1- مقدمه[1]

TRMS [1] مدل آزمایشگاهی از هلیکوپتر و الگوی مفید برای ارزیابی استراتژی‌های کنترل به علت پیچیدگی و اثرات تداخل میان پروانه‌های سیستم است و در اختیار محققان قرار می‌گیرد تا بدین‌وسیله کنترل‌کننده‌های طراحی‌شده، بدون خطر روی سیستم‌های اصلی پیاده‌سازی شوند و نتایج آن را مشاهده کنند [1]. TRMS از دو هواپیمای عمودی و افقی تشکیل ‌شده و از دیدگاه سیستمی، سیستم دو ورودی - دو خروجی است که دو موتور DC با دو زاویۀ کنترل‌شده، کنترل سیستم را بر عهده‌ دارند [2]. در سیستم TRMS تداخل شدیدی میان هواپیمای افقی و هواپیمای عمودی وجود دارد که این تداخل به‌طور مستقیم بر حرکت و سرعت دو موتور تأثیر می‌گذارد [3]. تا کنون تحقیقات مختلفی در رابطه با طراحی کنترل‌کننده برای سیستم TRMS صورت گرفته است ]4-7[.

در مرجع [4]، از چهار کنترل‌کنندۀ PID برای کنترل سیستم TRMS استفاده ‌شده است. در این روش به علت تعدد PIDها پیچیدگی محاسباتی وجود دارد و دربارۀ پارامترهای بهینه برای کنترل‌کننده‌ها صحبت نشده است. در سال 2017، طراحی کنترل‌کننده PID کلاسیک روی موتور TRMS صورت گرفته است که پارامترهای کنترل‌کننده‌ها با روش زیگلر - نیکولز تعیین ‌شده‌اند. روش زیگلر - نیکولز، روش تجربی برای تعیین پارامترها است و ضرایب به‌دست‌آمده از این روش لزوماً بهینه نیستند و تنظیم نهایی برای رسیدن به پاسخ بهتر به روش سعی و خطا حول مقادیر به‌دست‌آمده انجام می‌شود [5]

در طراحی سیستم‌های کنترل از الگوریتم‌های بهینه‌سازی ابتکاری استفاده می‌شود. محققان این الگوریتم‌ها را با الهام از طبیعت برای حل مسائلی طراحی‌ کرده‌اند که عموماً ماهیت غیرخطی یا مشتق‌ناپذیر دارند. در سال‌های اخیر تحقیقات گوناگونی در زمینۀ طراحی کنترل‌کننده روی سیستم‌های مختلف، با استفاده از الگوریتم‌های جستجوی ابتکاری و همین‌طور استفاده از توابع هدف مختلف و بهینه‌سازی آنها صورت گرفته است. در مرجع [6]، چهار کنترل‌کننده PID برای سیستم TRMS با استفاده از یک الگوریتم وراثتی حقیقی (RGA[2]) و با استفاده از تابع هدف ITE[3]، برای بهینه‌سازی طراحی‌ شده است. در سال 2018 نیز یک طراحی با چهار کنترل‌کننده PID برای سیستم TRMS با استفاده از روش‌های محاسبات تکاملی صورت گرفته که به‌صورت تک‌هدفه و با استفاده از بهینه‌سازی تابع هدف ISE[4] است [7]. اگرچه این طراحی نتایج دقیق به همراه دارد، به دلیل اینکه باید دوازده پارامتر بهینه شود، دارای پیچیدگی محاسباتی است و بهتر است سیستم دکوپله شود. روش‌های ذکرشدۀ محاسبات تکاملی به‌صورت تک‌هدفه‌اند؛ با ‌وجود این، معمولاً در یک طراحی ایدئال چندین هدف مدنظر است و طراحی تک‌هدفه کارایی چندانی ندارد. همچنین در این مراجع، تنها از کنترل‌کننده PID کلاسیک برای کنترل سیستم استفاده‌ شده است. PID کلاسیک دارای سه پارامتر کنترلی است. هرچه تعداد پارامترهای کنترلی بیشتر باشد، بهینه‌سازی دقیق‌تری صورت می‌گیرد. با استفاده از حسابان کسری، کنترل‌کننده با کارایی بالاتری طراحی می‌شود.

حسابان کسری یکی از شاخه‌های علم ریاضیات به شمار می‌آید که تعمیم مشتق و انتگرال معمولی به مرتبۀ غیر صحیح دلخواه است. ابزار حسابان کسری بعد از تکامل به دو طریق عمده باعث بهبود کارایی حلقه‌های کنترلی شده است: ارتقای کیفیت مدل‌سازی و ارتقای کارایی کنترل‌کننده‌ها. به سبب اینکه کنترل‌کننده‌های سنتی حالت خاصی از کنترل‌کننده‌های مرتبه ‌کسری هستند، استفاده از این کنترل‌کننده‌ها باعث ارتقای کارایی سیستم‌های ‌کنترلی طراحی‌شده با کنترل‌کننده‌های سنتی نیز می‌شود [8]. با استفاده از انتگرال‌گیر و مشتق‌گیر مرتبه‌ کسری و تعمیم آن در کنترل‌کننده PID ساختار FOPID[5] به دست می‌آید [9]. تحقیقات اخیر نشان می‌دهد عملکرد PID مرتبه ‌کسری نسبت به PID کلاسیک به‌مراتب بهتر است [9-12]. تحقیقات بسیاری در زمینۀ طراحی کنترل‌کننده PID مرتبه ‌کسری برای سیستم‌های تک‌ورودی - تک خروجی انجام گرفته است‌. همچنین در رابطه با طراحی کنترل‌کننده و تعیین پارامترهای کنترل‌کننده نیز روش‌های مختلفی ارائه‌ شده‌اند؛ برای مثال، در مرجع [13] و [14] به‌ترتیب طراحی کنترل‌کننده PID مرتبه ‌کسری براساس توابع متعامد لاگور و طراحی کنترل‌کننده PID مرتبه ‌کسری براساس تطبیق لحظه‌ای و روش تعیین اختصاص نسبت روی سیستم‌های تک‌ورودی - تک‌خروجی طراحی‌ شده است؛ اما به دلیل طراحی مشکل PID مرتبه‌ کسری تحقیقات گسترده‌ای در زمینۀ طراحی این کنترل‌کننده برای سیستم‌های چندورودی - چندخروجی صورت نگرفته است. از تحقیقات صورت‌گرفته در زمینۀ طراحی PID مرتبه ‌کسری برای سیستم‌های چندورودی - چندخروجی به [15-17] اشاره می‌شود. در [15, 17] برای بهینه‌سازی پارامترهای کنترل‌کننده از الگوریتم تک‌هدفه PSO [18] استفاده ‌شده است. در مرجع [19] طراحی کنترل‌کننده مرتبه‌ کسری برای سیستم TRMS، انجام و سیستم، دکوپله و از دو کنترل‌کننده و تابع هدف ISE استفاده‌ شده است.

در طراحی سیستم‌های کنترل، گاه با مسائلی روبه‌رو می‌شویم که نیاز به بهینه‌کردن چندین هدف کنترلی به‌طور هم‌زمان وجود دارد که معمولاً باهم در تضادند؛ برای مثال، پایداربودن، شرط اساسی سیستم کنترلی است. همچنین باید علاوه بر پایداری مطلق، پایداری نسبی قابل قبولی نیز داشته باشد. همچنین، پاسخ باید به‌طور معقولی سریع و میرا باشد. سیستم کنترلی باید بتواند خطاها را تا صفر یا مقادیر نسبتاً کمی کاهش دهد. شرط پایداری نسبی معقول و شرط دقت در حالت ماندگار ناسازگارند. پس باید میان این دو یا چند شرط مؤثرترین مصالحه را برقرار کرد. به‌ این ‌ترتیب، یک سیستم کنترلی ایدئال به‌صورت چندهدفه طراحی می‌شود [20]. در سال 2016 طراحی یک کنترل‌کننده برای سیستم TRMS به‌صورت چندهدفه انجام‌ شده که از تابع هدف IAE[6] [21] برای نقطۀ تنظیم و برای اثرات تداخل و تابع هدف TV[7] [22] برای بهینه‌سازی و نیز برای بهینه‌کردن پارامترهای کنترل‌کننده از یک الگوریتم چندهدفه با عنوانsp-MODE [23] استفاده ‌شده‌ و مانند پژوهش‌های قبل تنها کنترل‌کننده PID کلاسیک برای سیستم استفاده شده است [1]. 

در تحقیقات پیشین در زمینۀ طراحی کنترل‌کننده PID و PID مرتبه‌ کسری به‌صورت چندهدفه و با استفاده از روش‌ها و الگوریتم‌های بهینه‌سازی ابتکاری، مطالعات جامع و دقیقی صورت گرفته است. با توجه به این نکته که در طراحی کنترل‌کننده برای یک سیستم معمولاً بیش از یک هدف مدنظر است، باید بر این مسئلۀ چالش‌برانگیز و روش‌های مؤثر و کارا در حوزۀ بررسی چندهدفه کنترل‌کننده‌ها تأکید شود. به سبب اینکه یک الگوریتم بهینه‌سازی چندهدفه ابتکاری مناسب می‌تواند به نتایج بهینه برای سیستم‌های کنترل منجر شود، انتخاب الگوریتم مناسب نیز اهمیت زیادی دارد. 

بدین منظور، در این مقاله، هدف˚ طراحی کنترل‌کننده PID مرتبه ‌کسری به‌صورت چندهدفه برای سیستم TRMS است. در پژوهش‌های قبلی عمدتاً سیستم‌ها به‌صورت تک - ورودی تک - خروجی در نظر گرفته می‌شدند. دلیل انتخاب سیستم TRMS در این مقاله، دو - ورودی دو –خروجی‌بودن آن است که تداخلات زیرسیستم‌های آن چالش‌برانگیز است و کارایی الگوریتم‌های بهینه‌سازی ابتکاری را تاحدود زیادی ارزیابی می‌کند. توابع هدف استفاده‌شده در بحث چندهدفۀ این طراحی، به‌صورت ترکیبی باهم و از حوزه‌های مختلف به کار گرفته می‌شوند؛ برای مثال، در یک تابع هدف از توابع خطا در حوزۀ زمان و حوزۀ فرکانس به‌عنوان دو تابع هدف اول و دوم استفاده می‌شود. در طراحی کنترل‌کنندۀ چندهدفه، از پنج الگوریتم بهینه‌سازیNSGA-II [8] [24]،MOPSO [9] [25]،MOEA/D [10] [26]،SPE-II [11] [27] وPESA-II [12] [28] برای بهینه‌سازی توابع هدف و پارامترهای کنترل‌کننده PID و PID مرتبه کسری استفاده می‌شود که از مهم‌ترین و متداول‌ترین الگوریتم‌های بهینه‌سازی چندهدفه‌اند. عملکرد هر الگوریتم، با استفاده از مجموعۀ کاملی از معیارهای ارزیابی کمی علاوه بر جبهۀ‌ پرتو با یکدیگر مقایسه می‌شوند. مشخص‌کردن بهترین الگوریتم چندهدفه از بین الگوریتم‌های مقایسه‌شده برای بهینه‌سازی پارامترهای کنترل‌کننده و داشتن عملکرد مناسب، یکی دیگر از نوآوری‌های این مقاله است. در آخر، کارایی کنترل‌کننده‌های PID و PID مرتبه کسری نیز مقایسه شده‌اند.

بخش‌بندی ادامۀ مقاله به این صورت است که در بخش دو، مدل فیزیکی سیستم TRMS و چگونگی دکوپله‌سازی سیستم معرفی شده است. در بخش سوم، کنترل‌چندهدفه و در بخش چهارم، کنترل‌کنندۀ مرتبه‌کسری معرفی شده است. در بخش پنجم، توابع هدف استفاده‌شده در مقاله معرفی شده است. در بخش ششم، الگوریتم‌های فراابتکاری چندهدفه استفاده‌شده در مقاله بررسی شده است. در بخش هفتم، نتایج شبیه‌سازی‌ها و معیارهای ارزیابی عملکرد ارائه شده است و درنهایت، بخش هشتم، نتیجه‌گیری شده است.

2- مدل فیزیکی سیستم TRMS

مدل فیزیکی سیستم TRMS در شکل (1) نشان داده ‌شده است. هرکدام از دو موتور DC در سیستم TRMS به یک پروانه[13] متصل شده‌اند که دو پروانه عمود بر یکدیگرند. اتصال بین دو موتور با یک میلۀ چرخش‌شده بر پایۀ آن ساخته‌ شده است. نخستین قسمت زاویه ‌کنترل عمودی (پیچ[14] یا بخش اصلی[15]) است که با روتور اصلی کنترل می‌شود. دومین قسمت زاویۀ کنترل افقی (زاویۀ یاو[16] یا دمُ[17]) است که با روتور دمُ کنترل می‌شود [1, 2].

با اعمال قانون نیوتون می‌توان نشان داد معادلات دیفرانسیل توصیف‌کننده حرکت سیستم از رابطه (1) پیروی می‌کند [5, 29]:

شکل (1): مدل فیزیکی TRMS [5]

بردارهای خروجی و حالت، مطابق با رابطه‌ (2) حاصل می‌شود.

که  زاویه پیچ و  زاویه یاو،  سرعت روتور اصلی (هواپیما عمودی)، سرعت روتور دمُ (هواپیما افقی)،  ولتاژ ورودی برای روتور اصلی و  ولتاژ ورودی برای روتور دم است.

سیستم TRMS به‌عنوان سیستم خطی زمان پیوسته به فرم رابطه (3) نشان داده می‌شود.

که  بردار حالت،  بردار ورودی و  بردار خروجی است. ماتریس سیستم با خطی‌کردن سیستم غیرخطی به دست می‌آید.برای این منظور با گرفتن مشتق جزئی از معادلات غیرخطی (1) ماتریس‌های خطی سیستم طبق رابطه‌های (4) تا (6) حاصل می‌شود.

فرم عملکرد ماتریس انتقال برای TRMS به‌صورت رابطه (7) است.

که درایه‌های این ماتریس به‌صورت روابط (8) تا (11) نشان داده‌ شده‌اند.

در این بخش، مدل فیزیکی سیستم بررسی شده است. با توجه به روابط (8) تا (11) درایه  برابر با صفر است که تأثیری بر عملکرد سیستم ندارد؛ اما درایه  دارای مقدار غیرصفر است که در عملکرد سیستم، تداخل ایجاد می‌کند؛ درنتیجه، سیستم مستلزم دکوپله‌سازی است. در بخش 2-1 به چگونگی دکوپله‌سازی سیستم پرداخته می‌شود.

2-1-دکوپله‌سازی سیستم

همان‌طور که در بخش‌ قبل توضیح داده شد به دلیل وجود تداخل، سیستم نیازمند دکوپله‌سازی است. برای درک بهتر اثر تداخل در سیستم، در این بخش، آزمایشی برای ‌مثال طراحی ‌شده است. در آغاز به ورودی اول سیستم، مقدار صفر و به ورودی دوم، پلۀ واحد اعمال شد. انتظار می‌رود خروجی اول، صفر و خروجی دوم دارای شکل موج باشد که به همین صورت اتفاق می‌افتد که در شکل (2) نشان داده‌ شده است. حال اگر به ورودی اول، پله واحد و به ورودی دوم، مقدار صفر اعمال شود، مجدداً انتظار می‌رود خروجی اول دارای شکل موج و خروجی دوم دارای مقدار صفر باشد؛ اما چنین نیست؛ بلکه باوجود اینکه در ورودی دوم مقدار صفر اعمال‌ شده است، برای خروجی دوم نیز شکل موج تشکیل می‌شود که این نشان‌دهندۀ اثر تداخل در سیستم است (نشان داده شده در شکل 3). برای رفع این مشکل، لازم است روی سیستم عمل دکوپله‌سازی انجام شود. در این مقاله، سیستم TRMS با استفاده از روش دکوپله‌سازی لوییبن [30]، دکوپله شده است کهG  نشان‌دهندۀ سیستم، D دکوپله‌ساز و C کنترل‌کننده است.ماتریس D و P مطابق با رابطه‌های (12) و (13) نوشته می‌شود [31, 32]. ساختار کلی سیستم دکوپله‌شده در شکل (4) نشان داده‌ شده است.

شکل (2): خروجی اول و دوم بعد از اعمال مقدار صفر به ورودی اول و پله واحد به ورودی دوم

شکل (3): خروجی اول و دوم بعد از اعمال پله واحد به ورودی اول و مقدار صفر به ورودی دوم

شکل (4): سیستم کنترل دکوپله‌شده [31]

روش استفاده‌شده در این مقاله، دکوپله‌سازی معکوس نامیده می‌شود که ورودی فرآیند را به‌عنوان یک ترکیب وزن‌دار زمانی از یک خروجی کنترل‌کننده بازخوردی و ورودی فرآیندهای دیگر می‌گیرد. در مراجع [33-35] از این روش برای دکوپله‌سازی سیستم‌های دیگر نیز استفاده‌ شده است. تابع تبدیل سیستم TRMS مطابق رابطه‌ (14) در نظر گرفته می‌شود و دکوپله‌سازD  به‌صورت رابطه‌ (15) نوشته می‌شود [31].

در این سیستم  یک تابع سره بوده و قابل ساخت است؛ بنابراین، دکوپله‌ساز مطابق رابطه‌ (16) به دست می‌آید.

اکنون کافی است دو کنترل‌کننده  و  به‌ترتیب برای توابع  و  طراحی شود. درواقع به دو کنترل‌کنندۀ تک‌ورودی - تک‌خروجی برای این طراحی نیاز است. شکل (5) نحوۀ قرارگیری دکوپله‌کننده، سیستم و کنترل‌کننده‌ها را در مدار نشان می‌دهد. در مدل طراحی‌شده در ابتدای این بخش، دکوپله‌کننده نیز اضافه می‌شود. شکل (6) خروجی اول و دوم در حالت ورودی اول، صفر و ورودی دوم، پلۀ واحد را نشان می‌دهد. با توجه به شکل (7)، زمانی که به ورودی اول، پلۀ واحد و به ورودی دوم، مقدار صفر اعمال می‌شود، اثر تداخلی کاملاً از بین می‌رود و خروجی اول دارای شکل موج و خروجی دوم صفر می‌شود و به ‌این ‌ترتیب در این مثال، سیستم دکوپله شده است.

شکل (5): سیستم TRMSهمراه با دکوپله‌کننده و کنترل‌کننده‌های و  [36].

شکل (6): خروجی اول و دوم بعد از اعمال مقدار صفر به ورودی اول و پلۀ واحد به ورودی دوم در حضور دکوپله‌کننده

شکل (7): خروجی اول و دوم بعد از اعمال پلۀ واحد به ورودی اول و مقدار صفر به ورودی دومدر حضور دکوپله‌کننده

3-کنترل چندهدفه

یک سیستم کنترل چندهدفه، سیستمی است که بتواند بهترین مصالحه را میان چندین هدف مدنظر برقرار کند [20, 37].برای یافتن بهترین مقدار پارامترهای چنین کنترل‌کننده‌ای از الگوریتم‌های بهینه‌سازی چندهدفه استفاده می‌شود. ازجمله کنترل‌کننده‌های  استفاده‌شده در طراحی سیستم‌های کنترلی، کنترل‌کننده‌های مرتبه ‌کسری هستند. کنترل‌کننده‌های مرتبه کسری به دلیل مزایا و برتری‌شان بر کنترل‌کننده‌های کلاسیک عملکرد بهتر و نتایج مطلوب‌تری از خود ارائه می‌دهند.

4-کنترل‌کنندهPIDمرتبه‌کسری

چندین تعریف برای بیان مشتق و انتگرال مرتبه ‌کسری وجود دارد. ازجمله این تعریف‌ها تعریف (RL)، تعریف Caputo و تعریف (GL) هستند. در این مقاله از روش Caputo برای بیان مشتق و انتگرال‌گیر مرتبه ‌کسری استفاده‌ شده است.

انتگرال کسری  Caputoبا مرتبه  به‌صورت رابطه‌ (17) تعریف می‌شود.

کنترل‌کننده‌ای که با تابع تبدیل (18) توصیف می‌شود، اصطلاحاً کنترل‌کننده PID مرتبه‌کسری یا کنترل‌کننده FOPID یا کنترل‌کننده  نامیده می‌شوند [9, 38].

در ساختار فوق مرتبه انتگرال‌گیری و مرتبه مشتق‌گیری را مشخص می‌کند. کنترل‌کنندۀ مرتبه‌ کسری دارای پنج پارامتر کنترلی تنظیم‌شده‌اند؛ بنابراین، این کنترل‌کننده در مقایسه با کنترل‌کننده PID کلاسیک که تنها دارای سه پارامتر ‌تنظیم‌شده است، از توانایی‌های بیشتری برخوردار است. درواقع همان‌گونه که عملگرهای مشتق یا انتگرال کلاسیک حالت‌های خاصی از عملگرهای مشتق یا انتگرال مرتبه‌کسری هستند، کنترل‌کننده PID کلاسیک نیز حالت خاصی ( ) از کنترل‌کننده PID مرتبه‌کسری در نظر گرفته می‌شود.

5-توابع هدف

عملکرد سیستم کنترل معمولاً براساس رفتار پاسخ گذرا ارزیابی می‌شود. بدین‌منظور، معمولاً از پاسخ پله به دلیل سهولت تولید آن در ارزیابی عملکرد سیستم کنترل استفاده می‌شود. به‌طورکلی توابع هدف به چند دسته تقسیم می‌شوند. توابع هدف حوزۀ زمان کلاسیک شامل بیشینۀ فراجهش، زمان‌خیز و ...، توابع هدف خطا در حوزۀ زمان شامل ISE (انتگرال مجذور خطا) و IAE (انتگرال قدر مطلق خطا) و ... [21]، توابع هدف حوزۀ فرکانسی مانند حد فاز و ... [39]، توابع هدف مربوط به خروجی کنترل‌کننده و توابع هدف مربوط به تابع انتقال سیستم و کنترل‌کننده [22]. در این مقاله، به ‌دلیل عمومیت و مقبولیت بیشتر توابع هدف حوزۀ زمان و فرکانس و همچنین توابع خطا در حوزۀ زمان، از دو سری تابع هدف استفاده ‌شده است.

تابع هدف اول، مربوط به حوزۀ زمان و خطای حوزۀ زمان است که مطابق رابطه‌ (19) تعریف‌ شده است. تابع هدف دوم مرتبط با حوزۀ فرکانس و خطای حوزۀ زمان است که مطابق با رابطه (21) است.

· تابع هدف1:

در این تابع، تابع هدف اول به‌صورت حوزۀ زمانی در نظر گرفته‌ شده است. تابع اول بیشینۀ بالازدگی (
 
)، زمان نشست (
 
) و (
 
 و
 
) وزن‌های داده‌شده به پارامترهای تابع را شامل می‌شود. تابع دوم (
 
) انتگرال زمان مربع خطا است که به‌صورت رابطه (20) تعریف می‌شود.

که در آن
 
 ورودی سیستم،
 
خروجی سیستم و 
 
 زمان پایان و زمان آغاز فرآیند هستند.

·      تابع هدف 2:

در این تابع هدف، این بار تابع اول به‌صورت فرکانسی در نظر گرفته شده است. این تابع شامل حدفاز (
 
) است. با توجه به اینکه حدفاز به‌تنهایی برای مسئلۀ بیشینه‌سازی در نظر گرفته می‌شود، برای مسئلۀ کمینه‌سازی باید به‌صورت رابطۀ معکوس نوشته شود و درواقع به ‌دلیل اینکه تابع شایستگی باید مقدار مثبتی باشد، از یک عدد بزرگ کم می‌شود که اینجا از عدد 100 کم شده است. تابع دوم (
 
) انتگرال مربع خطا است که به‌صورت رابطه (22) تعریف می‌شود. 

6- الگوریتم‌های ابتکاری چندهدفه

در این بخش، مروری بر چند الگوریتم ابتکاری چندهدفه شده است. این الگوریتم‌های چندهدفه نه‌تنها در زمینۀ مهندسی کنترل، در زمینۀ مهندسی قدرت [40, 41]، مهندسی الکترونیک [42, 43] و سایر زمینه‌های مهندسی برق نیز کاربرد زیادی دارند. در این قسمت، سعی شده است این مرور به‌اختصار انجام شود که در صورت لزوم می‌توان برای اطلاعات بیشتر، به مراجع اصلی آنها مراجعه کرد.

6-1- الگوریتم وراثتی چندهدفه با مرتب‌سازی مغلوب‌نشده‌ها - نسخۀ دوم(NSGA-II)

این الگوریتم با اضافه‌شدن دو عملگر ضروری رتبه و فاصلۀ ازدحامی به الگوریتم وراثتی تک‌هدفه معمولی، به یک الگوریتم چندهدفه تبدیل‌ شده است. در این الگوریتم به‌ جای یافتن بهترین جواب تک‌بعدی، دسته‌ای از بهترین جواب‌ها به‌ دست می‌آید. در بررسی ازطریق عملگر رتبه، اعضای جمعیت در داخل دسته‌هایی قرار می‌گیرند؛ به ‌گونه‌ای که اعضای موجود در دستۀ اول، یک مجموعۀ کاملاً غیرمغلوب توسط دیگر اعضای جمعیت فعلی‌اند. این روند به‌همین صورت ادامه می‌یابد تا به تمام اعضای موجود در هر دسته، مطابق با شکل (8) یک رتبه بر مبنای شمارۀ دسته اختصاص داده شود.

شکل (8): رتبۀ جبهه‌های پرتو با توجه به میزان مغلوب‌نشدگی [24]

فاصلۀ ازدحامی بیان‌کنندۀ اندازه‌ای از نزدیکی نمونۀ مدنظر به دیگر اعضای جمعیت آن دسته و گروه است. مقدار عددی که از محاسبۀ فضای مربعی (در مسائل دوهدفه) اطراف جوابi  با به کار بردن نزدیک‌ترین همسایه‌های آن به دست می‌آید، فاصلۀ ازدحامی نامیده می‌شود که از رابطه (23) حساب می‌شود.

در این رابطه، مقادیر  و  به‌ترتیب مقادیر هدف نقاط بعدی و قبلی نقطۀ iهستند و مقادیر  و  به‌ترتیب بیشترین و کمترین مقادیر تابع هدف‌اند. مراحل الگوریتم طبق فلوچارت شکل (9) است.

6-2- الگوریتم بهینه‌سازی ازدحام ذرات چندهدفه (MOPSO)

این الگوریتم تعمیمی از الگوریتم ازدحام ذرات (PSO) است که در آن، بخش تعیین بهترین ذره و بهترین خاطرۀ شخصی هر کدام از ذرات که در الگوریتم PSO کلاسیک وجود دارد، تغییر کرده است. در این الگوریتم، مفهومی با عنوان آرشیو[18] وجود دارد که شامل یک جمعیت از پاسخ‌های نامغلوب است. آرشیو، تقریبی از جبهۀ ‌پرتو است که باید اعضای آنها را جدا کرد تا از دست نروند. هریک از ذرات برای حرکت خود از بین اعضای آرشیو، یک رهبر انتخاب می‌کنند. در این الگوریتم، از یک فضای‌ هدف جدول‌بندی‌شده استفاده می‌شود. برای دانستن اینکه ذرات چگونه از میان اعضای آرشیو، یک رهبر انتخاب می‌کنند، باید احتمال انتخاب هر کدام از خانه‌های موجود در آرشیو را بررسی کنند و انتخاب از روش چرخ گردان و روش محاسبۀ احتمال بولتزمن، انجام شود. مراحل اجرای این الگوریتم در فلوچارت شکل (10) نشان داده‌ شده است.

شکل (9): فلوچارت الگوریتم NSGA-II[24]

در رابطه (24) و (25)، فشار انتخاب است و  تعداد اعضای آرشیو برای پیاده‌سازی چرخ گردان است.

شکل (10): فلوچارت الگوریتم MOPSO [25]

6-3- الگوریتم بهینه‌سازی مبتنی بر ترکیب (MOEA/D)

این الگوریتم مسئلۀ چندهدفه را به تعدادی زیر مسئلۀ بهینه‌سازی اسکالر تبدیل می‌کند و آنها را هم‌زمان بهینه‌سازی می‌کند. در این روش، یک بردار وزن برای هر زیرمسئله تعریف می‌شود و توابع هدف با استفاده از این بردار وزن در یک تابع هدف تجمیع می‌شوند. در طی جستجو، جواب هر زیرمسئله با همکاری اعضای همسایگی تولید می‌شود. این مرحله، مرحلۀ همکاری[19] نامیده می‌شود. علاوه بر این، جواب زیرمسئله‌هایی که در همسایگی زیرمسئلۀ جاری قرار دارد، به آن زیرمسئله، ولی با بردار وزنی مربوط به خودش ارائه می‌شود. این مرحله، مرحلۀ رقابت[20] نامیده می‌شود. مراحل اجرای الگوریتم نیز به‌صورت فلوچارت شکل (11) است.

شکل (11): فلوچارت الگوریتم MOEA/D[26]

6-4-الگوریتم تکاملی پرتوی قدرت 

 SPEA-II))

در این روش، کروموزوم‌های مغلوب‌نشده‌ای که از ابتدای اجرای الگوریتم تا زمان حال به ‌دست ‌آمده‌اند، در یک آرشیو خارجی، ذخیره‌ و در الگوریتم وراثتی مشارکت داده می‌شوند. برازندگی کروموزوم‌های جمعیت و مجموعۀ آرشیو خارجی براساس تعداد جواب‌های مغلوب‌شده از آنها به دست می‌آید. برای این منظور، جمعیت و آرشیو باهم ترکیب می‌شوند. در SPEA-II برخلاف الگوریتم SPEA، برای تعریف برازندگی هم مجموعۀ پاسخ‌های مغلوب‌شونده و هم مجموعه پاسخ‌های مغلوب‌کننده تأثیر دارند.مراحل اجرای الگوریتم طبق فلوچارت شکل (12) است.

شکل (12): فلوچارت الگوریتم SPEA-II[27]

6-5- الگوریتم پرتو بر پایۀ انتخاب - نسخۀ دوم(PESA-II) 

این الگوریتم همان الگوریتم MOPSO است که به‌ جای اپراتورهای PSO اپراتورهای الگوریتم وراثتی جایگذاری می‌شود. معیار کنترل نظم پاسخ‌ها با ایجاد جدول در فضای هدف انجام می‌شود. تفاوت این الگوریتم با نسخۀ اول آن در عملگر انتخاب است. در نسخۀ اول این الگوریتم انتخاب براساس افراد است؛ ولی در نسخۀ دوم انتخاب براساس نواحی انجام می‌پذیرد.مراحل اجرای این الگوریتم مطابق با فلوچارت شکل (13) رسم شده است.

شکل (13): فلوچارت الگوریتم PESA-II[28]

7- نتایج

در این بخش، به نتایج بهینه‌سازی پارامترهای کنترل‌کننده PID مرتبه‌ کسری برای سیستم TRMS و همین‌طور به بهینه‌سازی توابع دو هدفه معرفی‌شده در بخش قبل با پنج الگوریتم بهینه‌سازی چندهدفۀ NSGA-II،MOPSO ،MOEA/D ،  SPEA-II و PESA-II پرداخته‌ شده است. تابع تبدیل سیستم TRMS قراردادن نقطۀ کار سیستم ( ) و مقادیر پارامترهای موجود در جدول (1)، در معادلات (8) تا (11) به‌صورت رابط (26) تا (29) حاصل می‌شود:

با دکوپله‌سازی سیستم، توابع تبدیل برای زاویۀ عمودی و افقی مطابق روابط (30) و (31) است.

جدول (1): معرفی پارامترهای  TRMS[1]

همان‌طور که قبلاً گفته شد به‌جز مقایسه جبهۀ پرتوی ایجادشده از الگوریتم‌های بهینه‌سازی برای مقایسۀ عملکرد الگوریتم‌های تکاملی به معیارهایی برای مقایسۀ عملکرد این الگوریتم‌ها نیاز است.شکل (14) نمای کلی از طراحی کنترل‌کننده برای سیستم TRMS ارائه‌شده در این مقاله را نشان می‌دهد.

شکل (14):طرح کنترل برای TRMS

7-1 معیارهای ارزیابی

در این بخش، معیارهایی برای مقایسۀ عملکرد الگوریتم‌ها ارائه ‌شده است. به‌طورکلی معیارهای ارزیابی عملکرد به دو دستۀ معیارهای نیازمند مرجع پرتو و معیارهای بی‌نیاز از مرجع تقسیم می‌شوند.به سبب اینکه مسئلۀ ما مرجع پرتو ندارد، از معیارهای بدون مرجع برای مقایسۀ عملکرد الگوریتم‌ها استفاده می‌شود.

• ·      معیار فاصله[21](SP)

این معیار طبق رابطه (32) برای اندازه‌گیری میزان گسترش در میان راه‌حل‌های به‌دست‌آمده استفاده می‌شود. هدف از معیار فاصلۀ تشخیص توزیع بردارها در سراسر مجموعه جواب‌های مغلوب‌نشده است.

که در این رابطه  و  به‌ترتیب برابرند با کمینه فاصلۀ اقلیدسی میان اعضای جبهۀ پرتو و میانگین مقادیر .Q تعداد اعضای جبهۀ پرتو هستند. هرچه مقدار این معیار کمتر باشد، عملکرد الگوریتم بهتر است [44].

• ·      غیریکنواختی جبهۀ پرتو[22] (NPF)

این معیار مطابق با رابطه (30) میزان غیریکنواختی جبهۀ پرتو را نشان می‌دهد. این معیار یک انحراف استاندارد فاصلۀ نرمال‌شده با  است. فاصلۀ اقلیدسی به مقیاس داده‌شده به هر یک از اهداف بستگی دارد. هرچه این مقدار بیشتر می‌شود، فضای جبهۀ پرتو غیریکنواخت‌تر می‌شود. پس هرچه مقدار این معیار کمتر باشد، عملکرد الگوریتم بهتر است [45].

• ·      تعداد اعضای جبهۀ پرتو[23]

هرچه تعداد اعضای موجود در جبهۀ پرتو بیشتر باشد، عملکرد الگوریتم بهتر است [46].

7-2 نتایج شبیه‌سازی

در این مقاله برای سیستم TRMS دو کنترل‌کننده PID  مرتبه ‌کسری با پارامترهای و  برای تابع اول و پارامترهای  و  برای تابع دوم قرار داده‌ شده است. در این مقاله از ninteger Toolbox [47] استفاده‌ شده که n=5 ،  و از روش تقریب crone استفاده شده است. تعداد جمعیت 10 و تعداد آرشیو نیز 10 عضو در نظر گرفته‌ شده است. برای ارزیابی منصفانه، تعداد تکرار همۀ الگوریتم‌ها باهم برابر و به مقدار 200 تکرار در نظر گرفته شدند. از دو دسته تابع هدف دو هدفه معرفی‌شده در بخش 5-1 برای بهینه‌سازی با پنج الگوریتم ابتکاری چندهدفه استفاده‌ شده است که وزن‌های  و  در نظر گرفته ‌شده است.تمام الگوریتم‌ها با نرخ جهش 0.5 و نرخ همبری 0.5 مقایسه شده‌اند. در شکل‌های (15) و (16) جبهۀ پرتوی الگوریتم‌ها برای تابع اول و دوم برای کنترل‌کننده PID و در شکل‌های (17) و (18) برای کنترل‌کننده  PIDمرتبه ‌کسری رسم شده است. الگوریتمSPEA-II  عملکرد بسیار بهتری نسبت به سایر الگوریتم‌ها در هر دو تابع هدف و در هر دو کنترل‌کننده از خود نشان داده است. درخور ذکر است پایداری سیستم کنترل در روش‌های فراابتکاری به‌صورت نظریه ‌اثبات‌شدنی نیست؛ ازاین‌رو، برای تضمین پایداری در شبیه‌سازی سیستم، سعی شده است محدودیت‌هایی در نظر گرفته شود؛ ازاین‌رو، اگر مجموعه پارامترهای کنترل‌کننده‌های PID یا PID مرتبه کسری باعث ناپایداری سیستم شود، توابع هدف در نظر گرفته‌ شده برای سیستم به‌صورت جریمه، مقدار بزرگی (مقدار ۱۰۰) در نظر گرفته می‌شود؛ ازاین‌رو، سیستم کنترل این مجموعه، مقادیر را در تکرارهای آتی صرف‌نظر می‌کند و درنهایت با همگرایی الگوریتم ابتکاری، سیستم کنترل نیز پایدار می‌شود.

شکل (15): جبهۀ پرتوی الگوریتم‌ها برای تابع هدف اول TRMS-PID

شکل (16): جبهۀ پرتوی الگوریتم‌ها برای تابع هدف دوم TRMS-PID

شکل (17): جبهۀ پرتوی الگوریتم‌ها برای تابع هدف اول TRMS-FOPID

شکل (18): جبهۀ پرتوی الگوریتم‌ها برای تابع هدف دوم TRMS-FOPID

نتایج حاصل از معیارهای ارزیابی عملکرد الگوریتم‌های بهینه‌سازی چندهدفه برای TRMS-PID در جدول (2) و برای TRMS-FOPID در جدول (4) آمده‌‌اند. نتایج مقایسۀ مقادیر آن نیز در جدول‌های (3) و (5) نشان داده‌ شده‌اند.با توجه به جدول (3) و شکل جبهه‌های پرتو، هم در تابع اول و هم در تابع دوم بهترین عملکرد و بالاترین رتبه با الگوریتم SPEA-II کسب ‌شده است. همچنین این الگوریتم در دو معیار از سه معیار عملکرد در جایگاه اول قرار گرفته است. در تابع هدف دوم، دو الگوریتم  NSGA-II و PESA-II در معیارها بسیار به هم نزدیک‌اند. بعد از الگوریتم SPEA-II که در جایگاه اول قرار دارد، الگوریتم NSGA-II در بهترین رتبه قرار می‌گیرد و به‌ترتیب بعد از آن، الگوریتم‌های PESA-II، MOPSO وMOEAD قرار می‌گیرند. با توجه به جدول (5)، هم در تابع اول و هم در تابع دوم بیشترین تعداد معیار عملکرد مطلوب و بالاترین رتبه به الگوریتم SPEA-II تعلق دارد. بعد از آن نیز الگوریتم NSGA-II در جایگاه بالاتری قرار گرفته است و به دنبال آن الگوریتم MOPSO،  PESA-II و MOEAD قرار گرفته‌اند. با توجه به جدول (5) و نیز شکل جبهۀ پرتو، الگوریتم SPEA-II دارای کمترین میزان غیر یکنواختی جبهۀ پرتو، بیشترین تعداد پاسخ بهینه و کمترین میزان معیار فاصله است. بعد از آن، الگوریتم NSGA-II به‌خصوص در تابع دوم دارای وضعیت مطلوبی است. بعد از آنها به‌ترتیبPESA-II، MOPSO و در آخر الگوریتم MOEAD قرار می‌گیرند.

جدول (2): مقادیر معیارهای ارزیابی عملکرد به‌دست‌آمده با الگوریتم‌ها برای TRMS-PID

جدول (3): نتایج مقایسۀ عملکرد الگوریتم‌های چندهدفه برای TRMS-PID

با توجه به جداول (3) و (5) و شکل جبهه‌های پرتو، مشخص است در برخی معیارها عملکرد الگوریتم‌ها در حالت با کنترل‌کننده FOPID نسبت به حالت سیستم همراه با کنترل‌کننده PID بهبود داشته است. این بهبود ناشی از قدرت مانور بیشتر کنترل‌کننده مرتبه‌ کسری با توجه به تعداد پارامترهای بیشتر است. با توجه به شکل جبهه‌های پرتو مشخص است جبهه‌ها در حالت FOPID در جایگاه بهتری نسبت به PID قرار گرفته‌اند. در شکل‌های (19) و (20) پاسخ زمانی نقاط  Aتا E هر پنج الگوریتم برای TRMS-PID برای تابع هدف اول رسم شده که مقادیر پارامترهای کنترل‌کننده‌ها در جدول (6) آمده‌اند.

جدول (4): مقادیر معیارهای ارزیابی عملکرد به‌دست‌آمده با الگوریتم‌ها برای TRMS-FOPID

جدول (5): نتایج مقایسۀ عملکرد الگوریتم‌های چندهدفه برای TRMS-FOPID

باوجود بهینه‌شدن پاسخ‌ها در شکل‌های (19) و (20)، این جواب‌ها پاسخ‌های مناسبی نیستند و دارای اعوجاج زیادی‌اند. در شکل‌های (23) و (24) نیز دیاگرام‌های بود نقاط  تا  برای TRMS-PID برای تابع هدف دوم رسم شده و مقادیر پارامترهای بهینۀ این پاسخ‌ها در جدول (8) آمده‌اند. انتظار می‌رود با پیاده‌سازی کنترل‌کننده FOPID روی سیستم TRMS، به دلیل وجود دو پارامتر بیشتر نسبت به PID پاسخ‌های مناسب‌تری ایجاد شده باشد. در شکل‌های (21) و (22) پاسخ زمانی نقاط A1 تاE1  برای تابع هدف اول برای سیستم TRMS-FOPID رسم شده که مقادیر پارامترهای بهینۀ این پاسخ در جدول (10) آمده ‌است. در تابع اول، هدف˚ کمینه‌سازی میزان بالازدگی و زمان نشست است. با توجه به شکل‌های (21) و (22) کمترین میزان بالازدگی و زمان نشست، هم در کنترل‌کنندۀ اول و هم در کنترل‌کنندۀ دوم متعلق به الگوریتم SPEA-II است. بعد از آن نیز الگوریتم‌هایNSGA-II ، MOPSO، PESA-II وMOEAD  قرار دارند. در شکل‌های (25) و (26) دیاگرام بود سیستم برای الگوریتم‌ها در زمان بهینه‌سازی تابع هدف دوم براساس نقاط A2 تا E2 رسم شده است که روی شکل (16) مشخص ‌شده‌اند. همان‌طور که روی نمودار فاز مشخص است، در هر دو تابع بهترین عملکرد متعلق به SPEA-II یعنی نقطه A2  است. مقادیر پارامترهای بهینه‌شده برای تابع هدف دوم با الگوریتم‌‌ها در جدول (12) ذکر شده‌اند. با مقایسه پاسخ‌های‌ زمانی TRMS-PID وTRMS-FOPID  عملکرد بهتر کنترل‌کننده FOPID ‌مشاهده می‌شود. برای نمایش مصالحه بین اهداف در جدول‌های (7)، (9)، (11) و (13) تمامی مقادیر پارامترهای تابع هدف اول شامل ،  ، ، ،  و  و مقادیر اهداف شامل  و  و مقادیر پارامترهای تابع هدف اول شامل ،،  و  و مقادیر اهداف شامل  و  است.

شکل (19): پاسخ زمانی مقادیر بهینۀ به‌دست‌آمده با الگوریتم‌های چندهدفه برای PID1 با تابع هدف اول

شکل (20): پاسخ زمانی مقادیر بهینۀ به‌دست‌آمده با الگوریتم‌های چندهدفه برای PID2 با تابع هدف اول

شکل (21): پاسخ زمانی مقادیر بهینۀ به‌دست‌آمده با الگوریتم‌های چندهدفه برای FOPID1 با تابع هدف اول

شکل (22): پاسخ زمانی مقادیر بهینۀ به‌دست‌آمده با الگوریتم‌های چندهدفه برای FOPID2 با تابع هدف

جدول (6): مقادیر پارامترهای پاسخ بهینۀ به‌دست‌آمده با الگوریتم‌های چندهدفه برای TRMS-PIDبرای تابع اول

جدول (7): مقادیر اهداف پاسخ‌های بهینۀ به‌دست‌آمده با الگوریتم‌های چندهدفه برای TRMS-PIDبرای تابع اول

جدول (8): مقادیر پارامترهای پاسخ بهینۀ به‌دست‌آمده با الگوریتم‌های چندهدفه برای TRMS-PID برای تابع دوم

جدول (9): مقادیر اهداف پاسخ‌های بهینۀ به‌دست‌آمده با الگوریتم‌های چندهدفه برای TRMS-PID برای تابع دوم

جدول (10): مقادیر پارامترهای پاسخ بهینۀ به‌دست‌آمده با الگوریتم‌های چندهدفه برای TRMS-FOPID برای تابع اول

جدول (11): مقادیر اهداف پاسخ‌های بهینۀ به‌دست‌آمده با الگوریتم‌های چندهدفه برای TRMS-FOPID برای تابع اول

جدول (12): مقادیر پارامترهای پاسخ بهینۀ به‌دست‌آمده با الگوریتم‌های چندهدفه برای TRMS-FOPID برای تابع دوم

جدول (13): مقادیر اهداف پاسخ‌های بهینۀ به‌دست‌آمده با الگوریتم‌های چندهدفه برای TRMS-FOPID برای تابع دوم

شکل (23): دیاگرام بود مقادیر بهینه به‌دست‌آمده با الگوریتم‌های چندهدفه برای TRMS-PID1با تابع هدف اول

شکل (24): دیاگرام بود مقادیر بهینۀ به‌دست‌آمده با الگوریتم‌های چندهدفه برای TRMS-PID2با تابع هدف دوم

شکل (25): دیاگرام فاز مقادیر بهینۀ به‌دست‌آمده با الگوریتم‌های چندهدفه برای FOPID1با تابع هدف اول

شکل (26): دیاگرام فاز مقادیر بهینۀ به‌دست‌آمده با الگوریتم‌های چندهدفه برای FOPID2با تابع هدف دوم