1- مقدمه[1]

بیشتر در ﺻﻨﻌﺖ دستۀ اعظمی از سیستم‌ها رفتار غیرخطی دارند و مشخصه آن‌ها با توجه به تغییرات زمان، متفاوت است؛ به‌طور مثال در ﺳﯿﺴﺘﻢ ﮐﻮرهﻫﺎی ﮔﺮﻣﺎﯾﯽ و تنظیم دﻣﺎ (که بسیار در صنعت استفاده شده است) ﺑﻪ علت ﻣﻌﺎﯾﺐ ﻏﯿﺮﺧﻄﯽ‌ﺑﻮدن و ﺗﻐﯿﯿﺮﭘﺬﯾﺮی ﺑﺎ زﻣﺎن و ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ به وﺟﻮد ﻣﺸﮑﻼت ﮐﻨﺘﺮل دﻣﺎ و ﺑﻪ ﻋﻠﺖ ﺗﺪاﺧﻞ ﺑﺴﯿﺎری از ﭘﺎراﻣﺘﺮﻫﺎ ازﺟﻤﻠﻪ دﻣﺎی ﻣﺤﯿﻂ، ﮔﺮﻣﺎزاﯾﯽ اﺟﻨﺎس داﺧﻠﯽ و ﺑﺎز و ﺑﺴﺘﻪ‌ﺑﻮدن درب ﮐﻮره، ﻧﺘﺎﯾﺞ ﮐﻨﺘﺮﻟﯽ آن‌ها رﺿﺎﯾﺖ‌ﺑﺨﺶ ﻧﯿﺴﺖ؛ ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﮐﻨﺘﺮل دﻗﯿﻖ دﻣﺎ ﺑﺴﯿﺎر اﻫﻤﯿﺖ دارد. درواقع، اﯾﻦ ﻣﻮﺿﻮع، ﮐﻨﺘﺮل و ﺗﻨﻈﯿﻢ ﭼﻨﺪ ﮐﻤﯿﺖ ﻣﻌﯿﻦ با هدف ﻧﮕهداری ﮐﻤﯿﺖ دﻣﺎﯾﯽ در ﻣﻘﺪار ﻣﻄﻠﻮب است و ﺑﺎ در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﻧﯿﺎز ﮐﻨﺘﺮل دﻣﺎ در ﺻﻨﺎﯾﻊ ﻣﺨﺘﻠﻒ، می‌توان به ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ ﮐﻨﺘﺮﻟﺮ PI ﻓﺎزی و PID ﮐﻼﺳﯿﮏ در ﺻﻨﺎﯾﻊ ﺗﻮﻟﯿﺪ ﮔﺎز اﺷﺎره ﮐﺮد [1-2]. از دید ﮔﺬﺷﺘﮕﺎن، ﭘﺎﯾﻪ‌ای‌ﺗﺮﯾﻦ ﮐﻨﺘﺮﻟﺮ، ﮐﻨﺘﺮﻟﺮ PID ﮐﻼﺳﯿﮏ است؛ وﻟﯽ در ﺑﺮرﺳﯽ‌ﻫﺎی اﻧﺠﺎم‌ﺷﺪه ﺑﻪ ﻋﻠﺖ اﯾﻨﮑﻪ در ﺳﺎل‌های اﺧﯿﺮ ﺑﺎ ﭘﯿﺸﺮﻓﺖ فرضیه ﻓﺎزی و ﺷﺒﮑﻪﻫﺎی ﻋﺼﺒﯽ ﻣﻮاﺟﻪ ﺷﺪه‌اﯾﻢ؛ بنابراین، در ﭘﯿﺸﯿﻨﻪ اﯾﻦ ﻣﻮرد، دﻣﺎ ﮐﻮره ﭘﺨﺖ، ﺑﺮرﺳﯽ و ﺑﯿﻦ ﮐﻨﺘﺮﻟﺮ PID ﮐﻼﺳﯿﮏ و PID ﻓﺎزی با اﺳﺘﻔﺎده از ﺷﺒﮑﻪ ﻋﺼﺒﯽ مقایسه‌ ﺷﺪه است که اﯾﻦ ﻧﻮع ﺑﻪ ﺑﻬﺒﻮد ﮐﯿﻔﯿﺖ و ﭘﺎﯾﺪاری ﺑﻬﺘﺮ ﺳﯿﺴﺘﻢ و ﻣﻘﺎوﻣﺖ در ﺑﺮاﺑﺮ اﺧﺘﻼﻻت ﻧﺎﮔﻬﺎﻧﯽ منجر می‌شود. در برخی مطالعات، ﺣﺘﯽ دﻣﺎ ﻣﻄﻠﻮب ﺳﯿﺴﺘم‌های گرمایش، تهویه و تهویه ‌مطبوع[i] ﻧﯿﺰ ﺑﺮرﺳﯽ شده اﺳﺖ ﮐﻪ ﮐﻨﺘﺮﻟﺮPID ﻓﺎزی را ﺑﺎ ﻧﻮع ﺗﻄﺒﯿﻘﯽ وارد کرده‌اند و به‌کار گرفته‌اند [3]. هم‌اکنون ﺑﺎ ﭘﯿﺸﺮﻓﺖ اﻟﮕﻮرﯾﺘﻢ‌ﻫﺎی ﻫﻮﺷﻤﻨﺪ، ﺿﺮورت اﺳﺘﻔﺎده از PID ﻓﺎزی ﺧﺒﺮه به‌عنوان ﺑﻬﯿﻨﻪ‌ﺗﺮﯾﻦ ﮐﻨﺘﺮﻟﺮ برای ما بیش از پیش آشکار شده است. ﺗﮑﻨﻮﻟﻮژی ﮐﻨﺘﺮل ﻓﺎزی PID برای ﮐﻨﺘﺮل دﻣﺎ ﮐﻮره در ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ ﺑﺎ ﻧﻮع ﮐﻼﺳﯿﮏ و ﺣﺘﯽ PI ﻓﺎزی آن ﺑﻪ‌ دلیل ﺳﺎدﮔﯽ، اﻧﻌﻄﺎفﭘﺬﯾﺮﺑﻮدن، ﭘﺎﯾﺪاری و دﻗﺖ، ﮐﺎرﺑﺮد ﺑﻬﺘﺮی دارد و برای رهایی از بند ﻣﺤﺪودﯾﺖ‌ﻫﺎﯾﯽ ﮐﻪ در ﻋﻤﻞ برای ﮐﻨﺘﺮل دﻣﺎ به‌صورت زمان واقعی[ii] پیش می‏آیند، اﺳﺘﻔﺎده از ﮐﻨﺘﺮﻟﺮ PID ﻓﺎزی ﺧﺒﺮه ﭘﯿﺸﻨﻬﺎد ﻣﯽ‌ﺷﻮد. از طرف دیگر، همان طور که می‌دانیم همواره طبیعت، به دنبال رسیدن به بهینه‌ترین حالت است. انسان هم با الگوگرفتن از طبیعت برای حل مسائلی که همه‌روزه با آن مواجه است، به دنبال رسیدن به بهترین جواب ممکن برای مسئله است. انسان با استفاده از کامپیوتر و محاسباتی که در آن انجام می‌دهد، به راحتی جوابی مناسب برای تمامی سؤالات خود پیدا می‌کند [4-5]. در اینجا مقدمه‏ای از روش پیشنهادی ارائه شده است. همان‌طور که می‌دانیم در ﯾﮏ ﮐﻨﺘﺮوﻟﺮ ﻓﺎزی ﺧﺒﺮه از داﻧﺶ ﺑﺸﺮی برای بهینه‌ﺷﺪن ﭘﺎﺳﺦ ﺑﺎ دﻗﺖ زیاد اﺳﺘﻔﺎده می‌شود. در این پژوهش ﻣﺎ ﺑﺎ ﺑﺮرﺳﯽ اﻃﻼﻋﺎت به‌دست‌آﻣﺪه و ﺑﺎ ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ اﻧﺠﺎم ﺷﺪه با ﮐﻨﺘﺮﻟﺮ PID در ﺟﺪول جست‌وجوﮔﺮ، از ﻧﻈﺮ رﺳﯿﺪن ﺑﻪ اﻫﺪاف ﮐﻨﺘﺮﻟﯽ ازﺟﻤﻠﻪ ﭘﺎﺳﺦ ﺳﺮﯾﻊ، ﻓﺮاﺟﻬﺶ ﮐﻢ، ﻧﺘﺎﯾﺞ ﺑﻬﯿﻨﻪای ﻧﺸﺎن داده شده است.

کنترل‌کننده PID، یک کنترل‌کننده سه بخشی است که بخش‌های تناسبی، انتگرال‌گیری و مشتق‌گیری را شامل می‌شود و پرکاربردترین کنترل‌کننده در صنعت است؛ به‌طوری‌که حدود نود درصد کل کنترل‌کننده‌های مورد استفاده در صنعت، یا PID هستند و یا از آن در ساختارهای کنترلی دیگر استفاده می‌کنند. این امر به تنهایی گویای اهمیت این کنترل‌کننده است [6]. کنترل‌کننده PID از رایج‌ترین نمونه‌های الگوریتم کنترل بازخوردی است که در بسیاری از فرآیندهای کنترلی، نظیر کنترل سرعت موتور DC، کنترل فشار، کنترل دما و غیره کاربرد دارد. هدف از به کار بردن کنترولر PID در سیستم کنترل حلقه بسته، کنترل دقیق و سریع خروجی سیستم، در شرایط متفاوت بدون دانستن دقیق رفتار سیستم در پاسخ به ورودی است. کنترلر PID از سه قسمت مجزا به نام‌های بخش تناسبی[iii]، انتگرالی[iv] و مشتق[v] تشکیل شده است که هرکدام از آن‌ها سیگنال خطا را ورودی می‌گیرند و عملیاتی را روی آن انجام می‌دهند و درنهایت خروجی آن‌ها با هم جمع می‌شود. خروجی این مجموعه که همان خروجی PID است، برای اصلاح خطا به سیستم فرستاده می‌شود. برخلاف ظاهر ساده PID، طراحی این کنترولر درعمل فراتر از تنظیم سه پارامتر اصلی آن است. عوامل مختلفی در عملکرد این کنترل‌کننده تأثیرگذار هستند؛ ازجمله ساختار کنترل‌کننده، درجه پروسه[vi]، نسبت ثابت زمانی غالب سیستم به زمان مرده پروسه[vii]، دینامیک عنصر محرک، نوع فیلتر بخش مشتق‌گیر[viii] و تنظیم پارامتر آن، رفتار غیر خطی در سیستم و غیره. هریک از این عوامل نقشی در روند طراحی و تنظیم کنترل‌کننده PID دارند. عملکرد کنترل بهینه، تنها پس از یافتن بهترین مجموعه از ضرایب تناسبی (Kp)، ضریب انتگرالی (Ki)، و ضریب مشتق‌گیر (Kd) امکان‌پذیر است. تحقیقات بسیاری برای یافتن روش‌های طراحی و تنظیم کنترولر PID برای داشتن بهترین عملکرد ممکن انجام شده است که برخی از آن تحقیقات مطابق زیر هستند:

در مرجع [7] نیز برای رفع مشکل عدم‌همگرایی دقیق به جواب و بهبود تنوع جمعیت روش بهینه‌سازی جست‌وجوی غذای حشره - میوه از روش مذکور کمک گرفته می‌شود. الگوریتم پیشنهادی برای آزمون کارایی، ابتدا به یک تابع تست اعمال می‌شود. برای تأیید بازده بهتر روش اصلاح‌شده الگوریتم بهینه‌سازی جست‌وجوی غذای حشره میوه تعداد محاسبه مستقل 100 فرآیند برای FOA و MFOA با اعداد تصادفی متفاوت برای مشاهده تغییرات در مقادیر بهینه برازش متناظرشان انجام شد. این نکته رؤیت‌پذیر است که همگرایی MFOA سریع‌تر از FOA اصلی است و در عین حال، در روش پیشنهادی دقت یا مقدار برازش بهتری به‌دست آمده است؛ بنابراین روش پیشنهادی مقدار بهینه تابع تست را سریع و کارا جست‌وجو می‌کند و برای یافتن پاسخ بهینه، پایداری و خصوصیت همگرایی بهتری نشان می‌دهد. در تست دوم نیز پارامترهای کنترولر PID برای یک سیستم تنظیم اتوماتیک ولتاژ [ix]AVR محاسبه شده است. میزان پاسخ پله کنترلر FOA کندتر از MFOA است و FOA اورشوت دارد. الگوریتم MFOA پارامترهای کنترلی بهتر و بدون خطای حالت پایدار و بدون اورشوت، با زمان صعود و زمان نشست کوتاه‌تری را منجر می‌شود.

در مرجع [8] در طراحی پارامترهای کنترولر PID از الگوریتم هوشمند شکارچی - طعمه[x] (PIO) الهام‌گرفته از لانه‌یابی کبوترها (PPPIO) برای افزایش تنوع جمعیت استفاده می‌شود. برای اعتبارسنجی بر روی یک سیستم تست مرتبه دوم، سه الگوریتم PSO، PIO و PPPIO در تنظیم پارامترهای PID استفاده شد. سه الگوریتم مذکور به ورودی پله پاسخی با کیفیت مشابه دارند؛ اما سرعت همگرایی PIO و PPPIO سریع‌تر از PSO است. گاهی ممکن است PIO در بهینه محلی گیر کند؛ اما PPPIO به‌طور مؤثر از آن اجتناب می‌کند. بنابراین PPPIO عملکرد بهتری نسبت به PIO و PSO دارد. الگوریتم PPPIO در مقایسه با PIO و PSO توانایی جست‌وجوی گلوبال بهتر و همگرایی سریع‌تری وجود دارد.

در مرجع [9] برای الگوریتم اصلاح‌شده اجتماع گروه ذرات MPSO پیشنهادی فرمولاسیون سرعت ذره تغییر داده‌شده تا بازده محاسباتی افزایش یابد. همچنین، ضرایب متغیر با زمان وارد شده‌اند؛ درنتیجه وابستگی مکان بعدی ذره به بهترین موقعیت قبلی‌اش با زمان کاهش می‌یابد و وابستگی مکان بعدی ذره به بهترین مکان جامع با زمان افزایش می‌یابد. ‌پس از اینکه دسته، چند پاسخ بالقوه را دید که یکی از آن‌ها بهترین است، دسته باید تنها اطراف آن بهترین پاسخ را جست‌وجو کند؛ چون به احتمال بیشتر مقدار بهینه تابع برازش یا فیتنس در آن اطراف است. احتمال اینکه ذرات پراکنده در کل فضای پاسخ نتیجه بهتری نسبت به ذرات متمرکزشده در یک زیرفضای کوچک پاسخ داشته باشند، بسیار کم است. کل دسته در اطراف بهترین نقطه مطلق جمع می‌شوند و در زمان بسیار کمی جست‌وجو را برای بهینه مطلق در زیرفضایی کوچک اطراف بهترین پاسخ ادامه می‌دهند؛ درنتیجه، بهینه‌سازی، سریع‌تر و بهتر خواهد بود. برای تست الگوریتم پیشنهادی، ابتدا یک فرآیند پایدار مرتبه دوم با یک (صفر) و دو (قطب) در نظر گرفته شده، پاسخ خروجی روش پیشنهادی با اختلال استاتیک بررسی می‌شود. نتایج نشان می‌دهند الگوریتم PSO پیشنهادی، تابع برازش برای عملکرد سیستم را در حضور اختلال استاتیک بهبود می‌دهد و درنتیجه پاسخ سیستم حلقه‌بسته با اختلال استاتیک تأثیری بر پاسخ خروجی ندارد.

در مرجع [10] الگوریتم بهینه‌سازی جدید اصلاح‌شده با نام غذایابی باکتری ارائه می‌شود. این الگوریتم غذایابی باکتری  را به‌صورت یک فرآیند بهینه‌سازی مدل می‌کند؛ به‌صورتی‌که یک جانور تلاش می‌کند انرژی به‌دست‌آورده در یک واحد زمانی جست‌وجو را حداکثر کند. این الگوریتم از نوع روش‌های هوشمند گروهی است. در شبیه‌سازی‌ها الگوریتم روی چهار سیستم مرتبه یک و دوم ساده آزموده شده است که بعد از بهینه‌سازی پارامترها با الگوریتم پیشنهادی، شاخص‌های عملکرد پاسخ سیستم به سرعت بهبود می‌یابد، اورشوت کاهش می‌یابد و زمان نشست حداقل می‌شود و عملکرد پایدار و پاسخ‌گذرای سیستم به‌وضوح بهبود می‌یابد. از نتایج شبیه‌سازی درمی‌یابیم قابلیت سازگاری برای تنظیم پارامترهای کنترولر PID و عملکرد کنترلی بهینه برای کنترولر PID با روش پیشنهادی در مقایسه با فرمولاسیون Zeigler-Nichols بهتر است.

در مرجع [11] الگوریتم هوشمند گروه ماهی‌ها را در بهینه‌سازی مقادیر تنظیمی پارامترهای کنترولر PID پیشنهاد می‌شود. سه رفتار توصیف‌شده در الگوریتم شامل جست‌وجوی غذا (حرکت آزادانه ماهی‌ها در آب به سمت غذا)، رفتار حرکت گروهی (تقسیم به بخش‌های کوچک برای اجتناب از تراکم و گیرکردن در زمان حمله شکارچیان، حرکت حدودی هم‌جهت با سایر همراهان، حرکت حدودی به سمتی مرکز مسیر حرکت همراهان نزدیک) و رفتارهای ردیابی (وقتی یک ماهی از گروه ماهی‌ها غذای بیشتری پیدا می‌کند، سایر ماهی‌ها به سرعت غذا را با دنبال کردن آن پیدا می‌کنند) به‌کارگیری الگوریتم پیشنهادی در بهینه‌سازی پارامترهای کنترولر PID بر سیستم‌های تست به نتایج خوبی منجر شده است. پس الگوریتم، صرفاً از اعتبار و امکان در چنین مسائلی برخوردار است؛ اما نشان نمی‌دهد که بهتر از سایر الگوریتم‌ها است یا خیر.

در مرجع [11] یک تابع هزینه ساده برای ارزیابی عملکرد کنترولر PSO-PID برای یک سیستم غیرخطی دانشگاهی الگوی فازی Takagi-Sugeno ارائه می‌شود. این تابع هزینه در یافتن نتایج بهینه با حداکثر سرعت ممکن کمک می‌کند. برای طراحی تابع هزینه در اینجا حداقل‌سازی خطا مدنظر است. همچنین الگوسازی کنترولر PID دیجیتال به روش جدید RST است. در اجرای الگوریتم پیشنهادی، ابتدا پارامترهای PSO مقداردهی اولیه می‌شوند. در مرحله دوم، بخش‌های غیرخطی سیستم در قوانین فازی حذف می‌شوند. آنگاه پارامترهای الگوی RST کنترولر محاسبه می‌شوند. تابع هزیه محاسبه می‌شود، سپس خطا و مقدار بهترین مکان هر ذره به‌دست می‌آید. سرعت و مکان ذرات در دسته به‌روزرسانی می‌شود و اگر شرط توقف الگوریتم ارضا نشود، فرآیند از مرحله دوم از سر گرفته می‌شود. در موارد بررسی‌شدۀ مطالعاتی، کنترل PID با روش قراردادن قطب و PSO مقایسه می‌شود که در مقایسه درمی‌یابیم در الگوریتم اجتماع گروه ذرات ماکزیمم اورشوت کاهش می‌یابد و زمان همگرایی حداقل می‌شود. پس الگوریتم پیشنهادی برای کنترل سیستم چند ورودی و خروجی (MIMO) استفاده می‌شود.

مطالعات مشابهی به‌روز برای طراحی PID کنترولر در حوزه‌های متنوعی در مراجع [12] و [13] آورده شده‌اند.

2- الگوریتم پیشنهادی PSO-NM

2-1- بهینه‏سازی اجتماع گروه ذرات PSO

الگوریتم بهینه‏سازی سراسری برای بحث دربارۀ مسائلی است که در آن‌ها بهترین راه‌حل به‌صورت یک نقطه یا سطح در فضای چندبعدی نشان داده می‏شود. فرضیه‏ها در این فضا رسم می‏شوند و با یک سرعت اولیه و کانال ارتباطی بین ذرات شروع می‏شوند. سپس ذرات در فضای راه‌حل حرکت می‏کنند و بعد از هر مهر زمانی، براساس معیار شایستگی، ارزیابی می‌شوند. بعد از مدتی، ذرات به طرف ذراتی سرعت می‏گیرند که مقادیر شایستگی بهتر در گروه ارتباطی خودشان دارند. مزیت اصلی این رویکرد نسبت به سایر استراتژی‌های کمینه‌سازی مانند آنیلینگ شبیه‏سازی شده این است که تعداد زیاد افرادی که گروه ذرات را تشکیل می‏دهند، تکنیکی بسیار ارتجاعی را برای مسئله کمینه‏سازی محلی به‌کار می‌برند [14]. ذرات دو قابلیت دارند: 1) حافظه مربوط به بهترین موقعیت خود و دانش بهترین موقعیت گروه؛ 2) افراد یک دسته موقعیت‌های خوب را با یکدیگر، مبادله ‏ و موقعیت و سرعت خود را بر مبنای این موقعیت‌های خوب تنظیم می‏کنند. این ارتباط از دو راه صورت می‏گیرد:

بهترین سراسری که برای همه شناخته شده است.

بهترین‌های همسایه که هر ذره تنها با زیرمجموعه‌ای از دسته دربارۀ بهترین موقعیت‌ها ارتباط دارد.

ابرهارت[xi]، کندی[xii] اولین بار الگوریتم دسته ذرات را در سال 1995 مطرح کردند. در تدوین این روش از پرواز گروهی پرندگان و شنای گروهی ماهی‏ها و زندگی اجتماعی آنان الهام گرفته شده که با استفاده از یکسری روابط ساده فرمول‌بندی شده است؛ مانند همۀ الگوریتم‏های تکاملی دیگر، الگوریتم دسته ذرات نیز با ایجاد یک جمعیت تصادفی از افراد شروع می‌شود که در اینجا یک گروه از ذره‌ها خوانده می‏شوند. مشخصات هر ذره در گروه، براساس مجموعه‌ای از پارامترها تعیین می‏شوند که باید مقادیر بهینه آن‌ها تعیین شوند. در این روش، هر ذره یک نقطه از فضای جواب مسئله را نشان می‌دهد. هرکدام از ذرات حافظه دارند؛ یعنی بهترین موقعیتی که در فضای جست‌وجو به آن می‌رسند را به خاطر می‌سپارند؛ بنابراین حرکت هر ذره در دو جهت صورت می‏گیرد.

- به‌سوی بهترین موقعیتی که تا کنون اختیار کرده‏اند.

- به‌سوی بهترین موقعیتی که همۀ ذرات تا به حال اختیار کرده‏اند .

PSO از تکنیک‌های محاسبات تکاملی است و با تقلید از پرواز پرندگان و تبادل اطلاعات میان آن‌ها ابداع شده است. در PSO هر راه‌حل تنها یک پرنده در فضای جست‌وجو است و عضو نامیده می‏شود. تمام پرندگان یک مقدار شایستگی دارند و با تابع شایستگی بهینه‌شده ارزیابی می‏شوند. علاوه بر این، هر پرنده i، یک موقعیت در فضای D بعدی مسئله دارد که در تکرار tام، با یک بردار به‌صورت رابطه (1) نمایش داده می‏شود.

همچنین این پرنده سرعتی دارد که پروازش را هدایت می‏کند و در تکرار  tام با بردار رابطه (2) نشان داده می‏شود.

و این پرنده نیز در هر تکرار یک حافظه از بهترین موقعیت قبلی خودش را دارد که با بردار P رابطه (3) نشان داده می‏شود.

در هر تکرار جست‌وجو، هر عضو با در نظر داشتن دو مقدار بهترین به‌روزرسانی می‏شود. اولی مربوط به بهترین راه‌حلی است که پرنده تا کنون آن را تجربه کرده است. (مقدار شایستگی این بهترین راه‌حل نیز ذخیره می‏شود.) این مقدار را بهترین p یا اصطلاحاً Pbest می‏نامند. دومین بهترین که با PSO دنبال می‏شود، بهترین موقعیتی است که که تا کنون در جمعیت به دست آمده است. این مقدار بهینه عمومی است و اصطلاحاً Gbest نامیده می‏شود. زمانی که یک عضو، بخشی از جمعیت را به‌عنوان توپولوژی همسایگانش در نظر می‏گیرد، بهترین مقدار یک بهترین محلی است و Lbest نامیده می‏شود. بعد از اینکه دو بهترین مقدار پیدا شدند، موقعیت و سرعت هر عضو با راوابط (4) و (5) به‌روزرسانی می‏شوند.

در فرمول‌های فوق،  بیان‌کنندۀ شماره تکرار و متغیرهای  فاکتورهای یادگیری هستند. بیشتر  است که میزان جابه‌جایی یک پرنده را در یک‌بار تکرار کنترل می‏کند.  دو عدد تصادفی یکنواخت در رنج [0,1] هستند.  یک وزن جبری است که به‌صورت نوعی در رنج [0,1] مقداردهی اولیه می‏شود. وزن جبری بزرگ‌تر، استکشاف عمومی و وزن جبری کوچک‌تر، استکشاف محلی را تسهیل می‏کند. در الگوریتم PSO استاندارد جمعیت با راه‌حل‏های تصادفی مقداردهی اولیه می‏شود و تا رسیدن به شرط خاتمه به‌صورت تکراری شایستگی جمعیت محاسبه می‏شود و مقادیر Pbest و Gbest تعیین می‏شوند. سپس سرعت و موقعیت نیز به ترتیب به‌روزرسانی می‏شوند. در آخر هم، Gbest و مقدار شایستگی‏اش به‌عنوان خروجی بیان می‏شوند. شرط خاتمه، رسیدن به ماکزیمم تعداد نسل‏ها یا رسیدن به یک مقدار خاص شایستگی در Gbest است.

2-2- الگوریتم بهینه‌سازی نلدر - مید (NM)

نلدر و مید اولین بار الگوریتم NM را در سال 1965 طرح کردند و هدف از ارائه این روش، حل مسائل بهینه‏سازی نامقید بود؛ اما با وجود گذشت زمان طولانی از ابداع روش نلدر – می، امروزه این روش به دلیل سادگی برای استفاده و کدنویسی در کامپیوتر هنوز هم انتخاب مناسب برای حل مسائل بهینه‏سازی در زمینه‏های آماری، مهندسی، فیزیک و علوم پزشکی و داروسازی است. این الگوریتم، روشی سریع برای یافتن جواب مینیمم محلی در مسائل بهینه‏سازی است و برای مسائل بهینه‏سازی چند بعدی نیز استفاده می‌شود. همچنین این روش برای یافتن جواب از مشتق توابع برخلاف روش گرادیان بهره نمی‏برد. الگوریتم نلدر- مید به مقدار مینیمم محلی از راه تشکیل ساختار منحصربه‌فرد همگرا می‏شود. با استفاده از این ساختار یگانه، جست‌وجو در جهت‏هایی با پتانسیل بالا برای مینیمم‌سازی تابع هدف اجرا می‏شود. ساختار منحصربه‌فرد در روش نلدر - مید به فرم یک شکل هندسی مرکب از N+1 گوشه تعریف می‏شود که N تعداد متغیرهای تابع هدف مسئلۀ بهینه‏سازی است. در هر تکرار الگوریتم نلدر- مید شروع به محاسبه تصویر بدترین نقطه (گوشه دارای بالاترین مقدار تابع هدف best) در راستای نقطه مرکزی (گوشه با مقدار متوسط good) می‏کند. براساس مقدار محاسبه‌شده در مرحله اول، الگوریتم، عملیات گسترش و انقباض به شکلی با ساختار جدید اجرا می‏کند. به عبارت دیگر، مقادیر تابع هدف برای هر تکرار در گوشه‌های ساختار ایجادشده ارزیابی می‌شوند و بالاترین مقدار تابع هدف برای هر گوشه ساختار در هر تکرار جایگزین بدترین مقدار محاسبه‌شده از مرحله قبل می‏شود و در غیر این صورت، ساختار به طرف بهترین نقطه (گوشه با کمترین مقدار تابع هدف) انقباض می‏یابد. این فرآیند تکرار می‏شود تا اینکه خطای مطلوب حاصل شود. سرعت همگرایی الگوریتم با سه پارامتر α٬β و γ متأثر می‏شود که به‌ترتیب پارامتر α  ثابت انعکاس، پارامتر β  ثابت انقباض و γ  ثابت گسترش ساختار هستند[15-16].

3- وزن‌دهی پارامترهای پاسخ خروجی به کمک الگوریتم هایبرید اجتماع گروه ذرات و نلدرمید PSO-NM

با تحلیل پاسخ پله سیستم در حضور کنترل‌کنندۀ PID، بهبود پاسخ از لحاظ زمان نشست، فراجهش و زمان خیز هدف اصلی است. در طراحی کنترل‌کنندۀ PID علاوه بر تنظیم پارامترهای آن، روش پیشنهادشونده وزن‌دهی به خروجی‏های به‌دست‌آمده از پاسخ است. بدین منظور فرض می‌شود پارامترهای خروجی زمان نشست، فراجهش و زمان خیز در پاسخ پله تعریف شود. در این صورت، الگوریتم ممکن است کنترل‌کننده‌ای را پیشنهاد کند که با آن پارامترهای به نظر بهینه‌شده قابلیت پیاده‏سازی نداشته باشند؛ بنابراین روشی که در اینجا پیشنهاد شده است روش وزن‌دهی است؛ به‌صورتی‌که به هریک از پارامترهای پاسخ خروجی وزن خاصی اختصاص داده می‌شود. حال این وزن‌دهی بدین معنی است که هریک از پارامترها در پاسخ به چه میزان اهمیت دارد؛ برای مثال، اگر طراح بخواهد پاسخ پله سیستم دارای فراجهش کمتری باشد، می‌باید وزن کمتری به آن اختصاص دهد.

3-1- وزن‌دهی هوشمند پارامترهای پاسخ خروجی

در وزن دهی هوشمند به پارامترها، وزن‌دهی به‌صورت انتخاب بازه‌ای دلخواه برای هریک از پارامترها است؛ برای مثال، اگر پارامتر دیگری اهمیت بیشتری داشته باشد، بازۀ بزرگ‌تری در انتخاب آن پارامتر در نظر گرفته می‏شود. انتخاب حد بالا و حد پایین مناسب، عامل مهمی در وزن‌دهی هوشمند نوع اول است؛ بنابراین الگوریتم تکاملی علاوه بر تنظیم پارامترهای P , I , D کنترل‌کننده به تعداد پارامترهای خروجی، می‌باید وزن‏های مناسبی را برای هر یک از پارامترها تعیین کند. بنابراین تعداد متغیرهای الگوریتم بهینه‌سازی به تعداد N+3 است که در آن، N تعداد پارامترهای خروجی است که الگوریتم باید برای هریک از آن‌ها وزن‌دهی مناسب انجام دهد. در قسمت وزن‌دهی، با ایجاد بازه‌ای برای هریک از پارامترها میزان تأثیر و اهمیت هریک از آن‌ها را تعیین می‌شود؛ برای مثال، فرض کنید که سه پارامتر در خروجی پاسخ سیستم وجود داشته باشد، زمان نشست، فراجهش یا اورشوت و زمان خیز که به ترتیب با Ts ، %MP ، Tr نمایش داده می‌شوند؛ بنابراین اگر مثلاً برای طراح کم‌بودن فراجهش از بقیه خصوصیات پاسخ خروجی اهمیت بیشتری داشته باشد و به نسبت سرعت رسیدن به جواب نهایی و ماندگار از سرعت گذرای پاسخ سیستم اهمیت بیشتری داشته باشد (اهمیت بیشتر Ts به نسبت Tr)، آنگاه با ایجاد قیدی بر روی برنامه، بازه‏های معناداری از حدودی که الگوریتم هوشمند اجازۀ جست‌وجو در آن فضا را داشته باشد، انتخاب می‌شود تا به هدف خود از لحاظ میزان اهمیت‌دادن الگوریتم به هریک از پارامترها دست یابد. بنابراین در روش پیشنهادی این پژوهش، الگوریتم هوشمند PSO، علاوه بر جست‌وجوی بهینه‏ترین مقدار در فضای جست‌وجوی هر پارامتر کنترلی، وزن مناسب با مطلوب طراح تعیین می‌شود تا این 6 پارامتر هم‌زمان به صورتی انتخاب شوند تا مطلوب‌ترین پاسخ به‌دست آید.

3-2- تابع هدف بهینه‏سازی اجتماع گروه ذرات PSO و نلدرمید NM

اما مهم‌ترین بخش یک مسئله بهینه‌سازی انتخاب تابع هدفی متناسب با شرایط و قیود موجود است. تابع هدف استفاده‌شده در این بهینه‌سازی به‌صورت رابطه (6) است.

که در آن P_iها متغیرهای بهینه‌سازی و مخرج کسر داخل سیگما بازۀ تعیین‌شدۀ مربوط به هریک از متغیرها در برنامه هستند. درواقع با این کار، همگی متغیرها نرمالیزه خواهند شد؛ بنابراین به دلیل تفاوت ماهیت و فضای عددی اتخاذشدۀ هریک از متغیرهای بهینه‌سازی (6 متغیر = 3 متغیر مربوط به پارامترهای کنترل‌کننده + 3 متغیر مربوط به وزن هریک از پارامترهای پاسخ‏های خروجی) می‌باید این متغیرها به گونه‏ای در تابع هزینه کنار یکدیگر آورده شوند تا در هزینه نهایی خللی ایجاد نشود. بدین منظور می‌باید هریک از مقادیر پیشنهادی با الگوریتم PSO را در حوزه و فضای تعریف‌شدۀ خود نرمالیزه شوند. در ادامه با ذکر یک مثال مسئله روشن‏تر خواهد شد. با فرض اینکه بازه‏های انتخابی برای هریک از پارامترها از طراح به‌صورت رابطه (7) باشند.

در این انتخاب همان‌طور که مشاهده می‏شود میزان فضای جست‌وجوی پارامترهای کنترلی، یکسان انتخاب شده است تا الگوریتم تکاملی PSO با جست‌وجوی فضای ممکن در این بازه‏ها، مقدار بهینه را انتخاب می‌کند؛ اما همان‌طور که در بازه‌های مربوط به وزن‌دهی داده‏ها مشخص شده است وزن پارامترهای خروجی با اولویت اهمیت به‌صورت  هستند؛ بنابراین در این صورت پارامتر دارای وزن w₃ اهمیت بیشتری برای تابع بهینه‏ساز دارد؛ برای مثال یک پاسخ پیشنهادی با الگوریتم PSO به‌صورت (8) باشد و همچنین پاسخ خروجی دارای %MP=10% ، Ts=2 ms و Tr=0.2 ms باشد.

درنهایت برای این پاسخ (شاید بهینه) تابع هزینه به‌دست‌آمده پس از نرمالیزه‌کردن هریک از متغیرها به‌صورت (9) حاصل می‌شود.

در هر بار تکرار برنامه بهینه‏سازی، ابتدا جواب بهینه اولیه با الگوریتم اجتماع ذرات تعیین می‌شود که این جواب‌ها، جواب‌های ورودی الگوریتم نلدرمید در نظر گرفته می‌شود. اگر الگوریتم هایبرید در یک تکرار، موفق به یافتن پاسخ مناسب‌تری نشود، آنگاه در تکرار بعدی اعداد دیگری را با توجه به منطق خود پیشنهاد می‌دهد که هزینه کمتری داشته باشد تا درنهایت به بهینه‏ترین پاسخ دست یابد.

4- مطالعات شبیه‌سازی و آنالیز حساسیت

الگوریتم بهینه‌سازی هایبرید ازدحام گروه ذرات و نلدرمید، در تنظیم و طراحی بهینه پارامترهای کنترلر PID، با توجه به وزن‌دهی هوشمند پارامترهای پاسخ خروجی برای تأیید کارایی و اعتبارسنجی عملکرد بر سیستم کنترلی حلقه بسته، مطابق شکل (1) به‌کار گرفته و سپس با الگوریتم پیشرفته GA مقایسه می‌شود. فلوچارت به کار گرفته شده برای ازدحام گروه ذرات و نلدرمید
(PSO-NM) با توجه به وزن‌دهی هوشمند پارامترهای پاسخ خروجی در ادامه آورده شده است.

شکل (1): بلوک دیاگرام کنترلر PID با استفاده از الگوریتم ازدحام ذرات و نلدرمید (PSO-NM)

در شکل فوق، U سیگنال ورودی و Y، سیگنال خروجی است. اختلاف بین سیگنال ورودی و خروجی با نام سیگنال خطا e(t) شناخته می‏شود که به‌عنوان تضمین سیگنال کنترلی سیستم با کنترلر PID، تنظیم می‌شود. در این پروژه، برای انجام شبیه‌سازی و آنالیز حساسیت، دو مطالعه موردی ترتیب داده شده است. در مطالعات موردی اول، دوم به ترتیب یک سیستم مرتبه دوم و یک سیستم مرتبه سوم مدنظر قرار گرفته است که توابع تبدیل الگوی کنترلی موارد مذکور مطابق روابط (10) و (11) هستند و با  نمایش داده می‌شوند.

کدنویسی مربوط به مطالعات عددی و شبیه‌سازی در محیط نرم‌افزار مطلب با کامپیوتر شخصی دارای پردازشگر دو هسته‌ای با قدرت پردازش 2 گیگا هرتز[xiii] و حافظه جانبی 512 مگابایت[xiv] انجام شده است. درنهایت، نتایج عددی به‌دست‌آمده در ارتباط با منحنی همگرایی به جواب مسئله بهینه‌سازی، پارامترهای مهم پاسخ سیستم برای طراح نظیر: زمان نشست (ts)، زمان خیز (tr) و فراجهش (%MP) و پاسخ خروجی، بررسی و مقایسه شده‌اند. اطلاعات مفروضات حل مسئله در مطالعات انجام‌شده برای الگوریتم هایبرید اجتماع گروه ذرات و نلدرمید PSO-NM به ترتیب زیر هستند؛ ضمناً اطلاعات مفروض و فلوچارت به‌کارگرفته در مطالعات شبیه‌سازی مربوط به الگوریتم ژنتیک پیشرفته از مرجع [17] و [18] اقتباس شده است.

4-1- مفروضات برای الگوریتم هایبرید اجتماع گروه ذرات و نلدرمید PSO-NM

تعداد کل جمعیت‌های اولیه برابر 30 عدد است که به‌عنوان جواب‌های تصادفی مسئله بهینه‌سازی تنظیم پارامترهای کنترلر PID، در نظر گرفته شده‌اند. برای هریک از جمعیت‌ها، 6 عضو ، ، ، ، و ، معادل مکان ذرات لحاظ می‌شوند که درواقع، متغیرهای مسئلۀ بهینه‌سازی را شامل می‌شوند. مقدار حداقل برای هریک از اعضای جمعیت‌ها برابر 0 است؛ اما برای مقادیر حداکثری آن‌ها به ترتیب 15 ، 8، 5، 0.5، 0.3 و 1 می‏است. تحقیقات نشان داده است انتخاب مقدار بزرگ‌تری برای  c₁نسبت به پارامتر اجتماعی c₂ مناسب‌تر است؛ اما باید همواره شرط  رعایت شود. بر اساس این، در اینجا مقدار عددی پارامترهای  و  برای تنظیم مکان و سرعت هر ذره برای تکرار ام در فرمولاسیون الگوریتم اجتماع ذرات به ترتیب معادل با مقدار عددی 2 و 1.5 انتخاب می‌شود.

الگوریتم هوشمند اجتماع گروه ذرات برای دستیابی به جواب بهینه و به‌روزرسانی موقعیت و سرعت ذرات هر گروه، مبتنی بر روند تکرار است. تعداد تکرار در اینجا برای معالعات شبیه‌سازی، 50 بار در نظر گرفته شده است. اندیس ، پارامتر اینرسی وزنی در فرمولاسیون الگوریتم اجتماع گروه ذرات است که برای تضمین همگرایی به کار می‌رود. اینرسی وزنی، برای کنترل تأثیر سوابق سرعت‌های پیشین بر سرعت‌های جاری ذرات کاربرد دارد که براساس تحقیقات انجام‌شده، تا کنون مقدار عددی مناسب آن معمولاً بین 0.4 و 0.7 گزارش شده است. در اینجا نیز این مقادیر، حداقل و حداکثر مقادیر عددی ، برای مطالعات شبیه‌سازی انتخاب شده‌اند؛ اما مقدار عددی  طبق رابطه (12)، محاسبه می‌شود.

این مسئله شامل دو تابع هدف f₁(i) و Cost(i) مطابق روابط (13) و (14) است که به ترتیب اولین تابع هدف، به دنبال بهینه‌سازی پاسخ زمانی سیستم است و به متغیرهای خطای حالت دائمی[xv]، ماکزیمم اورشوت، زمان خیز و زمان نشست وابسته هستند؛ درحالی‌که دومین تابع هدف، کل هزینۀ ناشی از هریک از پارامترهای کنترلی سیستم با اهمیت‌های متفاوت از دید طراح کنترلر PID را دنبال می‌کند.

اما الگوریتم اجتماع گروه ذرات (PSO) با یک تابع هدف کار می‌کند؛ بنابراین تنها راهکار باقی‌مانده، تلفیق دو تابع هدف به‌عنوان یک تابع هدف برای به‌کارگیری در الگوریتم اجتماع گروه ذرات، مطابق رابطه (15) است.

علت جمع Cost(i) با عدد یک آن است که با صفرشدن وزن‌ها، مقدار Cost(i) برای هر مقدار از پارامترهای کنترلی صفر خواهد شد. به عبارتی، مقدار تابع f₁(i) در تابع هدف نهایی، بی‌تأثیر خواهد شد. به همین دلیل برای جلوگیری از این اتفاق، تابع هدف نهایی به‌صورت f (i)  تعیین شده است؛ بنابراین با استفاده از فلوچارت ارائه‌شده در شکل (2)، به طراحی و تنظیم پارامترهای کنترلر PID، با توجه به پارامترهای پاسخ اقدام می‏شود. روند کار بدین شکل است که ابتدا 30 جمعیت اولیه، هر یک شامل 6 عضو با مقادیر مکان و سرعت تصادفی اولیه، در محدوده مجاز تشکیل می‌شود و مقدار عددی تابع هدف مطابق رابطه (15)، با توجه به مقادیر اولیۀ تولیدشده برای متغیرهای سیستم کنترلی محاسبه می‌شود. اگر شرایط همگرایی به جواب بهینه مسئله فراهم شد آنگاه اجرای الگوریتم، متوقف می‌شود و در غیر این صورت، محاسبه موقعیت و سرعت جدید ذرات برای به‌روزرسانی مقدار تابع هدف در تکرار بعد با استفاده از رابطه (4) انجام می‌شود.

4-1-1- مطالعه اول: سیستم کنترلی مرتبه دوم[xvi]  G(S)

در مطالعه حالت اول، یک سیستم مرتبه دوم مطابق رابطه 10، به‌عنوان سیستم کنترلی  در مسیر پیش‌خور[xvii] سیستم حلقه بسته شکل (3)، در نظر گرفته شده است. هدف این است که پارامترهای کنترلی ، ،  و همچنین ضرایب وزن متناظر هریک از آن‌ها شامل ، و  را در کنترلر PID که در مسیر پیش خور بلوک دیاگرام مذکور قرار دارد با الگوریتم هایبرید اجتماع گروه ذرات و نلدرمیدPSO-NM  طوری تعیین شود که پاسخ مطلوب و بهینۀ سیستم به ورودی دلخواه ایجاد شود. بنابراین، در این مطالعه نیز پاسخ به ورودی پله سیستم ارزیابی شده است.

شکل (2): فلوچارت الگوریتم هایبرید اجتماع گروه ذرات و نلدرمیدPSO-NM  با توجه به وزن‌دهی پارامترهای پاسخ

الگوریتم پیشنهادی، طی زمان 3.8 ثانیه بعد از 50 تکرار به جواب بهینه، همگرا می‌شود اما همان طور که از نتایج شبیه‌سازی دیده می‏شود منحنی برازش مشخصه همگرایی کندی ‌از خود در مقایسه با الگوریتم‌ ژنتیک بکار گرفته شده، بر روی همین الگوی کنترلی نشان می‌دهد.

شکل (3): منحنی همگرایی الگوریتم هایبرید اجتماع گروه ذرات و نلدرمید PSO-NM به پاسخ بهینه با توجه به وزن‌دهی پارامترهای پاسخ سیستم برای مطالعه حالت اول
(Weighted Response-PSO)

جدول (1) نتایج شبیه‌سازی برای تابع هدف، پارامترهای کنترلی و ضرایب وزن متناظر با هریک از آنها در کنترلر PID را با به‌کارگیری الگوریتم هایبرید اجتماع گروه ذرات و نلدرمیدPSO-NM در مقایسه با نتایج حاصله از به‌کارگیری الگوریتم ژنتیک، نشان می‌دهد.

جدول (1): نتایج شبیه‌سازی برای تابع هدف، پارامترهای کنترلی و ضرایب وزن متناظر با هریک از آن‌ها در کنترلر PID (مقایسه الگوریتم هایبرید اجتماع گروه ذرات و نلدرمید
PSO-NM پیشنهادی با الگوریتم GA)

آنچه از نتایج شبیه‌سازی در جدول (1) استنباط می‌شود، این است که برای تنظیم پارامترهای تناسبی، انتگرالی و مشتقی در کنترلر PID، برای سیستم مرتبه دوم  واقع در مسیر پیش خور سیستم حلقه بسته کلی، با توجه به مقدار عددی ضریب وزن 0.0530 پارامتر انتگرالی کنترلر اولویت اول به این پارامتر یعنی  تخصیص می‌یابد. این کار سبب می‌شود تا خطای ماندگار پاسخ سیستم در زمان به صفر برسد و با توجه به مقدار عددی ضریب وزن 0.04342 پارامتر مشتقی از اولویت دوم، نسبت به دو پارامتر تناسبی و انتگرالی قرار می‌گیرد. این کار سبب می‌شود که حساسیت سیستم به شیب تغییرات پاسخ (خطا) افزایش یابد؛ درنتیجه به افزایش هزینه‌ها برای فراهم‌کردن این امکان در بخش کنترلی منجر می‏شود. درنهایت ضریب وزن 0.0022 برای پارامتر تناسبی باید پایین‌ترین اولویت به‌طور بهینه به این پارامتر در کنترلر، یعنی  اختصاص یابد که درنتیجه پایین‌ترین هزینه صرف این بخش از سیستم کنترلی خواهد شد. از مقایسه نتایج به‌دست‌آمده از به‌کارگیری الگوریتم هایبرید اجتماع گروه ذرات و نلدرمید PSO-NM و الگوریتم ژنتیک (GA) با توجه به وزن‌دهی پارامترهای پاسخ بر روی سیستم کنترلی تست، مشاهده می‌شود الویت‌های انتخاب‌شده برای پارامترهای کنترلی تناسبی، مشتقی و انتگرالی باوجود مقادیر متفاوت، مشابه بوده‌اند. از مقایسه نتایج شبیه‌سازی برای مشخصه همگرایی تابع هدف (برازش) درمیابیم الگوریتم ژنتیک سریع‌تر به مقدار بهینه، همگرا می‌شود؛ اما کمینه‌سازی f1 (هدف) طی تکرارهای برابر برای حل مسئله ضعیف‌تر تحقق می‌بخشد؛ یعنی در مقایسه با الگوریتم هایبرید اجتماع گروه ذرات و نلدرمید PSO-NM به مقادیر بالاتر برازش، همگرا می‌شود. در دیاگرام حلقه بسته مورد مطالعه (Case1)، تابع تبدیل سیستم کنترلی ما (G(S))، سیستم مرتبۀ دوم است و بعد از حل مسئله بهینه‌سازی با الگوریتم هایبرید اجتماع گروه ذرات و نلدرمید PSO-NM، تنظیم پارامترهای تابع تبدیل کنترلر  PIDمشخص شده است؛ بنابراین تابع تبدیل کلی سیستم، مطابق رابطه (16) بیان می‌شود.

پاسخ سیستم مورد مطالعه به ورودی پله با توجه به تنظیم بهینه پارامترهای کنترلی PID با الگوریتم پیشنهادی، مطابق شکل (4) خواهد شد. مقادیر عددی ماکزیمم اورشوت یا فراجهش، زمان خیز، زمان نشست و خطای حالت دائمی پاسخ سیستم به ورودی پله در شکل مذکور نمایش داده شده‌اند. هریک از آن‌ها به ترتیبی که در ادامه آورده شده است، تعریف و مقداردهی می‌شوند.

شکل (4): پاسخ ورودی پله سیستم با توجه به تنظیم بهینه پارامترهای کنترلی PID (Case1)

انتظار می‌رود با تنظیم بهینه پارامترهای کنترلی در کنترلر PID، پاسخ مطلوب سیستم از نظر طراح رقم بخورد و با میل به سمت زمان‌های بالا، خطای حالت دائمی پاسخ سیستم به ورودی پله نیز به دلیل وجود بخش انتگرالی، به مقدار صفر برسد. شکل (5)، خطای حالت دائمی پاسخ سیستم به ورودی پله را نشان می‌دهد.

شکل (5): خطای حالت دائمی پاسخ سیستم به ورودی پله با توجه به تنظیم بهینه پارامترهای کنترلی PID (Case1)

همان‌طور که در شکل (5) مشاهده می‌شود با میل زمان به سمت بی‏نهایت (t=0.006047)، خطای ماندگار پاسخ سیستم به مقدار عددی صفر میل می‏کند که با وجود کنترلر PID، دقیقاً انتظار می‌رفت.

4-1-2- مطالعه دوم: سیستم کنترلی مرتبه سوم[xviii]G(S)

در مطالعه حالت دوم با اعمال دو تغییر، باقیماندۀ اطلاعات مفروض شبیه‏سازی به‌طور مشابه با مطالعه حالت اول، ثابت فرض شده است. در تغییر اول، مرتبه سیستم در تابع تبدیل G(S) مسیر پیش خور برای سیستم کنترلی حلقه بسته (شکل 1) از دو به سه، مطابق رابطه (11) افزایش یافته است. در تغییر دوم، زمان شبیه‌سازی از 2 ثانیه به 7.87 ثانیه افزایش داده شده است؛ به دلیل آنکه در بدترین شرایط کنترلی، یعنی به‌ازای ζ نزدیک به صفر، میرایی‌سازی نوسانات پاسخ سیستم حول مقدار مطلوب به ورودی دلخواه با به‌کارگیری کنترلر PID، رؤیت‌پذیر است. مجدداً مسئلۀ بهینه‌سازی تنظیم بهینه پارامترهای کنترلر تناسبی –انتگرالی - مشتقی، با الگوریتم هایبرید اجتماع گروه ذرات و نلدرمید PSO-NM مبتنی بر وزن‌دهی پارامترهای پاسخ، حل شده که منحنی همگرایی به جواب بهینه طی 50 تکرار در شکل (6) آورده شده است. به‌طور مشابه با مطالعه حالت قبلی اجراهای متوالی شبیه‌سازی برای مطالعه حالت دوم (Case2) با الگوریتم هایبرید اجتماع گروه ذرات و نلدرمید PSO-NM و الگوریتم ژنتیک (GA) درمیابیم در عین حال که مقدار عددی تابع هدف در الگوریتم اجتماع گروه ذرات به مقادیر کمینه بهتری منجر می‌شود، سرعت همگرایی به جواب بهینه این الگوریتم در مقایسه با الگوریتم ژنتیک کمتر است. برای مطالعه حالت دوم، جدول (2)، نتایج شبیه‌سازی به ورودی پله سیستم برای تابع هدف، پارامترهای کنترلی و ضرایب وزن متناظر با هریک از آن‌ها در کنترلر PID، را با به‌کارگیری الگوریتم هایبرید اجتماع گروه ذرات و نلدرمید PSO-NM در مقایسه با نتایج حاصله از به‌کارگیری الگوریتم ژنتیک، نشان می دهد.

جدول (2): نتایج شبیه‌سازی برای تابع هدف، پارامترهای کنترلی و ضرایب وزن متناظر با هریک از آنها در کنترلر PID (مقایسه الگوریتم هایبرید اجتماع گروه ذرات و نلدرمید
PSO-NM پیشنهادی با الگوریتم ژنتیک)

شکل (6): منحنی همگرایی الگوریتم هایبرید اجتماع گروه ذرات و نلدرمید  PSO-NMبه پاسخ بهینه با توجه به وزن‌دهی پارامترهای پاسخ سیستم برای مطالعه حالت دوم
(Weighted Response- PSO)

همان‌طور که از نتایج شبیه‌سازی در مطالعه حالت دوم مشاهده می‏شود برای دستیابی به پاسخ مطلوب به ورودی پله برای سیستم جدید، طراح کنترلر PID، می‌باید بالاترین اولویت به پارامتر تناسبی ( ) با مقدار عددی ضریب وزن 0.1086، دومین اولویت به پارامتر مشتقی ( ) با مقدار عددی ضریب وزن 0.0110 و پایین‌ترین اولویت را با ضریب وزن 0.0089  به پارامتر انتگرالی ( ) اختصاص دهد. اولویت بالاتر برای تنظیم پارامتر کنترلی از کنترلر PID، دست طراح را به‌منظور صرف هزینه بیشتر برای آن پارامتر بازمی‏گذارد. بنابراین در اینجا برای الگوی کنترلی جدید، برای دستیابی به پاسخ مطلوب سیستم به ورودی پله از دید طراح، باید بیشترین هزینه صرف پارامتر تناسبی ( ) شود تا بزرگ‌نمایی در خطاهای کوچک پاسخ سیستم، به خوبی انجام شود. سپس در اولویت بعدی، بیشترین هزینه برای پارامتر مشتقی ( ) صرف شود تا شیب افزایشی یا کاهشی خطا به درستی تعیین شود. درواقع، در پایین‏ترین اولویت، کمترین هزینه برای پارامتر انتگرالی ( )، برای رساندن خطای ماندگار سیستم به مقدار صفر ‏است. البته باید متذکر شد اولویت‌بندی پارامترهای کنترلی PID، در هر دو روش PSO و GA مشابه به‌دست آمده‌اند که در مقادیر تنظیمات متفاوت هستند. با توجه به اینکه در دیاگرام حلقه بسته مورد مطالعه تحت شرایط جدید (Case2)، تابع تبدیل سیستم (G(S)) در مسیر پیش خور سیستم مرتبه سوم است، پس از حل مسئلۀ بهینه‌سازی طراحی پارامترهای تناسبی، مشتقی و انتگرالی کنترلر PID، با الگوریتم هایبرید اجتماع گروه ذرات و نلدرمیدPSO-NM  با توجه به وزن‌دهی پارامترهای پاسخ تابع تبدیل کنترلر PID، مشخص می‌شوند؛ بنابراین تابع تبدیل کلی سیستم حلقه بسته مطابق رابطه (17) بیان می‌شود.

(17)

در مطالعه حالت دوم، پاسخ سیستم به ورودی پله با توجه به تنظیم بهینه پارامترهای تناسبی، مشتقی و انتگرالی کنترلر PID، با الگوریتم پیشنهادی اجتماع گروه ذرات در شکل (7) آمده است.

شکل (7): پاسخ ورودی پله سیستم با توجه به تنظیم بهینه پارامترهای کنترلی PID (Case2)

مقدار عددی ماکزیمم اورشوت یا فراجهش پاسخ (MP%)، در شرایط جدید سیستم، در مطالعه حالت دوم برابر 0.0487 است. مقدار عددی زمان خیز ( ) برابر 0.63063 ثانیه است و زمان نشست سیستم ( ) نیز با معیار 2%± در نظر گرفته شده است که مقدار عددی این زمان برابر 2.5225 ثانیه است. شکل (8) خطای حالت دائمی پاسخ سیستم به ورودی پله را در شرایط جدید نشان می‏دهد.

شکل (8): خطای حالت دائمی پاسخ سیستم به ورودی پله با توجه به تنظیم بهینه پارامترهای کنترلی PID (Case2)

در تنظیم بهینه پارامترهای کنترلی تناسبی، انتگرالی و مشتقی در کنترلر PID، برای مطالعه حالت دوم (Case2)، پایین‌ترین ضریب وزن به پارامتر انتگرالی ( )، اختصاص داده شده است؛ بنابراین انتظار می‌رود خطای حالت دائمی پاسخ مطلوب سیستم به ورودی پله، طی زمان طولانی‌تری به مقدار صفر برسد.

5- نتیجه‌گیری

در این تحقیق، تنظیم پارامترهای کنترلر تناسبی – انتگرالی - مشتقی (PID) با الگوریتم هایبرید اجتماع گروه ذرات و نلدرمید PSO-NM پیشنهاد شده است. نوآوری کار در وزن‌دهی پارامترهای پاسخ سیستم شامل ماکزیمم فراجهش، زمان نشست و زمان خیزش است. بدین ترتیب که علاوه بر سه متغیر  ،  ،  کنترلر، باید وزن‌های هریک از پارامترهای پاسخ شامل  ،  ،  را با توجه به ارزش آن‌ها برای طراح و هزینۀ تحمیلی آن نیز به‌عنوان متغیر در مسئلۀ بهینه‌سازی در نظر گرفته ‌شود. پس شش ذره با سرعت و مکان‌های متفاوت در الگوریتم هوشمند اجتماع ذرات باید معادل شش متغیر مسئله، الگوسازی شود و درنهایت، جواب بهینه (مکان بهینه ذرات) پس از پایان اجرای الگوریتم، تعیین شود. کنترلر PID مبتنی بر حلگر PSO با توجه به ویژگی‌های فوق‌العاده‌اش نظیر خطای ماندگار صفر، حساسیت کافی برای تشخیص شیب خطای سیستم و غیره در این مقاله، بهترین ابزار کنترلی معرفی شده است. با تحلیل نتایج نیز اعتبارسنجی و تأیید بهینگی الگوریتم پیشنهادی در مطالعات شبیه‌سازی پاسخ به ورودی پله برای دو سیستم مرتبه دوم و مرتبه سوم در یک سیستم کلی حلقه بسته، آزمایش شده است. آنچه از نتایج شبیه‌سازی استنباط می‌شود این است که الگوی پیشنهادی با دقت مناسب حتی بیشتر از الگوریتم ژنتیک، به محاسبه تنظیم پارامترهای  ،  ،  برای کنترلر PID و وزن‌های متناظر با هر یک از پارامترهای پاسخ شامل  ،  ،  قادر است؛ اما سرعت همگرایی به پاسخ بهینه کمتر از الگوریتم‌های هوشمند دیگر نظیر الگوریتم ژنتیک، است.