نظریۀ اختیارات حقیقی برای مدیریت ریسک در پروژه‏های فناوری اطلاعات

مقدمه

عبارت اختیارات حقیقی^[1] را نخستین بار مایرز^[2](1977) برای توصیف انعطاف‏های سرمایه‏گذاری شرکت‏ها معرفی کرد. البته پیش‌زمینه‏های نظریۀ اختیارات به سال‏های نسبتاً دور مربوط است، به‌گونه‌ای که مبانی نظریۀ اختیاراتی که در رسالۀ دکترای لوییس بچلیر^[3] (2011) مطرح شده است، به 100 سال پیش مربوط است. دهۀ 1970 میلادی، دهۀ انقلاب در دنیای بررسی‏های مالی سرمایه‏گذاری‏ها است. بلک و شولز^[4] (1973) برای اولین بار نظریۀ اختیارات را به‌صورت سازمان‏یافته مطرح کرده و الگویی ارائه کردند که با استفاده از آن ارزش اختیارات را به‌طور تحلیلی می‌توان محاسبه کرد. بیشتر سازمان‏ها دربارۀ چگونگی ارزیابی سرمایه‏گذاری‏های آیندۀ فناوری اطلاعات^[5] و نیز سیستم‌های اطلاعاتی موجود در سازمان دانش کافی ندارند. بیشتر این نوع سرمایه‏گذاری‏ها براساس معیارهای شخصی مدیریت ارشد مانند اولویت‌های فردی، فعالیت‌های رقابتی و غیره انجام می‌شود ]4[. پژوهش‏های اخیر نشان می‌دهد حدود20 درصد پروژه‌‏های فناوری اطلاعات قبل از تکمیل، فسخ می‌شوند و کمتر از یک‌سوم آنها به‌موقع و براساس بودجه به پایان می‌رسند. مدیریت اثربخش ریسک برای جلوگیری از وقوع این مشکلات کاملاً ضروری است. درواقع انعطاف‏پذیری، فاکتور کلیدی موفقیت در توسعۀ سیستم‌های اطلاعاتی است ]13[؛ زیرا مدیریت ارشد با آن، ابزار مقابله با ریسک را بنا به مقتضیات و شرایط ریسک می‌تواند طراحی کند و توسعه دهد [5]. روش اختیارات حقیقی به مدیران فناوری اطلاعات اجازه می‏دهد از عواقب ریسک آگاه باشند، در حالت بروز اتفاقات نامطلوب با آن مقابله و در صورت مساعدبودن شرایط به بهترین شکل از آن استفاده کنند، بهترین گزینۀ سرمایه‏گذاری استراتژیک را انتخاب و آن را برای مدیریت ارشد و سهامداران مالی توجیه کنند ]19[.

تاکنون پژوهش‏های بسیاری در زمینۀ کاربرد روش اختیارات حقیقی برای توجیه پروژه‏های فناوری اطلاعات انجام شده است؛ اما در بیشتر آنها، سرمایه‏گذاری ابتدایی پروژه مدّنظر قرار گرفته است. با توجه به اینکه انجام بسیاری از پروژه‏های فناوری اطلاعات، ازجمله پروژۀ توسعۀ سامانۀ برنامه‏ریزی منابع بنگاهی^[6] چندین ماه به درازا می‌کشد و شرایط اقتصادی در مقاطع زمانی مختلف دستخوش تغییر می‏شود، لازم است سرمایه‏گذاری‏ها در آغاز هر یک از مراحل پروژه، با درنظرگرفتن انتخاب‏ها و عدم ‏اطمینان‏های موجود ارزشیابی شده و براساس آن بین ریسک و منافع حاصل توازن مناسب برقرار شود. تأکید خاص این پژوهش نیز بر ارائۀ روشی مبتنی بر نظریۀ اختیارات حقیقی برای ارزیابی گزینه‏های ممکن سرمایه‏گذاری در مراحل مختلف پروژه است. با استفاده از روش پیشنهادی، مدیریت با درنظرگرفتن شرایط عدم‏ اطمینان و انعطاف‏پذیری گزینه‏ها، فرصت‏ها را می‌تواند ارزیابی کرده و براساس ریسک‏های ویژۀ پروژه، بهترین تصمیم را اتخاذ کند.

 

مبانی نظری

مفهوم اختیارات حقیقی برآمده از اختیارات مالی است. پایه‏های آن بر پژوهش‌های برندگان جایزۀ نوبل اقتصاد در زمینۀ قیمت‏گذاری قراردادهای اختیارات مالی استوار است که بلک، مرتون^[7] و شولز آن را توسعه داده‌اند. نظریۀ قیمت‏گذاری اختیارات^[8] دربارۀ انواع سرمایه‏گذاری‏ها، اعم از مالی یا غیرمالی کاربرد دارد ]15[؛ بنابراین نظریۀ اختیارات حقیقی بسطی طبیعی از نظریۀ قیمت‏گذاری اختیاری است و در اختیارات مالی ریشه دارد. تریجرجیس^[9] (1999) دانش پراکنده‏ دربارۀ اختیارات حقیقی را جمع‏آوری و سازماندهی کرد. وی به‌طور جامع تکنیک‌های بودجه‏گذاری کلان را مرور و روشی مبتنی بر نظریۀ ارزش‏گذاری اختیارات را ابزاری برای کمّی‌کردن انعطاف‏پذیری معرفی کرد. او از مسائلی مانند تعاملات بین اختیارات، ارزش‏گذاری انتخاب‌های متعدد در یک سرمایه‏گذاری و ارزش‏گذاری تعاملات رقابتی در کتاب خود بحث کرد. روش مطرح‌شده در کتاب او نظری بود و به شکل‏گیری تکنیک‏های عملی بیشتری برای ارزشیابی مبتنی بر نظریۀ اختیارات حقیقی کمک کرد. امرام^[10] و کولاتیلاکا^[11] و همکاران (1999) کتابی مقدماتی دربارۀ اختیارات حقیقی نوشتند که در آن ارزش‏گذاری اختیارات و کاربرد اختیارات حقیقی بررسی شده بود؛ ولی این کتاب روشی عملی و همراه با جزئیات برای ارزیابی اختیارات حقیقی فراهم نمی‌کرد و تنها به این مسأله اشاره کرده بود که تکنیک اختیارات حقیقی تا چه‌اندازه می‌تواند کاربرد داشته باشد. دیگزیت و پیندیک^[12] (1994) در کتاب خود بر مشخصۀ تغییرناپذیربودن اغلب تصمیم‌های سرمایه‏گذاری و نیز عدم ‏قطعیت حاکم بر این تصمیم‏گیری‏ها تأکید کردند. آنها ارزش اختیار انتظار برای داشتن اطلاعات بیشتر (ولی ناکامل) را مطرح کردند. تمرکز کتاب بر درک رفتار سرمایه‏گذاری شرکت‏ها و توسعۀ ملاحظاتی برای این نظریه در محیط‌های پویا بود. اینگرسل^[13] و همکاران (1999) نیز رابطۀ میان اختیار انتظار در سرمایه‏گذاری و کنار گذاشتن یک پروژه را براساس نظریۀ اختیارات حقیقی  بررسی کرده‌اند. اسماعیلیان و کمال‏آبادی (2015) در پژوهشی، تصمیم‏های سرمایه‏گذاری را با استفاده از پویایی سیستم و اختیارات سرمایه‏گذاری واقعی ارزیابی کردند. هدف پژوهش، لحاظ‌کردن عدم ‏اطمینان موجود در طرح‏های سرمایه‏گذاری و ارائۀ الگویی برای ارزیابی تصمیم‏های سرمایه‏گذاری با اختیارات توسعه و انقباض با استفاده از پویایی سیستم و اختیارات حقیقی بوده است. نتایج، میزان سرمایه‏گذاری لازم را برای ایجاد ظرفیت تولید مشخص در ماه به‌همراه کاهش قیمت فروش محصول برای کسب بیشترین سودآوری در بازه مشخص‌شده در الگوی شبیه‏سازی ارائه کرده است. خانی و همکاران (2013) در پژوهشی تصمیم‌های تأمین مالی، زمان‏بندی بازار و سرمایه‌گذاری واقعی در بورس اوراق بهادار تهران را مطالعه کردند. در مبانی مالی، دو نظریۀ زمان‏بندی بازار و سرمایه‏گذاری واقعی دربارۀ رابطۀ تأمین مالی برون‌سازمانی با بازده غیرعادی سهام وجود دارد. هر دو نظریه رابطۀ منفی بین تأمین مالی برون‌سازمانی و بازده سهام را پیش‌بینی می‌کنند.

در زمینۀ کاربرد نظریۀ اختیارات حقیقی در سرمایه‏گذاری‏های حوزۀ فناوری اطلاعات، پژوهش‏های متعددی انجام شده است. بالاسوبرامانیان^[14] و همکاران (2000) با استفاده از روش اختیارات حقیقی به بررسی یک روش نظام‏مند و عملی برای ارزیابی سرمایه‏گذاری‏ها در زیرساخت‏های فناوری اطلاعات اقدام کردند. آنها نشان دادند روش پیشنهادی نه‌تنها بر بازده سرمایه‏گذاری تأثیرگذار است، بلکه باعث افزایش درک دربارۀ این مسأله می‏شود که چگونه محرک‏های عملیاتی را براساس قابلیت‏های تجاری و تصمیم‌های سرمایه‏گذاری می‌توان تنظیم کرد. کیم و ساندرز^[15] (2002) چارچوبی برای سرمایه‏گذاری فناوری اطلاعات مبتنی بر نظریۀ اختیارات حقیقی با درنظرگرفتن ارزش‏های فناوری اطلاعات و فعالیت‏های استراتژیک ارائه کردند. این چارچوب به مدیران فناوری اطلاعات در ارزیابی و تصدیق سرمایه‏گذاری‏های این حوزه کمک می‏کند. مورگان و نگوونیاما^[16] (2015) در پژوهشی، مسألۀ چگونگی ارزیابی گزینه‏ها دربارۀ ارتقاء زیرساخت‏های نرم‏افزاری مؤسسه را بررسی کردند. آنها براساس یک مطالعۀ موردی نشان دادند چگونه ترکیب ابزارهای تحلیلی رایج با روش اختیارات حقیقی، اطلاعات عمیق‏تری دربارۀ زمان مناسب ارتقاء زیرساخت نرم‏افزاری در اختیار مدیران فناوری اطلاعات می‌تواند قرار دهد. امرام وهمکاران (1999) نشان دادند اختیارهای حقیقی در سرمایه‏گذاری‏های فناوری اطلاعات برای سهامداران ارزش در خور توجهی می‌تواند ایجاد کند. چاترجی و رامش^[17] (1999) در مقاله‏ای با عنوان اختیارات حقیقی برای مدیریت ریسک پروژه‏های فناوری اطلاعات، بررسی کردند که چگونه تکنیک‏های اختیارات حقیقی را برای تحلیل و مدیریت ریسک با درنظرگرفتن نوآوری‏های تکنولوژیکی می‌توان استفاده کرد. همچنین فرایندی چارچوب محور، مناسب برای مدیریت ریسک پروژه‏های نرم‏افزاری ارائه کردند. گو و زمسکال^[18] (2016) در پژوهشی با عنوان ارزش‏گذاری شرکت اینترنت چین با رویکرد اختیارات حقیقی، چگونگی کاربرد این روش را در تصمیم‌های مالی واعتبارسنجی نتایج یک شرکت ارائه‌دهندۀ خدمات اینترنتی در چین بررسی کردند. بدین‌منظور با توجه به شرایط اقتصادی کشور چین در افق پنج‏ساله، چهار سناریوی حاکم بر تصمیم‌های سرمایه‏گذاری دربرگیرندۀ اختیارات توسعه وکوچک‏سازی تعریف کردند که تفاوت آنها در نرخ‏های متفاوت توسعه و کوچک‏سازی در سال‏های آینده است. نتیجۀ پژوهش نشان داد درنظرگرفتن سناریوهای چندگانه، بازده به‌مراتب بیشتری نسبت به درنظرگرفتن اختیارات به‌صورت ساده خواهد داشت. افشاری و همکاران (در نوبت انتشار) براساس یک مطالعۀ موردی، مزایای استفاده از نظریۀ اختیارات حقیقی را در مقایسه با تکنیک‏های مبتنی بر تنزیل جریان نقدینگی^[19] در تحلیل و ارزش‏گذاری پروژه‏های فناوری اطلاعات با درنظرگرفتن امکان بسط سرمایه‏گذاری نشان د‏ادند.

برای محاسبۀ ارزش اختیار، روش‏های مختلف و برای هر روش نیز تکنیک‏های متفاوت محاسباتی پیشنهاد شده است. روش‏های حل و تکنیک‏های محاسباتی در جدول (1) خلاصه شده‏ است. روش معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی شامل حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی و شرایط مرزی مشخص است. این معادلات، تغییرات ارزش اختیار را با توجه به تغییرات متغیر‏هایی مشخص بیان می‏کند. در روش شبیه‌سازی، هزاران مسیر برای دارایی مبنا در طول عمر اختیار با درنظرگرفتن شرایط عدم قطعیت شبیه‏سازی می‏شود. در روش شبکه، شبکه‏هایی مشابه درخت تصمیم‏گیری در نظر گرفته می‏شود. این شبکه‏ها نمایشگر تغییرات ممکن ارزش دارایی در طول عمر اختیار است. راه حل مناسب با بهینه‏سازی تصمیم‌های آینده در نقاط مختلف تصمیم‏گیری و برگشت‌دادن آنها به‌صورت بازگشتی تعیین می‏شود. رایج‏ترین شبکۀ استفاده‌شده، درخت دوجمله‏ای است.

 

جدول (1) تکنیک‏های ارزشیابی در نظریۀ اختیارات حقیقی

 

روش پژوهش

الگوی پژوهش، روشی مرحله‏ای برای ارزشیابی و برنامه‏ریزی سرمایه‏گذاری‌های فناوری اطلاعات است. در مرحلۀ اول، امکان به‌کارگیری تحلیل اختیارات حقیقی در تصمیم‏ سرمایه‏گذاری بررسی می‌شود. در پژوهش حاضر یکپارچه‏سازی سیستم‌های سازمانی در یک قالب پروژۀ برنامه‏ریزی منابع بنگاهی بررسی شده است. نظر به اینکه موفقیت پروژه نیازمند پذیرش کامل از سوی صاحبان منافع  سازمان است و نپذیرفتن این فناوری نرم‏افزاری، موفقیت تجاری آن را نیز به مخاطره خواهد انداخت. در چنین شرایطی تصمیم‏گیری، عدم ‏قطعیت دارد و در نتیجه استفاده از نظریۀ اختیارات حقیقی برای ارزشیابی سرمایه‏گذاری مناسب است. در مرحلۀ دوم گزینه‌های ممکن در سرمایه‏گذاری شناسایی می‏شوند. براساس شرایط پروژه و مصاحبه با خبرگان، گزینه‏های سرمایه‏گذاری برای پروژه عبارتند از گسترش و کوچک‏سازی (انقباض). در مرحلۀ سوم، ارزش اختیارات حقیقی با استفاده از یکی از ابزارهای اختیارات حقیقی (درخت دوجمله‏ای) ارزشیابی می‌شود.

 

در ارزش‏گذاری با درخت دوجمله‏ای ابتدا متغیر ورودی تعیین می‏شود؛ سپس با به‌کارگیری استقرای پس‏رو، هر کدام از اختیارات ارزش‏گذاری می‏شود. مراحل انجام این ارزش‏گذاری عبارتست از تعریف پارامترهای ورودی، محاسبۀ منافع و هزینه‌های سرمایه‏گذاری و ارزشیابی سرمایه‏گذاری به روش ارزش خالص حال^[20]. پارامترهای ورودی در الگو‏های ارزش‏گذاری اختیارات حقیقی در قالب ارزش فعلی دارایی، تغییر پذیری، عمر اختیارات و نرخ بهره بدون ریسک و بازه زمانی تعریف می‏شود. این پارامترها در جدول (2) آورده شده است. با توجه به اینکه الگوی پیشنهادی برای یک پروژۀ برنامه‏ریزی منابع بنگاهی اجرا و نتایج در بخش بعدی ارائه شده، در جدول‌های (2)، (3) و (4) مقادیر پارامترها و فرضیه‌های این مطالعۀ موردی نیز آمده است.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

جدول (2) پارامترهای ورودی در الگوی ارزش‏گذاری اختیارات حقیقی

 

گام بعدی، محاسبۀ منافع و هزینه‌های سرمایه‏گذاری است. شناسایی ارزش تجاری سرمایه‏گذاری‏های پروژۀ برنامه‏ریزی منابع بنگاهی، فرایندی پیچیده‏ است؛ زیرا قابلیت‏های این نوع از سیستم‏های اطلاعاتی بندرت از پیش به‌لحاظ کمّی مشخص هستند و ‌اندازه‏گیری منافع آن و تأثیر عدم قطعیت و نامطمئنی بر آن امری مشکل است. به‌طور معمول سرمایه‏گذاری‏های استراتژیک فناوری اطلاعات، نیازمند زیرساخت و سرمایۀ اولیۀ در خور‏توجه است و بازگشت سرمایه در درازمدت انجام می‌شود. در این پژوهش، منافع و هزینه‏ها مبتنی براساس نظرات خبرگان  به دست آمده‏اند.

 

جدول (3)فرضیه‌های سرمایه‏گذاری

 

در روش‏های سنتی مانند ارزش خالص حال، عدم ‏اطمینان در منافع و هزینه‏ها در نظر گرفته نمی‏شود. جدول (4) نتایج تحلیل و ارزشیابی سرمایه‏گذاری سنتی را نشان می‏دهد. نرخ تنزیل در این پروژه برابر 15 درصد در نظر گرفته شده است. اعداد جدول (4) برحسب میلیون تومان است.

 

جدول (4) محاسبۀ ارزش خالص حال برای پروژۀ برنامه‏ریزی منابع بنگاهی

 

 

 

 

 

ارزش خالص حال، حاصل کسر ارزش فعلی هزینه‏ها از ارزش فعلی منافع است. رابطۀ (1) فرم استاندارد معادلۀ ارزش خالص حال را نشان می‌دهد، وقتی نرخ تنزیل ثابت و معادل با هر دورۀ زمانی تنزیل فرض شده است. با توجه به این رابطه، مقدار ارزش خالص حال برابر با 8/199 میلیون تومان به دست می‏آید.

(1)

NPV₀=                        

 

کاکس، راس و رابینستین (1979) روشی جایگزین برای ارزشیابی اختیارات با استفاده از دیدگاه دوجمله‏ای ‏و در هر بازه زمانی مشخص ابداع کردند. در این الگو، ارزش دارایی اصلی تحت شرایط ریسکی  (V)در بازه‌های زمانی مختلف و به‌صورت توزیع دوجمله‏ای چندگانه محاسبه می‌شود (شکل1). ارزشیابی از زمان صفر (t₀) شروع می‌شود. در یک بازه زمانی Dt، V ممکن است به احتمال p زیاد شود و به uV افزایش یابد (u>1) و به احتمال q=1-p کم شود و به مقدار dV برسد (d<1). فرض می‌شود d<1+r<u و r نرخ برگشت بدون ریسک است.

                    

                

q2

                

                

d2V

                

                

p2

                

                

u2V

                

                

V

                

                

q3

                

                

p3

                

                

dV

                

                

uV

                

                

q

                

                

p

                                                                                                                                                

 

شکل (1) درخت دوجمله‏ای چندگانه

 

براساس فرضیه‌های توزیع دوجمله‏ای، نوسان‌های ارزش از توابع زیر پیروی می‌کنند:

(2)

(   u= exp(

(3)

d= ( )=

N برابر تعداد گام‏های درخت دوجمله‏ای وσ نوسان‏پذیری است که با عنوان انحراف معیار استاندارد تابع توزیع لوگ نرمال برگشت سرمایۀ پیوستۀ پروژه مطرح می‌شود. ارزش نهایی اختیار خرید C در شرایط نوسان ارزش از رابطۀ زیر به دست می‌آید.

(4)

C_u = max [0,uV-I]یاC_d = max[0,dV-I]

I مقدار سرمایه‏گذاری لازم برای اعمال اختیار است. اگر p را به‌صورت p=   تعریف کنیم، ارزش اختیار خرید C در زمان  t=0براساس شکل (2) محاسبه می‏شود. معادلۀ اختیار خرید دوجمله‏ای، ارزش اختیار را در حالت‌های مختلف تصمیم‏گیری محاسبه می‌کند. درخت‌های دوجمله‏ای را  به‌صورت چندگانه و در بازه‌های زمانی مختلف Dt می‌توان توسعه داد. به‌صورت الگوریتمی باید از انتهای درخت (در زمان Dt×n) شروع کرد و به‌صورت بازگشتی، ارزش اختیار در هر گرۀ قبلی را محاسبه کرد.

 

 

شکل (2) معادلۀ اختیار خرید دوجمله‏ای

 

یافته‏های پژوهش

همانگونه که در بخش قبل اشاره شد، الگوی پیشنهادی به‌عنوان نمونه برای یک پروژۀ واقعی توسعۀ سیستم مدیریت منابع بنگاهی اجرا و نتایج تحلیل شده‌‏ است. پارامترهای لازم برای ساخت درخت دوجمله‏ای براساس مقادیر ارائه‌شده در جدول (2) به‌شرح زیر است:

(5)

  8/199S₀=

(6)

 10517/1  =  (u= exp(

(7)

 90484/0 =  d= ( )=

 

(8)

 66575/0 =    P=

 

 

شکل (3) تغییر ارزش شرکت برای یک سال

 

در ادامه درخت دوجمله‏ای برای اختیار گسترش تشکیل شده و ارزش‏های مدّنظر محاسبه می‏شود. اختیار گسترش این پروژه با فاکتور 2 یعنی دو برابرکردن حجم عملیات در نظر گرفته شده است. این اختیار با استفاده از استقرای پس‏رو از آخرین گره‏های درخت دوجمله‏ای که نشان‌دهندۀ آخر مرحلۀ زمانی است، یعنی گره‏های S₀u⁴  تا  S₀ارزش‏گذاری شده است. برای شروع در گرۀ S₀u⁴، ارزش مدّنظر، 06/298 میلیون تومان است. با اختیار دو برابرکردن حجم عملیات، هزینه‏های سرمایه‏گذاری و ارزش مدّنظر دارایی تغییر می‏کند. برای تخمین هزینه از قانون 6/0 استفاده شده است. هزینه‏های تقریبی در صورتی محاسبه‌شدنی است که هزینۀ مورد مشابه در اندازه و ظرفیت مختلف شناخته شده باشد. قانون سرانگشتی در طول سالیان در قالب قانون 6/0 نتایج مطلوبی ارائه داده است. این مفهوم به‌صورت زیر بیان شده است:

 (9)

      

در رابطۀ فوق، C_A هزینۀ شناخته‌شده برای اندازۀ A، C_B هزینۀ تقریبی برای اندازۀ پروژه و  نسبتی است که عامل اندازه شناخته می‏شود و بی‏بعد است. در این پژوهش، هزینۀ گسترش با عامل 2 در نظر گرفته شده و هزینۀ حاصل به‌صورت زیر است:

C_B = = 9432/90(10)

که این هزینۀ سرمایه‏گذاری همان هزینۀ اجرای اختیار است. درنتیجه ارزش مدّنظر دارایی با اجرای اختیار گسترش (دوبرابرکردن) برابر است با:

(11)

NPV=0656/298×29432/90- =188/505

(12)

NPV=0359/244×29432/90- =1286/397

(13)

NPV=8/199×29432/90- =6568/308)

(14)

NPV=5833/163×29432/90- =       22/236

(15)

NPV=9315/133×29432/90- =9198/176

 

 

شکل (4) عایدی شرکت با اعمال اختیار گسترش

 

مرحلۀ نهایی در ساخت درخت دوجمله‏ای، محاسبۀ ارزش هر یک از اختیارات پروژه است. درادامه اختیار گسترش پروژه ارزش‏گذاری شده است. محاسبات ارزش اختیار در هر گره از درخت با استفاده از استقرای بازگشتی انجام گرفته است. در محاسبۀ ارزش گره با روش پس‏رو ابتدا برای گره‏های لایۀ آخر شکل (3) و شکل (4) بیشینۀ مقدار گره‏ها محاسبه و درگرۀ متناظر شکل (5) قرار داده می‏شود؛ سپس برای گره‏های مربوط به لایۀ ماقبل آخر نیز ابتدا ارزش میانگین دو گروه مرتبط در لایۀ آخر شکل (3) محاسبه و آن را با مقدار گرۀ متناظر در شکل (4) مقایسه و بیشینۀ آن را درگرۀ متناظر در شکل (5) قرار می‏دهیم. پس از تعیین تمام مقادیر برای یک لایه، این رویّه را برای لایۀ ماقبل نیز تکرار می‏کنیم. الگوریتم مزبور را به‌صورت فرمول ریاضی می‌توان در نظر گرفت:

(16)

 

 

 

شکل (5) ارزش نهایی گره‏ها با اعمال اختیار گسترش

 

در رابطۀ (16) i نشان‌دهندۀ لایه و j ردیفی است که گره در آن قرار دارد. عدد ردیف‏ها از بالا به پایین افزایش می‏یابد.  نشان‏دهندۀ گره‏های مربوط به فرایند تغییرات ارزش است و  نشان‏دهندۀ گره‏های شکل (2) و یا به‌طور کلی گره‏های مربوط به اختیار مدّنظر است.  نیز گرۀ نهایی و نشان‏دهندۀ تصمیم بهینه‏ای است که سرمایه‏گذار دربارۀ اعمال اختیار یا انتظار تا دورۀ بعد اتخاذ می‌کند. اگر مقدار این گره از مقدار گره مربوط به اختیار کوچک‌تر باشد، سرمایه‏گذار از اختیار مربوط استفاده می‏کند و در غیر این صورت ارزش فعلی مدّنظر حالت‏های آینده بیشتر از عایدی ناشی از اختیار است؛ بنابراین منطقی است که سرمایه‏گذار، استفاده از اختیار را به آینده موکول کند. نحوۀ محاسبه در شکل (5) نشان داده شده است] 2[.

برای ارزش‌گذاری اختیار کوچک‏سازی، همانند اختیارات قبلی، از استقرای پس‏رو در هر گره از درخت دوجمله‏ای استفاده شده است. با شروع از گرۀ پایانی یعنی گرۀ S₀u⁴ ارزش‏گذاری اختیار بررسی شده است. در اختیار برای کوچک‏سازی پروژه، عامل 5/0 نسبت کاهش حجم عملیات در نظر گرفته شده است. برای محاسبۀ هزینۀ اعمال اختیار کوچک‏سازی پروژه همانند قبل از قانون 6/0 استفاده شده است. در تخمین ارزش اختیار کوچک‏سازی، ارزش به‌دست‌آمده از صرفه‏جویی‏های هزینه‏ای یا درآمد حاصل از فروش بخشی از تجهیزات پروژه به‌عنوان دستاورد اختیار لحاظ می‏شود. این ارزش نیز با ارزش خالص حال به‌دست‌آمده از دارایی اضافه می‏شود. بعد از محاسبۀ مقدار ارزش خالص حال، این مقدار با ارزش به‌دست‌آمده برای ادامۀ کار مقایسه شده است و بیشترین مقدار به‌عنوان ارزش مدّنظر دارایی با درنظرگرفتن اختیار لحاظ شده است.

(17)

X= 58/39=

برای تخمین هزینۀ ذخیره‌شدۀ (دستاورد) حاصل از اجرای اختیار کوچک‏سازی، از قانون 6/0 استفاده شده است. بدین‌ترتیب که ابتدا از هزینۀ سرمایه‏گذاری کل، هزینۀ تخمین‌زده‌شده با عامل کوچک‏سازی5/0 کسر شده و با اعمال 10 درصد استهلاک، دستاورد اجرای این اختیار برآورد شده است.

(18)

Capital cost-x=60-585/39 =   415/20

(19)

Saved money 415/20×1/0-)415/20373/18 =)

(20)

NPV₁= 5/00656/298+ (362/167×373/18

ارزش دارایی با درنظرگرفتن اختیار کوچک‏سازی با استفاده از قانون حداکثرسازی سود و مقایسه بین NPV₁ (ارزش دارایی با اعمال اختیار) و ارزش دارایی بدون اعمال اختیار در گرۀ S₀u⁴  از رابطۀ زیر محاسبه‌شدنی است.

(21)

The value at S₀u⁴node= max (NPV₁, the expected value atS₀u⁴)

= max (362/167،0656/298)=0656/298

این مراحل برای ارزش‏گذاری اختیار کوچک‏سازی در سایر گره‏های ماه آخر از عمر اختیار انجام داده شده است. در ادامه با حرکت به سمت نقاط داخلی، در یک گام پیش از آخرین گام یعنی S₀u⁴، ارزش اختیار برابر بیشینۀ مقدار NPV₁ محاسبه‌شده از فرمول زیر و NPV₂ مدّنظر از نصف حجم کار است.

(22)

NPV₁= 832/169

NPV₂= (× 5/0expected asset value at S₀u⁴node)

+ Saved money =984/94

در نتیجه ارزش دارایی با درنظرگرفتن اختیار کوچک‏سازی برابر رابطۀ زیر است:

(23)

The value at S₀u³= max (NPV₁,NPV₂)

=max (984/94،832/169)

با حرکت به سمت چپ و آخرین گره (S₀)، محاسبات ذکرشده در بالا برای سایر گره‏ها نیز انجام شده است. درنهایت درخت کامل به‌صورتی تکمیل می‌شود که در شکل (6) نشان داده شده است.

اختیار انتخاب در واقع یک اختیار واحد است که یک اختیار فروش (کوچک‏سازی) یا خرید (اختیار گسترش) می‌تواند قلمداد شود. در این پژوهش، هزینۀ گسترش با فاکتور 2 و کوچک‏سازی با فاکتور 5/0 براساس قانون 6/0به‌ترتیب 65/308 و 27/118 میلیون تومان برآورد شده است. برای بررسی اختیار انتخاب، ابتدا درخت دوجمله‏ای با توجه به ارزش‏های مدّنظر برای پروژه ساخته شده است؛ سپس برای ارزش‏گذاری اختیارات چندگانه در هر گره و به‌دست‌آوردن اختیار مناسب (با بیشترین ارزش) از گرۀ S₀u⁴ شروع کرده ودر یک استقرای بازگشتی تمامی گره‏های درخت ارزش‏گذاری شده‏اند. ارزش مدّنظر پروژه با هر کدام از اختیارات به‌صورت زیر محاسبه شده است. در این رابطه NPV₁ ارزش مدّنظر دارایی با اجرای اختیار گسترش است.

(24)

NPV₁= (0656/298 ×2(9432/90) =188/-505

ارزش مدّنظر دارایی با اجرای اختیار کوچک‏سازیNPV₂ از رابطۀ زیر محاسبه می‏شود:

(25)

NPV₂=0656/298 × 5/0 )(+373/18362/167))

در این گره از درخت دوجمله‏ای، اختیار گسترش بیشترین ارزش مدّنظر را برای پروژه در پی دارد؛ بنابراین ارزش مربوط به این اختیار با توجه به قانون بیشینه‏سازی سود به‌صورت ارزش این گره از درخت لحاظ می‏شود. برای تمام گره‏های ماه آخر از عمر اختیار به همین صورت ارزش اختیارات محاسبه می‏شود.

(26)

The value at S₀u⁴=

Max188/505= (0656/298،362/167،188/505)

 

شکل (6) درخت دوجمله‏ای برای اختیار کوچک‏سازی

 

با حرکت به سمت نقاط داخلی و با شروع از گرۀ S₀u³ سایر گره‏ها براساس روابط زیر ارزش‏گذاری شده‏اند:

(27)

NPV₁= ((P×S₀u⁴)+((1-p)×(S₀u³d)))×(exp(-r× )) =504/284

 

(28)

NPV₂= (2×the asset expected value) - (Strike price)= (2×7012/269)-9432/90=459/448

 

 

 

 

(29)

NPV₃= (5/0 × the asset expected value) + saved money =(5/0×7012/269 )+373/18=223/153)

از بین این دو ارزش اختیار، با توجه به قانون بیشینه‏سازی سود، اختیار گسترش به‌صورت ارزش این گره از درخت انتخاب می‏شود.

 

 

 

 

(30)

The value at S₀u³node= Max (223/153 ، 459/448 ، 504/284)= 459/448

در هر گره از درخت دو جمله‏ای، از بین اختیار گسترش و کوچک‏سازی اختیاری انتخاب می‏شود که حداکثر ارزش را تولید کند. این مراحل تا تکمیل تمامی گره‏ها ادامه می‏یابد و در هر گره، اختیاری در نظر گرفته می‌شود که بیشترین دستاورد را برای دارایی مدّنظر به همراه داشته باشد.

 

شکل(7) درخت دوجمله‏ای برای اختیار انتخاب