کاربرد رویکرد فازی- استوار در مکان یابی تسهیلات با هدف حداقل کردن هزینه‌های حمل و نقل و سوخت

1- مقدمه

امروزه، علم تحقیق در عملیات در زمینه‌های گوناگون کاربرد فراوانی پیدا کرده است. یکی از حوزه‌های کاربردی تحقیق در عملیات مسائل مکان یابی تسهیلات است (نیکل و سالدانا^[1]، 2008) (درنزر و هماچر^[2]، 2004، نیکل و پرتو^[3]، 2005). مسائل کلی مکان یابی تسهیلات شامل مجموعه‌ای از مشتریان و تسهیلات است؛ که از این تسهیلات برای برآورده کردن تقاضای مشتریان استفاده می‌شود.  مکان‌یابی یکی از علوم مهندسی صنایع است که توجه به آن سبب کاهش هزینه‌ها و موفقیت واحدهای صنعتی می شود. مکان یابی مراکز(مکان‌یابی ساختمانها و مراکز) را انتخاب مکان برای یک یا چند مرکز، با در نظر گرفتن سایر مراکز و محدودیت‌های موجود می‌دانند، به‌گونه‌ای ‌که هدف ویژه‌ای بهینه شود. این هدف می‌تواند هزینه حمل و نقل، ارائه خدمات عادلانه به مشتریان، در دست گرفتن بزرگترین بازار و غیره باشد. برای ضرورت انجام مطالعات مکان‌یابی می توان گفت تعیین محل کارخانه، یکی از کلیدی‌ترین گام‏های تأسیس کارخانه است، چرا که نتایج این تصمیم در دراز مدت ظاهر شده، تأثیرات بسزایی از بعد اقتصادی، محیط زیست، مسایل اجتماعی و غیره دارد. یکی از جنبه‌های تاثیرات درون سازمانی، تاثیر مستقیم آن در سود‌دهی کارخانه خواهد بود و از بعد برون سازمانی، ساخت کارخانه­های بزرگ در یک منطقه می‌تواند شرایط گوناگون اقتصادی، اجتماعی، فرهنگی، محیط زیست و غیره را تحت تاثیر خود قرار دهد. تعیین محل کارخانه از نظر اقتصادی نقش مهمی در میزان سرمایه گذاری اولیه به هنگام تاسیس کارخانه دارد. همچنین، هنگام بهره برداری طرح، این تصمیم گیری، تاثیر کلیدی در قیمت تمام شده کالا/خدمت دارد. احداث یک یا چند واحد صنعتی در مکانهای بهینه و در بهترین وضعیت ممکن، نه تنها گردش مواد و خدمات به مشتریان را بهبود می‌بخشد، بلکه کارخانه را در یک وضعیت مطلوب قرار می‌دهد و هزینه های جانبی مانند مصرف سوخت را کاهش می دهد.

مسائل مکان یابی برای جواب به دو سوال اساسی به کار می‌روند. 1) کدامیک از تسهیلات بایداستفاده شود؟ 2) کدام مشتری از کدام تسهیل سرویس می‌گیرد؟ (نیکل و سالدانا، 2008). کخمن و کالوم^[4](1981) مدلی را برای یافتن ارتباط بهینه بین ایالات متحده و اروپا ارائه کردند. آنها با فرضیه های خود تأثیرات تکنولوژی بر هزینه‌های حمل و نقل را بررسی کردند. کلینسیویس^[5] و همکاران(1986) یک مدل مکان یابی تسهیلات را توسعه دادند که در آن تقاضای مشتریان به شکل چند محصول متفاوت بود. آنها هزینه‌های ثابت را برای انواع محصولات و به شکل جداگانه در نظر گرفتند. برای حل مدل از یک رویکرد انشعاب و تحدید ابتکاری استفاده کردند و نتیجه کار خود را با نتایج پیش مقایسه نموده و برتری روش خود را نشان دادند. دسروچرز و همکاران^[6] (1995) مفاهیم توابع دیرکرد را در مدل‌های مکان یابی تسهیلات گنجاندند. آنها در مدل خود به مینیمم سازی مجموع هزینه‌های حمل و نقل، زمان انتظار و هزینه‌های ثابت و متغیر تسهیلات پرداختند. آنها از تکنیک‌های صف برای تقریب بعضی پارامترهای مدل مانند زمان انتظار استفاده نموده و در نهایت با استفاده از روش انشعاب و تحدید مدل خود را حل کردند. کنفورتی و تامیر^[7] (1997) به مکان یابی تک تسهیلی بین نقاط تقاضا پرداختند. آنها در اطراف نقاط تقاضا محدودیت ناحیه ممنوعه را لحاظ کردند. آنها در کار خود دو رویکرد را با یکدیگر مقایسه کردند. در رویکرد اول مجموع فاصله مستقیم مراکز تقاضا و تسهیلات مینیمم می‌شد و در رویکرد دوم ماکزیمم فاصله‌های بین این مراکز مینیمم می‌گردید. آنها در نهایت این دو رویکرد را با یکدیگر مقایسه کرده و نقاط ضعف و قوت هر یک را بیان نمودند.

 سان^[8] (2006) مدلی را ارائه کرد که در آن برای جابه‌جایی تسهیلات تصمیم‌گیری می‌شد. در واقع در این رویکرد با استقرار یا جابه‌جایی تسهیلات نسبت به بهبود کیفیت سرویس‌دهی با توجه به نظر تصمیم‌گیرنده اقدام می‌شد. او برای حل مدل خود از الگوریتم فرا ابتکاری جستجو ممنوع استفاده کرد. رودریگوئز^[9]  و همکاران (2012) یک مدل دو هدفه را برای مساله مکان یابی بسط دادند. در تابع هدف اول مجموع هزینه‌های سرمایه‌گذاری و در تابع هدف دوم عدم رضایتمندی مشتری مینیمم می‌شد.  در واقع آنها رویکرد کششی و فشاری را در مباحث مکان‌یابی تسهیلات شهری وارد کردند. آنها فرض کردند مشتریان علاقه ندارند که به تسهیلات شهری خیلی دور و یا خیلی نزدیک باشند؛ لذا برای هر دو حالت در توابع هدف جریمه‌هایی را در نظر گرفته و نهایتاً مدل را با استفاده از یک روش ابتکاری حل کردند. با توجه به ماهیت مدل‌های مکان یابی تسهیلات، وجود عدم قطعیت در این مدل‌ها در بعضی از موارد اجتناب ناپذیر به نظر می‌رسد. ساهینیدیس^[10] (2004) عدم قطعیت را در 4 رویکرد دسته بندی کرد. 1) رویکرد برنامه ریزی تصادفی2) رویکرد فازی 3) رویکرد برنامه ریزی پویای تصادفی 4) رویکرد استوار. در سال 1970 لطفی زاده و بلمن^[11] روش‌های تصمیم گیری فازی را ارائه کردند. آنها تابع عضویت خطی را برای مدل خود استفاده کردند. زیمرمن^[12] (1976) مفهوم فازی را در مباحث برنامه ریزی خطی وارد کرد. در مدل او تابع هدف و محدودیت‌ها فازی فرض شده بودند. باتاچاریا^[13] و همکاران (1993) از برنامه‌ریزی آرمانی فازی برای مکان یابی یک تسهیل استفاده کردند. آنها در یکی از اهداف به مینیمم سازی مجموع هزینه‌های حمل و نقل پرداختند. و مینیمم سازی ماکزیمم فاصله نقاط تقاضا از تسهیلات را در هدف دیگری دنبال کردند. وانگ و همکاران^[14] (2004) با ارائه یک مدل تصمیم گیری چند ضابطه‌ای در محیط فازی به یافتن مکان بهینه برای ارائه خدمات الکترونیکی پرداختند. پروسه انتخاب بهینه نقاط شامل دو مرحله بود. مرحله اول انتخاب مشخصه‌های لازم برای مکان یابی بود؛ و در مرحله دوم اطلاعات به دست آمده یکپارچه می‌شد. به رویکرد دیگری که برای مقابله با عدم قطعیت باید توجه شود، رویکرد بهینه سازی استوار است. رویکرد بهینه سازی استوار را برای نخستین بار سویستر (1973) برای یک مدل برنامه ریزی خطی به کار برد. مدل او بسیار محافظه کارانه بود و در بدترین حالت ممکن به بهینه سازی مدل می‌پرداخت.

در دو دهه گذشته به مساله بهینه سازی استوار از نگاه دیگری نیز توجه شده است. بن تال و نمیروفسکی^[15]  (1998و 2000) با ارائه مفهوم استوار، همتای استوار مدلی محدب را در فرم مسائل کانونی درجه دو ارائه کردند. تفاوت این رویکرد با رویکرد سویستر، در نظر گرفتن سطح عدم قطعیت در مدل همتای استوار بود. در واقع سطح عدم قطعیت با توجه به نظر تصمیم‏گیرنده در مدل لحاظ می‌شد. در سال 2004 برتسیمس^[16] و سیم با ارائه یک روش جدید، مسائل استوار را به شدت متاثر ساختند. آنها رویکردی را ارائه کردند که در آن علاوه بر سطح عدم قطعیت، بودجه عدم قطعیت نیز در نظر گرفته می‌شد و در آن بودجه عدم قطعیت نیز قابل کنترل بود. آنها همتای استوار مدل خود را به شکل خطی ارائه کردند.

در سال‌های اخیر، عدم قطعیت در مدل‌های مکان یابی مد نظر بسیاری از پژوهشگران است. سونمز و لیم^[17] (2012) یک مدل ریاضی در مسائل مکان یابی ارائه دادند که تعداد تسهیلات در آن غیر قطعی فرض شده بود. آنها در مدل خود تغییرات تقاضا را در نظر گرفته و مدل را طوری طراحی کردند که در برابر این تغییرات انعطاف بیشتری داشته باشد. آنها با استفاده از تکنیک‌های تجزیه روشی را ارائه دادند که سریع‌تر به جواب می‌رسید. آشتیانی و همکاران ( 2012) بهینه سازی استوار را برای مسائل مکان یابی در محیط گسسته به کار بردند.

در این پژوهش، در بخش 2 مدل ریاضی مکان یابی و تخصیص ارائه شده است. سپس در بخش 3 یک رویکرد جدید برای مواجهه با عدم قطعیت مدل ارائه می‌گردد. در بخش 4 برای نشان دادن قابلیت پیاده سازی مدل برای مسائل واقعی، مدل برای یک مساله واقعی به کار برده می‌شود. 

2- فرمول‌بندی مدل

در این قسمت یک مدل ریاضی برای مسائل مکان یابی ارائه شده است. این مدل برای تعیین مکان مناسب برای احداث چند انبار به کار می‌رود، به طوری که هزینه‌های حمل و نقل از کارخانه‌ها به انبار و انبار به خرده فروشان مینیمم گردد. این مدل شامل دو تابع هدف است. تابع هدف اول برای مینیمم سازی مجموع هزینه‌های حمل و نقل و هزینه ثابت استقرار انبارها به کار می‌رود. تابع هدف دوم به مینیمم سازی هزینه‌های سوخت انتقال محصولات از کارخانه‌ها به انبار می‌پردازد.

 در اینجا فرض بر این است که هزینه‌های سوخت به شکل پلکانی محاسبه می‌شود. یعنی با افزایش مصرف سوخت، هزینه آن فقط برای میزان مصرف مازاد افزایش می‌یابد. اهمیت سوخت و انرژی در چند سال گذشته در کشور ما بهترین توجیه برای وارد کردن این مؤلفه در محاسبات است. امروزه هزینه سوخت در ایران به مهم‌ترین مساله در زمینه حمل و نقل تبدیل شده است.

در مدل فوق  هزینه انتقال یک واحد محصول از کارخانه kام به انبار jام را نشان می‌دهد. در این مدل x_kj میزان محصولی است که از کارخانه kام به انبار jام حمل شده است. d_i تقاضای خرده فروش iام را نشان می‌دهد.  بیانگر هزینه انتقال یک واحد محصول از انبار jام به خرده فروش iام است.  یک متغیر صفر و یک است که مقدار یک را در شکلی می‌گیرد که خرده فروش iام از انبار jام سرویس بگیرد، و در غیر این شکل مقدار صفر را به خود اختصاص می‌دهد. در این مدل f_i هزینه ثابت برای احداث انبار در مکان iام است؛ و y_i نیز یک متغیر صفر و یک است که در شکلی یک می‌شود که در مکان iام انباری احداث شود. e_kj بیانگر میزان مصرف سوختی است که برای انتقال یک واحد محصول از کارخانه kام به انبار jام مصرف می‌شود. همان‌طور که قبلا بیان شد، تابع هدف دوم به مینیمم‏سازی سوخت مصرف شده می‌پردازد. اگر سوخت مصرف شده کمتر از u^allow  باشد (پارامترu^allow بر اساس بالاترین میزان مجاز مصرف سوخت و بر اساس قوانین داخلی مانند ستاد سوخت کشور تعیین می شود) پس متغیر های k₁,k₂,k₃,k₄ صفر هستند (چرا که ضریب آنها در تابع هدف بزرگ‌تر است). 

          (8)

حال اگر سوخت مصرف شده بیشتر از u^allow باشد، آنگاه k₁ مثبت می‌شود. البته در اینجا هنوز k₂,k₃,k₄ صفر هستند. اما k₁ محدود است، و اگر میزان تجاوز از u^allow حتی بیشتر شود آنگاه k₁ مقدار حداکثر خود یعنی k^h را می‌گیرد و k₂ مثبت می‌شود. باید توجه کرد که در اینجا k₄ نامحدود است. محدودیت شماره 3 تضمین می‌کند که تقاضای مرکز iام فقط توسط یکی از انبارها تأمین شود. در محدودیت 4 نشان دهنده ماکزیمم حجم انبار jام است. این محدودیت بیان می‌کند که مجموع تقاضایی که از انبار jام تأمین می‌شود نباید بیشتر از ظرفیت آن انبار باشد. مجموع محصول منتقل شده به انبار jام باید برابر با تقاضاهایی باشد که از این انبار تأمین می‌شود. این موضوع در محدودیت 5 نشان داده شده است. محدودیت 6 در ارتباط با تابع هدف دوم است. این محدودیت در واقع مکمل تابع هدف دوم است. محدودیت آخر تضمین می‌کند که میزان محصولی که از کارخانه ای حمل می‌شود نباید از ظرفیت آن کارخانه بیشتر شود. یکی از خصوصیات این مدل این است که در آن برای لحاظ کردن هزینه‌های سوخت به شکل پلکانی از هیچ متغیر صفر و یک استفاده نشده است. یعنی می‌توانستیم با استفاده از متغیر های صفر و یک این مدل را بسازیم اما وجود متغیرهای صفر و یک در مسائلی که مقیاس بزرگی دارند ممکن است باعث سنگین شدن مساله و افزایش مدت زمان حل آن گردد.

3- رویکرد فازی- استوار

در مدل ارائه شده در قسمت پیش، پارامترها و محدودیت‌ها به شکل غیر قطعی فرض می‌شوند. عدم قطعیت پارامترها از جنس احتمالی بوده که در یک مکعب بسته تغییر می‌کنند. اما محدودیت‌های 4 و 7 این مدل به شکل فازی در نظر گرفته می‌شوند. یعنی در این مدل بعضی از اجزاء مدل فازی فرض شده‌اند و بعضی اجزای دیگر احتمالی هستند؛ که برای پارامتر های احتمالی آن، از رویکرد استوار استفاده می‌شود که نسبت به پارامترهای احتمالی دید بدبینانه‌ای دارد. برای محدودیت‌های فازی نیز از رویکرد Th method استفاده شده است. در اینجا ابتدا رویکرد استوار توضیح داده می‌شود.

3-1- رویکرد استوار 

مدل بهینه سازی را در حالت کلی می‌توان به شکل زیر نوشت:

(9)                           

که در آنx بردارn .1 ، c^T بردار1.n  ضرایب تابع هدف، Aماتریس ضرایب محدودیت‌ها وb  بردار اعداد سمت راست محدودیت‌ها هستند. طبق تعریف بن تال و نمیروفسکی (1998و 2000) مدل بهینه سازی خطی غیر قطعی به مجموعه‌ای از مدل‌های بهینه سازی خطی اطلاق می‌شود که داده‌های آن به مجموعه عدم قطعیت U تعلق دارند.

           (10)

  بن تال و نمیرفسکی(1999) همتای استوار مدل فوق را به شکل زیر تعریف کردند.

 (11) 

مجموعه عدم قطعیت در تحقیقات گوناگون به شکل‌های متفاوتی در نظر گرفته شده است. در این پژوهش، مجموعه عدم قطعیت به شکل مکعبی (بن تال و همکاران 2009و 2005 ) در نظر گرفته شده است. شکل کلی این عدم قطعیت به شکل زیر است

. (12)   

در اینجا  مقدار اسمی پارامتر  ،  سطح عدم قطعیت و G_t مقیاس عدم قطعیت را نشان می‌دهد.

فرض کنید در رابطه زیر ضرایب  aغیر قطعی بوده و در یک مکعب بسته تغییر می‌کند.

                                    (13)

بن تال (2005) ثابت کرد که می‌توان مجموعه عدم قطعیت را با جایگزین کردن نقاط غائی به جای پارامترهای غیر قطعی، به یک مدل قطعی تبدیل کرد. با استفاده از متغیر جدید η، همتای استوار رابطه فوق به شکل زیر ارائه می‌شود:

                            (14)

 با استفاده از این روش می‌توان پارامترهای غیر قطعی در مدل ارائه شده را به شکل بدبینانه با پارامترهای قطعی جایگزین کرد.

3-2- رویکرد فازی

اکنون بدون آنکه چیزی از کلیت مساله کم شود فرض می‌کنیم با مدل چند هدفه زیر روبرو هستیم:

        15))

اما در این مدل بعضی از محدودیت‌ها به شکل فازی در نظر گرفته شده است. برای دی فازی کردن مدل فوق از رویکرد برنامه ریزی متقارن زیمرمن استفاده می‌کنیم. بدین منظور، ابتدا برای هر یک از توابع هدف یک سطح دلخواه قرار می‌دهیم. محدودیت‌ها نیز به شکل مجموعه‌های فازی در نظر گرفته می‌شوند. آنگاه مدل برنامه ریزی خطی به شکل زیر تبدیل می‌شود.

این مدل کاملاً متقارن است و هیچ تفاوتی بین تابع هدف و محدودیت‌ها وجود ندارد. بنابراین اگر قرار دهیم:

آنگاه می‌توان مدل فوق را به شکل زیر نوشت:

(16)                         

هر یک از سطر های مدل فوق یک مجموعه فازی با تابع عضویت μ هستند. μ بیانگر درجه‌ای است که نامساوی‌های فازی مدل فوق را اقناع کند. تابع عضویت محدودیت‌های گوناگون در شکل 1 نشان داده شده است. در شکل1aنقطه  d_iاقناع کامل محدودیت iام،  p_iانحراف مجاز از محدودیت iام وB_ixمقدار محدودیت iام بر حسب جوابxاست. همان‌طور که مشاهده می‌شود، اگر مقدار محدودیت کوچک‌تر ازd_i باشد، درجه اقناع محدودیت، کامل (برابر یک) است و اگر مقدار محدودیت بزرگ‌تر از d_i+p_i باشد این مقدار برابر صفر خواهد بود. همچنین اگر مقدار محدودیت در فاصله[d_i,d_i+p_i] قرار گیرد، درجه اقناع محدودیت را می‌توان از تشابه مثلث‌های ترسیم شده در نمودار به دست آورد.

    (17)

برای فرموله سازی محدودیت‌های بزرگ‌تر یا مساوی نیز می‌توان به طریق مشابه عمل کرد. تابع عضویت محدودیت‌های بزرگ‌تر یا مساوی و محدودیت مساوی به ترتیب در شکل های1b و1c ارائه شده است.

متغیر _iλ را به شکل زیر تعریف می‌کنیم:

(18)         

λ بیانگر درجه اقناع محدودیت iام است، که سعی در ماکزیمم کردن آن داریم. حال متغیر λ  را به شکل زیر تعریف می‌کنیم:

 بنابراین مدل برنامه ریزی خطی مسأله فوق به شکل زیر تبدیل خواهد شد:

                   (19)        

البته می‌توان مجموع موزون درجه عضویت‌ها را نیز ماکزیمم کرد، یعنی:

 (20)   

در نظر گرفتن مینیمم درجه عضویت‌ها و یا میانگین موزون آنها در تابع هدف ممکن است منجر به جواب مناسبی نشود. در واقع جواب حاصل کارایی بالایی ندارد (لیا و هوانگ^[18]، 1993 اوزکاراهان^[19]،  2007، ورنرز^[20]، 1998، لی و زانگ، 2006). روش‌های گوناگونی برای ساختن تابع هدف مدل وجود دارد که برای بررسی آنها می‌توان به مراجع (لیو هوانگ، 1994، سلیم و اوزکاراهان، 2007، ورنرز، 1998، لی و زانگ، 2006) مراجعه نمود.

شکل 1- نمایش محدودیت‌های فازی

در این مقاله از رویکرد دیگری استفاده می‌شود که TH methodنام دارد. با توجه به بررسی‌های انجام شده توسط ترابی و حسینی، استفاده از روشTHmethod جواب‌های کاراتری را در پی خواهد داشت. در این روش به جای ماکزیمم کردن مینیمم درجه عضویت‌ها، ترکیب محدبی از مجموع موزون درجه عضویت‌ها و مینیمم درجه عضویت‌ها ماکزیمم می‌شود.با توجه به رویکرد فازی- استوار ارائه شده، مدل قطعی به صورت زیر خواهد بود.

4 -کاربرد مدل

4-1- تعریف مساله

در این قسمت مدل ارائه شده را برای مکان یابی چندین انبار در سطح شهر شیراز به کار می‌بریم. یک کارخانه لبنیاتی محصولات گوناگون از قبیل ماست، بستنی، شیر و دیگر فرآورده‌ها را تولید و آنها را در سطح شهر شیراز توزیع می‌کند. در اینجا فرآورده‌های لبنی به عنوان محصولات در نظر گرفته شده‌اند.

اما نکته بسیار مهمی که باید به آن توجه کرد این است که انتقال فرآورده‌های لبنی نسبت به سایر محصولات مصرف سوخت و انرژی بالاتری دارد. در انتقال این محصولات از یک طرف باید سوخت مصرفی برای حمل و نقل و از طرف دیگر انرژی مصرفی برای پایین نگه داشتن دمای محصولات را در نظر گرفت. یعنی استفاده از ماشین‌های یخچال دار برای حمل و نقل محصولات باعث افزایش مصرف سوخت و انرژی می‌گردد و به همین دلیل نیز تابع هدف دوم برای مینیمم کردن سوخت مصرف شده در نظر این هفت مکان با توجه به شرایط موجود و امکانات مورد نیاز انتخاب شده‌اند. با توجه به توزیع این نقاط، هزینه ثابت استقرار در این مراکز متفاوت است. 35 خرده فروش در سطح شهر با این انبارها در ارتباط هستند. این 35 خرده فروش از مهم‌ترین مراکزی هستند که سهم قابل توجهی از فروش را به خود اختصاص می‌دهند. هدف تعیین این است که در چند مکان و کدام یک از آنها انبار دایر شود و همچنین، تعیین میزان محصولاتی است که از هر انبار به خرده فروش‌ها منتقل می‌شود، به طوری که هزینه‌های توزیع و همچنین، هزینه‌های سوخت مصرف شده مینیمم گردد. تقاضای هر یک از خرده فروش‌ها در جدول1 ارائه شده است. به علت در دست نبودن بعضی از اطلاعات مربوط به هزینه‌های توزیع و حمل و نقل اعداد مربوط به آنها به شکل تقریبی، تخمین زده شد و در مدل جایگذاری شده است. شایان ذکر است که این اعداد با توجه به دامنه تغییرشان به شکل تصادفی تولید شدند.

4-2- ارزیابی مدل ویافته‌ها

برای ارزیابی مدل ارائه شده، ابتدا مدل قطعی و مدل فازی-استوار را جداگانه با استفاده از داده‌های قسمت پیش حل می‌کنیم. برای حل مدل از نرم‌افزار GAMS استفاده شده است. حال باید برای حالات گوناگون عملکرد این دو بردار جواب را با هم مقایسه کنیم. بدین منظور، ابتدا پارامترهایی را که غیر قطعی هستند، به شکل تصادفی در بازه مربوطه تولید می‌کنیم. بازه مورد نظر بازه‌ای متقارن در اطراف داده‌های اسمی است که شعاع همسایگی -استوار در آن همان Gρاست. توجه شود که در بازه فوق اعداد به شکل یکنواخت تولید می‌شود. شایان ذکر است که تلرانس محدودیت‌های فازی نیز به شکل تصادفی تولید شده و در نتیجه محدودیت فازی به یک محدودیت قطعی تبدیل می‌شود. حال بردارهای جواب را در مدلی قرار می‌دهیم که پارامترهای آن همان اعداد تصادفی تولید شده، هستند؛ یعنی در این مدل هم بردارهای جواب و هم پارامترها ثابت هستند.

جدول 1- تقاضای محصولات

این پارامترها و تلرانس محدودیت‌ها، 5 بار به شکل جداگانه برای سطوح گوناگون عدم قطعیت تولید شده و مدل را 5 بار برای جواب قطعی و 5 بار برای جواب فازی حل می‌کنیم. متغیرهای این مدل شامل متغیرهای صفر و یک و متغیرهای کمکی مانند متغیرهایی که برای محاسبه هزینه سوخت به کار می‌روند، است. در واقع، حل هر یک از این مدل‌ها یک آزمایش است که باید برای معیارهایی که در ادامه آمده است با هم مقایسه شوند. نتایج حاصل از حل مدل در جداول 3و4 ارائه شده است. جدول 3 نتایج مدل را در حالتی نشان می‌دهد که پارامترهای آن قطعی هستند و جدول 4 نتایج را برای حالتی که پارامترها غیر قطعی هستند ارائه می‌کند. میانگین و انحراف استاندارد کل هزینه‌ها تحت آزمایشات گوناگون، دو معیاری است که برای مقایسه مدل‌های قطعی و فازی-استوار به کار می‌رود. جدول 2 مقادیر این دو معیار را برای مدل‌های گوناگون نشان می‌دهد.

جدول2- نتایج حاصل از آزمایشات گوناگون برای مدل قطعی و فازی-استوار با تغییر سطح عدم قطعیت

جدول 3-  نتایج حاصل از حل مدل در شرایط قطعی     جدول 4- نتایج حاصل از حل مدل در شرایط غیرطعی

4-3-بحث

همان‌طور که در جدول 2 مشاهده می‌شود، میانگین مجموع توابع هدف تحت آزمایش‌های گوناگون برای مدل فازی-استوار و مدل قطعی به یکدیگر نزدیک است. در بعضی موارد میانگین تابع هدف مدل غیر قطعی بیشتر است و در بعضی از موارد برعکس. اما انحراف استاندارد مدل فازی-رباست، همواره و به ازای سطوح عدم قطعیت گوناگون از مدل قطعی کمتر است. این مهم‌ترین ویژگی مدل فازی-استوار است. یعنی تغییرات مدل فازی-استوار در برابر تغییرات اجزاء گوناگون مدل، کمتر از تغییرات مدل قطعی خواهد بود. یکی از مهم‌ترین پارامترهای این مدل سطوح عدم قطعیت است. فرض کنیدρ _c =ρ _e =ρ. شکل2 تغییرات هزینه کل را در برابر تغییرات پارامتر ρ نشان می‌دهد.

شکل 2- تغییرات هزینه کل به ازای تغییر سطح عدم قطعیت

شکل 3- تغییرات هزینه سوخت با ازای افزایش گام پله‌ها

شکل 4- تغییرات هزینه سوخت به ازای تغیر سطح مصرف مجاز سوخت