توسعه مدل EPQ با اعمال نگهداری و تعمیرات پیشگیرانه، محصول معیوب،کمبود و موجودی در جریان ساخت

مقدمه

مدل مقدار اقتصادی تولید EPQ یک مدل ریاضی در زمینه مدیریت موجودی در یک سیستم تولید موجودی است که به عنوان یکی از عمومی ترین مدلهای Lot-sizingدر زمینه مدیریت و کنترل موجودی‌ها در صنعت دارای کاربرد است (اوستریانگ و همکاران، 1986). این مدل را می توان توسعه‌ای از مدل مقدار اقتصادی سفارش EOQ دانست که با در نظر گرفتن نرخ تولید ثابت در مدل مقدار اقتصادی سفارش حاصل شده است (راستی و همکاران، 2011). به بیان دیگر، در صورتی که به جای خرید کالاهای مورد نیاز از تأمین کنندگان دیگر، در داخل شرکت به تولید آنها بپردازیم، غالبا از مدل مقدار اقتصادی تولید برای تعیین اندازه دسته­های بهینه تولید استفاده می­کنیم. این مدل تاکنون به منظور انطباق با بخش عملیاتی شرکت‌ها با درنظرگرفتن حالت‌های مختلفی از جمله تولید محدود شده و ظرفیتهای انبار، تولید چند سطحی، تقاضای تصادفی، تولید تک ماشینی، انجام دوباره­کاری روی محصول معیوب، در نظر گرفتن موجودی در جریان ساخت و توسعه داده شده است (ناهمیاس،1993؛ سیلور، 1981و 1998).

صرف‌نظر از سطح پذیرش قابل قبول این مدل در حوزه های صنعتی، وجود تعدادی فرضیات غیر واقعی در آن، از جمله هزینه راه اندازی، هزینه نگهداری و نرخ تقاضا که برآمده از پارامتراهای ورودی مدل هستند موجب شده است که پژوهشگران به تحقیق و بررسی بیشتر در مورد کاربردهای عملی این مدل بپردازند (جابر و همکاران،2004).

هیک و سالامه (2001) یک مدل EPQ را برای حالتی که در آن درصد کالاهای معیوب دارای توزیع یکنواخت است، توسعه داده اند. فرض‌های اصلی که در مدل آنها به کار گرفته شده است، عبارتند از : سفارش‌های عقب افتاده مجاز بوده، همه کالاهای معیوب به منظور دستیابی به کیفیت مطلوب، تحت دوباره­کاری قرار می گیرند و زمان دوباره کاری نیز در مدل در نظر گرفته شده است (هیک و سلامه،2001). چیو(2003) مدل هیک و سالامه (2001) را با الحاق این فرض توسعه داد که به جای تمامی کالاهای معیوب، تنها بخشی از آنها برای دستیابی به کیفیت مورد نظر تحت دوباره کاری قرار می­گیرند و مقادیر باقیمانده با قیمت حراج به فروش می­رسند. وی در مدل خود با در نظر گرفتن تقاضای عقب افتاده و یک نرخ تصادفی برای قطعات معیوب، ضایعات و دوباره­کاری قطعات معیوب با قابلیت دوباره­کاری، هزینه­های سیستم را کمینه کرد (چیو، 2003). شوالر (1988) درصد مشخصی از یک دسته دریافت شده را به قطعات معیوب اختصاص داد و برای تشخیص و حذف قطعات معیوب، یک عملیات بازرسی با هزینه­های ثابت و متغیر در نظر گرفت (شوالر، 1988). جمال و همکارانش (2004) مسأله مقدار اقتصادی تولید را با توجه به فرآیند دوباره­کاری برای حالت تک محصولی بررسی کردند و مقدار اقتصادی تولید را در حالت تک محصولی به دست آوردند.

در بسیاری از مدل‌ها با در نظر گرفتن سفارش‌های عقب افتاده به عنوان یک فاکتور کلیدی به مدل‌سازی پرداخته­اند. کاردناس بارون (2008، 2001) برای یک سیستم تولیدی تک مرحله­ای به صورت جبری یک مدل EPQ با در نظر گرفتن سفارش‌های عقب افتاده، یک مدل EPQ بدون در نظر گرفتن سفارش‌های عقب افتاده و همچنین، یک مدل EPQ با دوباره­کاری ارائه کرده است. وی همچنین، شیوه نوینی پیشنهاد کرده است که می‌تواند مقدار تولید بهینه و سطح سفارش‌های عقب افتاده را با در نظر گرفتن هزینه­های سفارش‌های عقب افتاده به صورت خطی و ثابت محاسبه کند(کاردناس بارون، 2010). چانگ و همکارانش (2005) مدل EPQ با سفارش‌های عقب افتاده را با کاربرد یک روش ساده زوجی توسعه دادند. اسپیکاس (2006) نیز مدل EPQ با سفارش‌های عقب افتاده را با در نظر گرفتن دو نوع از هزینه­های سفارش‌های عقب افتاده کلاسیک بدون مشتقات پیشنهاد کرده است. وی سفارش‌های عقب افتاده بسیار گران و سفارش‌های عقب افتاده جذاب را مشخص نموده و به آنالیز آنها پرداخته است. دریک و همکارانش (2001) برنامه­ریزی دسته تولیدی را برای یک سیستم دو مرحله­ای را که محصول نهایی در آن با کاربرد یک مدل EPQ با سفارش‌های عقب افتاده جزئی برنامه­ریزی شده است، را در نظر گرفته­اند. در پژوهش آنها تولید اجزا با کاربرد مدل‌های EPQ پایه­ای بدون سفارش‌های عقب افتاده تحت کنترل است. آنها همچنین، یک استراتژی ذخیره موجودی بهینه بسته را برای یک مدل EPQ با سفارش‌های عقب افتاده جزئی در یک نرخ ثابت β ارائه نموده­اند (دریک و همکاران، 2011). شارما (2007) سفارش‌های عقب افتاده جزئی را در یک مدل که به آنالیز عامل بالقوه برای صرفه­جوئی در هزینه­ها می­پردازد، به حساب آورد؛ با این شرط که با هدف حرکت از تولید  متناوب به سمت تولید مداوم، نرخ تولید در یک مدل کلاسیک EPQ به منظور طولانی شدن فاز تولید در هر سیکل تولید – موجودی،کاهش یابد.

چیو و همکارانش (2007) به ارائه روشی پرداختند که به منظور تعیین زمان بهینه اجرای فرآیند در یک مدل EPQ که با ضایعات، دوباره­کاری و خرابی‌های تصادفی ماشین همراه است، کاربرد دارد. روزنبلت و لی (1986) یک مدل  EPQ‌ برای یک سیستم تولیدی که دربرگیرنده تولید معیوب است، پیشنهاد کرده­اند. در مدل آنها فرض اصلی این است که سیستم تولیدی کالاهای %100 نامعیوب را از نقطه شروع تولید تا یک نقطه زمانی که به صورت یک متغیر تصادفی است، تولید می­کند. در این نقطه زمانی سیستم از کنترل خارج شده و تا پایان پریود تولید با یک درصد تولیدی شروع به تولید کالاهای معیوب می­کند؛ با این فرض که توزیع زمان سپری شده تا لحظه­ای که سیستم از کنترل خارج می­شود، نمائی باشد. در مدل آنها همچنین، سفارش‌های عقب افتاده مجاز نیست (روزنبلت و لی، 1986).

در بسیاری از سیستم‌های تولیدی، WIP یا موجودی در جریان ساخت یکی از اجزای هزینه­های موجودی بوده که معمولا در فرمول‌های Lot-Sizing در نظر گرفته نمی­شود (راستی و همکاران، 2011). بوچر (1984) اولین کسی است که برای سیستم‌های تکنولوژی گروهی مقدار Lot-Size را با در نظر گرفتن موجودی در جریان ساخت محاسبه کرد (بوچر، 1984). سامادار و هیل (2007) در وضعیتی که زمان راه­اندازی فرآیند کاهش می­یابد، برای آنکه بتوانند به شرایط دقیقی دست یابند که در آن موجودی در جریان ساخت به بهبود یا عدم بهبود فرآیند منجر می­شود، فرمول‌های ریاضی دقیقی ارائه کرده­اند که واریانس تغییرات حاصل شده را به خوبی توصیف می­کند (سامادار و هیل، 2007).می­توان گفت که تقریبا در تمام پژوهش‌های انجام شده موجودی در جریان ساخت دارای نوعی همبستگی با پارامترهای درون سیستمی از قبیل تعداد ماشین‌ها و نرخ فرآیند آنها، ظرفیت بافر میانی و همچنین، فرض‌های مربوط به نرخ خرابی و تعمیر ماشین است.

راستی و همکارانش (2011) به تعیین اندازه بهینه دسته تولید با در نظر گرفتن موجودی در جریان ساخت، محصول معیوب و دوباره­کاری پرداخته­اند. این مقاله، در واقع تعمیمی از مدل آنهاست که در آن انجام نگهداری و تعمیرات پیشگیرانه بر روی ماشین به منظور جلوگیری از وقوع خرابی حین فرآیند تولید و همچنین، مجاز بودن کمبود به صورت سفارش‌های عقب افتاده نیز در نظر گرفته شده است.در روش نگهداری و تعمیرات پیشگیرانه  بر مبنای یک زمان‌بندی معین نگهداری از دستگاه‌ها و تجهیزات در دوره­های زمانی خاص و به منظور اجتناب از وقوع خرابی­های ناگهانی و تعمیرات برنامه­ریزی نشده و افزایش عمر مفید دستگاه انجام می­گیرد. در بخش پس تعریف مسأله به همراه فرضیات و پارامترهای مورد استفاده در آن ارائه شده است. در بخش 3 بر مبنای فرضیات و پارامترهای تعریف شده مدل‌سازی مسأله انجام شده است. مثال‌های عددی در بخش 4 گنجانده شده­اند و سرانجام در بخش آخر نتایج مدل و زمینه­های توسعه آینده آن بیان شده­اند.

بیان مساله

 یک فرآیند تولیدی تک محصولی و تک ماشینی در اینجا موردنظر است که به صورت دوره­ای محصولی را تولید می­کند. مواد اولیه مورد نیاز فرآیند به صورت دسته­هایی با اندازه Q سفارش داده شده و به واحد تولیدی مورد نظر منتقل می‌شود. در هر دوره­ تولید، انباشته­ای از محصول به اندازه Q که در ظرفی کنار ماشین قرار داده شده است، تحت ماشین‌کاری قرار می­گیرد . فرآیند تولید بدین صورت است که پس از انجام عملیات بر روی یک دسته از مواد ورودی، علاوه بر تولید محصولات سالم درصدی محصول معیوب نیز تولید می­شوند. با اتمام یک دوره ماشین‌کاری تمامی محصولات بازرسی می‌شوند تا سالم و یا معیوب بودن آنها مشخص گردد. محصولات سالم به ظرفی جداگانه انتقال یافته اما محصولات معیوب خود به دو دسته با قابلیت دوباره­کاری و بدون قابلیت دوباره­کاری تقسیم می­شوند. محصولات معیوب با قابلیت دوباره­کاری بار دیگر وارد فرآیند شده و تحت ماشین‌کاری قرار می­گیرند و به علت انجام ماشین‌کاری با دقت بیشتر در مرتبه دوم تماماً به محصولات سالم تبدیل و به ظرف محصولات سالم منتقل می­شوند، اما محصولات معیوبی که قابلیت دوباره­کاری ندارند به ظرفی دیگر انتقال یافته تا در پایان فرآیند به صورت ضایعات به فروش برسند. در اینجا کمبود موجودی به صورت سفارش‌های  عقب افتاده  مجاز است؛ به این صورت که در هر دوره می­توان با در نظر گرفتن هزینه­های تحمیلی به سیستم تا مقدار مجاز b کمبود داشت و در ابتدای دوره پسی به جبران آن پرداخت.

امکان ایجاد انقطاع هنگام تولید، از جمله اصلی‌ترین فرض‌های لحاظ شده در این مدل است. بر این اساس ماشینی که وظیفه آن انجام ماشین‌کاری بر روی قطعات خام است، بر مبنای سیاست نگهداری و تعمیرات پیشگیرانه در هر دوره از تولید در یک زمان مشخص توسط اپراتور متوقف شده و بلافاصله توسط بخش نگهداری و تعمیرات سازمان طی یک متوسط زمانی تحت عملیات نت پیشگیرانه قرار گرفته و در ادامه فرآیند ماشین‌کاری قطعات خام دوباره به همان شکل اولیه از سر گرفته خواهد شد.  

   در این فرآیند، موجودی در جریان ساخت از سه جزء تشکیل می شود: قطعات خام، محصولات سالم و ضایعات که هر یک از آنها در ظروف جداگانه­ای نگهداری می­شوند که به منظور کاهش میزان حمل­ونقل در سیستم قطعات به صورت یکجا وارد ظرف‌ها شده و یا از آنها خارج می­شوند. در هر دوره تقاضاهای مربوط به آن دوره به علاوه سفارش‌های عقب افتاده مربوط به دوره قبل از محصولات سالم موجود در انبار برآورده می­شوند. در اینجا هدف دستیابی به یک میزان بهینه از تولید است به گونه­ای که هزینه­های کلی سیستم طی یک دوره در واحد زمان کمینه شود. بر این اساس پارامترهای مدل عبارتند از:

   Q      مقدار هر بار سفارش یا اندازه دسته تولید

   D      نرخ تقاضای محصول در واحد زمان

   S       زمان راه­اندازی ماشین (دقیقه)

   λ       هزینه خرید یک واحد محصول خام

      هزینه صرف شده برای تولید یک واحد محصول

     متوسط موجودی در جریان ساخت

 T_M       مدت زمان یک دوره

   E       هزینه ثابت هر بار راه­اندازی فرآیند

   b       حداکثر میزان مجاز کمبود

  M      زمان ماشین‌کاری یک محصول (دقیقه)

  P₁  نسبت قطعات معیوب با قابلیت دوباره‌کاری

P₂     نسبت قطعات معیوب بدون قابلیت دوباره‌کاری

Q_EPQPM      اندازه بهینه دسته تولید در حالت اعمال سیاست نگهداری و تعمیرات پیشگیرانه

       هزینه مواجهه با کمبود به ازای یک واحد وابسته به زمان

MTTR  متوسط زمان لازم برای انجام عملیات نگهداری و تعمیرات پیشگیرانه (دقیقه)

       نرخ هزینه نگهداری و تعمیرات ماشین در واحد زمان (واحد پول به واحد زمان)

         هزینه بازرسی یک واحد محصول

    ارزش پولی متوسط موجودی در جریان ساخت

  K       مقدار کمبود در یک دوره

  W      متوسط موجودی انبار

   i          نرخ هزینه نگهداری موجودی در واحد زمان (واحد پول به واحد پول در واحد زمان)

     هزینه نگهداری متوسط موجودی در جریان ساخت در واحد زمان

  C_o        هزینه راه اندازی فرآیند در واحد زمان

   C_s   هزینه خرید در واحد زمان

   C_H   هزینه نگهداری محصول در انبار در واحد زمان

 C_b       هزینه مواجهه با کمبود در واحد زمان

 C_R      هزینه انجام عملیات نگهداری و تعمیرات پیشگیرانه در واحد زمان

C_I       هزینه بازرسی محصولات در واحد زمان

TC_PM  تابع هزینه کل سیستم طی یک دوره در واحد زمان در حالت اعمال سیاست نت پیشگیرانه

فرضیات مدل

در این شرایط و به منظور مدلسازی فرضیات زیر در نظر گرفته شده­اند:

● انقطاع در حین فرآیند تولید برای انجام عملیات نگهداری و تعمیرات پیشگیرانه بر روی ماشین مجاز بوده که پس از انجام آن، ماشین‌کاری قطعات خام مجدداً با همان شکل آغازین از سر گرفته خواهد شد.

● در هر دوره برای تعیین سالم و یا معیوب بودن محصولات، یک بازرسی 100درصد از آنها صورت گرفته، زمان این  بازرسی در مدل صفر در نظر گرفته می­شود. (در اکثر مدل‌های ارائه شده  این زمان صفر در نظر گرفته می­شود.).

● به علت سادگی انجام محاسبات در اینجا فرض بر این است که قطعاتی که تحت دوباره­کاری قرار می­گیرند، تماماً به محصولات سالم تبدیل می­شوند( در نظر گرفتن این فرض مشکلی در جواب نهایی مدل ایجاد نخواهد کرد).

● پارامترهایی از قبیل نرخ تقاضای محصول، زمان راه­اندازی فرآیند، درصد قطعات معیوب و ... قطعی (غیر احتمالی) بوده، به صورت یک عدد ثابت در محاسبات در نظر گرفته می­شوند.

● زمان انجام عملیات نگهداری و تعمیرات پیشگیرانه به صورت یک متوسط زمانی در محاسبات مدل در نظر گرفته می­شود (برای نمونه، اگر این زمان از توزیع نرمال با میانگین   پیروی کند، می­توان آن را با میانگین توزیع نرمال تخمین زد و در محاسبات وارد نمود).

● کمبود به صورت سفارش‌های عقب افتاده مجاز بوده، در ابتدای دوره پس جبران خواهد شد.

مدل ریاضی

فرض کنید سازمان با توجه به مشخصات فنی ماشین و استانداردهای به کار رفته در ساخت آن به این نتیجه رسیده باشد که بهتر است سیاست نگهداری و تعمیرات پیشگیرانه را درمورد آن به کار گیرد. در این حالت، ماشین پیش ازآنکه طی یک دوره تولید دچار خرابی تصادفی شود، بر اساس یک برنامه زمان بندی مشخص به صورت دوره­ای تحت عملیات نگهداری قرار می­گیرد. در این مدل فرض می­کنیم در طی هر دوره تولید ماشین یک بار توسط  اپراتور متوقف شده تا اقدامات لازم بر روی آن انجام گیرد. اکنون می­خواهیم به بررسی رفتار موقعیت موجودی در جریان ساخت بپردازیم. در این حالت نمودارهای موقعیت قطعات خام، محصولات سالم و ضایعات طی یک دوره  تولید به صورت شکل شماره 1 خواهند بود. در شکل 1- (1) ابتدا ماشین در زمان S راه­اندازی شده است و سپس قطعات خام که در ظرفی در کنار ماشین قرار داده شده­اند، تحت عملیات ماشین‌کاری قرار گرفته­اند. پس از گذشت زمانی مشخص از آغاز عملیات ماشین‌کاری قطعات خام، ماشین توسط اپراتور متوقف شده تا بلافاصله اقدامات نگهداری بر روی آن توسط پرسنل نت سازمان در متوسط زمانی MTTR انجام شود و پس از آن دوباره عملیات ماشین‌کاری بر روی قطعات خام از سر گرفته شده است تا زمانی که موجودی این قطعات به صفر رسیده است. شایان‌ ذکر است که ماشین‌کاری بار اول بر روی کل قطعات خام و در ادامه بر روی P₁ قطعه خامی که قابلیت دوباره­کاری را دارا بوده­اند، انجام شده است (یعنی در مجموع روی  واحد قطعه خام) و بنابراین، موجودی محصولات  سالم در پایان یک دوره به مقدار   واحد رسیده است. شکل‌های  1- (2) و 1-­ (3) نیز به ترتیب مربوط به موجودی محصولات سالم و ضایعات هستند که با شروع فرآیند ماشین‌کاری نرخ افزایشی داشته و در پایان یک دوره به ترتیب به مقادیر  و  واحد رسیده­اند.

همچنین، در این حالت نمودار موقعیت موجودی برای محصولات سالمی­که به منظور تأمین نیازهای مشتریان و برآورده سازی سفارش‌های عقب افتاده مربوط به دوره قبل در انبار ذخیره می­شوند به صورت شکل شماره 2 است. در شکل 2 در ابتدای هر دوره محصولات سالم موجود در انبار با نرخ تقاضای D مصرف شده­اند که به علت مجاز بودن کمبود در مدل موجودی محصولات انبار در نهایت به –b واحد رسیده است.

شکل 1. نمودار موقعیت موجودی در جریان ساخت در حالت اعمال سیاست نت پیشگیرانه به ترتیب برای (1) قطعات خام، (2) محصولات سالم و (3) ضایعات

شکل 2. نمودار موقعیت موجودی برای محصولات سالم موجود در انبار در حالت اعمال سیاست نت پیشگیرانه

ابتدا مدت زمان یک دوره محاسبه می شود. زمان یک دوره (فاصله بین دو شروع عملیات) در این حالت از مجموع زمان‌های راه­اندازی سیستم، زمان ماشین‌کاری روی  واحد قطعه خام و همچنین، متوسط زمانی که صرف انجام عملیات نگهداری روی ماشین می­گردد، حاصل می­شود:

(1) 

اکنون به محاسبه هزینه­های سیستم طی یک دوره در واحد زمان پرداخته می شود. مجموع این هزینه‌ها عبارتند از:

(2)

هزینه راه­اندازی فرآیند در واحد زمان

در هر دوره، ماشین با صرف هزینه ثابت E فرآیند تولید را آغاز می­کند. بنابراین، هزینه راه اندازی فرآیند طی یک دوره در واحد زمان عبارت است از:

  (3)                                      

هزینه بازرسی محصولات در واحد زمان

هر محصول تنها یک بار بازرسی می شوند، زیرا با انجام یک بار بازرسی مشخص خواهد شد که محصول سالم است و یا اینکه معیوب بوده، نیاز به دوباره­کاری نیاز دارد و یا اینکه معیوب بوده، به ضایعات تبدیل شده است. بنابراین، هزینه بازرسی محصولات طی یک دوره در واحد زمان برابر است با:

:(4)                 

هزینه نگهداری موجودی در جریان ساخت در واحد زمان

متوسط موجودی در جریان ساخت طی یک دوره در واحد زمان با توجه به شکل 1 برای قطعات خام، محصولات سالم و ضایعات به صورت زیر محاسبه می شود:

(5)

بنابراین، با توجه به مقادیر λ و ، ارزش پولی متوسط موجودی در جریان ساخت طی یک دوره در واحد زمان برابر است با:

(6)

در نتیجه، هزینه نگهداری موجودی در جریان

ساخت طی یک دوره در واحد زمان برابر است با (7) 

هزینه نگهداری محصولات سالم موجود در انبار در واحد زمان

با توجه به شکل 2 متوسط موجودی محصولات سالم در انبار برابر است با:

(8)

بنابراین، هزینه نگهداری موجودی در انبار طی یک دوره در واحد زمان برابر است با :

(9)            

هزینه مواجهه با کمبود در واحد زمان

با توجه به شکل 2 مقدار کمبود طی یک دوره برابر است با :

(10) **           

بنابراین، هزینه مواجهه با کمبود طی یک دوره در واحد زمان برابر است با:

(11)**                          

 هزینه خرید در واحد زمانi

در هر دوره سفارشی به اندازه Q واحد خریداری می­شود؛ پس هزینه خرید قطعات خام طی یک دوره در واحد زمان عبارت است از:

(12)                          

هزینه انجام عملیات نگهداری و تعمیرات یشگیرانه بر روی ماشین در واحد زمان

هزینه انجام عملیات نگهداری و تعمیرات پیشگیرانه بر روی ماشین طی یک دوره در واحد زمان برابر است با :

(13)             

بنابراین، تابع  هزینه کل سیستم  طی یک دوره در واحد زمان در حالت اعمال  سیاست نگهداری و تعمیرات پیشگیرانه به صورت زیر خواهد بود :

(14)

روشن است که تابع فوق یک منحنی بر حسب متغیر Q بوده، چون از نوع هزینه­ای است بایستی کمینه شود. بدین منظور برای به دست آوردن مقدار بهینه Q لازم است ریشه مشتق اول تابع فوق نسبت به Q محاسبه گردد بنابراین:

(15)             

با مشتق گیری از تابع فوق (رابطه 14) رابطه زیر به دست می آید:

 (16)

که در آن:

(17)         

(18)         

   (19)     

با مساوی صفر قرار دادن معادله درجه دوم موجود در صورت کسر مشتق اول تابع هزینه کل، ریشه مثبت آن برابر با  مقدار بهینه  Q است؛ یعنی:

(20)

(21)

به طوری که:

(22)

بحث در وجود دو ریشه حقیقی متمایز با علامت‌های مختلف در عبارت مشتق اول تابع هزینه کل

در معادله درجه دوم هرگاه   باشد، معادله دارای دو ریشه حقیقی متمایز است، اگر  معادله یک ریشه حقیقی داشته و در صورتی که  باشد، معادله فاقد ریشه حقیقی است (در واقع، در این حالت معادله دو ریشه مختلط دارد). پس در معادله فوق برای اثبات وجود دو ریشه حقیقی باید نشان داده شود    است.

با توحه به اینکه در معادله درجه دوم فوق (رابطه 20) A به ازای تمامی مقادیر پارامترها یک عبارت همواره مثبت است (پارامترها همگی دارای مقدار مثبت هستند) و از طرفی، به ازای تمامی مقادیر همواره . بنابراین، در صورتی که 0 < C باشد:

(23)

 (24)                                        

 از طرف دیگر، در صورتی که شرط فوق برقرار باشد ، آنگاه   و چون . در نتیجه، با توجه به  قضایای اثبات شده در مورد روابط موجود میان ضرایب و ریشه­های یک معادله درجه دو، معادله (20) دارای دو ریشه حقیقی متمایز با علامت های مختلف  بوده که ریشه مثبت آن برابر با مقدار Q بهینه موردنظر است. 

● شایان ذکر است که در اینجا چنانچه  است، با توجه به اینکه به ازای تمامی مقادیر پارامترها همواره A > 0 و B > 0 پس در نتیجه ، خواهد بود که به علت منفی شدن مقدار Q بهینه این حالت بررسی نمی‌شوند.

اثبات محدب بودن تابع هزینه کل

برای آنکه مقدار Q به دست آمده که برابر  با ریشه مشتق اول تابع هزینه کل TC_PM است، نقطه مینیمم تابع باشد، لازم است که تابع هزینه یک تابع محدب باشد. به عبارت دیگر، باید مشتق دوم این تابع نسبت به Q مثبت باشد. بنابراین:

با مشتق­گیری مجدد از عبارت فوق و ساده کردن آن خواهیم داشت:

(25)

بدیهی است که عبارت موجود در مخرج کسر فوق به ازای تمامی مقادیر هموار مثبت است.اکنون نشان داده می شود که به ازای مقادیر مثبت  تمامی جملات عبارت صورت کسر نیز همواره مثبت هستند. با توجه به شرط C < 0 (رابطه 4):

(26)

پس به ازای تمامی مقادیر مثبت Q، در مورد جمله اول صورت کسر خواهیم داشت:

(27)            

(28)       

(29)      

به همین ترتیب، در مورد جملات دوم و سوم : بنابراین، صورت و مخرج کسر مشتق دوم تابع هزینه کل به ازای تمامی مقادیر مثبت Q همواره مثبت هستند و در نتیجه، تابع TC_PM یک تابع محدب بوده، نقطه Q_EPQPM نقطه مینیمم آن است.

نمونه ­های عددی

در اینجا به منظور نشان دادن کاربردهای عملی مدل نمونه‌های عددی متنوعی ارائه شده اند. در این نمونه ها سعی شده است میزان وابستگی Q بهینه به تغییرات پارامترهای MTTR، b،i، P₁ و P₂ با ثابت نگه داشتن سایر پارامترها نشان داده شود. اگر فرض بود مقادیر عددی سایر پارامترهای مدل به صورت زیر باشند:

نتایج به دست آمده برای  Q بهینه بر اساس تغییرات پارامترهای  MTTR، b ،i، P₁ و P₂ در جدول 1 ارائه شده است

:جدول 1. اندازه بهینه دسته تولید به ازای مقادیر عددی پارامترها

توجه شود که در تمامی نمونه­های عددی ارائه شده شرط C < 0 برقرار است. همچنین، رفتار Q_EPQPM نسبت به برخی پارامترهای جدول شماره 1 در شکل‌های  شماره 3 تا 5 نشان داده شده­اند.

همان‌ طور  که در شکل‌های  3 تا 5 مشخص است،  Q_EPQPM با پارامترهای MTTR و bرابطه مستقیم ولی با iرابطه عکس دارد. این نتایج را