وجود بارهای غیر خطی همانند اینورترها، یک‌سوساز‌ها و دیگر ادوات الکترونیکِ قدرت باعث تولید آلودگی‌های هارمونیکی در سیستم قدرت می‌شود [1،2]. این آلودگی‌ها موجب ایجاد مشکلاتی از قبیل افزایش حرارت در تجهیزات، خرابی موتورها و تداخل با مدارهای مخابراتی می‌شوند. ازاین‌رو، امروزه تعیین میزان هارمونیک‌های موجود در سیستم‌های قدرت برای انجام مطالعات هارمونیکی و جبران آن‌ها، یکی از مهم‌ترین مسائل موجود در بحث کیفیت توان سیستم‌های قدرت است.

به دلیل قیمت بالا و همچنین سختی استفاده از تعداد زیاد اندازه‌گیرهای هارمونیکی، اندازه‌گیری مستقیم هارمونیک‌ها در تمام شین‌های سیستم قدرت، دشوار است. درواقع، در عمل، تنها تعداد محدودی اندازه‌گیر در سیستم تعبیه شده است که با استفاده از اطلاعات حاصل از آن‌ها باید بقیه مقادیر را تخمین زد. به این تکنیک، تخمین حالت هارمونیکی¹ (HSE) گفته می‌شود. HSE عکس عمل پخش بار هارمونیکی است. در این روش با معلوم‌بودن برخی از ولتاژ شین‌ها می‌توان ولتاژ بقیه شین‌ها را تعیین کرد [5-3]. کیفیت HSE به تعداد و مکان اندازه‌گیرها در سیستم بستگی دارد [10-6].

Heydt در [11] روشی را برای تخمین حالت هارمونیکی براساس حداقل مربعات غیرخطی هیبرید پیشنهاد داد که به‌دلیل درنظرنگرفتن هزینه در تابع هدف، کل هزینه‌های اندازه‌گیرها مقدار زیادی می‌شد. Farach و Grady در سال 1993 یک روش ترتیبی برای جایابی بهینه اندازه‌گیرها تحت شرایط زیرمعین² برای HSE پیشنهاد دادند [12]. مبنای روش پیشنهادی، تکنیک مینیمم واریانس خطای بین مقادیر اندازه‌گیری شده و مقدار تخمین زده‌ شده‌ بود که به این منظور اطلاعات بار و تولید برای تمام شین‌ها و تمام مراتب هارمونیکی مورد نیاز بودند که این مقادیر همیشه در دسترس نیستند. با توسعه روش فیلتر کالمن یک روش جدید زمان‌بر برای جایابی اندازه‌گیرها برای HSE دینامیکی براساس آنالیز کواریانس خطای سیستم پیشنهاد شد [13]. در [14]، روشی بر مبنای مینیمم‌سازی عدد موقعیت³ برای HSE پیشنهاد شد؛ اما نتایج نشان می‌داد که کیفیت تخمین، بهبود نیافته بود.‌ در سالیان اخیر مطالعاتی برای جایابی اندازه‌گیرهای هارمونیکی صورت گرفته است؛ اما یکی از اشکالات عمده روش‌های پیشنهادی، درنظرنگرفتن عدم قطعیت در جایابی اندازه‌گیرهاست.

از همه موارد فوق می‌توان به لزوم بهبود دادن روش‌های جایابی بهینه اندازه‌گیرها برای HSE به‌منظور تعیین حداقل تعداد اندازه‌گیرها و محل بهینه آن‌ها پی برد. برای افزایش کیفیت نتایج جایابی، یک روش مناسب برای انجام HSE با دقت بالا مورد نیاز است. در این مقاله یک روش بر مبنای الگوریتم بهینه‌سازی جستجوگر⁴ (SOA) برای HSE پیشنهاد شده است. این روش علاوه بر تخمین دقیق در شین‌های رؤیت‌پذیر، در شین‌های رؤیت‌ناپذیر نیز با دقت قابل قبولی تخمین را انجام می‌دهد. پس از آن روشی ببرای جایابی اندازه‌گیرهای هارمونیکی ارائه شده است. در این روش، عدم قطعیت‌های خارج‌شدن هم‌زمان یک خط و یک اندازه‌گیر نیز لحاظ شده است. به این معنی که الگوریتم پیشنهادی سعی دارد جایابی اندازه‌گیرها را به نحوی انجام دهد که حتی با وجود امکان خارج‌شدن یک اندازه‌گیر و یا یک خط از شبکه، HSE را با دقت خوبی انجام دهد. روش پیشنهادی براساس تکنیک پارتوی⁵ مبتنی بر الگوریتم SOA عمل می‌کند.

1- تخمین حالت هارمونیکی

تخمین حالت هارمونیکی روشی مفید برای مشخص‌کردن اطلاعات کامل هارمونیکی شبکه با استفاده از اطلاعات محدود به‌دست‌آمده از اندازه‌گیرهای موجود است [16-15]. به‌دلیل کم‌بودن تعداد اندازه‌گیرهای هارمونیکی در شبکه، تعداد کمی از حالت‌های سیستم مربوط به کل مراتب هارمونیکی موجود در شبکه به‌طور مستقیم مشخص است. امروزه اندازه‌گیرهای کیفیت توان⁶ (PQ) به‌منظور اندازه‌گیری اندازه و فاز ولتاژ و جریان‌های تزریقی هارمونیکی در شین‌های رؤیت‌شده استفاده می‌شوند. در این مقاله، ولتاژ شین‌ها به‌عنوان حالت‌های سیستم در نظر گرفته می‌شوند.

روش پیشنهادی در این مقاله برای HSE، بر مبنای تخمین حداقل مربعات وزن‌دار است که هدف آن مینیمم‌کردن جمع مربعات اختلاف بین مقادیر اندازه‌گیری‌شده و تخمینی است که به‌وسیلة واریانس خطاهای اندازه‌گیرهای مربوطه وزن‌دار شده‌اند [20-17]. بخش‌های حقیقی و موهومی ولتاژ مراتب هارمونیکی موجود در سیستم در شین‌های رؤیت‌نشده به‌عنوان متغیرهای حالت روش پیشنهادی برای HSE تعریف می‌شوند.

تابع هدف پیشنهادی برای هر مرتبه هارمونیکی به‌صورت زیر است:

که در این رابطه

و مرتبه هارمونیکی،تعداد اندازه‌گیرهای PQ مورد استفاده، n تعداد شین‌ها،  بردار جریان تزریقی اندازه‌گیری‌شده،  بردار ولتاژ در شین‌های اندازه‌گیری‌شده و نامعین،  عناصر ماتریس ادمیتانس مربوط به هارمونیک  و  واریانس iامین اندازه‌گیری است. در رابطه (1)، انحراف استاندارد است که نمایش‌‌گر دقت متناظر با اندازه‌گیر استفاده‌شده مربوطه است. مقدار بزرگ نشان‌دهنده دقت نسبتاً پایین اندازه‌گیر متناظر است [21]. قسمت‌های حقیقی و موهومی ولتاژهای هارمونیکی در شین‌های رؤیت نشده به‌وسیلة رابطه (1) و الگوریتم SOA بهبودیافته، تخمین زده می‌شوند.

2- جایابی اندازه‌گیرهای هارمونیکی

هزینه نصب اندازه‌گیرهای PQ در کل سیستمِ قدرت هنگفت است؛ بنابراین تعداد این اندازه‌گیرها در سیستم و درنتیجه تعداد شین‌های رؤیت‌شده محدود است [22]. ازطرف‌دیگر، کیفیت تخمین‌های حاصل از HSE، تابعی از تعداد و موقعیت اندازه‌گیرهای PQ مورد استفاده در سیستم است؛ بنابراین باید یک روش بهینه برای جایابی این اندازه‌گیرها در سیستم پیشنهاد کرد. در این مقاله جایابی اندازه‌گیرهای PQ در حالت نرمال سیستم و با وجود عدم قطعیت به‌صورت زیر انجام گرفته است:

3- جایابی در حالت نرمال

در این مقاله حالت نرمال سیستم به حالتی از آن اطلاق می‌شود که تمام اندازه‌گیرهای PQ و خطوط سیستم طبق برنامه‌ریزی اولیه سیستم عمل کنند. در این شرایط، یک روش برای تعیین تعداد و مکان بهینه اندازه‌گیرهای هارمونیکی برای انجام یک HSE دقیق پیشنهاد شده است. این روش بر مبنای مینیمم‌سازی میانگین مربعات خطای⁷ اعوجاج هارمونیکی کل⁸ در سیستم است که به‌صورت زیر محاسبه می‌شود [24-23]:

که در این رابطه، تعداد شین،  مرتبه هارمونیکی و دامنه ولتاژ است.

تابع هدف جایابی اندازه‌گیرها در حالت نرمال به‌صورت زیر در نظر گرفته می‌شود:

که  تعداد شین‌هایی است که اندازه‌گیر PQ روی آن‌ها نصب شده است و  و ، به ترتیب THD ولتاژهای اندازه‌گیری شده هستند. OF تعریف‌شده در رابطه (3) متناظر با محل بهینه اندازه‌گیرها در حالت نرمال سیستم است.

3-1- جایابی با درنظرگرفتن عدم قطعیت

تخمین حالت هارمونیکی باید توانایی سازگاری با عدم قطعیت‌های محتمل در سیستم، مثل خارج‌شدن یک خط یا یک اندازه‌گیر در شبکه را داشته باشد [26-25]. در غیر این صورت در اثر بروز این اتفاقات، نتایج تخمین، درخور استفاده نخواهند بود؛ بنابراین در تابع هدف به‌کاررفته در این قسمت، حالت نرمال و حالت دارای عدم قطعیت هم‌زمان به‌منظور جایابی استفاده شده‌اند.

تابع هدف پیشنهادی به‌صورت زیر در نظر گرفته شده است:

که در این رابطه

و

 تعداد اندازه‌گیرهای PQ شبکه،  مقدار زمان ازدست‌رفتن امین اندازه‌گیر است. برای به‌دست‌آوردن  با ازدست‌رفتن یک اندازه‌گیر،  با استفاده از اندازه‌گیرهای باقیمانده تعیین می‌شود. همچنین تعداد خطوط سیستم،  مقدار  در زمان خارج شدن kامین خط است. برای به‌دست‌آوردن  با ازدست‌رفتن یک خط،  با استفاده از توپولوژی جدید تعیین می‌شود. تابع هدف آورده‌شده در رابطه (4) چند‌هدفه⁹ است. در این مقاله از روش پارتوی مبتنی بر الگوریتم SOA برای مینیمم‌سازی این تابع هدف استفاده شده است.

4- الگوریتم بهینه‌سازی SOA

الگوریتم بهینه‌سازی جستجوگر (SOA) یک الگوریتم هوشمند نسبتاً جدید است که برای یافتن پاسخ‌های بهینه مسائل عددی و کیفی پیچیده استفاده می‌شود. مبنای عملکرد این روش شبیه‌‌سازی، عمل جستجو توسط انسان است [27].

این الگوریتم روی یک تعداد پاسخ که جمعیت جستجو نامیده می‌شوند عمل می‌کند. اعضای این جمعیت، جستجوگر نامیده می‌شوند. به‌منظور اضافه‌کردن یک جزء اجتماعی برای اشتراک اجتماعی اطلاعات، برای هر جستجوگر یک همسایه تعریف می‌شود [29-27].

در SOA، یک مسیر جستجوی  و یک طول گام  جداگانه برای هر جستجوگر  در هر بعد  برای هر گام زمانی  محاسبه می‌شود که  و  است.  به این معنی است که امین جستجوگر به سمت مسیر مثبت محور مختصات روی بعدپیش می‌‌رود.  به این معنی است که جستجوگر به سمت مسیر منفی می‌رود و  نشان‌دهنده آن است که جستجوگر در موقعیت قبلی باقی می‌ماند. برای هر جستجوگر  ( که  اندازه جمعیت است) موقعیت روی هر بعد  () به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

به این دلیل که زیر جمعیت‌ها به‌وسیلة اطلاعات خودشان جستجو می‌کنند و ممکن است به‌سادگی به نقاط بهینه محلی همگرا شوند. برای جلوگیری از این شرایط، موقعیت بدترین جستجوگرهای  هر زیرجمعیت با بهترین آن‌ها، در هر  زیرجمعیت‌ دیگر با استفاده از اپراتور تقاطع دوجمله‌ای مربوط ترکیب می‌شوند. در این صورت:

که  یک عدد حقیقی تصادفی یکنواخت در بازه [1و0]،  مربوط بهامین بعد امین بدترین موقعیت در امین زیرجمعیت است. ، امین بعد بهترین موقعیت در امین زیرجمعیت با است [28].

4-1- مسیر جستجو

در SOA، مسیر جستجوی هر جستجوگر براساس یک درجه‌بندی تجربی به‌وسیلة مقایسه موقعیت‌های کنونی جستجوگر با موقعیت قبلی آن یا همسایه‌ها مشخص می‌شود.

درجه‌بندی تجربی به‌صورت زیر انجام می‌شود:

که جهت خودپسندانه ،  و  جهات نوع دوستانه هر جستجوگر ، ،  و به ترتیب بهترین موقعیت قبلی شخصی، بهترین موقعیت قبلی همسایه‌ها و بهترین موقعیت کنونی همسایه‌‌ها هستند.  تابع علامت هر بعد از بردار ورودی و موقعیت iامین جستجوگر در زمان t را نشان می‌دهد [27].

4-2- طول گام

در SOA از یک سیستم فازی برای شبیه‌سازی رفتار جستجوی انسان استفاده می‌شود. در این الگوریتم، مقادیر هدف همه جستجوگرها به‌صورت کاهشی مرتب شده است و رشته‌ای از اعداد از 1 تا s به‌عنوان ورودی منطق فازی استفاده می‌شوند.

برای به‌دست‌آوردن طول گام در ابتدا:

محاسبه می‌شود، که تعداد توالی پس از مرتب‌کردن مقادیر هدف و ماکزیمم مقدار درجه عضویت است که باید کوچک‌تر یا مساوی یک باشد. تابع عضویت Bell با  به‌عنوان قسمت کنش منطق فازی استفاده می‌شود.  پارامتر تابع عضویت Bell است که با رابطه زیر محاسبه می‌شود:

پارامتر به‌این منظور استفاده می‌شود که طول گام با گذر زمان کاهش یابد؛ بدین معنی که دقت جستجو افزایش پیدا کند.

درنهایت طول گام به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

که در این رابطه

است [27].

5- روش پارتو

بسیاری از مسائل دنیای واقعی با بهینه‌سازی هم‌زمان چند تابع هدف مواجه هستند که این توابع در بیشتر موارد، هم واحد نبوده‌اند و با یکدیگر در تضاد هستند. بهینه‌سازی چندهدفه با توابع هدف متضاد، به جای رسیدن به یک جواب منحصربه‌فرد منجر به ایجاد یک مجموعه جواب بهینه می‌شود. دلیل پذیرفتنی‌بودن تمامی نقاط مجموعه جواب، آن است که با درنظرگرفتن همه توابع هدف، هیچ‌یک نمی‌توانند بر دیگری برتری داشته باشند. این جواب‌های بهینه با عنوان مجموعه جواب بهینه پارتو¹⁰ شناخته می‌شوند [32-30].

به‌منظور تشریح کامل این روش، فرض شده است که هدف، برآورده‌کردن هم‌زمان دو تابع هدف  و  است. این روش، بهینه‌سازی را هم‌زمان به‌صورت جداگانه برای دو تابع هدف انجام می‌دهد و در هر مرحله بین جواب‌های به‌دست‌آمده از نتایج دو مسئله بهینه‌سازی مقایسه می‌شود و تعدادی از جواب‌ها را حذف می‌کنند. این کار به این صورت انجام می‌شود که به تمام جواب‌های به‌دست‌آمده، یک نقطه در دستگاه مختصات مجموعه پاسخ‌ها طبق شکل (1) تعلق می‌گیرد. به این ترتیب که برای هر کدام از جواب‌های مسئله بهینه‌سازی با تابع هدف  ،  مربوط به آن نقطه و برای هر کدام از جواب‌های مسئله بهینه‌سازی با تابع هدف  ، مربوطه محاسبه می‌شود. پس از آن، مقایسه‌ای بین جواب‌های مسائل هم‌زمان (نقاط به‌دست‌آمده در صفحه مختصات - ) انجام می‌شود و تعدادی از پاسخ‌ها حذف می‌شوند. طبق این روش، شرط حذف‌شدن نقطه  توسط نقطه  آن است که  و . در این صورت نقطه  نسبت به نقطه  هم به‌منظور برآورده‌کردن  و هم  مناسب‌تر است؛ اما همان‌گونه که از شکل نیز مشخص است نقاط و  یکدیگر را حذف نمی‌کنند؛ زیرا نقطه  تابع  و نقطه  تابع  را بهتر برآورده می‌کنند؛ بنابراین منحنی حاصل، پاسخ‌های باقیمانده و حذف‌نشده را نشان می‌دهد که دسته جواب‌های حاصل از روش پارتو نامیده می‌شوند. بسته به نظر کاربر مبنی بر میزان اهمیت بیشتر هر کدام از توابع  و یا  می‌توان بهترین پاسخ را بین این نقاط انتخاب کرد.

شکل(1): دسته پاسخ‌های پارتو

5-1- الگوریتم SOA مبتنی بر روش پارتو

فلوچارت روش پیشنهادی به‌منظور جایابی اندازه‌گیرها در شکل (2) نمایش داده شده است. در گام اول، مقداردهی اولیه الگوریتم SOA، انجام شده است. هر کدام از توابع ، و  با استفاده از جمعیت اولیه در تکرار اول تعیین می‌شوند. سپس یک مجموعه تعداد از پاسخ‌های اولیه با استفاده از روش پارتو انتخاب می‌شوند. پس از آن، جمعیت SOA، به‌روز می‌شوند. این فرآیند به‌همین ترتیب ادامه پیدا می‌کند. درنهایت بهترین پاسخ‌ها در میان مجموعه پاسخ‌های پارتو انتخاب می‌شوند.

5-2- تعیین پارامترهای SOA استفاده شده در روش پیشنهادی

برای جایابی اندازه‌گیرهای هارمونیکی به‌منظور HSE، با فرض آنکه M مرتبه هارمونیکی در سیستم وجود دارد، M+1 الگوریتم SOA استفاده می‌شود. M الگوریتم SOA به تخمین حالت هارمونیکی و یک الگوریتم به جایابی اندازه‌گیرهای PQ می‌پردازند. در مسئله HSE، تعداد متغیرهای حالت، دو برابر تعداد شین‌های رؤیت نشده‌است؛ زیراکه در روش پیشنهادی به این منظور، هر دو بخش حقیقی و موهومی ولتاژ شین‌های رؤیت‌نشده تخمین زده می‌شوند. برای مشخص‌کردن حضور و یا عدم حضور اندازه‌گیر در هر شین، به‌ترتیب، مقادیر یک و صفر به‌عنوان متغیرهای حالت در الگوریتم جایابی انتخاب می‌شوند. به‌منظور جستجوی مناسب‌تر، جمعیت به‌صورت تصادفی به k=3 زیرجمعیت تقسیم‌بندی شده است.

برای مقداردهی اولیه موقعیت جستجوگرها، در الگوریتم HSE، حدود بالا و پایین متغیرهای حالت، مورد نیاز است که به‌صورت زیر مقداردهی شده‌اند:

 انحراف معیار (σ) اندازه‌گیرهای PQ، مورد استفاده برابر 0.01 pu در نظر گرفته شده است. تنظیمات دیگر الگوریتم SOA مورد استفاده به‌صورت = 0.9 ω،= 0.0111 _minμ و = 0.97 _maxμ و= 75 Iter_max در نظر گرفته شده‌اند. همان‌گونه که در فلوچارت نیز نشان داده شده است، در هر تکرار، تعدادی شین با استفاده از الگوریتم جایابی پیشنهاد می‌شود و پس از آن، HSE برای مکان‌های پیشنهادی انجام می‌گیرد. 

شکل(2): فلوچارت پیشنهادی برای جایابی اندازه‌گیرها

6- نتایج شبیه‌سازی‌ها

در این مقاله سیستم 14 شینه استاندارد IEEE نشان داده شده در شکل (3) به‌منظور شبیه‌سازی استفاده شده است [33]. در ابتدا تخمین حالت برای شبکه تست انجام شده است. به این منظور، 4 اندازه‌گیر در شین‌های 7، 9، 10 و 14 نصب شده و نتایج تخمین در جدول (1) آورده شده است. همان‌گونه که مشاهده می‌شود، در شین‌های رؤیت‌پذیر، تخمین با دقت زیادی انجام شده است. در شین‌های رؤیت‌ناپذیر (13 ،6 ،5 ،3 ،2 ،1) نیز با دقت قابل قبولی این عمل صورت گرفته است. بنابراین با توجه به نتایج به‌دست‌آمده، الگوریتم HSE پیشنهادی دقت زیادی داشته و می‌تواند به‌عنوان روشی مناسب در مسئله جایابی استفاده شود. در ادامه شبیه‌سازی‌ها، در حالت نرمال سیستم و بدون درنظرگرفتن عدم قطعیت، جایابی اندازه‌گیرها صورت گرفته است که نتایج در جدول (2) آورده شده است. در این جدول، بهینه‌ترین مکان‌ها برای تعبیه دستگاه‌های اندازه‌گیری برای HSE، مشخص شده‌اند. برای مثال اگر 4 اندازه‌گیر در دسترس باشد، شین‌های 1 ،5 ،10 و 11 می‌توانند بهترین مکان‌ها برای نصب آن‌ها باشند. ازطرف‌دیگر، با استفاده از نتایج به‌دست‌آمده، با تعیین میزان دقت قابل قبول برای تخمین، می‌توان حداقل اندازه‌گیر لازم و محل آن‌ها را در سیستم مشخص کرد. برای مثال اگر بیشترین OF_min قابل قبول از نظر یک کاربر 4×10^-7باشد، با توجه به نتایج به‌دست‌آمده، نصب 5 اندازه‌گیر در شین‌های 3، 4، 5، 10 و 11 خروجی الگوریتم پیشنهادی برای جایابی است. در ادامه جایابی، اندازه‌گیرها با درنظرگرفتن عدم قطعیت‌های خارج‌شدن یک اندازه‌گیر و یک خط برای شبکه تست انجام گرفته است.

شکل(3): سیستم 14 شینه استاندارد IEEE

به‌منظور رسیدن به بهترین پاسخ‌ها، ابتدا با استفاده از الگوریتم پیشنهادی نقاط بهینه پارتو برای تعداد مختلف اندازه‌گیر به دست آمده است که در شکل (4) برای نمونه نقاط پیشنهادی توسط الگوریتم برای تعداد 4 اندازه‌گیر نشان داده شده است. انتخاب بهترین جواب بین مجموعه پاسخ‌های پارتو، به درجه اهمیت هرکدام از توابع هدف بستگی دارد. ساده‌ترین روشی که برای انتخاب بهترین جواب به نظر می‌رسد، محاسبه مجموع وزن‌دار توابع هدف در نقاط موجود در مجموع پاسخ‌های پارتو با استفاده از رابطه زیر است:

وزن‌هایو ، به‌ترتیب نشان‌دهنده اولویّت اهمیت هر یک از شرایط حالت نرمال سیستم، خارج‌شدن یک خط و یک اندازه‌گیر است. درواقع، در این روش برای تمام نقاط موجود در مجموعه پاسخ‌های پارتو مقدار مجموع وزن‌دار توابع محاسبه می‌شود و هر کدام از نقاط که کمترین مقدار F را داشته باشد به‌عنوان بهترین پاسخ انتخاب می‌شود؛ اما مشکل این روش آن است که اگر حدود عددی توابع هدف یکسان نباشد، جمع وزن‌دار آن‌ها بی‌معنی خواهد بود.

جدول (1): نتایج HSE با استفاده از روش پیشنهادی

جدول (2): نتایج جایابی اندازه‌گیرها در حالت نرمال

شکل (4): دسته پاسخ‌های پارتو برای 4 اندازه‌گیر

در این مقاله، روشی برای انتخاب بهترین پاسخ از میان نقاط پارتو با اختصاص‌دادن وزن‌های دلخواه به هر کدام از توابع هدف پیشنهاد شده است. در این روش نقاط مختلف پارتو به‌صورت دو به دو مقایسه می‌شوند. مقایسه بین دو نقطه دلخواه A و B موجود در دسته پاسخ پارتو با استفاده از رابطه زیر صورت می‌گیرد:

(13) 

در این رابطه، مجموع وزن‌دار تفاضل نسبی بین توابع هدف محاسبه شده است. درواقع، با نرمالیزه‌شدن توابع هدف، مشکل موجود در رابطه (12) حل می‌شود و جمع توابع هدف با حدود عددی متفاوت پذیرفتنی است. پس از مقایسه دو نقطه A و B با استفاده از رابطه (13)، با محاسبه F(A,B) و F(B, A)، اگر ، نقطه A نسبت به B با توجه به وزن‌های انتخاب‌شده شرایط بهتری خواهد داشت. این مقایسه تا جایی ادامه می‌یابد که بهترین پاسخ به دست آید. در جدول (3) بهترین پاسخ‌ها برای تعداد مختلف اندازه‌گیر آورده شده است. با استفاده از این جدول نیز می‌توان بهترین مکان برای نصب اندازه‌گیرها با معلوم‌بودن تعداد، آن‌ها را معلوم کرد. همچنین درصورتی‌که کاربر OFهای خاصی را مدّ نظر داشته باشد، می‌توان حداقل تعداد اندازه‌گیر و مکان آن‌ها را تعیین کرد.

جدول (3): نتایج جایابی اندازه‌گیرها با در نظر گرفتن عدم قطعیت