1- مقدمه [1]

محدودیت بازار برق، پیشرفت تکنولوژی و انگیزه‌های زیست‌محیطی به افزایش تولیدات پراکنده و درنتیجه، افزایش حضور ریزشبکه‌ها در سیستم‌های قدرت منجر شده‌اند. با رشد چشمگیر مصرف انرژی الکتریکی در سال‌های اخیر‌‌‌‌‌‌، واحد‌‌های تولید متداول در سیستم قدرت با مشکلاتی نظیر گرمایش جهانی‌‌‌‌‌‌، کمبود سوخت‌های فسیلی و هزینه‌ی بالای احداث نیروگاه‌های جدید مواجه ‌شده‌اند. به‌منظور رفع نگرانی‌های زیست‌محیطی، افزایش قابلیت اطمینان و نیز عرضۀ هرچه بیشتر سیستم‌های قدرت در محیط‌های خصوصی‌‌‌‌‌‌، استفاده از منابع تولید پراکنده[1](DG) مطرح شده است. بهره‌برداری مناسب از این منابع به استاندارد‌های بسیاری نیازمند است؛ ازاین‌رو، کنسرسیوم CERTS[2]^{‌‌‌‌‌‌‌}، ریزشبکه را تجمعی از بار‌ها و منابع کوچک سیستم‌های کوچک تولیدکننده هم‌زمان برق و گرما‌‌‌‌‌‌ معرفی کرده است [1].

منابع اصلی توان در ریزشبکه‌ها‌‌‌‌‌‌، واحد‌های تولیدکنندۀ کوچک با ظرفیت ده‌ها کیلووات واقع در سمت مصرف‌کننده هستند که به شکل DG به شبکه قدرت متصل‌اند. منابع DG می‌توانند  [3]CHPها‌‌‌‌‌‌، توربین‌های بادی‌‌‌‌‌‌، منابع زمین گرمایی‌‌‌‌‌‌، سلول‌های خورشیدی‌‌‌‌‌‌، سلول‌های سوختی‌‌‌، میکروتوربین‌ها به همراه وسایل ذخیره‌ساز انرژی همچون باتری‌ها، چرخ طیار‌‌ها و خازن‌های انرژی باشند. استفاده از منابع انرژی‌های نو، به‌عنوان واحد‌های تولیدکنندۀ جایگزین در ‌‌یک سیستم قدرت مدرن‌‌‌‌‌‌، این چالش‌ را به وجود ‌می‌آورند که‌‌ آیا‌ این منابع به‌طور پایدار در کنار واحدهای تولیدکنندۀ موجود‌‌‌‌‌، کار می‌کنند ‌‌یا نه. همچنین به دلیل اینرسی کم در بیشتر منابع کوچک‌‌‌‌‌‌، درصورت وقوع رویداد‌های جدی مانند اختلالات بار‌‌‌ یا قطع‌شدن ‌‌‌‌‌یک واحد تولیدکننده‌‌‌‌‌‌ بر شاخص‌های اصلی سیستم مانند ولتاژ و فرکانس تأثیر می‌گذارد و ممکن است شرایط بحرانی حاصل شود ]2[.

با افزایش اهمیت ریزشبکه‌ها در عمل و در تحقیقات آکادمیک، پروژه‌هایی مانند پروژه CERTS در امریکا [3]، پروژه ریزشبکه در سنگال [4] و چندین پروژه در ژاپن [5] انجام شده‌اند. با حضور ریزشبکه‌ها در کنار واحد‌های تولیدکنندۀ بزرگ در سیستم قدرت، شاخص‌های اصلی سیستم باید با استفاده از روش‌های کنترلی مناسب، برای حفظ پایداری و عملکرد مناسب سیستم، کنترل شوند. در سال‌های اخیر، تحقیقات گسترد‌ای در زمینۀ کنترل فرکانس و ولتاژ ریزشبکه‌ها انجام شده‌‌اند.

از آن جمله در [6]، روش زمان‌بندی ضرایب افتی برای تنظیم فرکانس در ریزشبکه‌ها به‌کار رفته است. در [7] و [8] پایداری فرکانسی در سیستم‌های قدرت به معنای حفظ فرکانس ماندگار با وجود اغتشاشات سنگین با حداقل تلفات در واحد‌های تولید و بار توصیف شده است. در [9]، از رایج‌ترین کنترل‌کننده فرکانس، یعنی کنترل‌کننده تناسبی - انتگرالی (PI) برای کنترل فرکانس ریزشبکه، استفاده شده است.

طراحی کنترل‌کننده‌های PI/PID به روش‌های کلاسیک قادر نخواهد بود خود را با شرایط متغیر به‌روز کنند و این از کارایی مطلوب این کنترل‌کننده‌ها می‌کاهد. برای تنظیم پارامتر‌های کنترل‌کننده‌های PI/PID به‌صورت برخط، استفاده از سیستم فازی پیشنهاد شده است؛ اما عملکرد این کنترل‌کنندۀ دو سطحی که سطح اول آن را کنترل‌کننده PI و سطح دوم آن را سیستم فازی تشکیل می‌دهد، کاملاً به توابع عضویت سیستم فازی وابسته است. به همین دلیل، استفاده از یک الگوریتم بهینه‌یابی برای تنظیم پارامترهای توابع عضویت به‌صورت هم‌زمان با تغییرات به‌وجودآمده در سیستم، کارآمد است. در [9]، برای تنظیم پارامتر‌های کنترل‌کننده از ترکیب سیستم فازی و بهینه‌سازی ازدحام ذرات (PSO) [4] به‌صورت برخط [5] بهره گرفته شده است. تغییرات فرکانس و اغتشاش بار (ورودی‌ها) و پارامتر‌های کنترل‌کننده (خروجی‌های سیستم فازی) انتخاب شده‌اند. در [10]، شبکه‌های عصبی مصنوعی برای تنظیم ضرایب کنترل‌کنندۀ PI به‌کار رفته است. کنترل‌کنندۀ PI در حلقه ثانویه کنترل فرکانس ریزشبکه جزیره‌ای گمارده شده است.

الگوریتم رقابت استعماری (ICA)⁷ به دلیل سرعت و دقت بالا در حل مسائل بهینه‌یابی در مقالات مختلف استفاده شده است [11-14].

در [15] با استفاده از ICA، پارامتر‌های کنترل‌کنندۀ PID فرکانس - بار در سیستم‌های قدرت دو ناحیه‌ای بادر نظر گرفتن تغییرات پارامتر‌های سیستم قدرت بهینه شده‌اند.

به‌تازگی استفاده از کنترل‌کنندۀ PID مرتبه کسری (FOPID) ^[6] به دلیل ساختار انعطاف‌پذیر و مقاوم برای کنترل سیستم‌های مختلف در مقالات متعددی، معرفی و در کنترل فرایند‌های مختلف استفاده شده‌اند. تنظیم ضرایب FOPID، در مقایسه با PID به دلیل داشتن پارامتر‌های بیشتر دشوار‌تر است که در [18]، روش‌های مختلف ارائه‌شده برای طراحی و تنظیم پارامتر‌های این کنترل‌کننده مرور شده‌اند.

در این مقاله، برای کنترل فرکانس - بار ریزشبکه جزیره‌ای FOPID به کار رفته است. با استفاده از سیستم فازی با ساختاری الگو گرفته‌شده از [17]، ورودی کنترل‌کنندۀ FOPID تولید شده است. برای تنظیم پارامترهای ساختار کنترل پیشنهادی از ICA، استفاده و انتگرال مربعات حاصل‌ضرب زمان و تغییرات فرکانس کمینه شده است.

به‌منظور نشان‌دادن برتری‌های طرح کنترلی ارائه‌شده، نتایج کنترل‌کنندۀ مرتبه کسری فازی پیشنهادی با کنترل‌کننده PI کلاسیک زیگلر ـ نیکولز [7] و کنترل‌کنندۀ PID مرتبه کسری مقایسه ‌شده‌اند. نتایج، بیان‌کنندۀ عملکرد بهتر کنترل‌کننده پیشنهادی در مواجهه با اغتشاش از نقطه‌نظر ریشه میانگین مربعات (RMS)، فراجهش و فروجهش، زمان نشست و تعداد نوساناتِ تغییرات فرکانس هستند.

در ادامه در بخش 2، ساختار ریزشبکۀ AC، بیان و یک سیستم آزمون برای بررسی موردی معرفی شده است. در بخش 3، الگوریتم بهینه‌یابی رقابت استعماری توضیح داده شده است. روش‌های کنترلی به‌کاررفته در بخش 4، توصیف شده‌اند. در بخش 5، نتایج شبیه‌سازی‌ به‌صورت کیفی و کمی در 3 سناریو مقایسه شده‌اند. در پایان در بخش 6، نتایج بررسی شده‌اند.

2- ساختار ریزشبکۀAC

همان‌طور که در پیکربندی ریزشبکه نمونه در شکل (1) نمایش داده ‌شده ‌است، ریزشبکه و شبکه سراسری در نقطۀ اتصال مشترک (PCC)[8] به‌‌‌ یکدیگر متصل می‌شوند. وجود‌‌‌ کنترل‌کنندۀ‌‌‌ مرکزی (CC) [9] ریزشبکه ضروری است؛ زیرا به‌صورت هم‌زمان اطلاعات دریافتی از ریزشبکه و شبکۀ اصلی را پردازش می‌کند و بر پایۀ آن برای حالات کاری ریزشبکه و ریزمنابع [10] تصمیم می‌گیرد‌‌‌‌‌‌. منابع استفاده‌شده در ریزشبکه‌ها با عناصر الکترونیک قدرت به باس

شکل (1): ساختار کلی ریزشبکه

اصلی متصل می‌شوند. همچنین برای اعمال روش‌های کنترلی به کنترل‌کننده‌ها‌‌‌ی ریزمنبع در محل هر کدام از ریزمنابع و بار‌‌های الکتریکی، کنترل‌کننده بار نیاز است. در‌ این سیستم‌ها، منابع DC با مبدل‌های DC/AC، به‌منظور متناوب‌سازی ولتاژ DC‌‌‌‌‌‌، و منابع AC همــــــراه با AC/DC/AC، به‌منظور هم‌زمان‌سازی فرکانسی، استفاده می‌شوند ]18[.

با توجه به توان نوسانی منابع DG و اینرسی پایین این شبکه‌ها‌‌‌‌‌‌، پارامترهای اساسی شبکه با کوچک‌ترین اغتشاشی دستخوش تغییرات اساسی می‌شود و پایداری ریزشبکه به خطر می‌افتد. برای غلبه بر‌ این مشکل حضور منابع ذخیره‌کنندۀ انرژی ضروری خواهد ‌بود. به هر کدام از‌ این منابع ‌‌یک کلید وصل ‌شده است ‌تا در موقع لزوم از ریزشبکه جدا شوند. در شرایط عادی‌‌‌‌‌‌، ریزشبکه‌ها به شبکۀ اصلی متصل‌اند و در برنامه‌ریزی‌های کنترلی مشارکت ‌می‌کنند؛ اما چنانچه اغتشاشی در سیستم رخ دهد‌‌‌‌‌‌، کلید قدرت موجود در PCC عمل می‌کند و ریزشبکه به حالت کار جزیره‌ای ‌می‌رود و وظیفۀ تأمین توان بار‌‌های محلی را به عهده ‌می‌گیرد.

جداشدن ‌‌یک ریزشبکه از شبکۀ سراسری به‌صورتی پایدار، ‌‌یکی از مشکلات اصلی است؛ ازاین‌رو، ‌‌یکی از مسائل مهم در این زمینه‌‌‌‌‌‌، کنترل منابع ریزشبکه در حالت جزیره‌ای است؛ به‌نحوی‌که منابع DG توانایی کنترل فرکانس و ولتاژ سیستم را داشته ‌باشند [9].

2-1- سیستم آزمون

در بیشتر طرح‌های کنترلیِ حفظ پایداری ریزشبکۀ جزیره‌ای در مقایسه با ریزشبکۀ متصل به شبکه از اهمیت

شکل (2): ریزشبکه آزمون

زیادی برخوردار است؛ ازاین‌رو، روش کنترلی‌‌‌‌‌‌ به سیستم آزمون [21] مطابق شکل (2) در حالت جزیره‌ای اعمال ‌‌‌‌شده است.‌ این مدل شامل توربین بادی  [11](WTG)‌‌‌‌‌‌، پیل سوختی  [12](FC)‌‌‌‌‌‌، پانل خورشیدی[13](PV)‌‌‌، ‌‌‌یک ژنراتور دیزلی [14](DEG) و دو منبع ذخیره کننده‌ی انرژی BESS[15] و[16]FESS  هستند که هر دوی آنها در نزدیکی بار نصب ‌شده‌اند. زمانی که میزان تولید، جواب‌گوی میزان بار مصرفی شبکه نباشد‌‌‌‌، این منابع انرژی مناسب را در مدت زمان کوتاهی به شبکه تزریق ‌می‌کنند.

برای سهولت تحلیل رفتار ریزشبکه در مقابل اغتشاشات، مدل فرکانسی آزمون آن مطابق شکل (3) است که در آن، مدل‌های ریاضی هر واحد‌‌‌‌‌‌، توابع تبدیل درجه اول ‌‌یا به تعبیری بلوک‌های تأخیری ، ، ، ، ، ،  و  با پارامتر‌های آورده‌شده در جدول (1) در نظر گرفته ‌‌‌‌‌شده‌اند.‌ این مدل‌ها تخمینی از واحد‌های واقعی هستند که در بیشتر مطالعات کنترل فرکانس به آنها بسنده می‌شود. مقادیر توان نا‌‌می ‌هر واحد نیز در جدول (2) نشان داده ‌‌‌‌شده‌اند [9 و 19]. ورودی اغتشاش خارجیِ ، بیان‌کنندۀ تغییرات بار است. با تعریف  و ، توابع تبدیل از ورودی‌های خارجی این سیستم آزمون به خروجی  برابر

شکل (3): مدل پاسخ فرکانسی ریزشبکه آزمون

جدول (1): پارامتر‌‌های ریزشبکه آزمون

جدول (2): توان نا‌می‌ واحدها (KW)

خواهد بود با ، ، ،  و  می‌توان نوشت:

که

3- الگوریتم رقابت استعماری (ICA)

الگوریتم رقابت استعماری بر تکامل اجتماعی‌سیاسی انسان مبتنی است و سرعت و دقت زیادی در دستیابی به پاسخ مسائل بهینه‌یابی دارد. این الگوریتم با یک جمعیت اولیه تصادفی شروع می‌شود. هر عضو جمعیت کشور نامیده می‌شود. تعدادی از بهترین عناصر جمعیت استعمارگر و باقی‌مانده جمعیت مستعمره خوانده می‌شوند. استعمارگران بسته به قدرتشان، مستعمرات را با روند خاصی به سمت خود می‌کشند و یک امپراطوری تشکیل می‌دهند. قدرت کل هر امپراطوری به استعمارگر و مستعمرات آن وابسته است. هر امپراطوری که نتواند در رقابت استعماری با سایر امپراطوری‌ها بر قدرت خود بیفزاید، از صحنه رقابت استعماری حذف خواهد شد. بقای یک امپراطوری به قدرت آن در جذب مستعمرات امپراطوری‌های رقیب وابسته است. در جریان رقابت استعماری، به‌تدریج بر قدرت امپراطوری‌های قوی‌تر افزوده می‌شود و امپراطوری‌های ضعیف‌تر حذف خواهند شد. امپراطوری‌ها برای افزایش قدرت خود مستعمرات خود را نیز پیشرفت می‌دهند. با گذشت زمان، مستعمرات از لحاظ قدرت به استعمارگر خود همگرا می‌شوند. حد نهایی رقابت استعماری آن است که یک امپراطوری واحد وجود داشته باشد با مستعمراتی که از لحاظ موقعیت به استعمارگر خود خیلی نزدیک هستند [21]. مراحل رقابت استعماری به‌طور خلاصه در ادامه آمده‌اند. فلوچارت شکل (4) مراحل مختلف این الگوریتم را نشان می‌دهد.

3-1- شکل دهی کشورهای اولیه

هدف بهینه‌یابی، یافتن مقدار بهینۀ متغیر‌های تصمیم مسئله است. در ICA، یک آرایه از متغیر‌های تصمیم مسئله، کشور نامیده می‌شود. اگر تعداد متغیر‌های تصمیم  باشد، آرایه، بردار  به‌صورت زیر است:

که ، متغیر تصمیم  ام است. برای شروع الگوریتم، تعداد  کشور اولیه به‌طور تصادفی تولید و مقدار تابع هزینه به ازای هر یک از آنها محاسبه می‌شود.  تا از بهترین اعضای این جمعیت (کشورهای دارای کمترین مقدار تابع هزینه) با عنوان استعمارگر انتخاب می‌شود و  تا کشور باقیمانده، مستعمراتی هستند که هرکدام به یک استعمارگر اختصاص داده می‌شوند. متغیر ، مقدار تابع هدف به ازای هر استعمارگر را نشان می‌دهد. قدرت استعمارگر  ام از رابطه

شکل (4): فلوچارت الگوریتم رقابت استعماری

 به‌دست می‌آید و قدرت نرمال‌شده آن به شکل زیر محاسبه می‌شود:

شماره‌گذاری استعمارگرها به این ترتیب است که قوی‌ترین استعمارگر شماره 1 و ضعیف‌ترین آن، شماره  است.

3-2- تخصیص مستعمرات به استعمارگرها

برای تقسیم مستعمرات اولیه بین استعمارگر‌‌ها، از چرخ رولت ویلز استفاده می‌شود. عملکرد آن به این شکل است که برای هر مستعمره، عدد تصادفی  انتخاب می‌شود و مستعمرۀ استعمارگر با کوچک‌ترین شماره  که  می‌شود. بدین ترتیب به هر استعمارگر، تعدادی مستعمرات متناسب با قدرت آن اختصاص می‌یابد.

3-3- سیاست جذب (Assimilation)

هدف سیاست جذب، همگرایی مستعمرات به استعمارگر خود است. در راستای این سیاست، کشور مستعمره، به اندازه  واحد درجهت خط واصل مستعمره به استعمارگر با طول ، حرکت می‌کند و به موقعیت جدید کشانده می‌شود. ، عددی تصادفی با توزیع یکنواخت است () که در آن  عددی بزرگ‌تر از یک و نزدیک به ۲ است. وجود ضریب  باعث می‌شود کشور مستعمره از جهت‌های مختلف به کشور استعمارگر نزدیک شود. اگر ، آرایه کشور مستعمره و ، آرایه استعمارگر آن باشد،  امین درایه آرایه جدید کشور مستعمره بعد از عمل جذب از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

3-4- انقلاب (Revolution)

از دیدگاه الگوریتمی، انقلاب مانع گیرافتادن حرکت تکاملی در مینیمم محلی می‌شود. انقلاب با جابه‌جایی تصادفی کشور مستعمره به موقعیت تصادفی جدید مدل می‌شود. برای این منظور، درایه  ام آرایه کشور مستعمره () به تصادف، انتخاب و با  جایگزین می‌شود که پارامتر‌ها در بخش قبل تعریف شدند.

3-5- جابه‌جایی موقعیت مستعمره و استعمارگر

در حین حرکت مستعمرات به سمت کشور استعمارگر، ممکن است برخی از مستعمرات به موقعیتی بهتر از استعمارگر برسند (به نقاطی با تابع هزینه کمتر از مقدار تابع هزینه در موقعیت استعمارگر)؛ در این حالت، کشور استعمارگر و کشور مستعمره، جای خود را با یکدیگر عوض می‌کنند و الگوریتم با کشور استعمارگر در موقعیت جدید ادامه می‌یابد.

3-6- ارزیابی امپراطوری

قدرت یک امپراطوری برابر مجموع قدرت کشور استعمارگر و درصدی از میانگین قدرت کل مستعمرات آن است. کوچک در نظر گرفتن این درصد،باعث می‌شود هزینه کل یک امپراطوری تقریباً برابر هزینه استعمارگر شود و افزایش آن نیز باعث افزایش تأثیر میزان هزینه مستعمرات یک امپراطوری در تعیین هزینه کل آن می‌شود.

3-7- رقابت استعماری

در جریان رقابت استعماری، هر امپراطوری که قدرت رقابت خود را از دست دهد، به تدریج حذف می‌شود. بدین معنی که به مرور زمان، امپراطوری‌های ضعیف، مستعمرات خود را از دست می‌دهند و امپراطوری‌های قوی‌تر، این مستعمرات را تصاحب می‌کنند و بر قدرت خود می‌افزایند. در الگوریتم رقابت استعماری، امپراطوری در حال حذف، ضعیف‌ترین امپراطوری است که مشابه روش تخصیص مستعمره‌های اولیه به استعمارگر‌ها، مستعمرات آن به امپراطوری‌های قوی‌تر اختصاص می‌یابد.

3-8- سقوط امپراطوری‌های ضعیف

در جریان رقابت‌های استعمارگری، امپراطوری‌های ضعیف به‌تدریج با از دست دادن مستعمرات خود سقوط می‌کنند. در الگوریتم پیشنهادی یک امپراطوری زمانی حذف می‌شود که تمام مستعمراتش را از دست داده باشد.

3-9- همگرایی الگوریتم

الگوریتم تا برآورده‌شدن شرط همگرایی و یا اتمام کل تکرار‌ها ادامه می‌یابد. شرط همگرایی، سقوط همۀ امپراطوری‌ها و باقی‌ماندن تنها یک امپراطوری است که بقیه کشور‌ها در کنترل آن باشند.

4- طراحی کنترل‌کننده

در‌ این مقاله سه کنترل‌کنندۀ PID کلاسیک، کنترل‌کنندۀ PID مرتبه کسری و کنترگر PID مرتبه کسری فازی بهینه شده با ICA به ریزشبکه اعمال شده‌اند. در ادامه، این کنترل‌کننده‌ها معرفی‌ می‌شوند.

4-1- کنترل‌کنندۀ PID کلاسیک

پارامتر‌های کنترل‌کنندۀ‌‌‌ PID کلاسیک از روش مرسوم زیگلر - نیکولز محاسبه ‌‌‌‌شده‌‌اند. برای این منظور، ابتدا تنها بلوک تناسبی در مدار قرار می‌گیرد، سپس ورودی پله اعمال می‌شود و بهره تناسبی آن‌قدر افزایش می‌یابد تا خروجی نوسانی شود. دورۀ تناوبِ نوسان،  و بهرۀ تناسبیِ نوسان ساز،  نامیده می‌شوند. بهره تناسبی کنترل‌کنندۀ PID از رابطه  و بهرۀ انتگرالی از رابطه  به‌دست ‌می‌آیند.

4-2- کنترل‌کنندۀ PID مرتبه کســــــــری (FOPID)

کنترل‌کنندۀ FOPID اولین‌بار در سال 1999 معرفی شد. اخیراً در صنعت کنترل‌کنندۀ FOPID در مقایسه با کنترل‌کنندۀ PID کلاسیک که به‌طور گسترده‌ای پذیرفته شده است، بسیار شایان توجه قرار گرفته و موضوع تحقیقات شده است. مفهوم کنترل‌کنندۀ FO با معادلات دیفرانسیل ازطریق حسابان کسری سروکار دارد. حسابان کسری تعمیم‌یافتۀ حسابان معمولی‌اند و تعمیم مفهوم  با عدد صحیح  به مفهوم  با عدد غیرصحیح  است. تعاریف زیادی در مقالات برای توصیف تابع FO وجود دارد؛ مانند فرمول انتگرال Cauchy، تعاریف Grunwald - Letnikov، Riemann - Liouville، Caputo. تعریف Riemann - Liouville که در حسابان کسری بسیار استفاده شده، به شکل زیر است [11]:

که ، ، عدد صحیح است و  تابع اویلر گاما است که در حالت خاص ، .

متداول‌ترین شکل کنترل‌کنندۀ FOPID،  است که ، مرتبه انتگرالگیری و ، مرتبه مشتق‌گیری هر عدد حقیقی مثبت می‌توانند باشند. تابع تبدیل این کنترل‌کننده برابر است با

کنترل‌کننده FOPID پنج پارامتر طراحی بهره تناسبی، ، انتگرالی،  و مشتقی،  و مرتبه انتگرال‌گیری،  و مرتبه مشتق‌گیری،  دارد.

در شبیه‌سازی و پیاده‌سازی صنعتی لازم است توابع تبدیل شامل مرتبه‌های کسری ، با توابع تبدیل معمولی با مرتبه عدد صحیح تخمین زده شوند. تقریب صحیح تابع تبدیل کسری با یک تابع تبدیل معمولی بی‌نهایت قطب و صفر خواهد داشت. تقریب CRONE از Oustaloup پیشنهاد شد که تعداد محدودی صفر و قطب دارد. این توزیع بازگشتی از فیلتر مرتبه  استفاده می‌کند تا المان مرتبه کسری  را در باند فرکانسی انتخابی  تقریب بزند [22-24]:

که  و . تقریب بالا در فرکانس  بهره 1 دارد. انتخاب  در عملکرد تقریب بسیار مهم است. هرچه مقدار  کوچک‌تر باشد، تقریب ساده‌تر و پیاده‌سازی سخت‌افزاری آسان‌تر خواهد بود؛ اما به دلیل شکل‌گیری ریپل در پاسخ دامنه و فاز عملکرد تقریب خراب می‌شود. با افزایش مقدار ، این ریپل‌ها از بین می‌روند؛ اما تقریب، دشوار و پیاده‌سازی سخت‌افزاری پیچیده‌تر می‌شود.

در‌ این مقاله با استفاده از ICA، مقدار بهینۀ پارامتر‌های طراحی ، ، ، و  تعیین شده‌اند. تابع هدف این بهینه‌یابی، کمینه‌سازی  است.

4-3- کنترل‌کنندۀ PID مرتبه کســــــــری فازی(FFOPID) بهینه‌شده با ICA

شکل (5)، چارچوب PID مرتبه کسری فازی این مقاله را نشان می‌دهد. با استفاده از سیستم فازی، از روی تغییرات فرکانس و مشتق مرتبه کسری آن، ورودی کنترل‌کننده FOPID تولید شده است. توابع عضویت متغیر‌‌های ورودی‌ و خروجی ‌در شکل (6) نشان داده ‌شده‌اند. اپراتور اشتراک، عملگرِ مینیمم است. اجتماع با عملگر ماکزیمم و فازی‌زدایی با روش مرکز ثقل انجام شده‌اند. قوانین فازی در جدول (3) آورده شده‌‌اند. مطابق شکل (4)، ورودی سیستم فازی‌‌‌‌‌‌،  و  و خروجی آن، ‌‌‌ورودی کنترل‌کنندۀ FOPID است. ساختار به‌کاررفته مشابه [17] است.

در کنترل‌کنندۀ FFOPID، پارامترهای ، ، ، ، ، ،  و  پارامترهای طراحی یا متغیرهای تصمیم هستند. در‌ این مقاله با استفاده از ICA، مقدار بهینۀ این پارامترها یافت شده است. تابع هدف این بهینهیابی کمینه‌سازی  است.

5- شبیه‌سازی

برای مقایسۀ عملکرد کنترل‌کننده‌های PID کلاسیک‌‌‌‌‌‌، FOPID و FFOPID، شبیه‌سازی‌ها در 3 سناریو مشابه [9] در نرم‌افزار Matlab، انجام و نتایج به‌صورت کمی و کیفی با هم مقایسه شده‌اند. پارامتر‌های کنترل‌کنندهۀ کلاسیک‌‌‌‌‌‌ با استفاده از روش زیگلر نیکولز، ،  و  به‌دست آمده‌اند. در هر سناریو‌ پارامتر‌های کنترل‌کنندۀ FOPID، ، ، ، و  با استفاده از ICA به‌صورت غیر‌هم‌زمان بهینه شده‌اند. در هر سناریو‌ پارامتر‌های کنترل‌کنندۀ FFOPID، ، ، ، ، ، ،  و  با استفاده از ICA به‌صورت غیرهم‌زمان بهینه شده‌اند. در ادامه سه سناریو معرفی می‌شوند. در این مقاله  و  برای تقریب توابع مرتبه کسری استفاده شده‌‌اند.

شکل (5): ساختار کنترل‌کننده‌‌ۀ فرکانس FFOPID

شکل (6): توابع عضویت متغیر‌های ورودی و خروجی فازی

جدول (3): قواعد فازیکنترل‌کنندۀ‌‌‌ فرکانس FFOPID

5-1- سناریو اول

در سناریو اول، به شکل بار پله‌‌ای مقدار متغیر مطابق شکل (7) به ریزشبکۀ آزمون اعمال ‌‌‌‌شده است. پاسخ ریزشبکه با کنترل‌کننده‌های مختلف در این سناریو در شکل (8) مقایسه شده‌اند. نتایج بهبود چشمگیر عملکرد از لحاظ تعداد نوسانات، فراجهش‌ها و فروجهش‌ها، زمان نشست با کنترل‌کنندۀ FFOPID را نشان می‌دهند.

شکل (7): بار پله‌ای مقدار متغیر

5-2- سناریو دوم

در سناریو دوم برای نشان‌دادن عملکرد کنترل‌کننده‌های مختلف در رویارویی با‌‌‌ اغتشاش سنگین‌‌‌، بار پله‌ای با دامنۀ 2/0 به ریزشبکه اعمال می‌شود. پاسخ ریزشبکه با کنترل‌کننده‌های مختلف در این سناریو در شکل (9) نشان داده شده است. نتایج نشان می‌دهند عملکرد از لحاظ تعداد نوسانات، فراجهش‌ها و فروجهش‌ها، زمان نشست با کنترل‌کنندۀ FFOPID بهبود چشمگیری داشته است.

شکل (8): پاسخ ریزشبکه در سناریو اول

شکل (9): پاسخ ریزشبکه در سناریو دوم

شکل (10): پاسخ ریزشبکه در سناریو سوم