مقدمه

در سالهای اخیر به علت افزایش نگرانی‏های زیست  محیطی و وضع قوانینی در این زمینه از سوی دولت‏ها، همچنین محدودیت منابع تولیدی، توجه روزافزونی را به سمت زنجیره تأمین با حلقه بسته از سوی محققان شاهد هستیم؛ به‌ طوری که صدها پژوهش در این زمینه در مجله‏های معتبر عملیاتی و مدیریتی به چاپ رسیده‌است (روبیوو[1] و همکاران، 2008). علاوه براین، زنجیره تأمین با حلقه بسته در صنعت نیز بسیار به‌کار گرفته شده ‌است. در ایالات متحده 73000 شرکت و مؤسسه به نوعی از زنجیره تأمین با حلقه بسته بهره می‌برند (گاید[2] و همکاران، 2000).

در بسیاری از صنایع، تولیدکنندگان قطعات یدکی (OEM[3]) به خوبی از مزایای بازیافت و بازتولید بهره می‌برند، زیرا این گونه شرکت‏ها دانش بیشتری نسبت به بازار و محصول دارند. همچنین، شرکت‏های فعال در این زمینه قادرند به‌طور همزمان به فعالیت‏های تولید و بازتولید، با هدف بهینه‌سازی ارزش کل زنجیره (حلقه بسته) بپردازند (شی[4] و همکاران، 2011). برای مثال، شرکت کداک[5] دوربین‏های یکبار مصرف استفاده‌ شده را برای استفاده مجدد، از مشتریان (بازار) جمع‌آوری می‌کند (آراس[6] و همکاران، 2006). استراتژی‏های مشابه بسیاری را می‌توان در صنایع مختلف مشاهده ‌کرد؛ از جمله صنایع پرینتر، ماشین های الکترونیکی و قطعات ماشین (آراس و همکاران، 2006 و کیم[7] و همکاران، 2006). بازتولید محصولات استفاده شده و برگرداندن آنها به بازار، نه‌ تنها برای محیط زیست و مشتریان سودآور است، بلکه هزینه‌های تولید را نیز کاهش خواهد داد.

برای پیاده سازی یک سیستم حلقه بسته، چالش‌های بسیاری برای برنامه‌ریزی، پیش روی شرکت ها خواهد بود که اولین آنها تأمین تقاضاست. در این سیستم دو راه برای تأمین تقاضا وجود دارد: یکی تولید محصول با استفاده از مواد خام و دیگری بازتولید محصولات مستعمل (استفاده مجدد از قطعات سالم و تعویض قطعات معیوب). دومین چالش عدم قطعیت است؛ یعنی تقاضا و برگشت هر دو دارای عدم قطعیت هستند. سومین چالش، ظرفیت است. معمولاً ظرفیت تولید و بازتولید محدود است. هنگامی‌که ظرفیت محدود است، دستیابی به سیاست تخصیص بهینه دشوار خواهد بود. به‌علاوه، کیفیت و زمان بازتولید محصولات برگشتی (مستعمل) کاملاً غیر قطعی است (شی و همکاران، 2011). گایدو و سنهو (2001) مدلی پیشنهاد می‌دهند که در آن برنامه‌ریزی جمع‌آوری محصولات برگشتی جریان برگشت را کنترل می‌کند؛ به‌طوری‌که تولید کننده بر طبق برنامه ریزی صورت گرفته کیفیت و میزان برگشت را کنترل می‌کند. به این ترتیب، از عدم قطعیت کیفیت، کمیت و همچنین، زمان بازتولید کاسته خواهد شد.

در دهه‌های اخیر، در خصوص جنبه‌های بسیاری از زنجیره تأمین با حلقه بسته (CLSC) تحقیق شده است. از جمله پیش‌بینی، برنامه‌ریزی تولید، کنترل موجودی، مدیریت و مکان‌یابی. در این تحقیق، هدف یافتن یک توازن[8] بین حداکثرسازی سود کل و حداقل‌سازی استفاده از مواد خام است که در آن جنبه‌های جمع‌آوری محصولات مستعمل، برنامه‌ریزی تولید و کنترل موجودی در نظر گرفته شده‌است.

هنگامی که فعالیت‏های تولید و بازتولید در یک سیستم حلقه‌بسته می‌گنجند، اصلی‌ترین چالش، هماهنگی بین فرآیندهای تولید و بازتولید است. وندرلان[9] و همکاران (1999)، مدلی برای برنامه‌ریزی تولید و کنترل موجودی یک سیستم حلقه بسته پیشنهاد داده‌اند که در آن فعالیت‏های تولید و بازتولید، همزمان در نظر گرفته شده‌اند. کلیه محصولات (تولید شده و بازتولید شده) می‌توانند برای برآورده سازی تقاضای مشتریان استفاده شوند. آنها دو استراتژی کنترل را بررسی کرده اند: استراتژی فشاری که در آن کلیه محصولات برگشتی در اولین فرصت بازتولید می‌شوند و استراتژی کششی که در آن کلیه محصولات برگشتی تا جایی که امکان دارد دیرتر بازتولید می‌شوند (تا زمانی‌که تقاضا نداشته باشند، تولید نمی‌شوند). ایندرفورت[10] (2004)، به بررسی حالت‏های بهینه یک سیستم ترکیبی تولید و بازتولید پرداخته‌است که در آن محصولات نو می‌توانند در هنگام کمبود، جایگزین محصولات بازتولید شده شوند.

زو[11] و همکاران (2006)، یک سیستم ترکیبی تولید و بازتولید پیشنهاد کرده‌اند که در آن به ‌وسیله تئوری کنترل و شبیه سازی، عملکرد پویای سیستم ترکیبی تجزیه و تحلیل می‌شود. آراس و همکاران (2006)، به معرفی یک چارچوب مدل‌سازی برای تجزیه و تحلیل استراتژی‌های توالی (تقدم و تأخر) و هماهنگی بین تولید و بازتولید در یک سیستم هیبریدی پرداخته‌اند. کیم و همکاران (2006)، یک مدل عدد صحیح (MIP) چند دوره‌ای و چند محصولی ارائه کرده‌اند که در آن محصولات برگشتی برای بازتولید دمونتاژ می‌شوند. در مدل آنها تولید کننده برای تأمین قطعات دو انتخاب دارد: انتخاب اول شامل درخواست قطعه از تأمین کنندگان سطح بالاتر و انتخاب دوم انجام تعمیرات اساسی بر روی محصولات مستعمل و استفاده مجدد از آنهاست. لیکنس و وندال[12] (2007)، یک مدل عدد صحیح جایابی تسهیلات را در حوزه لجستیک معکوس بسط دادند. نقطه قوت مدل آنها ارتباط قیمت محصولات با زمان بود.

چوی[13] و همکاران (2007)، یک مدل توأم EOQ و EPQ برای کنترل موجودی در یک سیستم حلقه بسته ارائه داده‌اند که در آن تقاضا می‌تواند از طریق خرید محصولات نو یا بازتولید محصولات مستعمل ارضا شود. روبیو و کرومیناس[14] (2008)، یک سیستم لجستیک معکوس را در محیط تولید ناب بررسی کرده‌اند. آنها به تجزیه و تحلیل هماهنگی ظرفیت بین تولید و بازتولید پرداخته و به یافتن سیاست بهینه برای این گونه سیستم‏ها پرداخته‌اند.

در یک سیستم حلقه بسته، تولیدکننده علاوه بر ایجاد هماهنگی در فرآیند تولید، باید به ایجاد توازن در عدم قطعیت تقاضا و برگشت نیز توجه داشته باشد. از جمله مواردی که باعث ایجاد پیچیدگی در سیستم‌های بازتولید می‌شوند، می‌توان به ایجاد توازن بین تقاضا و برگشت و همچنین، عدم قطعیت در کیفیت و کمیت محصولات برگشتی اشاره کرد (گاید، 2003). فلشمن[15] و همکاران (2002)، به تجزیه و تحلیل مسأله کنترل موجودی در سیستم‌های حلقه بسته پرداخته‌اند. آنها فرض کرده‌اند که تقاضا و برگشت به یکدیگر وابسته نبوده و از توزیع پواسون پیروی می‌کنند. فلشمن و کویک[16] (2003)، بر روی کنترل موجودی در یک مدل لجستیک معکوس مطالعه کرده‌اند که در آن با استفاده از فرایند مارکوف به بررسی تأثیر میزان برگشت محصول بر روی برنامه بهینه موجودی می‌پردازند. ایندرفورت[17] (2005)، چالش‌های بازیافت محصول در یک سیستم حلقه بسته را مطالعه و نشان داده است که توازن فعالیت‏های تولید، بازیافت و معدوم کردن محصولات باید با در نظر گرفتن عدم ‌قطعیت تقاضا و برگشت صورت گیرد.

گاید و ون‌وسنهو[18] (2001)، چهارچوبی برای تحلیل جذابیت‏های اقتصادی بالفعل بازتولید محصولات ارائه کردند. نتایج تجربیات آنها نشان می‌دهد که بهتر است هنگام جمع‌آوری محصولات مستعمل به کیفیت آنها توجه شود. همچنین، مدیریت برگشت محصولات مستعمل می‌تواند به عنوان اصلی‌ترین ابزار برای کنترل میزان برگشت استفاده شود. گاید و همکاران (2003)، سیستم بازتولیدی پیشنهاد می‌کنند که در آن کیفیت و کمیت محصولات برگشتی به قیمت برگشت (قیمت خرید محصولات مستعمل از بازار) بستگی دارد. آنها برای ارزیابی مدل خود، از صنعت تلفن همراه استفاده کرده‏اند.

دوبوس و ریشتر[19] (2006)، یک مدل جامع تولید-بازیافت ارائه کردند که در آن هدف حداقل سازی هزینه کل بود. نتایج آنها حاکی از این امر است که بهتر است تولید کننده تنها محصولاتی را که قابل بازیافت و بازتولید هستند، جمع‌آوری کند. کو و ویلیامز[20] (2008)، برای مدل‌سازی مسأله برنامه‌ریزی تولید معکوس و قیمت- گذاری در صنعت اتومبیل سازی، یک مدل غیرخطی پیشنهاد می‌دهند که در آن میزان برگشت محصولات مستعمل تابعی از قیمت برگشت محصولات است. به‌علاوه، قیمت برگشت نیز براساس هزینه‌های تولید و میزان پیش‌بینی شده برای قیمت فروش محصولات بازتولید شده، تعیین می‌شود. لیانگ[21] و همکاران (2009)، مدلی برای ارزیابی قیمت برگشت محصولات مستعمل ارائه داده‌اند.

مدیریت برگشت محصولات مستعمل، ابزار شناخته شده و کارایی در برای کنترل عدم قطعیت کیفیت، کمیت و زمان‌بندی میزان برگشت محسوب می‌شود، ولی هنوز خلأهایی در زمینه چگونگی تجمیع آن با برنامه‌ریزی تولید و فعالیت‌های دیگر زنجیره تأمین حلقه بسته وجود دارد (شی و همکاران، 2011).

در بین سال های 1995 تا 2005 بیش از 180 پژوهش در زمینه زنجیره تأمین حلقه بسته منتشر شده‌است (روبیو و همکاران، 2008). سیستم‏های حلقه بسته شامل: ورودی، فرآیند، ساختار و خروجی می‌شوند که همگی آنها به‌طور جداگانه بررسی شده‌اند. امّا اکثر مدل های ریاضی موجود در این زمینه، قطعی بوده و توجه کافی به ذات غیرقطعی تقاضا و برگشت در این‌گونه مسائل صورت نگرفته‌است (پوخارل و موتا[22]، 2009). برای حداکثرسازی سود بخشی زنجیره تأمین حلقه بسته، مدلی جامع لازم و ضروری است. از سوی دیگر، هنگامی‌که جنبه‏های مختلف در یک مدل تجمیع می‌شوند، حل آن بسیار پیچیده می‌شود. بنابراین، ارائه یک رویکرد حل کارا برای مدل جامع بسیار ضروری است. شی و همکاران (2011)، به ارائه یک مدل حلقه بسته برنامه‌ریزی تولید چند محصولی پرداختند که در آن میزان تقاضا و برگشت به صورت غیرقطعی بوده و همچنین، میزان و کیفیت محصولات برگشتی تابعی بر حسب قیمت برگشت در نظر گرفته شده ‌است. در این مدل، تولید کننده توانایی تعیین قیمت برگشت محصولات و همچنین، کیفیت محصولات برگشتی را داراست. آنها برای حل این مدل، رویکرد آزادسازی لاگرانژ را پیشنهاد می‌دهند که روش خوبی برای یافتن جواب نزدیک بهینه به نظر می‌رسد. طاهری‌مقدم و صحرائیان (1391)، به حل مدل ارائه شده دیگری (شی و همکاران، 2011) با رویکرد الگوریتم ژنتیک پرداخته و با این رویکرد، کیفیت جواب را بهبود بخشیدند.

با توجه به اینکه یکی از مهمترین اهداف شکل گیری زنجیره تأمین حلقه بسته، جلوگیری از تخریب محیط زیست و بازیافت محصولاتِ استفاده ‌شده است (روبیو[23] و همکاران، 2008)، ارائه مدلی که در آن به این امر بیشتر پرداخته‌ شود، لازم به نظر می‌رسد. در این مقاله، تابع هدف دوم برای حداقل سازی استفاده از مواد خام در نظر گرفته شده ‌است. مدل پیشنهادی، بسط یافته مدل ارائه شده (شی و همکاران، 2011) است و برای حل آن از رویکرد (طاهری‌مقدم و صحرائیان، 1391) استفاده شده‌ است.

نتایج حاصله حاکی از این امر است که با رویکرد حل مورد نظر، جواب‏های بهینه پارتو به خوبی پیدا شده و اطلاعات مفیدی در اختیار تصمیم گیرنده قرار خواهد گرفت. این اطلاعات برای تصمیمات سطح استراتژیک بسیار مفید خواهد بود.

ساختار این مقاله به این صورت است: در قسمت بعد به معرفی مدل و مفروضات آن پرداخته می‌شود. در قسمت سوم مدل معرفی شده به صورت برنامه‌ریزی غیر خطی مدل سازی می‌شود.  در قسمت چهارم به معرفی رویکرد حل پرداخته شده است. در قسمت پنجم برای ارزیابی و تحلیل بیشتر مدل و رویکرد حل، یک مثال عددی حل شده و نتایج آن با رویکردهای دیگری که برای مسأله مشابه استفاده شده‌اند، مقایسه می‌شود. همچنین، بر روی پارامترهای حیاتی آن تحلیل حساسیت صورت گرفته و عملکرد مدل در ابعاد مختلف نیز بررسی می‌شود. قسمت پایانی نیز به نتیجه گیری و پیشنهاد برای تحقیقات آتی اختصاص داده شده ‌است.

1- معرفی مدل

مدل پیشنهاد شده در این مقاله، یک مدل برنامه‌ریزی تولید تک دوره‌ای برای یک سیستم حلقه بسته است، که در آن تقاضا و برگشت غیرقطعی است. از جمله کاربردهای این مدل می‌توان به محصولات با طول عمر کم اشاره کرد، مانند: دوربین‌های یکبار مصرف، کارتریج‌های پرینتر و دستگاه کپی و قطعات کامپیوتر.

در این مدل فرض می‌شود فرآیند تولید انعطاف پذیر بوده و تولیدکننده قادر است محصولات مختلف را تولید یا بازتولید نماید. در فرآیند بازتولید، محصولات مستعمل از دارندگان آنها خریداری شده و در موجودی‏های بازیافتی ذخیره خواهد شد. سپس به ترتیب سفارش‏ها، محصولات مستعمل وارد سایت تولیدی می‌شوند. در سایت تولیدی محصولات مستعمل دمونتاژ و بازرسی شده و اجزایی که عملکرد خوبی دارند، مجدداً استفاده می‏شوند. این درحالی است که اجزای با کیفیت پایین‏تر تعمیر یا تعویض می‌شوند. پس از فرایند بازتولید، محصولات برگشتی مانند محصولات نو فرض شده و به همراه محصولات نو در موجودی محصولات برای فروش قرار خواهند گرفت. معمولاً مقدار محصولات بازتولید شده کمتر از مقدار تقاضاست و به همین دلیل تولید کننده مجبور خواهد بود محصولاتی را نیز با استفاده از مواد خام تولید کند. این مدل یک مدل ترکیبی تولید/بازتولید محسوب می‌شود و محققان مدل‏های مشابهی نیز برای آن پیشنهاد داده‏اند. از جمله آنها می‌توان به وندرلان و همکاران (1999)، آراس و همکاران (2006)، کیم و همکاران (2006) و چویی و همکاران (2007) اشاره کرد.

مفروضات مدل به شرح زیر است:

• بین محصولات نو و محصولات بازتولید شده تفاوتی وجود ندارد و این محصولات با هم و با یک قیمت عرضه می‌شوند (شی و هکاران، 2011؛ آراس و همکارارن، 2006 و وندرلان و همکاران، 1999).
• کلیه محصولات برگشتی را می‏توان بازتولید کرد (شی و همکاران، 2011؛ وندرلان و همکاران، 1999 و لیانگ و همکاران، 2009).
• تقاضای محصولات مختلف احتمالی بوده و به یکدیگر وابسته است (شی و همکاران، 2011).
• مقدار برگشت وابسته به قیمت است و احتمالی است. همچنین، رابطه بین مقدار برگشت و قیمت برگشت محصولات مستعمل، معلوم بوده و از این رابطه به‌ دست می‌آید: a_i+b_iPr_i+u_i که در آن Pr_i قیمت برگشت محصول i بوده و u_i عددی تصادفی است که از توزیع N(µ_i^r,(σ_i^r)²) تبعیت می‌کند. در این مقاله µ_i^r=0 در نظر گرفته شده‌است. به‌علاوه a_i≥0 و b_i>0 است (شی و همکاران، 2011).
• هزینه بازتولید شامل هزینه صرف شده برای برگشت محصولات است ولی هزینه‌های دمونتاژ، بازرسی، تضمین کیفیت، تعمیر، بازتولید، هزینه قطعاتی که باید تعویض ‌شوند و سایر هزینه‌های مدیریتی را شامل می‌شود (شی و همکاران، 2011).
• هزینه تولید محصول جدید شامل هزینه‌های تولید، مواد خام و قطعات، مونتاژ و سایر هزینه‌های مدیریتی است (شی و همکاران، 2011).
• به دلیل اینکه این مدل تک دوره‌ای است، میزان تقاضا و برگشت از یکدیگر مستقل فرض می‌شود (شی و همکاران، 2011).

در رابطه خطی بین میزان برگشت و قیمت برگشت که پیشنهاد شده است (باکال و آکالی[24]، 2006)، قیمت بازیافت بسته به خصوصیات محصول ممکن است مثبت یا منفی باشد ولی از آنجا که در این مقاله فرض شده‌است که تولیدکننده تنها محصولات بازتولیدی را برمی گرداند، قیمت بازیافت مثبت فرض می‌شود (شی و همکاران، 2011).

2- مدل سازی

اندیس‌ها و پارامترهای مدل به صورت زیر تعریف می‌شوند:

i (1، ...، I) : اندیس محصولات

پارامترها:

p_i: قیمت فروش محصول i

cp_i: هزینه تولید هر واحد محصول i

g_i: هزینه کمبود موجودی هر واحد محصول نو i

s_i: هزینه مازاد هر واحد محصول i

cr_i: هزینه بازتولید محصول برگشتی i، که معمولاً کمتر از cp_i است.

vr_i: هزینه کمبود هر واحد محصول برگشتی i

hr_i: هزینه مازاد هر واحد محصول برگشتی i

ms_i: میزان منبع مصرفی برای تولید هر واحد محصول i

rs_i: میزان منبع مصرفی بازتولید یک واحد محصول برگشتی i که معمولاً کمتر از ms_i است.

µ_i^d: میانگین تقاضای محصول i

σ_i^d: انحراف معیار تقاضای محصول i

f_i^d(D_i) , F_i^d(D_i): تابع توزیع تجمعی و تابع چگالی توزیع تقاضای محصول i

µ_i^r: میانگین قسمت تصادفی برگشت u_i

σ_i^r: انحراف معیار قسمت تصادفی برگشت u_i

f_i^r(u_i) , F_i^r(u_i): تابع توزیع تجمعی و تابع چگالی توزیع قسمت تصادفی برگشت u_i

متغیرهای تصمیم:

Q_i: کل تولید و بازتولید محصول i

Xp_i: میزان تولید محصول i

Pr_i: قیمت برگشت هر واحد محصول مستعمل i

Xr_i: میزان بازتولید محصول i

برای مدل‌سازی مسأله، ابتدا فرمولی برای تخمین هزینه بازتولید با در نظر گرفتن عدم قطعیت ارائه می‌شود. در ابتدای دوره تولید کننده مقدار بازتولید و هزینه‌های بازیافت محصولات مستعمل را تعیین می‌کند. اگر مقدار واقعی برگشت محصول i از مقدار مورد نظر کمتر باشد، باید هزینه کمبود در نظر گرفته شود. این امر به این خاطر است که وقتی تولید کننده با کمبود محصولات مستعمل مواجه می‌شود، مجبور خواهد بود از کیفیت محصولات برگشتی بکاهد و یا قیمت برگشت محصول را بالا ببرد تا میزان محصولات برگشتی افزایش یابد، در غیر این صورت باید محصولات نو بیشتری تولید کند. تمامی این راه‏حل‌ها هزینه خواهند داشت و هزینه آنها در هزینه کمبود محصولات مستعمل گنجانده می‌شود. باید توجه داشت که جمع هزینه‌های کمبود محصولات مستعمل و هزینه بازتولید، نباید از هزینه تولید بیشتر شود، در غیر این صورت تولید کننده مایل به بازتولید نخواهد بود. vr_i+cr_i>cp_i .

همچنین، اگر مقدار واقعی برگشت، از مقدار پیش بینی شده آن بیشتر باشد، هزینه‌های مازاد موجودی خواهیم داشت. هزینه مازاد هر واحد محصول مستعمل i، (hr_i) شامل هزینه موجودی، هزینه سرمایه گذاری و سایر هزینه‌های دور ریز محصولات است.

بنابراین، کل هزینه بازتولید محصول مستعمل i از رابطه زیر به دست می‏آید:

 با استفاده از روش «شی و همکاران» (2011)، برای سهولت در مدل‌سازی، متغیر جدیدی تعریف می‌کنیم: z_i=Xr_i-R(Pr_i)، بنابراین، فرمول قبلی به فرمول زیر تبدیل می‏شود:

در فرمول بالا اگر z_i<u_i باشد، کمبود و اگر z_i>u_i باشد مازاد خواهیم داشت.

با استفاده از هزینه بازتولید که در بالا محاسبه شد، می‌توان امید ریاضی هزینه بازتولید محصول i را به صورت زیر محاسبه کرد:

 بنابراین، مدل برنامه‌ریزی تولید دو هدفه حلقه بسته پیشنهادی به صورت زیر خواهد بود:

(1)

(2)        

                     Subject to:

(3)

(4)  

(5)        

(6)           

(7)   

تابع هدف اول حداکثر سازی سود کل است که در آن عبارت اول برابر است با امید ریاضی کل عایدی منهای هزینه مازاد، به شرطی که میزان تولید کل از تقاضای واقعی بیشتر باشد. عبارت دوم امید ریاضی کل عایدی منهای هزینه کمبود موجودی است، به شرطی که مقدار کل تولید از تقاضای واقعی کمتر باشد. عبارت سوم هزینه تولید محصولات نو است. چهار عبارت بعدی نیز امید ریاضی کل هزینه‌های بازیافت و بازتولید محصولات مستعمل است.

تابع هدف دوم باعث خواهد شد که میزان بازتولید حداکثر شده و میزان استفاده از مواد خام تا حد ممکن کاسته شود. در مخرج کسر، یک عدد بسیار کوچک اضافه شده تا از صفر شدن مخرج و در نتیجه مبهم شدن کسر جلوگیری شود.

محدودیت (3) محدودیت ظرفیت تولید کننده برای تولید و بازتولید است. محدودیت (4) تضمین می‌کند که میزان کل تولید برابر با مجموع تولید محصولات نو و مستعمل خواهد بود. محدودیت (5) باعث می‌شود میزان بازتولید هیچ یک از محصولات کوچکتر از صفر نشود. محدودیت (6) برای محدود کردن بازه z_i به‌کار می‌رود. البته، در این مقاله A_i=+∞  و B_i=-∞ در نظر گرفته شده‌اند. محدودیت (7) نیز برای تعیین نوع متغیرها (غیر منفی) استفاده می‌شود.

3-  رویکرد حل

مدل ارائه شده، یک مدل برنامه ریزی غیر خطی با پیچیدگی بالا (NP-hard) است (شی و همکاران، 2011). به همین دلیل حل آن مشکل بوده و به الگوریتم‌های ابتکاری و فرا ابتکاری نیاز است. شی و همکاران (2011)، برای مدل تک هدفه مشابه (تابع هدف اول در این مدل) روش آزادسازی لاگرانژ^[25] را پیشنهاد داده‌اند. طاهری مقدم و صحرائیان (1391)، برای همان مدل تک هدفه الگوریتم ژنتیک را پیشنهاد کرده و کیفیت جواب شی و همکاران (2011) را بهبود بخشیده‌اند. به همین دلیل، برای حل مدل ارائه شده در این مقاله، از رویکرد ترکیبی الگوریتم ژنتیک و روش E.C^[26] (ماوروتاس^[27]، 2009) استفاده می‌شود. روش E.C روشی کارا برای یافتن نقاط بهینه پارتو در مسائل چند هدفه است. در ادامه، به توضیح رویکرد الگوریتم ژنتیک پیشنهادی و تعیین پارامترهای آن پرداخته و پس از آن مدل ترکیبی توضیح داده می‌شود.

4-1- الگوریتم ژنتیک

اولین قدم در الگوریتم‌های ابتکاری و فرا ابتکاری شیوه نمایش جواب‏ها^[28] ست. در الگوریتم ژنتیک برای نمایش جواب‌ها از کروموزوم استفاده می‌شود. در الگوریتم پیشنهادی، کروموزوم‏ها به صورت برداری از اعداد هستند که درایه اول معرف مقدار تابع هدف به ازای جواب مورد نظر بوده و درایه‌های بعدی به ترتیب Xpi، Pri و Xri هستند. تعداد جمعیت اولیه در این الگوریتم 10 انتخاب شده‌است؛ یعنی ابتدا به تعداد 10 جواب شدنی به صورت تصادفی تولید می‌شود. سپس برای تغییر جمعیت اولیه و یافتن جواب‏های بهتر از سه مرحله عبور می‌شود.

در مرحله اول کروموزوم‏های جواب اولیه را دو به دو به عنوان والدین در نظر گرفته‏، با احتمال 5/0 هر یک از درایه‌های آنها با یکدیگر تعویض می‌شوند. به عبارت دیگر، برای هر درایه یک بار یک عدد تصادفی با توزیع برنولی و احتمال پیروزی 5/0 تولید کرده و اگر این عدد برابر با 1 بود، درایه مورد نظر را در والدین جا به جا می‌کنیم (بجز درایه اول که مقدار تابع هدف است و باید محاسبه شود). در این مرحله دقیقاً 10 فرزند تولید می‌شود.

در مرحله دوم به ازای هر یک از فرزندان تولید شده در مرحله قبل یک عدد تصادفی برنولی با 3/0=p تولید می‌شود و اگر مقدار آن 1 بود، یکی از درایه‌های فرزند مورد نظر را با یک عدد تصادفی طوری تعویض می‌نماییم که یک جواب شدنی حاصل شود. در این مرحله حداکثر 10 فرزند دیگر تولید خواهد شد.

در مرحله سوم با احتمال 3/0 تمامی درایه‌های همجنس را در فرزندان مرحله اول، به صورت تصادفی طوری تغییر می‌دهیم که یک جواب شدنی تولید شود (برای مثال، تمامی Xpi ها را برای یکی از فرزندان تغییر می‌دهیم). در این مرحله نیز حداکثر 10 جواب جدید تولید می‌شود. در مرحله آخر، یک عدد تصادفی (2/0و10)B^[29] تولید کرده و به اندازه آن عدد، جمعیت تصادفی شدنی تولید می‌شود. برای مثال، اگر متغیر تصادفی مورد نظر برابر با عدد 4 گردید، 4 جواب تصادفی تولید کرده و در مجموعه فرزندان قرار می‌دهیم. در این مرحله نیز حداکثر 10 جواب جدید تولید می‌شود.

پس از تولید فرزندان، مقدار تابع هدف را برای کلیه فرزندان تولید شده محاسبه می‌کنیم. سپس شدنی بودن جواب‌ها را بررسی کرده و اگر جوابی نشدنی بود، مقدار تابع هدف آن را صفر در نظر می‌گیریم. سپس جواب‌ها را به ترتیب از بهترین جواب، به بدترین جواب مرتب نموده و اگر جوابی تکراری بود، از مجموعه جمعیت حذف می‌نماییم. پس از آن 10 جواب برتر را به عنوان جمعیت اولیه در نظر گرفته و همین مراحل را 50 بار تکرار می‌کنیم.

4-2- روش E.C

روش E.C برخی از نقاط خط بهینه پارتو را طی چند مرحله به دست آورده و در نهایت با اتصال این نقاط، خط بهینه پارتو مشخص خواهد شد. این روش با افزودن یک محدودیت به مسأله و کوچک کردن فضای جواب در هر مرحله، می‌تواند یکی از نقاط بهینه پارتو را بیابد و در مرحله بعد، محدودیت اضافه شده را برای یافتن نقطه بعدی به روز می‌کند.

برای حل مدل چند هدفه با این روش، ابتدا باید مدل را به صورت جداگانه با هر یک از توابع هدف، حل ‌نماییم. برای مثال، پس از حل مدل با تابع هدف اول و به دست آوردن جواب بهینه برای آن، مقدار توابع هدف را به ازای آن جواب محاسبه می‌کنیم. مسلماً مقدار تابع هدف دوم به ازای آن جواب بهینه نخواهد بود و آن را حد پایین تابع هدف دوم می‌نامیم (در حالت ماکزیمم سازی). البته، باید توجه داشت که این امکان وجود دارد که تابع هدف دوم مقدار کمتری به خود بگیرد، ولی امکان ندارد که آن جواب بهینه پارتو باشد؛ به دلیل اینکه مسلماً در آن جواب، مقدار تابع هدف اول از مقدار بهینه اش کمتر خواهد بود. به این ترتیب، حدود توابع هدف در خط بهینه پارتو به دست می‌آید.

در مرحله بعد یکی از توابع هدف (برای مثال، تابع هدف دوم) را حذف کرده و در محدودیت‏ها به این صورت قرار می‌دهیم:  که در آن منظور از min(OF2) همان حد پایین برای تابع هدف دوم است که در مرحله قبل به ‌دست آمد. مقدار ε از صفر شروع شده و در هر مرحله قدری افزایش می‌یابد به طوری که در مرحله آخر رابطه min(OF2)+ε=max(OF2) برقرار باشد. شایان ذکر است که جواب‏های به دست آمده در مرحله اول و آخر با جواب هایی که با حل مدل با توابع هدف به صورت مجزا به دست آمد، یکسان خواهد بود.

4-3- روش ترکیبی

در این روش بهینه سازی در هر یک از مراحل E.C با الگوریتم ژنتیک صورت می‌گیرد. به این ترتیب نقاط بهینه پارتو مدل ارائه‌ شده، به دست می‌آیند.

برای این کار ابتدا مدل، تنها با در نظر گرفتن تابع هدف اول و با استفاده از الگوریتم ژنتیک حل می‌شود. جواب حاصل را x₁ می‌نامیم که در واقع جواب تقریباً بهینه برای تابع هدف اول محسوب می‌شود. سپس مدل با در نظر گرفتن تابع هدف دوم به صورت جداگانه حل شده و جواب حاصل را x₂ می‌نامیم. به صورت مشابه x₂ جواب تقریباً بهینه برای تابع هدف دوم است. سپس به محاسبه مقادیر OF1(x₁)،OF2(x₁)، OF1(x₂)وOF2(x₂) می‌پردازیم، که در واقع همان حدود توابع هدف هستند.

در مرحله بعد تابع هدف دوم را از مدل حذف کرده، آن را به صورت زیر در محدودیت ها قرار می‌دهیم:

(8)      

که معرف محدودیت جدید در مرحله j ام است. شایان ذکر است که 5/0≥α_j≥0 و مقادیر آن به تعداد مراحلی که انتخاب می‌شود بستگی دارد. هرچه تعداد مراحل بیشتر باشد، دقت خط بهینه پارتو بیشتر بوده، و هرچه تعداد آن کمتر باشد، زودتر به خط بهینه پارتو می‌رسیم.

با توجه به اینکه هر چه مقدار j افزایش می‌یابد، فضای شدنی مسأله کوچکتر خواهد شد و لذا یافتن جواب‏های شدنی سخت‏تر می‌شود. در نتیجه، حل آن به وسیله الگوریتم ژنتیک مشکل‌تر می‌شود. به همین دلیل، نیمی از مراحل را با تابع هدف اول و نیم دیگر را با استفاده از تابع هدف دوم حل می‌نماییم. به همین علت، حداکثر مقدار α_j در مرحله قبل به جای 1 برابر با 0.5 در نظر گرفته می‌شود.  برای به دست آوردن نیمه دوم از خط بهینه پارتو، تابع هدف اول را از مدل حذف کرده و آن را به صورت زیر در محدودیت ها قرار می‌دهیم: (شایان ذکر است که در این مرحله نیز عبارت 5/0≥α_j≥0 صادق است)

(9)        

این کار باعث می‌شود الگوریتم ژنتیک راحت‌تر نقاط بهینه پارتو را پیدا کند. به عبارت دیگر، برای یافتن نیمه اول خط بهینه پارتو، مدل به صورت زیر در می‌آید:

Max OF1

Subject to (3)-(8)

برای یافتن نیمه دوم خط بهینه پارتو نیز، مدل را به صورت زیر تبدیل می‌کنیم:

Max OF2

Subject to (3)-(7) and (9)

پس از حل این دو مدل در مراحل مختلف، و اتصال نقاط به دست‌آمده به یکدیگر، خط بهینه پارتو حاصل می‌شود و می‌توان آن را برای تصمیم‌گیری در اختیار تصمیم گیرنده Decision Maker: D.M.)) قرار داد.

4- ارزیابی مدل و روش حل

در این قسمت رویکرد پیشنهادی با یک مسأله که براساس شرایط واقعی طراحی شده است (شی و همکاران، 2011)، ارزیابی شده است. سپس برای بررسی مسأله در شرایط مختلف، تحلیل حساسیت روی پارامترهای آن صورت گرفته ‌است. در انتها نیز مدل و روش حل در ابعاد مختلف بررسی می شود. شایان ذکر است، کلیه الگوریتم‌ها با نرم‌افزار MATLAB R2010a کد نویسی شده‌است. کلیه محاسبات با کامپیوتر مجهز به CPU Intel Core 2 Duo 2.40 GHz و 2 GB RAM انجام می‌شود. اگرچه مثال‏های بخش انتهایی به صورت تصادفی تولید شده‌اند، ولی سعی شده است که تولید آنها بسیار شبیه به واقعیت باشد.

5-1- مثال عددی

در این بخش، مدل مذکور براساس داده‌های یک مسأله پنج محصولیِ شی و همکاران (2011) با استفاده از الگوریتم پیشنهادی حل می‌شود. تقاضای کلیه محصولات نرمال فرض می‌شود. همچنین u_i نیز از توزیع نرمال با میانگین صفر تبعیت می‌کند. ظرفیت برابر با 32000=PC در نظر گرفته شده ‌است. سایر پارامترهای مسأله در جدول (1) ذکر شده‌است.

مسأله مورد نظر با رویکرد پیشنهادی حل شده و نتایج آن را در شکل 1 و جدول 2 می‏توان  مشاهده کرد.

5-2- حل مسأله و ارزیابی روش حل

برای ارزیابی رویکرد حل، به حل مثال عددی و مقایسه نتایج آن با سایر روش‏ها پرداخته شده‌ است. مسأله یاد شده با رویکرد پیشنهادی حل شده و خط بهینه پارتو به خوبی با این روش پیدا شده ‌است (شکل1). همچنین، مقدار متغیرهای تصمیم متناظر با پنج نقطه از خط بهینه پارتو نیز در جدول 2 می‏توان مشاهده کرد.

همان طور که ملاحظه می‌شود، خط پارتو به دست آمده می‌تواند برای تصمیم گیری بسیار مفید باشد. برای مثال، تصمیم‌گیرنده قادر خواهد بود با صرف نظر از 5/0 درصد سود بهینه، 7/276 درصد افزایش در تابع هدف دوم را شاهد باشد.

شکل1. خط بهینه پارتو

برای ارزیابی رویکرد حل، نتیجه آن را با نتایج روش‏های قبلی مقایسه می‌کنیم. مسأله مذکور (بدون در نظر گرفتن تابع هدف دوم) با رویکرد آزاد سازی لاگرانژ (شی و همکاران، 2011) و رویکرد الگوریتم ژنتیک (طاهری‌مقدم و صحرائیان، 1391) حل شده است. در اینجا قصد داریم برای مقایسه، نقطه اول از خط بهینه پارتو را (که در آن فقط تابع هدف اول در نظر گرفته شده‌است) نسبت به پاسخ های به دست آمده از طریق رویکردهای قبلی، بسنجیم. نتایج این بررسی در جدول3 آمده است. همان طور که ملاحظه می‌شود، رویکرد پیشنهادی قادر است جواب بسیار خوبی نسبت به رویکردهای قبل به دست آورد.

5-3- تحلیل حساسیت

در این بخش برای نشان دادن رفتار مدل در حالات مختلف و اتخاذ تصمیمات مدیریتی، تحلیل حساسیت بر روی ظرفیت و میزان تولید، بازتولید و قیمت برگشت هر واحد محصول برگشتی در مثال عددی ارائه شده در بخش 5-1 انجام می‌گیرد. شایان ذکر است که در تحلیل‌های صورت گرفته تنها میزان سود در نظر گرفته می‌شود.

5-3-1- سیاست تولید در ظرفیت‌های مختلف

پس از انجام تحلیل حساسیت مشاهده گردید که سیاست‏های تولید و بازتولید، در ظرفیت‌های مختلف تغییر می‌یابد (با فرض ثابت بودن سایر پارامترها). همان طور که در شکل 2 مشاهده می‏شود، با افزایش ظرفیت، میزان تولید محصولات نو نیز افزایش یافته امّا میزان بازتولید محصولات مستعمل کاهش می‌یابد. از آنجا که میزان منابع مورد نیاز برای بازتولید کمتر از منابع مورد نیاز برای تولید است، با افزایش ظرفیت، تولید کننده منابع بیشتری برای تولید در اختیار خواهد داشت و دیگر نیازی به پیشنهاد قیمت‌های بالا برای برگشت محصولات مستعمل نخواهد بود. هنگامی‌که میزان ظرفیت از 36000 بیشتر  شود، تغییری در برنامه تولید رخ نخواهد داد. این امر نشان می‌دهد که در این حالت با افزایش میزان تولید نمی‌توان میزان سود را افزایش داد و میزان سودآوری تولید و بازتولید به نقطه سربه سر خود رسیده است.

شکل2. سیاست تولید بهینه در ظرفیت‌های مختلف

5-3-2- سیاست برگشت محصولات مستعمل در ظرفیت‌های مختلف

همان طور که شکل 3 نشان می‌دهد، در ظرفیت‌های کمتر از 36000 با افزایش ظرفیت، قیمت برگشت هر واحد محصول مستعمل کاهش یافته و در ظرفیت‌های بیشتر از 36000 با افزایش ظرفیت، تغییری در قیمت برگشت هر واحد محصول مستعمل رخ نخواهد داد. دلیل این رخداد نیز دقیقاً مشابه قسمت قبل است. هنگامی‌که ظرفیت منابع بیشتر می‌شود، دیگر نیازی به پرداخت هزینه‌های اضافی برای تأمین محصولات مستعمل نخواهد بود، ولی اگر ظرفیت بیش از اندازه افزایش یابد، تأثیری در میزان سودآوری ندارد، زیرا عوامل دیگری همچون میزان تقاضا و برابر شدن هزینه‌های تولید و بازتولید مانع از افزایش سود می‌شوند.

شکل3. سیاست برگشت بهینه در ظرفیت‌های مختلف

5-4- ارزیابی مدل در ابعاد بزرگ

به منظور ارزیابی مدل و روش حل در ابعاد بزرگ، در این قسمت 150 مسأله در ابعاد مختلف 5، 10، 20، 40 و 80 محصول (هر مورد 30 مسأله) به صورت تصادفی تولید و حل می‌شود. برای به دست آوردن میزان حداکثر خطا، از روش گسترش فضای حل استفاده شده‌است. به این طریق که پس از حل مسأله، یکی از محدودیت‏ها برای بهینه سازی حذف و مسأله دوباره حل می‌شود. پس از بررسی نشدنی بودن جواب حاصل در مسأله اصلی، می‌توان نتیجه گرفت که جواب جدید یک جواب بهینه و نشدنی برای مسأله اصلی بوده و می‌توان آن را حد بالای مسأله اصلی دانست و به این طریق می‌توان حداکثر درصد خطا را محاسبه نمود. نتایج حاصل از این ارزیابی را می‏توان در جدول 4 مشاهده کرد. همان طور که ملاحظه می‌شود، عملکرد مدل و روش حل در ابعاد بزرگ، پذیرفتنی است. شایان ذکر است که حد بالای محاسبه شده از این طریق، به پارامترهای مسأله و محدودیت حذف شده بسیار وابسته است، زیرا ممکن است جواب بهینه مسأله اصلی با مسأله توسعه یافته تفاوت زیادی داشته باشد و میزان حد بالا به خوبی تخمین زده نشود.

5- نتیجه‌گیری

در این مقاله یک مسأله برنامه‌ریزی تولید دو هدفه در یک سیستم زنجیره تأمین با حلقه بسته معرفی گردید. متغیرهای تصمیم این مدل عبارتند از: میزان تولید محصولات نو، میزان بازتولید محصولات مستعمل و قیمت خرید محصولات مستعمل از بازار. توابع هدف