموفق و غیراقتصادی منجر شود (شجاعی و بطحایی[xi]، 1391).

2-1 مدیریت پروژه

مدیریت پروژه عبارت است از به‌کارگیری دانش، مهارت‌ها، ابزارها و تکنیک‌ها در جهت انجام پروژه، به‌منظور تحقق الزامات پروژه. به‌طورکلی فعالیت‌های مدیریت پروژه عبارت‌اند از:

• تعریف پروژه و انجام فعالیت‌های اولیه؛
• برنامه‌ریزی فعالیت‌های اصلی پروژه؛
• اجرا و کنترل پروژه.

همان‌طور که مشخص است، یکی از مهم‌ترین وظایف مدیریت پروژه، تهیۀ زمان‌بندی انجام فعالیت‌هاست که یکی طرح مناسب و مطابق با اهداف در راستای استفادۀ بهینه از منابع و تجهیزات، تحویل به موقع پروژه و برآورده‌سازی الزامات پروژه این نقش را ایفا می‌کند.

2-2 زمان‌بندی پروژه

 نظر به اینکه عامل اصلی ایجاد انگیزۀ رقابت در امر تجارت، در دهۀ اخیر، زمان است (فقیه و منتظری[xii]، 2008) و یکی از مهم‌ترین شاخص‌های موفقیت پروژه‌ها، عملکرد زمان‌بندی آنهاست، بنابراین بدیهی است که یکی از اساسی‌ترین وظایف در حیطۀ مدیریت پروژه، زمان‌بندی پروژه است (هارتمن[xiii]، 2002). زمان‌بندی در حالت کلی به معنای تخصیص زمان‌های شروع به فعالیت‌هاست. با این حال، تعاریف گوناگونی برای زمان‌بندی یک پروژه مطرح شده است. برای مثال می‌توان مسئلۀ زمان‌بندی پروژه را پاسخ به این پرسش دانست که با در دست داشتن مجموعه‌ای از فعالیت‌ها و مجموعه‌ای از منابع، به‌طوری که هرکدام از فعالیت‌ها به مقدار خاصی از هریک از منابع نیاز دارند تا اجرا شوند و میزان در دسترس بودن هریک از منابع در حد معینی است، وجود یک‌سری معیارهای ارزیابی کارایی، بهترین راه برای تخصیص منابع به فعالیت‌ها، به‌گونه‌ای که مقدار معیار کارایی بهینه شود، کدام است؟

با توجه به تعاریف مختلف زمان‌بندی یک پروژه بدیهی است که زمان‌بندی، یکی از مراحل مهم یک سیستم مدیریت پروژه است که مسیر بهینۀ انجام پروژه را طراحی می‌کند، به نحوی که محدودیت‌های مربوط به وابستگی میان فعالیت‌ها و نیز محدودیت‌های منابع در دسترس، برقرار باشد و اهداف مدنظر از اجرای پروژه، تأمین شود.

2-3 تک‌هدفه‌کردن مدل‌های چندهدفه: برنامه‌ریزی آرمانی

 برنامه‌ریزی آرمانی یکی از تکنیک‌های مسائل تصمیم‌گیری چندهدفه و یک روش بسیار کارآمد در تصمیم‌گیری چندهدفه است و تکنیکی است که نگرش متفاوتی را دربارۀ حل انواعی از مسائل برنامه‌ریزی ارائه می‌کند که دارای اهداف چندگانه و متعارض‌اند و اولویت اهداف، توسط تصمیم‌گیرنده تعیین می‌شود. برخلاف برنامه‌ریزی خطی که مستقیماً به بهینه‌سازی تابع هدف می‌پردازد، برنامه‌ریزی آرمانی به مینیمم‌کردن انحراف بین اهداف و راه‌حل بهینه می‌پردازد. در این نوع برنامه‌ریزی روش‌های متعددی به‌جهت حل مسئلۀ زمان‌بندی وجود دارد که می‌توان به دستۀ ذیل طبقه‌بندی کرد:

• روش‌های دقیق مبتنی بر برنامه‌ریزی صفر و یک، شاخه و کران و طرح‌های شمارشی؛
• روش‌های ابتکاری مبتنی بر قوانین ارجحیت؛
• روش‌های فرا ابتکاری.

2-4 پژوهش‌های صورت‌گرفته دربارۀ زمان‌بندی پروژه با محدودمنابع چندمهارته

مسئلۀ زمان‌بندی پروژه با منابع محدود[xiv]، به‌دنبال تعیین توالی زمانی یا برنامۀ زمان‌بندی برای انجام یک‌سری فعالیت‌های وابستۀ تشکیل‌دهندۀ پروژه، با در نظر گرفتن تعدادی محدودیت است (آرتیگوئس[xv] و همکاران، 2009). اولین فرمول‌بندی این مسائل که از دهۀ 1950 درخور توجه محققان این حوزه قرار گرفته‌ است، در سال 1969 ارائه شد (پریتسکر[xvi] و همکاران، 1969). این نوع مسائل به‌لحاظ خصوصیات مربوط به فعالیت‌ها، منابع و توابع هدف بسیار متنوع‌اند (هارتمن و بریسکون، 2011).

در جامع‌ترین هندبوک‌های زمان‌بندی پروژه مانند دمئولمستر و هرولئن (1996) نیز نامی از این مسئله برده نشده است. برای اولین‌بار مسئلۀ MSPSP را نرون و همکاران[xvii] (2002) ارائه کردند. آنها پروژه‌ای را مطرح کردند که فقط با مهارت‌های انسانی انجام می‌شود. در مدل‌های ارائه‌شده توسط آنها، فرض بر این است که مهارت‌های افراد در زمینه‌های کاری در صورت داشتن مهارت، یکسان است. سپس توسعه‌ای از مسئلۀ MSPSP که مسئلۀ کلاسیک MSPSP با سطوح سلسله‌مراتبی از مهارت است و هدف حداقل‌کردن زمان انجام پروژه با فرض اینکه فعالیت‌ها نمی‌توانند قطع شوند، توسط نرون و همکاران (2002) در نظر گرفته شد و آنها حد پایینی برای این مسئله ارائه دادند.

مطالعۀ ذوالفقاری و موسوی[xviii] (2021)، یک ساختار خطی جدید از مدل برنامه‌ریزی عدد صحیح مختلط را برای انتخاب و زمان‌بندی پورتفولیوی پروژه با در نظر گرفتن مدیریت منابع، جریان نقدی، هزینۀ تأخیر و استحکام پروژه‌های متعدد پیشنهاد می‌کند. علاوه بر این، برای توصیف بهتر موقعیت‌های پروژه در زندگی واقعی، یک رویکرد راه‌حل جدید براساس متغیرهای تصادفی فازی، با ارزش بازه‌ای مثلثی معرفی می‌شود تا عدم ‌قطعیت‌های فازی و تصادفی را در مدل‌های برنامه‌ریزی ریاضی ترکیب کند. پاتوقی و موسوی[xix] (2021) بیان می‌کنند که در نظر گرفتن هم‌زمان مسائل مربوط به تدارکات مواد و زمان‌بندی پروژه، درخور ‌توجه‌ترین زمینه‌ها در مدیریت پروژه است. مقدار سفارش، یک عامل کلیدی است؛ زیرا با حفظ موجودی کامل مواد مورد نیاز، احتمال کمبود مواد و ناکارآمدی مربوطه کاهش می‌یابد؛ اما هزینه‌های نگهداری موجودی به‌طور چشمگیری افزایش می‌یابد. علاوه بر این، در صورت خرید مقدار کمی از مواد مورد نیاز، تأخیر در فعالیت‌های فردی و درنتیجه در تکمیل پروژه افزایش می‌یابد. مطالعۀ لی[xx] و همکارانش (2021) بر مسئلۀ زمان‌بندی کارگاه کار انعطاف‌پذیر سبز توزیع‌شدۀ چندهدفه، با زمان پردازش فازی نوع 2 بررسی شده است. همچنین به حداقل رساندن زمان ساخت و مصرف کل انرژی به‌طور هم‌زمان در نظر گرفته شده است. برای حل چنین مشکل سختی، یک الگوریتم تکاملی دانش‌محور دومرحله‌ای[xxi] پیشنهاد شده است که فرایند تکاملی را به دو مرحله تقسیم می‌کند.

   والس[xxii] و همکاران (2009)، یک راه‌حل برای مسئلۀ زمان‌بندی پروژه را با نیروی کار چند مهارته ارائه کردند. آنها نیروی کار را در سه سطح ارشد، استاندارد و تازه‌کار طبقه‌بندی کردند. هدف، حداقل‌کردن مدت‌زمان انجام پروژه است. آنها برای حل این مسئله از یک الگوریتم ژنتیک ترکیبی استفاده کردند. پژوهش‌های متعدد دیگری دربارۀ مبحث زمان‌بندی پروژه با محدودمنابع چندمهارته، انجام گرفته است که در جدول 1 مشاهده می‌کنید.

تورابی یگانه و زگوردی[xxiii] (2020) بیان می‌کنند که عدم قطعیت یکی از بخش‌های اصلی محیط مدیریت پروژه است که می‌تواند به‌شدت بر اهداف پروژه تأثیر بگذارد و باعث تأخیرهای پیش‌بینی‌ناشدنی شود. این مطالعه یک رویکرد بهینه‌سازی چندهدفه را برای ساخت برنامه‌های پروژۀ انعطاف‌پذیر، تحت محدودیت‌های منابع برای مقابله با مدت‌زمان فعالیت نامشخص ارائه می‌کند. در این مقاله، مفهوم زمان‌بندی پروژۀ انعطاف‌پذیر برای اندازه‌گیری توانایی زمان‌بندی‌ها، برای مقابله با اختلال در طول مدت تعریف می‌شود. نظر به اینکه ارزیابی مستقیم تاب‌آوری ازنظر محاسباتی پیچیده و زمان‌بر است، یک معیار تاب‌آوری جایگزین جدید معرفی شده است. معیارهای تاب‌آوری پیشنهادی، شناوربودن فعالیت‌ها و ریسک‌های مرتبط با تکمیل پروژه را اندازه‌گیری می‌کند. علاوه بر این، یک مدل جدید مبتنی بر ترکیبی از بافر زمانی و رویکرد تخصیص شناور توسعه داده شده است. برای گسترش مدل‌های زمان‌بندی پروژۀ موجود با عدم قطعیت، روابط تقدم کلی بین فعالیت‌ها در نظر گرفته شده است. برای اعتبارسنجی رویکرد پیشنهادی، پروژۀ ساخت نیروگاه سیکل ترکیبی به‌عنوان مطالعۀ موردی استفاده می‌شود. با توجه به تعداد زیادی از فعالیت‌های پروژه در این مطالعۀ موردی، از الگوریتم ژنتیک مرتب‌سازی غیرغالب (NSGA II) برای حل مشکل استفاده شده است. نتایج حل مدل ریاضی با استفاده از روش پیشنهادی ازطریق آزمایش‌های شبیه‌سازی گسترده ارزیابی و با نتایج جدول پایه مقایسه می‌شود. نتایج نشان می‌دهد با در نظر گرفتن معیار تاب‌آوری پیشنهادی و تخصیص بهینۀ زمان بافر به فعالیت‌ها، پروژه در همان مدت‌زمان با قابلیت اطمینان بالاتر به پایان رسید.

حبیبی[xxiv] و همکاران (2020) بیان می‌کنند که برنامه‌ریزی مناسب و واقع‌بینانه، عامل مهم موفقیت هر پروژه است. درواقع، زمان‌بندی پروژه بیشتر شامل چندین هدف است که باید به‌طور هم‌زمان محقق شوند و با عدم قطعیت‌های متعددی مواجه می‌شوند که ممکن است یکپارچگی زمان‌بندی طراحی‌شده را تضعیف کند؛ بنابراین نحوۀ برخورد با این ‌گونه عدم قطعیت‌ها، برای برنامه‌ریزی مؤثر، اهمیت ویژه‌ای دارد. یک برنامۀ زمان‌بندی واقع‌بینانه باید تغییرات مبتنی بر زمان را در ظرفیت منابع تجدیدپذیر، میزان منابع مورد نیاز را برای انجام فعالیت‌ها و تأثیر کلی چنین تغییراتی را بر برنامه در نظر بگیرد. این مدل با هدف به حداقل رساندن طول عمر پروژه، به حداکثر رساندن استحکام زمان‌بندی و به حداکثر رساندن ارزش فعلی خالص، منافع مالک پروژه و پیمانکار را به‌طور هم‌زمان در نظر می‌گیرد. دو الگوریتم راه‌حل چندهدفۀ NSGA-II و MOPSO با روش تاگوچی اصلاح و تنظیم شده‌اند تا برای تعیین مجموعۀ راه‌حل‌های بهینۀ پارتو برای مسئلۀ پیشنهادی استفاده شوند.

انصاری[xxv] و همکاران (2022) بیان می‌کنند که در شرایط متغیر امروزی، اختلالات تصادفی باعث پیچیدگی در مدیریت پروژۀ ساختمانی شده است. در این مطالعه، یک رویکرد چندهدفه برای تعیین اندازۀ بافرهای زمانی در پروژه‌های مهندسی و ساختمانی پیشنهاد شده است. مسئله به‌عنوان یک مدل برنامه‌ریزی تصادفی دومرحله‌ای فرموله شده است. به‌منظور بررسی کارایی مدل، روش پیشنهادی با رویکردهای مدیریت زنجیرۀ بحرانی کلاسیک و توسعه‌یافته مقایسه شد. اعتبارسنجی با استفاده از آزمایش‌های شبیه‌سازی انجام‌شده در آزمون داده‌های معیار و یک مورد واقعی از یک پروژۀ مهندسی انجام می‌شود. نمونه‌های عددی و مطالعات موردی برای اعتبارسنجی روش پیشنهادی ارائه شد. نتایج، کارایی روش بافر زمانی چندهدفۀ پیشنهادی را در وضعیت واقعی نشان می‌دهد. نتایج نشان می‌دهد روش اندازه‌گیری بافر قوی پیشنهادی، برخلاف روش‌های سنتی، به یک طرح پایدارتر منجر می‌شود.

در تحقیق پیشنهادی، هدف اصلی توسعه و نزدیک‌شدن موضوع مسئلۀ زمان‌بندی پروژه با سرمایه‌گذاری منابع چندمهارته به دنیای واقعی است. با توجه به بررسی پژوهش‌های انجام‌شده، تاکنون فعالیت‌ها صرفاً یک حالت اجرایی داشته و توابع هدف به‌صورت تک‌هدفه و تمام پارامترها در شرایط قطعی ارائه شده و محدودیت تجدیدناپذیر ارائه شده‌اند. بر همین اساس در تحقیق پیشنهادی، یک مدل ریاضی چندهدفه با قابلیت اجرای فعالیت‌ها در حالت‌های مختلف فازی ارائه خواهد شد. در توابع پیشنهادی محققان که در بالا به آنها اشاره شد، مواردی لحاظ نشده است که محققان در این پژوهش به آن توجه ورزیده‌اند و به‌نوعی نوآوری تحقیق محسوب می‌شود که به شرح ذیل است:

• توسعۀ مدل ریاضی چندهدفه که در آن هزینه‌های منابع چندمهارته و زمان اتمام پروژه به‌عنوان دو هدف به‌طور هم‌زمان در نظر گرفته شده است؛
• ارائۀ مدل ریاضی با قابلیت انجام فعالیت‌ها در حالت‌های مختلف؛
• در نظر گرفتن مدل پیشنهادی در شرایط فازی که شامل هزینۀ هر سطح از مهارت و مدت‌زمان اجرای هر فعالیت در هر سطح مهارت‌ها؛
• در نظر گرفتن محدودیت‌های منابع تجدیدناپذیر؛
• ارائۀ روش‌های فرا ابتکاری چندهدفۀ ژنتیک و فاختۀ چندهدفه برای ابعاد بزرگ مسئله.

توابع هدف شامل کمینه‌سازی هزینه‌های استفاده از منابع چندمهارته و زمان امتداد پروژه است. همچنین از الگوریتم‌های فرا ابتکاری چندهدفۀ ژنتیک و فاخته برای حل مسئلۀ پیشنهادی استفاده خواهد شد. به‌صورت خلاصه تفاوت و توسعۀ مدل پیشنهادی نسبت‌به مدل پایه در جدول 1 نشان ‌داده ‌شده است.

جدول 1- توسعۀ مدل پیشنهادی نسبت‌به مدل‌های گذشته

Table 1- Development of the proposed model compared to past models

3- روش تحقیق

مسئلۀ زمان‌بندی پروژه با منابع محدود، بیش از نیم‌قرن است که ذهن دانشمندان و مدیران پروژه را در حوزۀ مدیریت پروژه به خود مشغول کرده است. در این بخش مدل ریاضی پیشنهادی الگوریتم‌های فرا ابتکاری ژنتیک برای حل مدل پیشنهادی ارائه و به‌تفضیل توضیح داده می‌شود. همچنین متغییرهای طراحی به شکل فازی انتخاب شده‌اند که دلیل آن این بوده است که ما در این تحقیق به پاسخ‌های تقریبی نیاز داشته‌ایم و از سویی به‌دنبال ایجاد توابع غیرخطی با پیچیدگی‌های دلخواه بوده‌ایم؛ به همین سبب از منطق فازی بهره‌گیری کرده‌ایم. وقتی ما منطق عدم قطعیت را می‌گذاریم، تقریباً به گزاره‌ای، اطمینان کافی را نداریم، ولی در منطق فازی ما می‌گوییم گزاره یا متغییر ما درصدی از روابط موجود را دارد و درصدی نیز خطا در آن رخ خواهد داد؛ یعنی در منطق فازی تا حدودی به قطعیت رسیده‌ایم. همچنین ما روش بهینه‌ساز اثرزا را انتخاب نکرده‌ایم؛ زیرا این روش نیز به‌دنبال یک جواب قطعی بین دو یا چند جواب ممکن است که درواقع با هدف پژوهش ناسازگار است. هدف کلان پروژۀ الگویی شناور و منعطف منطبق با مسائل زمان‌بندی و سرمایه‌گذاری است که تنها به کمک منطق فازی امکان رسیدن به این الگو میسر است.

3-1 تشریح مسئله

در این پژوهش، برای اجرای هر فعالیت نیاز به چند مهارت وجود دارد. هدف، تعیین بهینۀ دسترسی منابع و پیداکردن بهترین برنامۀ زمان‌بندی با حداقل‌کردن سرمایه‌گذاری بر منابع است. به این جهت فرضیات مسئله با وجود تعددهای متکثر به شرح ذیل است:

• فعالیت‌های ابتدایی و انتهایی به‌صورت فعالیت‌های مجازی‌اند؛
• تمام پارامترها قطعی‌اند؛
• تمام منابع موردنیاز در زمان شروع پروژه در دسترس‌اند؛
• هر مهارتی ممکن است در یکی از سطح‌ها استفاده شود؛
• سطوح بالاتر مهارت‌ها به اجرای سریع‌تر با هزینۀ بیشتر منجر می‌شود؛
• هر فعالیت ممکن است به یک یا چند مهارت نیاز داشته باشد؛
• تمام مهارت‌های مورد نیاز در زمان شروع هر فعالیت در دسترس‌اند.

3-2 پارامترهای مدل ریاضی

𝑃_𝑖: مجموعۀ پیش‌نیازهای فعالیت‌ها

𝑟_{𝑖𝑚𝑘𝑙}: تعداد نیروی مورد نیاز برای اجرای فعالیت i با استفاده از مهارت k در سطح l در حالت اجرایی m ام (به‌صورت فازی است).

𝐶𝑟_𝑘𝑙𝑡: هزینۀ استفاده از مهارت k در سطح l در زمان tام.

𝑆_𝑖: مجموعۀ مهارت‌های مورد نیاز برای اجرای فعالیت i ام.

𝐷𝐷: افق برنامه‌ریزی پروژه (زمان اتمام پروژه).

𝑊_𝑖𝑘: حجم کاری فعالیتi مربوط به مهار k ام.

ṽ_{i𝑚𝑘𝑙}: سرعت اجرای (پیشرفت) فعالیت i با استفاده از سطح l ام، مهارت k در حالت اجرایی m ام (به‌صورت فازی است).

𝑟𝑓_𝑖𝑚𝑓: تعداد واحدهای مورد نیاز از منبع تجدیدناپذیرf برای انجام فعالیتi ام.

𝑅𝐹_𝑓: حداکثر واحدهای در دسترس از منبع تجدیدناپذیرf ام.

: تعداد در دسترس سطح l از مهار k در زمان t ام.

𝑠_𝑖𝑘: زمان شروع مهار k برای اجرای فعالیتi ام.

𝑐_𝑖𝑘: زمان اتمام مهار k برای اجرای فعالیتi ام.

𝑠𝑖: زمان شروع فعالیتi ام.

𝑐𝑖: زمان اتمام فعالیتi ام.

: اگر فعالیتi توسط مهار k در سطح l و در حالت m و در زمان t شروع شود.

: اگر فعالیتi توسط مهار k در سطح l و در حالت m و در بازۀ زمانی [t-1,t] در حال اجرا باشد.

3-3 مدل پیشنهادی ریاضی

3-4 الگوریتم ژنتیک چندهدفه

مسائل بهینه‌سازی دنیای واقعی مشخصه‌ها و محدودیت‌هایی دارد که باید در توسعۀ الگوریتم‌های بهینه‌سازی درخور توجه قرار گیرند. درواقع مسائل دنیای واقعی از نوع مسائل چندهدفه‌اند و برای حل آنها باید الگوریتم‌های حلی را طراحی کرد که قادر به ارائۀ جواب‌های مصالحه‌ای با در نظر گرفتن همۀ اهداف و مشخصه‌های این مسائل باشند. با توجه به توابع  که شامل r عنصر (معیار بوده) و بر مجموعۀ مرجع R تعریف شده است، مسئلۀ چندهدفۀ ترکیبی زیر را در نظر بگیرید.

در مسئلۀ بالا درواقع تصویر یک حل‌شدنی مانند 𝑋∈𝑅، یک نقطه در فضای جواب‌ها مانند (𝑍 = 𝑓(𝑥 است. الگوریتم ژنتیک در هر تکرار با مجموعه‌ای از جواب‌ها کار می‌کند. به جمعیت در هر تکرار الگوریتم، نسل گفته می‌شود. برای تولید نسل جدید از دو عملگر ژنتیکی موسوم به تقاطع و جهتش استفاده می‌شود. عملگر جهش برای ایجاد تنوع در بین جواب‌هاست. عملگر تقاطع برای ایجاد تمرکز ما بین دو جوابی است که به‌عنوان والد انتخاب می‌شوند. انتخاب والدین و عمل تقاطع با روش‌های مختلف انجام می‌شود. حضور مجدد باعث می‌شود جواب‌های بهتر از بین نروند. این عملگرها باعث می‌شوند نسل جدید نسبت‌به نسل قبلی تکامل پیدا کند. برای ارزیابی جواب‌ها، به هر جواب مقدار برازشی اختصاص ‌یابد که برای مسائل تک‌هدفه برابر مقدار تابع هدف در آن نقطه و برای مسائل چندهدفه، بسته به نوع الگوریتم، مقادیر مختلفی تعریف می‌شود. پس از چندین بار تکرار این فرآیند و گذشت چندین نسل، الگوریتم به ناحیۀ خاصی از فضای جواب همگرا می‌شود.

3-5 الگوریتم جست‌وجوی فاخته

در راستای بهینه‌سازی زمان‌بندی پروژه، دانشمندان از الگوهای طبیعی برای بهینه‌سازی و انتخاب بهینه استفاده کرده‌اند که بسیاری از الگوریتم‌های ابتکاری و فرا ابتکاری از این جمله‌اند و معروف‌ترین این الگوریتم‌ها، الگوریتم ژنتیک، کلونی مورچگان، کلونی زنبور عسل، حرکت تجمعی ذرات و سیستم‌های ایمنی مصنوعی و الگوریتم جست‌وجوی فاخته است. یانگ و دب[xxvi] (2009) الگوریتم تراریخته را پایه‌ریزی کرده و آن را بر پایۀ سه اصل ساده قرار داده‌اند:

• هر پرنده در هر زمان تنها یک تخم می‌گذارد؛
• آن را در لانه‌ای قرار می‌دهد که به‌صورت تصادفی انتخاب شده است؛
• لانه‌هایی که تخم‌های باکیفیت بهتری دارند، به نسل آینده انتقال می‌یابند.

هر تخم فاخته‌ای که در لانه گذاشته شده است، درواقع نمایندۀ یک راه‌حل است. در جست‌وجوی فاختۀ معمولی چون در هر لانه فقط و فقط یک تخم گذاشته می‌شود، هر لانه نیز نمایندۀ یک راه‌حل است. به بیان دیگر راه‌حل، لانه، تخم، فاخته و زیستگاه هر پنج مورد به یک مفهوم اشاره دارند. راه‌های جدید در جست‌وجوی فاخته به کمک پرواز لوی با رابطۀ زیر تولید می‌شوند که این پژوهش نیز اساس خویش را بر این رابطه قرار داده است (رابطۀ 1).

که α اندازۀ گام‌ها و ⊗ عملگر ضرب مؤلفه به مؤلفه است. در دنیای واقعی هرچقدر تخم‌های فاخته به تخم‌های پرندۀ میزبان شباهت بیشتری داشته باشد، شانس عدم شناسایی تخم‌ها بیشتر و احتمال بقا بالاتر است؛ بنابراین عاقلانه است که اندازۀ گام‌های الگوریتم، ضریبی از اختلاف بین راه‌حل موجود و بهترین راه‌حل باشد (رابطۀ 2).

4 مطالعات کاربردی و یافته‌ها

الگوریتم ژنتیک چندهدفه: الگوریتم‌های ژنتیک مختلفی برای حل مسائل تک‌هدفه وجود دارد. در این گام پارامترهای الگوریتم ژنتیک تنظیم می‌شود. تعداد مراحل اجرای الگوریتم نیز صرفه‌جویی در زمان و فضای سیستم محاسباتی را تداعی می‌کند. عامل‌ها و سطوح مدنظر برای انجام تنظیم پارامتر به شرح جدول 2 است.

جدول 2- عوامل و سطوح آن برای آزمایش توسط الگوریتم ژنتیک چندهدفه

Table 2-. Factors and their levels for testing by multi-objective genetic algorithm

برای عوامل در نظر گرفته شده از جدول استاندارد آرایه‌های متعامد، مناسب‌ترین آرایۀ طرح L9 (با 4 فاکتور و در 3 سطح) برای الگوریتم NSGAII است که در جدول 3 آورده شده است.

جدول 3- آرایۀ متعامد پیشنهادی برای الگوریتم ژنتیک چندهدفه

Table 3- Proposed orthogonal array for multi-objective genetic algorithm.

برای جمع‌آوری داده‌های مربوط به آرایه‌های متعامد پیشنهادشده، باید برای هر ترکیب از سطوح، عوامل الگوریتم اجرا و داده‌ها جمع‌آوری شود. برای اجرای هر آزمایش، یک مسئلۀ نمونه در نظر گرفته شده است. هریک از 9 آزمایش مختلف طراحی‌شده در آرایۀ متعامد L9 برای الگوریتم NSGAII، برای هریک از مسائل، سه بار اجرا شده است. در شکل 1 نتایج به دست آمده از اجرای تنظیم پارامتر الگوریتم ژنتیک نمایش داده شده است. همچنین سطح بهینۀ هرکدام از پارامترها در جدول 4 نمایش داده شده است.

شکل 1- نرخ (S/N) برای هر سطح از فاکتورهای الگوریتم ژنتیک چندهدفه

 Pop: اندازۀ جمعیت الگوریتم؛ Iter: تعداد نسل‌های الگوریتم؛ Pc: انتخاب کروموزوم‌ها برای عمل تقاطع؛ Pm:انتخاب کروموزوم‌ها برای عمل جهش

Fig. 1- Rate (S/N) for each level of multi-objective genetic algorithm factors. Pop: algorithm population size; Iter: the number of generations of the algorithm; Pc: selection of chromosomes for crossover operation; Pm: Selection of chromosomes for mutation

جدول 4- سطوح بهینۀ پارامترهای الگوریتم ژنتیک چندهدفه

Table 4- Optimal levels of multi-objective genetic algorithm parameters

به این ترتیب برای پارامتر الگوریتم ژنتیک چندهدفه، سطوح بهینه به دست می‌آید. با قراردادن این سطوح در پارامترهای الگوریتم، الگوریتم ژنتیک چندهدفه با عملکرد بالاتری به جست و جواب بهینه می‌پردازد. پس از این گام نتایج حاصل از حل مسائل نمونه با الگوریتم ژنتیک مرتب‌سازی نامطلوب استخراج می‌شود که به شکل مبسوط در جدول 5 آمده است.

جدول 5- نتایج مربوط به حل مسائل نمونه برای الگوریتم ژنتیک چندهدفه

 MID:فاصلۀ نزدیکی بین جواب‌های نامغلوب و نقطۀ ایده‌آل؛ S: فاصلۀ نسبی جواب‌های نامغلوب؛ D: معیار بیشترین گسترش؛ NPS: تعداد جواب‌های نامغلوب ازطریق الگوریتم.

Table 5- Results related to solving sample problems for multi-objective genetic algorithm

 MID: close distance between the non-dominant solutions and the ideal point; S: relative distance of non-dominant answers;
D: criterion of the greatest expansion; NPS: number of non-superior answers through the algorithm

الگوریتم فاختۀ چندهدفه: در این قسمت نیز به تعیین مقادیر بهینۀ الگوریتم فاختۀ چندهدفه پرداخته می‌شود. پارامترهای اصلی الگوریتم فاختۀ چندهدفه به ترتیب عبارت‌اند از:

• اندازۀ جمعیت هر الگوریتم به Cuckoo نشان داده می‌شود؛
• تعداد نسل‌های الگوریتم فاختۀ چندهدفه[xxvii]؛
• گام‌های فاخته با آلفا نشان داده می‌شود؛
• شعاع حرکت با بتا نشان داده می‌شود.

پارامترها (عوامل) همراه با سطوح آنها برای الگوریتم فاختۀ چندهدفۀ پیشنهادی در جدول 6 آمده است.

جدول 6- عوامل و سطوح آن برای آزمایش توسط الگوریتم فاختۀ چندهدفه

Table 6- Factors and their levels for testing by multi-objective cuckoo algorithm

با مراجعه به جدول استاندارد آرایه‌های متعامد در روش تاگوچی و با استفاده از نرم‌افزار مینی تب، آرایۀ متعامد L9(3^4 به‌عنوان مناسب‌ترین طرح انتخاب می‌شود. آرایه‌های متعامد این طرح به ‌مانند آرایه‌های متعامد الگوریتم ژنتیک چندهدفه است که از ذکر مجدد آن خودداری می‌شود. همچنین نتایج حاصل از انجام آزمایش‌ها به‌صورت شکل 2 است. همچنین سطح بهینه هریک از پارامترها در جدول 7 آورده شده است. در این مطالعه، ما یک مدل بهینه‌سازی زمان‌بندی پروژۀ چندهدفه را با نیازهای منابع و ظرفیت‌های متغیر را با زمان پیشنهاد می‌کنیم. دلیل استفاده از روش پارامتر تاگوچی این است که پژوهشگر به‌دنبال یک طرح آزمایش برای عوامل کنترل‌شدنی و یک طرح آزمایش دیگر برای عوامل تعدیل یا کنترل نشدنی است. تاگوچی تحلیل میانگین پاسخ را برای هر اجرا و همچنین تحلیل تغییرات را با استفاده از نسبت سیگنال به اختلال (S/N) به‌طور مناسب انتخاب می‌کند که باید در این پژوهش نیز لحاظ شود؛ پس به همین سبب از روش تاگوچی بهره‌گیری شده است. روش‌های راه‌حل پیشنهادی با استفاده از پانزده مسئله در اندازه‌های مختلف، که از کتابخانۀ مسئلۀ زمان‌بندی پروژه (PSPLIB) مشتق شده‌اند، ارزیابی می‌شوند. درنهایت، راه‌حل‌های الگوریتم‌ها براساس پنج معیار ارزیابی می‌شوند. مقایسه‌ها نشان می‌دهد NSGA-II نتایج بهتری نسبت‌به الگوریتم MOPSO دارد. همچنین، ما نشان می‌دهیم که نادیده‌گرفتن تغییرات مبتنی بر زمان در مصرف و در دسترس بودن منابع، ممکن است به دست کم ‌گرفتن ساخت پروژه و انحراف درخور توجه از دنبالۀ فعالیت بهینه منجر شود.

شکل 2- نرخ (S/N) برای هر سطح از فاکتورهای الگوریتم فاختۀ چندهدفه

Fig. 2- Rate (S/N) for each level of multi-objective cuckoo algorithm factors

جدول 7- سطوح بهینۀ پارامترهای الگوریتم فاختۀ چندهدفه

Table 7- Optimal levels of parameters of multi-objective cuckoo algorithm

درنهایت نتایج حل مسئله‌های نمونه با استفاده از الگوریتم فاختۀ چندهدفه حاصل شد؛ مواردی که پس از چند آزمون و خطای گسترده حاصل شد. در انتها مهم‌ترین این نتایج به شرح جدول 8 است.

جدول 8- نتایج مربوط به حل مسائل نمونه برای الگوریتم فاختۀ چندهدفه

Table 8- Results related to solving sample problems for the multi-objective cuckoo algorithm

5 بحث

در این قسمت عملکرد دو الگوریتم NSGA II و MOCOA بررسی می‌شود. نظر به اینکه بررسی عملکرد مستقیم الگوریتم‌های چندهدفه به‌طور مستقیم میسر نیست، باید از شاخص‌های استاندارد کمک گرفته شود.

  بررسی عملکرد این دو الگوریتم نیز با توجه ‌به سه شاخص بیشترین گسترش، مدت‌زمان حل مسائل و فاصله از جواب ایده‌آل انجام می‌شود. بعد از مشخص‌کردن شاخص‌ها، مقادیر شاخص‌های دو الگوریتم مقایسه می‌شود. در این پژوهش برای مقایسۀ دو الگوریتم از آزمون T و با فاصلۀ اطمینان 95درصد استفاده شده است. برای مقایسۀ کارایی دو الگوریتم از آزمون t استفاده می‌شود. با استفاده از این آزمون فرض، می‌توان بررسی کرد که آیا بین میانگین‌های دو جمعیت مختلف و مستقل از هم که توزیع نرمال دارند، اختلافی وجود دارد یا خیر. اگر 𝜇₁ و 𝜇₂ شاخص‌های هریک از دو الگوریتم در نظر گرفته شود، فرضیۀ صفر بیان می‌کند که بین شاخص‌های دو الگوریتم هیچ تفاوتی وجود ندارد و فرضیۀ مقابل آن حکم به داشتن اختلاف بین شاخص‌های دو الگوریتم می‌دهد.

زمانی که انحراف معیار برای هر دو الگوریتم نامعلوم و نابرابر باشد، آمارۀ آزمون از رابطۀ زیر محاسبه می‌شود:

در صورتی که 𝐻₁: 𝜇₁ ≠ 𝜇₂ آنگاه 𝐻 ₀رد می‌شود، اگر |t| ≥ t . نتایج مربوط به آزمون t با اطمینان 95درصد با استفاده از نرم‌افزار مینی، برای شاخص‌های ذکرشدۀ مینی تب در جداول 10-13 آورده شده است.

شاخص تعداد جواب‌های پارتو: آزمون t زوجی بر شاخص تعداد جواب‌های پارتو نتایج به دست آمده توسط هریک از الگوریتم‌های پیشنهادی، برای نشان‌دادن اینکه اختلاف معنی‌داری بین هریک از آنها وجود دارد یا خیر، انجام می‌شود که نتایج آن به شرح جدول 9 آمده است.

جدول 9- آزمون فرض برابری تعداد جواب‌های پارتو

Table 9- Test of the assumption of equality of the number of Pareto solutions

فرض صفر نشان‌دهندۀ برابری میانگین تعداد جواب‌های تولیدشده توسط دو الگوریتم در برابر فرض برابرنبودن آنهاست. با توجه به مقدار P-Value که بیشتر از میزان سطح اطمینان 5درصد است، فرض صفر رد نمی‌شود. نتیجۀ آزمون نشان می‌دهد که تفاوت معناداری بین تعداد جواب‌های پارتوِ تولیدشدۀ الگوریتم‌ها وجود ندارد.

شاخص فاصله‌گذاری الگوریتم‌های پیشنهادی: آزمون فرض صفر شاخص فاصله‌گذاری الگوریتم‌های فرا ابتکاری انجام شد که نتایج آن در جدول 10 آورده شده است. همان‌طور که ذکر شد، اگر مقدار P-Value کمتر از میزان سطح اطمینان 5درصد باشد، فرض صفر رد می‌شود. نتیجۀ آزمون نشان‌دهندۀ برابرنبودن شاخص فاصله‌گذاری الگوریتم‌هاست. با توجه به نتایج فوق مشخص است که الگوریتم ژنتیک چندهدفه نسبت‌به الگوریتم فاختۀ چندهدفه عملکرد بهتری دارد.

جدول 10- شاخص فاصله‌گذاری الگوریتم‌های پیشنهادی

Table10- Spacing index of the proposed algorithms

شاخص فاصله از جواب ایده‌آل: آزمون t زوجی بر شاخص فاصله از جواب ایده‌آل نتایج به دست آمده توسط هریک از الگوریتم‌های پیشنهادی، برای نشان‌دادن اینکه اختلاف معنی‌داری بین هریک از آنها وجود دارد یا خیر، انجام می‌شود که نتایج آن در جدول 11 آورده شده است. یکی از شاخص‌هایی که می‌تواند به تصمیم‌گیری دربارۀ مقایسۀ الگوریتم‌ها کمک کند، شاخص فاصله از نقطۀ ایده‌آل است. با توجه به انجام آزمون t دربارۀ شاخص فاصله از نقطۀ ایده‌آل نشان داده می‌شود که به‌علت نزدیک به صفر شدن مقدار P-Value اختلاف معناداری بین میانگین مقدار فاصله از نقطۀ ایده‌آل برای دو الگوریتم وجود دارد. همچنین با توجه به کمتربودن مقدار میانگین این شاخص برای الگوریتم ژنتیک چندهدفه، این الگوریتم در این شاخص عملکرد بهتری دارد.

جدول 11- آزمون فرض برابری میانگین شاخص فاصله از نقطۀ ایده‌آل

Table 11- Test of the equality of the mean distance index from the ideal point

شاخص بیشترین گسترش: نتایج مربوط به آزمون فرض شاخص بیشترین گسترش در جدول 12 آورده شده است. با توجه به نتایج به دست آمده از آزمون t مشخص است که فرض صفر رد شده است. نظر به اینکه معیار بیشترین گسترش هرچه بیشتر باشد بهتر است، الگوریتم ژنتیک چندهدفه، عملکرد مناسب‌تری نسبت‌به الگوریتم فاختۀ چندهدفه داشته است.

جدول 12- آزمون t برای آزمون فرض برابری میانگین شاخص بیشترین گسترش

Table 12- t-test for the test of the equality of the mean of the greatest expansion index

با مقایسۀ الگوریتم‌ها با شاخص‌های مذکور، مشخص می‌شود که الگوریتم ژنتیک چندهدفه در معیارهای فاصله از جواب ایده‌آل، فاصله‌گذاری و بیشترین گسترش، عملکرد به‌مراتب بهتری نسبت‌به الگوریتم فاختۀ چندهدفه داشته است؛ ولی دربارۀ تعداد جواب‌های پارتو، الگوریتم ژنتیک چندهدفه، بر الگوریتم فاختۀ چندهدفه برتری نداشته است.

6- نتیجه‌گیری

یکی از مهم‌ترین شاخه‌های حوزۀ دانشی زمان‌بندی پروژه، مسئلۀ زمان‌بندی پروژه با منابع محدود است. این مسئله با توجه به ماهیت غیر چند جمله‌ای سختی که دارد، یکی از دشوارترین و پیچیده‌ترین مسائل تحقیق در عملیات به شمار می‌رود. با گسترش RCPSP یک فعالیت می‌تواند از چندین راه‌حل یا حالت انجام گیرد که هریک از این حالات، منعکس‌کنندۀ ترکیبی از زمان لازم و منابع مورد نیاز برای انجام فعالیت مدنظرند (هارتمن و بریسکون، 2011). این مفهوم جدید سبب توسعۀ یکی از عمومی‌ترین حالت‌های مسائل زمان‌بندی با عنوان زمان‌بندی پروژه با منابع محدود چندحالته شده است که بسیاری از مسائل واقعی را با استفاده از آن می‌توان مدل‌سازی کرد. با این حال MRCPSP به‌عنوان مسئله‌ای مهم و سخت شناخته شده است؛ زیرا بلازویک و همکاران (1983) اثبات کرده‌اند که RCPSP یک مسئلۀ NP-hard است و درنتیجه حالت عمومی آن یعنی MRCPSP نیز یک مسئلۀ NP-hard خواهد بود.

نظر به اینکه مسئلۀ زمان‌بندی پروژه جزء مسائل NP-hard محسوب می‌شود و مسئلۀ زمان‌بندی پروژه با منابع چندمهارته نیز حالت توسعه‌یافتۀ مسئلۀ مذکور است، درنتیجه این تحقیق جزء مسائل NP-hard است. به همین سبب برای حل مسئلۀ پیشنهادی روش فرا ابتکاری ژنتیک چندهدفه و فاخته انتخاب و برای حل مسئله از آنها استفاده شد. با مقایسۀ الگوریتم‌ها با شاخص‌های بیشترین گسترش، فاصله از جواب ایده‌آل، فاصله‌گذاری و تعداد جواب‌های پارتو مشخص شد که الگوریتم ژنتیک چندهدفه در معیارهای فاصله از جواب ایده‌آل، فاصله‌گذاری و بیشترین گسترش، عملکرد به مراتب بهتری نسبت‌به الگوریتم فاختۀ چندهدفه داشته است؛ ولی دربارۀ تعداد جواب‌های پارتو، الگوریتم ژنتیک چندهدفه، بر الگوریتم فاختۀ چندهدفه برتری نداشته است؛ بنابراین می‌توان گفت که الگوریتم ژنتیک چندهدفه نسبتاً عملکرد بهتری نسبت‌به الگوریتم فاختۀ چندهدفه دارد. نتایج تدوین‌شدۀ پژوهش به شرح ذیل است:

• با توجه به نیاز فعالیت‌ها به مهارت‌های مختلف و همچنین تخصص اعضای پروژه در مهارت‌های گوناگون، بدیهی به نظر می‌رسد که می‌توان هر فعالیت را با تعداد حالات متنوعی ازنظر تخصیص نیروی انسانی انجام داد که امکان دارد تعداد آنها فقط برای یک فعالیت به بیش از چند 10 حالت برسد. درنتیجه در مقایسه با MRCPSP این مسئله پیچیدگی به مراتب بالاتری دارد.
• مسئلۀ سرمایه‌گذاری در منابع (RIP) نوعی از RCPSP است که در آن محدودیت‌های منابع تجدیدپذیر، متغیرهای تصمیم‌گیری در نظر گرفته می‌شود.
• در بسیاری از پروژه‌ها مدیران علاوه بر تصمیم‌گیری دربارۀ زمان اجرای فعالیت‌ها، باید میزان منابع تخصیص داده شده به فعالیت‌ها را در هر دوره از اجرای فعالیت‌ها با توجه به وضعیت پروژه تعیین کنند که این موضوع به معنی در نظر نگرفتن الگوی ثابت مصرف منابع برای فعالیت‌ها در طول اجرای آنهاست.

6-1 پیشنهادهایی برای پژوهش‌های آتی

  در این قسمت برای توسعه و نزدیک‌ترکردن این زمینۀ تحقیقاتی به دنیای واقعی در پژوهش‌های آتی، می‌توان به موارد متعددی اشاره کرد. با این حال سه رکن پیشنهادی به شرح ذیل است. البته باید به شرایط و بسترهای آینده نیز توجه ویژه‌ای کرد:

• ارائۀ روش‌های حل متفاوت با روش حل‌های این پژوهش: علاوه بر الگوریتم ژنتیک و فاختۀ چندهدفه، روش‌های متعددی برای حل مسئلۀ NP-hard وجود دارد که تعدادی از آنها در قسمت مروری بر پیشینه‌ها معرفی شدند. به‌عنوان مطالعات آتی، پیشنهاد می‌شود تا مسئلۀ زمان‌بندی پروژۀ منابع چندمهارته را با روش‌ها و الگوریتم‌های دیگر حل و بررسی و نتایج به دست آمده از این روش‌ها را با نتایج به دست آمده از الگوریتم ژنتیک و فاختۀ چندهدفه مقایسه کرد.
• در نظر گرفتن توابع هدف مختلف دیگر: به عنوان مطالعات آتی، در این زمینه می‌توان از توابع هدف مختلف دیگر نظیر کمینه‌سازی زمان اتمام پروژه استفاده کرد.
• در نظر گرفتن تسطیح منابع تجدیدپذیر: به‌عنوان مطالعات آتی، می‌توان تسطیح منابع تجدیدپذیر را علاوه بر محدودیت‌های مسئله در نظر گرفت؛ به‌طوری که هنگام بهینه‌یابی، تسطیح منابع تجدیدناپذیر نیز هم‌زمان انجام گیرد.

[i] Demeulemeester & Herroelen

[ii] Ranjbar et. al

[iii] RCPSP

[iv] Brooker

[v] NP-hard

[vi] Hartman &Briskorn

[vii] Blazewicz et. al

[viii] Yuan et. al

[ix] Sun et. al

[x] Mollalign et. al

[xi] Shujaei  &Bathai

[xii] Faghih &Montazeri

[xiii] Hartmann

[xiv] RCPSP

[xv] Artigues et. al

[xvi] Pritsker et. al

[xvii] Néron et. al

[xviii] Zolfaghari& Mousavi

[xix] Patoghi & Mousavi

[xx] Li et. al

[xxi] TS-KEA

[xxii] Valls et. al

[xxiii] Torabi Yeganeh, F., & Zegordi

[xxiv] Habibi et. al

[xxv] Ansari et. al

[xxvi]Yang  & Deb

[xxvii]MaxIter