مکان‎‍یابی تسهیلات در شبکۀ پیوند عضو با در نظر گرفتن مراکز پشتیبان

1- مقدمه

پیوند عضو از شاخه‌های اصلی حوزۀ سلامت و از روش‌های درمانی پیچیده در علم پزشکی است که در برخی موارد، ازجمله بیماری‌های حاد کبدی، قلبی و ریوی، تنها درمان ممکن است. با وجود پیشرفت‌های پزشکی، هنوز بیماران زیادی در جهان، جان خود را در اثر‎‍ دریافت‎‍نکردن به‌موقع عضو پیوندی از دست می‌دهند. در فرآیند پیوند عضو، مشکلات زیادی از قبیل‎‍ وجودنداشتن یک لیست انتظار واحد برای بیماران، دیر‎‍رساندن فرد مرگ مغزی به بیمارستان، نبود مراقبت‌های مناسب، کمبود تسهیلات پزشکی پیوند عضو و حمل‌ونقل مناسب و لیست‌های انتظار بلند وجود دارد، از طرف دیگر، میزان تقاضا برای دریافت عضو از عرضۀ آن بیشتر بوده و همین امر موجب تشکیل لیست‌های انتظار پیوند طولانی شده است. این مسائل بر این موضوع دلالت دارند که طراحی یک سیستم عملکردی مناسب برای فرآیند پیوند عضو، کار ساده‌ای نیست. با توجه به اینکه اعضای پیوندی منابع باارزش و کمیابی‎‍اند، لازم است استراتژی و سیاست‌های مؤثری برای مدیریت آنها در نظر گرفته شود. فعالیت‌های مدیریتی مؤثر و کارآمد در شبکۀ پیوند عضو (OTN)^[i] شامل اهدا‎‍، تهیه، تخصیص، نگهداری و انتقال عضو مدنظر با طراحی مناسب شبکۀ پیوند عضو و همچنین برنامه‌ریزی‌های عملیاتی موردنیاز در شبکه حاصل می‌شود؛ بنابراین با مدیریت صحیح و طراحی یک شبکۀ زنجیرۀ تأمین کارآمد، تعداد اعضای پیوندی از دست ‌رفته به حداقل می‎‍رسد و آمار مرگ‌ومیر ناشی از آن‎‍ کاهش می‎‍یابد.

هر عضو پیوندی تنها برای مدت‌زمان محدود و مشخصی (زمان ایسکمی)، بدون جریان خون و خارج از بدن نگهداری می‎‍شود و این زمان، از محدودیت‌های اصلی در فرآیند پیوند عضو است. با توجه به زمان ایسکمی اعضای پیوندی، موضوع تخصیص، حمل‌ونقل و انتقال بیماران و عضو پیوندی، بسیار حائز اهمیت است و بنا بر ضرورت و با توجه به امکانات، از شیوه‌ و گونه‌های مختلف حمل‌ونقل استفاده می‌شود. معمولاً دو روش به‌منظور تعیین مناسب‌ترین گیرندۀ عضو اهدایی در شبکۀ پیوند وجود دارد: الف- متمرکز، مستلزم وجود یک لیست واحد از بیماران در انتظار در سطح منطقه یا کشور است. در این سیستم حتی اگر یک بیمار در انتظار دریافت عضو، در همان بیمارستانی بستری باشد که عضو اهدا‎‍ شده است‎‍، این بیمار لزوماً دریافت‌کننده نخواهد بود (Belien et al., 2013)؛ ب- سلسله‎‍مراتبی: در این رویکرد، چندین لیست انتظار در داخل یک کشور در نظر گرفته می‌شود که هرکدام از آنها با یک ساختار یا منطقۀ جغرافیایی از قبیل بیمارستان، شهر یا ناحیه در ارتباط است. زمانی که یک عضو پیوندی در دسترس قرار می‌گیرد، بیماران متقاضی از پایین‌ترین سطح ساختار سلسله‎‍مراتبی بررسی می‌شوند و اگر گزینۀ مناسبی پیدا نشود، بیماران سطح بعدی ‎‍بررسی می‎‍شوند. این فرآیند تا پیدا‎‍شدن مناسب‌ترین گزینه در ساختار تکرار می‌شود (Bertsimas et al., 2013). گرچه تخصیص عضو به بیماران در روش متمرکز عادلانه‌تر است، این تضمین در روش سلسله‎‍مراتبی وجود دارد که عضو اهدایی به نزدیک‌ترین گیرندۀ مناسب می‌رسد.

هدف از این پژوهش، ارائۀ یک مدل برنامه‌ریزی ریاضی دوهدفۀ جامع برای مسئله مکان‎‍یابی-تخصیص تسهیلات شبکۀ پیوند عضو (شامل بیمارستان‌ها، مراکز فراهم‌آوری و مراکز پیوند) است که سه تمایز کلیدی با مطالعات پیشین دارد:

الف- مدل پیشنهادی احتمال از دسترس خارج شدن مراکز پیوند را در نظر می‎‍گیرد و برای هر مرکز اصلی، یک مرکز پشتیبان تعیین می‌کند تا در صورت وقوع اختلال، تقاضای مناطق تحت پوشش آن مرکز از سوی پشتیبان تأمین شود؛

ب- علاوه بر کمینه‌سازی هزینه‌های استقرار و جریان، مدل جریان عبوری عضو را بین مراکز فراهم‎‍آوری و مراکز پیوند، با در نظر گرفتن فاصله (زمان سفر)‎‍ حداکثرسازی می‎‍کند تا کیفیت پیوند افزایش و احتمال از دست رفتن عضو کاهش یابد؛

ج- این پژوهش، نقش حیاتی بیمارستان‌ها را به‌عنوان اولین سطح شبکه و جریان انتقال فرد مرگ مغزی را از بیمارستان به مرکز فراهم‎‍آوری، به‎‍دلیل محدودیت زمانی حیاتی این مرحله در مدل لحاظ می‌کند؛ جنبه‌ای که در پیشینۀ موجود مغفول مانده است. برای حل مدل در ابعاد بزرگ نیز، یک الگوریتم ابتکاری چندهدفۀ مبتنی بر شبیه‌سازی تبرید توسعه داده می‌شود.

ادامۀ پژوهش به شرح زیر است: در بخش دوم،‎‍ مطالعات پیشین در این حوزه بررسی خواهد شد؛ سپس در بخش سوم، مسئله و مدل ریاضی تعریف می‌شود؛‎‍ در بخش چهارم، روش حل مدل و نتایج عددی توضیح داده خواهد شد؛ در فصل پنجم‎‍ بحث و تحلیل نتایج و در بخش ششم، نتیجه‌گیری و بیان فرصت‌های پژوهش‌های آتی ارائه خواهد شد.

2- پیشینۀ موضوع

 مسائل در شبکۀ پیوند، عضو ازلحاظ افق برنامه‌ریزی به سه دسته مسائل تصمیم‌گیری بلندمدت، میان‌مدت و کوتاه‌مدت تقسیم می‌شوند. در حوزۀ مسائل استراتژیک و بلندمدت، تمرکز بیشتر مقالات بر مکان‎‍یابی-تخصیص تسهیلات شبکۀ پیوند و طراحی ساختار منطقه‌ای سلسله‎‍مراتبی است. در این رابطه، استال و همکاران[ii] (2005) یک مدل برنامه‌ریزی عدد صحیح را به‌منظور تعیین ساختار منطقه‌ای بهینه برای تخصیص سلسله‌مراتبی در شبکۀ پیوند کبد ایالات‌متحده ارائه دادند که هدف مدل آنها بیشینه‎‍کردن تعداد پیوندهای درون‎‍منطقه‌‌ای (تعداد پیوندهای ممکن در یک ناحیه با توجه به محدودیت‌های موجود) و همچنین برابری جغرافیایی از‎‍طریق بیشینه‎‍کردن کمترین نرخ پیوند در هرکدام از مناطق است. با توجه به فاصلۀ جغرافیایی بین مناطق و برابرنبودن عضوهای اهداشده در نواحی مختلف، مسئلۀ برابری جغرافیایی و نرخ پوشش مناطق مطرح می‌شود. آنها در مدل خود برای هر ناحیۀ جغرافیایی یک مقدار پذیرفتنی را برای نرخ پیوند تعیین کردندکه ممکن است هزینه‌های بیشتری به شبکه تحمیل کند؛ اما با توجه به محدودیت زمانی موجود در انتقال عضو، توزیع عضوهای اهداشده باید عادلانه باشد و در حد ممکن، همۀ مناطق را پوشش دهد؛ به‌طوری ‌که کمترین نرخ پوشش داده‌ شده در یک منطقه بیشینه شود و پیوندهای انجام‌شده در یک ناحیه، متمرکز نباشد. کونگ و همکاران[iii] (2010)، مدل استال و همکاران (2005) را در ارتباط با سیستم پیوند ایالات‌متحده به‌کار بردند؛ با این تفاوت که هدف، تنها بیشینه‌سازی جریان درون منطقه‌ای است، روش آنها در ایجاد ساختار منطقه‌ای متفاوت و بر‎‍اساس مدل برنامه‌ریزی عدد صحیح مختلط با الگوریتم شاخه و قیمت^[iv] است. منظور از جریان بین تسهیلات، مجموع تعداد عضوهایی است که در محدودۀ جغرافیایی مشخصی بر‎‍اساس محدودیت‌های زمانی انتقال عضو و گونۀ حمل‌ونقل انتخاب‌شده، از بیمارستان اهدا‎‍کننده یا مراکز فراهم‎‍آوری عضو (مبدأ) به مراکز گیرندۀ عضو (مقصد) ارسال می‌شود. آنها برای اعتبار‎‍سنجی مدل خود، یک مطالعۀ موردی را بر سیستم پیوند کشور انجام داده‌اند. ظهیری و همکاران[v] (2014) مطالعه‌ای‎‍ را بر‎‍ مسئلۀ مکانیابی-تخصیص مراکز پیوند عضو در شبکۀ پیوند ایران انجام دادند. آنها با لحاظ عدم قطعیت در برخی پارامترهای اصلی، یک مدل برنامه‌ریزی استوار امکانی^[vi] را ارائه دادند. مدل پیشنهادی آنها به‌صورت چند دوره‌ای و هدف کمینه‌سازی کل هزینه‌های شبکه است. ظهیری و همکاران (2014) در ادامۀ پژوهش قبلی خود، مدل شبکه را توسعه دادند و یک مدل مکان‌یابی-تخصیص چند‎‍هدفه را برای طراحی شبکۀ پیوند عضو در شرایط عدم قطعیت ارائه کردند که علاوه بر مجموع زمان‌ سفر بین مراکز، زمان انتظار عضو را در مرکز پیوند برای انجام عمل پیوند‎‍ نیز در نظر می‎‍گیرد و کلیۀ هزینه‌های شبکه را به‌طور هم‌زمان کمینه‌سازی می‌کند. به‌منظور محاسبۀ زمان انتظار عضو در صف، از سیستم صف اولویت‌دار استفاده و به‎‍جهت مقابله با عدم قطعیت داده‌ها، یک مدل برنامه‌ریزی چندهدفه فازی ارائه کرده‎‍اند. برای حل مسائل بزرگ از یک الگوریتم ابتکاری استفاده کرده‌اند که ترکیبی از شبیه‌سازی تبرید^[vii] و تکامل دیفرانسیل^[viii] است‎‍.

رجموهان و همکاران[ix] (2017) در پژوهشی متفاوت، مدل‎‍ تک‎‍هدفه را به‌منظور مکان‎‍یابی و تخصیص مراکز پیوند عضو بر مبنای روش p-میانه ارائه دادند. هدف در این پژوهش،‎‍ کمینه‌سازی فواصل وزن‌دار میان نواحی تقاضا و مراکز پیوند است که به‌منظور محاسبۀ فواصل بین نقاط از روش دایرۀ بزرگ استفاده‌شده است. همچنین به‌منظور ارزیابی کارایی مدل، مطالعۀ موردی بر‎‍ سیستم پیوند کشور هند انجام داده‌اند. آقازاده و همکاران[x] (2018) در پژوهش خود، عدم قطعیت پارامترها را در نظر گرفته و یک مدل مکان‎‍یابی و تخصیص چندهدفه را در شرایط عدم قطعیت برای شبکۀ پیوند عضو ارائه کرده‌اند که در آن جنبه‌های دیگری از شبکۀ پیوند عضو، از قبیل تعداد عضوهای اهدایی مورد انتظار، نرخ پوشش مناطق بر‎‍اساس زمان ایسکمی هر عضو و شاخص ایمنی نقاط کاندید استقرار مراکز پیوند را در نظر گرفته‌اند.‎‍ مدل آن‌ها شامل سه تابع هدف کمینه‌سازی هزینه‌ها، بیشینه‌سازی نرخ پوشش و تعداد اعضای اهدایی مورد انتظار است. همچنین برای رویارویی با عدم قطعیت داده‌ها، از مدل برنامه‌ریزی استوار امکانی استفاده و به حل دقیق مدل در ابعاد کوچک اکتفا کرده‌اند. در ادامه، ربانی و طالبی[xi] (2019) یک مدل برنامه‌ریزی ریاضی چندهدفه را به‌طور مشابه برای طراحی شبکۀ پیوند عضو در شرایط عدم قطعیت ارائه کرده‌اند. اهداف پژوهش آ‌نها، کمینه‌سازی هزینه‌ها و همچنین نابرابری جغرافیایی میان نواحی متقاضی دریافت عضو است. برای مقابله با عدم قطعیت پارامترها، از مجموعه‌های فازی در مدل ریاضی استفاده و درنهایت مقایسه و تحلیل حساسیت بر‎‍ دو پارامتر تأثیرگذار رضایت والدین برای اهدا‎‍ و نرخ زیست‎‍پذیری اعضای پیوندی انجام ‌شده است. جدول 1، خلاصه‌ای از تحقیقات مرتبط با شبکۀ پیوند عضو را نشان می‌دهد.

                                                                 i.            جدول 1- بررسی اجمالی مطالعات طراحی شبکۀ پیوند عضو

1. Table 1- Overview of organ transplant network design studies

گلی و همکاران (2023) نیز در پژوهش خود، عدم قطعیت پارامترها را لحاظ کردند و یک مدل ریاضی جدید را به‎‍جهت بهینه‌سازی زنجیرۀ تأمین عضو تحت عدم قطعیت زمان حمل‌ونقل ارائه دادند. در این پژوهش، مدل برنامه‌ریزی امکانی و روش حل مبتنی بر شبیه‌سازی را برای مکان‌یابی، تخصیص و توزیع مرکز پیوند عضو توسعه داده‌اند. مدل پیشنهادی با در نظر گرفتن عدم قطعیت فازی، تقاضای عضو و زمان حمل‌ونقل، هزینۀ کل را کمینه می‌کند. علاوه بر این، یک بهینه‌سازی مبتنی بر شبیه‌سازی جدید با استفاده از نظریۀ اعتبار برای مقابله با عدم قطعیت در بهینه‌سازی این مدل ریاضی، استفاده ‌شده است. سلیمیان و همکاران (2023)، جنبۀ دیگری از شبکۀ پیوند را در نظر گرفته و کیفیت عضوهای پیوندی را یک تابع هدف در مدل مطرح کرده‌اند. آنها یک مدل برنامه‌ریزی غیرخطی عدد صحیح مختلط چند‎‍هدفه را برای شبکۀ پیوند عضو ارائه دادند که توابع هدف این مدل، به ترتیب کاهش هزینۀ کل، کاهش زمان کل انتقال اعضا و حداکثرسازی کیفیت اعضای منتقل‌شده است. عدم قطعیت در پژوهش آنها، ناشی از شرایط آب و هوایی و سرعت وسایل نقلیه در نظر گرفته و برای مقابله با عدم قطعیت، روش حل ترکیبی مبتنی بر بهینه‌سازی استوار و رویکرد سازشی ABS ارائه شده است. فتح‎‍اللهی‎‍فرد و همکاران (2025) در پژوهش خود، علاوه بر کیفیت عضو پیوندی، شانس موفقیت پیوند را مهم‎‍ترین فاکتور در نظر گرفته و یک مدل بهینه‌سازی را توسعه داده‎‍اند که مسیریابی و زمان‌بندی را برای پیوند عضو ادغام می‌کند و شامل لجستیک تحویل و مسیریابی آمبولانس‌های حامل اعضاست. برای حل مدل، الگوریتم‎‍ فرا‎‍ابتکاری را ترکیبی ارائه دادند که شبیه‌سازی تبرید را با یک استراتژی جست‎‍وجوی تصادفی همسایگی و مفهوم مهندسی اجتماعی ادغام می‌کند.‎‍ به‌طور کلی در بیشتر مطالعات انجام‌شده، زمان ایسکمی محدودیت اصلی در نظر گرفته می‎‍شود و تنوع آنها بیشتر مربوط به توابع‌ هدف و نوع روش‌های حل استفاده‌شده است.

در این پژوهش، به‌منظور کاهش مشکلات برنامه‌ریزی در شبکۀ پیوند، یک مدل برنامه‌ریزی ریاضی چندهدفه به‌منظور مکان‎‍یابی و تخصیص بهینۀ تسهیلات شبکۀ پیوند ارائه می‌شود. موضوعی که در طراحی شبکۀ پیوند عضو به آن توجه نشده است، احتمال از دسترس خارج شدن تسهیلات پیوند و موضوع پشتیبان‌گیری است. با توجه به اینکه تعداد مراکز پیوند در سطح یک کشور محدود است و کل تقاضا از سوی این مراکز محدود پوشش داده می‌شود، در صورت از دسترس خارج شدن هرکدام از مراکز در دوره‌های زمانی، خسارات جبران‌ناپذیری به سیستم پیوند عضو وارد و موجب از دست رفتن اعضای‎‍ اهدایی و پایمال‎‍شدن حق بیماران متقاضی این مراکز می‌شود. به همین منظور، لحاظ پشتیبان برای از مراکز پیوند در صورت از دسترس خارج شدن هر مرکز، تقاضای تخصیص‌یافته از سوی مرکز پیوند پشتیبان پوشش داده می‎‍شود و خسارات به حداقل می‌رسد. به‌عنوان دومین نوآوری، علاوه بر کمینه‌سازی مجموع کل هزینه‌های شبکۀ پیوند، سعی می‎‍شود جریان عضو بین مراکز فراهم‎‍آوری و مراکز پیوند با لحاظ زمان سفر بیشینه شود؛ به این صورت که جریان عضو بین دو تسهیل با مسافت (زمان سفر) بین آنها ارتباط دارد تا کیفیت عمل پیوند انجام‌شده افزایش و احتمال از دست رفتن عضو، کاهش یابد. به‌عنوان نوآوری سوم، به‌منظور نزدیک‎‍کردن مدل ریاضی به واقعیت، با توجه به اینکه در مجموعه مطالعات گذشته به زمان انتقال فرد مرگ مغزی از بیمارستان محل گزارش به مرکز فراهم‌آوری اعضا برای عمل برداشت عضو اشاره‌ای نشده است و به‎‍دلیل محدودیت زمانی که برای خارج‎‍کردن عضو از بدن فرد مرگ مغزی وجود دارد، شبکۀ بیمارستان‌ها در سطح اول تسهیلات و جریان بین بیمارستان‌ها با مراکز فراهم‌آوری عضو در نظر گرفته می‌شود. در ضمن، در این پژوهش یک الگوریتم ابتکاری بر مبنای الگوریتم شبیه‌سازی تبرید چندهدفه برای حل مسائل در ابعاد بزرگ توسعه داده می‌شود.

3- مفاهیم و مدل ریاضی

 مسئلۀ طراحی شبکۀ پیوند عضو شامل تصمیم‌گیری دربارۀ مکان استقرار مراکز فراهم‌آوری، مکان استقرار مراکز پیوند، تخصیص بیمارستان‌ها به مراکز فراهم‌آوری، تخصیص مراکز فراهم‌آوری عضو به مراکز پیوند، انتخاب گونۀ حمل‌ونقل مناسب در هر دوره برای انتقال عضو اهدا‎‍شده از مرکز فراهم‌آوری به مرکز پیوند و تعیین میزان جریان بهینه بین مراکز است.

شمای کلی از شبکۀ پیوند عضو و تعامل میان تسهیلات، در شکل1 نشان داده شده است. به‌محض شناسایی بیمار با کمای عمیق، که احتمال مرگ مغزی آن می‌رود، بیمارستان، واحد فراهم‌آوری اعضای پیوندی را مطلع می‎‍کند و بلافاصله یک گروه هماهنگ‌کننده از مرکز فراهم‌آوری به بیمارستان اعزام می‌شود (کمان 1)؛ پس از انجام معاینات کامل‎‍ ا‎‍و، در صورت احتمال قوی به مرگ مغزی، به اطلاع مرکز رسانده می‌شود. مرکز فراهم‌آوری، قابلیت اهدای عضو بیمار را بررسی می‎‍کند و در صورت تأیید، مراتب به‌منظور جلب رضایت اولیای دم به هماهنگ‌کننده اطلاع داده می‌شود. با اعلام رضایت، فرد بیمار به‎‍همراه گروه هماهنگ‌کننده به مرکز فراهم‌آوری منتقل می‌شود (کمان 2). با بستری‎‍شدن بیمار در بخش مراقبت‌های ویژه‌، بررسی‌های نهایی تخصصی انجام و گزارش مربوطه به‎‍همراه اطلاعات موردنیاز، به‌طور هم‎‍زمان برای مسئول تخصیص عضو در مرکز پیوند وزارت بهداشت ارسال می‎‍شود تا داوطلب دریافت عضو تعیین شود. با تأیید مرگ مغزی فرد و رضایت خانوادۀ او بر اهدای عضو، عمل برداشت عضو از سوی گروه پزشکی انجام می‌شود. متناسب با فاصلۀ مرکز فراهم‌آوری تا مرکز پیوند و همچنین زمان در دسترس برای انتقال عضو اهدایی، وسیلۀ حمل‌ونقل مناسب برای انتقال عضو به مرکز، تخصیص می‌یابد (کمان 3) و در‎‍نهایت عضو اهداشده با رعایت شرایط لازم به مرکز پیوند تعیین‌شده حمل می‌شود (کمان 4 و 5). بیمار تعیین‌شده به‌طور هم‎‍زمان برای دریافت عضو از ناحیۀ تقاضا به مرکز پیوند تعیین‌شده برای انجام عمل پیوند منتقل می‌شود (کمان 6). در صورت در دسترس نبودن مرکز پیوند تعیین‌شده و با توجه به محدودیت‌های زمانی عضو اهدایی و بیمار، گیرندۀ عضو به مرکز پیوند پشتیبان فرستاده می‌شود (کمان 7، 8).

                                                                                    ii.            شکل1- شمای کلی شبکۀ پیوند عضو

1. Fig. 1- General diagram of the organ transplant network

مجموعه‌ها عبارت‎‍اند از:

پارامترها عبارت‎‍اند از:

در صورتی‌ که زمان انتقال عضو o با گونۀ حمل‌ونقل زمینی، بین مرکز فراهم‌آوری j و مرکز پیوند k از مقدار زمان ایسکمی عضو o بیشتر باشد، عضو پیوندی فاسد می‎‍شود، امکان ارسال آن وجود ندارد و  مقدار صفر می‌گیرد.

همچنین در صورتی‌ که زمان سفر با گونۀ حمل‌ونقل هوایی میان مرکز فراهم‌آوریj و مرکز پیوند k از مقدار زمان ایسکمی عضو o بیشتر باشد، عضو پیوندی فاسد می‎‍شود، امکان ارسال آن وجود ندارد و  مقدار صفر می‌گیرد.

در صورتی‌ که طول مدت‌زمان انتقال بیمار گیرنده از ناحیۀ متقاضی h به مرکز پیوند k ، از مجموع زمان در دسترس برای انتقال بیمار اهدا‎‍کننده به مرکز فراهم‌آوری عضو، زمان ایسکمی و طول مدت‌زمان برداشت عضو o کمتر باشد، امکان پیوند موفق وجود دارد و در غیر این صورت  مقدار صفر می‌گیرد.

متغیرهای تصمیم ‎‍استفاده‎‍شده در مدل ریاضی عبارت‎‍اند از:

توابع هدف‎‍

تابع هدف اول، کل هزینه‌های شبکۀ پیوند را کمینه و تابع هدف دوم، کل جریان بین تسهیلات شبکۀ پیوند را با لحاظ فاصلۀ زمانی بین آنها بیشینه می‌کند.

توابع هدف مسئله، شامل کمینه‌سازی مجموع هزینه‌های شبکه و بیشینه‌سازی مجموع جریان بین تسهیلات است. رابطۀ (1)، بیان‌کنندۀ مجموع هزینه‌‌‌های ثابت شبکۀ پیوند شامل هزینۀ احداث مراکز فراهم‌آوری و مراکز پیوند عضو، هزینه‌‌های انجام عمل برداشت عضو در مراکز فراهم‌آوری، هزینۀ تجهیز مراکز پیوند به امکانات لازم برای انجام عمل پیوند عضو و همچنین هزینه‌های متغیر مربوط به جریان بین تسهیلات شامل هزینۀ انتقال بیمار اهدا‎‍کننده از بیمارستان به مرکز فراهم‌آوری، هزینۀ انتقال عضو اهدایی از مرکز فراهم‌آوری به مرکز پیوند و هزینۀ انتقال بیمار داوطلب دریافت عضو از ناحیۀ متقاضی به مرکز پیوند است. رابطۀ (2)، مجموع هزینه‌های شبکه با فرض از دسترس خارج شدن مراکز پیوند را بیان می‌کند. با از دسترس خارج شدن هر‎‍یک از مراکز پیوند و احتمال متناظر با آن، هزینۀ میزان جریانی که از‎‍طریق اختصاص مرکز پیوند پشتیبان‎‍ دوباره پوشش داده می‎‍شود، به‌کل هزینه اضافه و هزینۀ جریان ارسال‌شده به مرکز پیوند از دسترس خارج‌شده از کل هزینه کسر می‌‎‍شود؛ درنتیجه همان‌طور که در رابطۀ (3) مشاهده می‌شود، تابع هدف اول مجموع هزینه‌های شبکۀ پیوند عضو را کمینه می‎‍کند.

بخش اول تابع هدف دوم در رابطۀ (4)، بیانگر مجموع جریان وزن‌دار میان تسهیلات شبکۀ پیوند عضو ازجمله جریان اهدا‎‍کننده از بیمارستان به مرکز فراهم‌آوری، جریان اعضای اهدایی از مرکز فراهم‌آوری به مرکز پیوند عضو و همچنین جریان بیمار گیرندۀ عضو از ناحیۀ متقاضی به مرکز پیوند عضو را بیشینه می‌‎‍کند. با در نظر گرفتن نسبت زمان در دسترس بر زمان سفر بین دو تسهیل، حجم جریان بین تسهیلات با فاصلۀ زمانی کمتر‎‍ افزایش می‌یابد، به‌ عبارت ‌دیگر وزنی که به هر جریان بالقوه بین تسهیلات داده می‌شود، با زمان سفر میان این تسهیلات رابطۀ عکس دارد.‎‍ ‎‍رابطۀ (5) بیانگر مجموع جریان بین تسهیلات با فرض از دسترس خارج شدن مراکز پیوند و پوشش جریان از‎‍طریق مراکز پشتیان است. با فرض از دسترس خارج شدن هرکدام از مراکز پیوند و احتمال متناظر با آن، میزان جریانی که ازطریق اختصاص مرکز پیوند پشتیبان‎‍ دوباره پوشش داده می‎‍شود، به‌کل جریان پوشش داده‌شده اضافه و کل جریان رسیده به مرکز پیوند از دسترس خارج‌شده از جریان پوشش داده‌شده کسر می‌شود.

درنهایت تابع هدف دوم که در رابطۀ (6) نشان داده شده است، مجموع روابط (4) و (5) و نشان‌دهندۀ کل تقاضای پوشش داده‌شده ازطریق بیشینه‎‍کردن مجموع جریان وزن‌دار میان تسهیلات شبکه پیوند است.

در تابع هدف ارائه‌شده، ضرب متغیر صفر و یک  در یک عبارت عدد صحیح، باعث غیرخطی‎‍شدن مدل می‎‍شود که به‌منظور خطی‎‍سازی تابع هدف از روش ارائه‌شده در پژوهش مدنی و همکاران[xv] (2018) استفاده می‌شود. با جایگزینی متغیرهای  و  و در عبارت‌های (2) و (5) و با توجه به رابطه‌های (7) تا (9) و اضافه‎‍کردن مجموعه محدودیت‌های (10) تا (17) به مدل، عامل غیرخطی‎‍شدن توابع هدف برطرف می‌شود.

درنهایت توابع هدف به‌صورت روابط (18) و (19) بازنویسی می‌شود.

محدودیت‌های مدل ارائه‌شده به شرح زیر است.

محدودیت‌ (20) تضمین می‌کند‎‍ مرکز فراهم‌آوری j در صورتی قادر به انجام عمل برداشت عضو o است که این مرکز استقرار یابد. محدودیت (21) بیان می‌کند‎‍ مرکز پیوند k در صورتی به تجهیزات لازم برای عمل پیوند عضو o مجهز می‌شود که این مرکز استقرار یابد. محدودیت (22) تضمین می‎‍کند یک مرکز پیوند زمانی استقرار ‌می‌یابد که به تجهیزات لازم برای حداقل یک نوع عضو پیوندی مجهز شود. محدودیت‌های (23) و (24) اطمینان می‌دهند که برای هر عضو پیوندی، حداقل یک مرکز فراهم‌آوری و‎‍ مرکز پیوند عضو استقرار یابد تا عمل برداشت و پیوند عضو در این مراکز، انجام شود. محدودیت‌ (25) حجم جریان بین بیمارستان‌‌‌ و مراکز فراهم‌آوری عضو را نشان می‌دهد و تضمین می‌کند مجموع کل اهدا‎‍‌کنندگانی که از یک بیمارستان به مراکز فراهم‌آوری داخل و خارج از بیمارستان منتقل می‌شوند، باید کمتر از تعداد کل بیماران اهدا‎‍کنندۀ آن بیمارستان باشد. محدودیت (26) تضمین می‌کند هر اهدا‎‍کنندۀ عضو تنها در صورتی به مرکز فراهم‌آوری خارج از بیمارستان فرستاده می‌شود که امکان انجام عمل برداشت حداقل یک عضو پیوندی در آن مرکز، وجود داشته باشد. محدودیت (27) تضمین می‌کند هر اهداکننده عضو تنها در صورتی به مرکز فراهم‌آوری در داخل بیمارستان فرستاده می‌شود که امکان انجام عمل برداشت حداقل یک عضو پیوندی در آن مرکز، وجود داشته باشد.

محدودیت (28) بیان می‌کند که در هر دورۀ زمانی، طول مدت‌زمان انتقال هر عضو o از مرکز فراهم‌آوری j به مرکز پیوند k با گونۀ حمل‌ونقل زمینی، باید از زمان ایسکمی آن عضو کمتر باشد. محدودیت (29) بیان می‌کند در صورتی‌ که طول زمان انتقال هر عضو o از مرکز فراهم‌آوری به مرکز پیوند با گونۀ حمل‌ونقل هوایی در هر دورۀ زمانی ایسکمی برای آن عضو بیشتر باشد، جریان بین دو مرکز مقدار صفر می‌گیرد. محدودیت‌ (30) یک کران بالا را برای کل جریان عبوری از یک مرکز فراهم‌آوری به مراکز پیوند داخل و خارج از آن مرکز به‎‍وسیلۀ هر دو نوع گونۀ حمل‌ونقل زمینی و هوایی‎‍ نشان می‌دهد. محدودیت (31) تضمین می‌کند که جریان بین یک مرکز فراهم‌آوری و مراکز پیوند خارج از بیمارستان در هر دورۀ زمانی و به‎‍ازای هر عضو خاص، تنها در صورتی برقرار است که مرکز فراهم‌آوری و مرکز پیوند هر دو استقرار یابد و به تجهیزات لازم برای عمل برداشت و پیوند هر عضو خاص مجهز شده باشد. محدودیت (32) تضمین می‌کند که جریان بین یک مرکز فراهم‌آوری و مرکز پیوند داخل همان مرکز در هر دورۀ زمانی و به‎‍ازای هر عضو خاص تنها در صورتی برقرار است که مرکز فراهم‌آوری و مرکز پیوند هر دو استقرار یافته و به تجهیزات لازم برای عمل برداشت و پیوند هر عضو خاص مجهز شده باشند. محدودیت (33) تضمین می‌کند بیمار دریافت‌کنندۀ عضو در هر دورۀ زمانی، باید حداکثر در یک مدت‌زمان مشخص به مرکز پیوند تعیین‌شده برسد، در غیر این صورت انجام عمل پیوند ممکن نیست. رابطۀ (34) محدودیت تعادل است و نشان می‌دهد کل جریانی که از کل نواحی تقاضا در هر دورۀ زمانی به یک مرکز پیوند می‌رسند، برابر با مجموع کل جریانی است که با هر دو گونۀ حمل‌ونقل زمینی و هوایی از کل مراکز فراهم‌آوری داخل و خارج از بیمارستان به همان مرکز پیوند وارد می‌شود. محدودیت (35) تضمین می‎‍کند که در هر دورۀ زمانی، درصدی از کل تقاضای ناحیۀ h برای دریافت عضو ن o باید از سوی مراکز پیوند تأمین شود. محدودیت (36) بیان می‌کند که در هر دورۀ زمانی، مجموع کل جریانی که از نواحی تقاضا به یک مرکز پیوند فرستاده می‌شود، باید از تقاضای آن ناحیه برای دریافت عضو کمتر باشد. محدودیت (37) نشان می‌دهد که باید به‎‍ازای هر مرکز پیوند استقرار یافته k و هر عضو پیوندی o حداقل یک مرکز پیوند  به‌عنوان مرکز پشتیبان وجود داشته باشد. محدودیت (38) بیان می‌کند که مرکز پیوند  در صورتی مرکز پشتیبان برای مراکز پیوند k و برای عضو o لحاظ می‎‍شود که استقرار یابد. در شرایط بحران و در نظر گرفتن مرکز پشتیبان برای مراکز پیوند، توجه به زمان سفر بین مراکز فراهم‌آوری و مرکز پیوند پشتیبان، با توجه به زمان ایسکمی برای هر عضو حائز اهمیت است؛ به این منظور، مجموعه محدودیت‌های (39) تا (41) به مسئله اعمال می‌شوند و بیانگر این‎‍ هستند که تنها زمانی جریان بین یک مرکز فراهم‌آوری و یک مرکز پیوند پشتیبان برای مرکز پیوند از دسترس خارج می‎‍شود و همچنین جریان بین ناحیۀ تقاضا و مرکز پیوند پشتیبان برقرار است که محدودیت‌های زمانی رعایت شده باشد و زمان سفر بین این مراکز از حداکثر زمان در دسترس، بیشتر نباشد. مجموعه محدودیت‌های (42) و (43) دامنۀ مجاز برای متغیرهای تصمیم را نشان می‌دهند.

در مدل ریاضی ارائه‌شده، مجموعه محدودیت‌های (31) و (32) غیرخطی‎‍اند و به‌منظور خطی‎‍سازی، به‌صورت مجموعه محدودیت‌های (46) تا (52) بازنویسی می‌شوند. متغیر  یک متغیر صفر و یک است و زمانی مقدار یک می‌‌گیرد که متغیرهای  و  هر دو مقدار یک بگیرند. متغیرهای  و  متغیر عدد صحیح‎‍اند و به‌صورت زیر تعریف می‌شوند.

درنهایت دو محدودیت ذکرشده به شکل زیر بازنویسی می‌شوند.

4- روش حل

روش محدودیت اپسیلون، از روش‌های شناخته‌شده در حوزۀ مسائل بهینه‌سازی و‎‍ به‌منظور ایجاد مرز پارتو‎‍ است که هایماس و همکاران[xvi] (1971) آن را برای اولین بار معرفی کردند. هدف از به‌کارگیری این روش، تبدیل مدل بهینه‌سازی چندهدفه به مدلی تک‎‍هدفه است. در این روش، تمامی توابع هدف به‌جز یکی از آنها که از اهمیت بالاتری برخوردار است، به مجموعه محدودیت‌های مدل اضافه می‌شود. از ضعف‌های روش محدودیت اپسیلون، قرار‎‍نگرفتن دامنۀ توابع هدف به‌ دست ‌آمده بر‎‍ مجموعه پارتو و کاراست. این مشکل زمانی پیش می‌آید که در برخی از توابع هدف، جواب بهینۀ چندگانه وجود داشته باشد. به‌منظور حل این مشکل، تکنیک لکسیکوگراف[xvii] برای محاسبۀ جدول بازده پیشنهاد شده است (Mavrotas et al., 2009). از دیگر ضعف‌های روش محدودیت اپسیلون، آن است که تضمین نمی‌کند جواب‌های بهینۀ به ‌دست ‌آمده کارا باشد. به‌منظور برطرف‎‍کردن این مشکل از روش محدودیت اپسیلون تعمیم‌یافته استفاده می‌شود که در این پژوهش‎‍ به‌منظور حل مدل پیشنهادی، به کار گرفته ‌شده است.

 مسئلۀ طراحی شبکۀ ارائه‌شده در پژوهش پیشنهادی توسعه‌ای بر مدل ارائه‌شده را ظهیری و همکاران (2014) بررسی کردند. با چشم‌پوشی از بعضی از محدودیت‌ها و تابع هدف، مدل پیشنهادی به سطح پیچیدگی مدل پایه (NP-hard) می‌رسد و حل آن در ابعاد بالا مستلزم به‌کارگیری الگوریتم‌های فراابتکاری است.

4-1 الگوریتم‌ ابتکاری بر‎‍اساس شبیه‌سازی تبرید چندهدفه و مقایسۀ دو مرز پارتو^[xviii] (HMOSA)

در این پژوهش، از یک الگوریتم ابتکاری بر مبنای الگوریتم فراابتکاری شبیه‌سازی تبرید چندهدفه بهره گرفته شده است که در پژوهش بندیوپادیه و همکاران[xix] (2008) ارائه شده بود. براساس ساختار الگوریتم پیشنهادی، استفاده از مفهوم غلبه و نگهداری آرشیو جواب‌های نامغلوب در طی اجراست. فلوچارت الگوریتم ارائه‌شده در (شکل ‎‍2)‎‍ و رویۀ کلی به این صورت است که ابتدا یک جواب اولیه شامل متغیرهای باینری طبق ساختار مشخص تولید می‌شود؛ سپس آن بخش باینری در مدل ریاضی قرار می‎‍گیرد و متغیرهای عدد صحیح و مقادیر دو تابع هدف محاسبه می‌شود. جواب حاصل (دو مقدار تابع هدف) در لیست آرشیو ذخیره می‌شود. به‌طور مداوم با عملگرهای جست‎‍وجوی همسایگی و تصادفی، جواب‌های کاندید جدید تولید و هر کاندید پس از ارزیابی در مدل ریاضی، دو بار مقایسه می‌شود: ابتدا جواب کاندید با جواب فعلی و سپس جواب‌ کاندید جدید با مجموعه جواب‌های ذخیره‌شده در لیست آرشیو مقایسه می‎شود.

شکل 2- فلوچارت الگوریتم ابتکاری HMOSA

2. Fig. 2- Flowchart of the HMOSA heuristic algorithm

در مقایسۀ جواب کاندید با جواب فعلی، ممکن است حالت‌های زیر رخ بدهد:

1-اگر جواب کاندید، جواب فعلی را مغلوب کند، جواب کاندید به‌طور مستقیم جایگزین جواب فعلی می‌شود؛

2- اگر جواب کاندید و جواب فعلی نامغلوب باشند، به لیست آرشیو مراجعه می‌شود. اگر یکی از جواب‌های لیست آرشیو با جواب کاندید مغلوب شود، جواب کاندید جایگزین جواب فعلی می‌شود. در غیر این صورت، از معیار متروپلیس برای تعیین احتمال پذیرش جواب کاندید استفاده خواهد شد. مقدار احتمال پذیرش جواب کاندید از رابطۀ (53) به دست می‌آید که  احتمال پذیرش جواب کاندید، T پارامتر دما و  میزان غلبۀ میان دو جواب کاندید و فعلی است و با استفاده از رابطۀ (54) حاصل می‌شود. در این رابطه، مقدار غلبۀ جواب فعلی C بر جواب کاندید N ،  مقدار تابع هدف i برای جواب کاندید و  مقدار تابع هدف i برای جواب فعلی است.

پس از محاسبۀ احتمال پذیرش جواب کاندید، یک عدد تصادفی در بازه  تولید می‎‍شود و بر‎‍اساس معیار متروپلیس، اگر  باشد، جواب کاندید جایگزین جواب فعلی می‌‎‍شود؛

3-اگر جواب کاندید با جواب فعلی مغلوب شود، در این حالت نیز مانند حالت قبل، از معیار متروپلیس و محاسبۀ احتمال پذیرش برای جایگزین‎‍کردن جواب کاندید استفاده می‌شود.

در گام بعدی الگوریتم که به مقایسۀ جواب‌ کاندید با لیست آرشیو مربوط است، ممکن است حالت‌های زیر رخ بدهد:

الف- جواب کاندید حداقل یکی از جواب‌های لیست آرشیو را مغلوب کند. در این صورت جواب کاندید به لیست آرشیو اضافه و جواب (های) مغلوب از لیست آرشیو حذف می‌شود؛

ب- جواب کاندید و جواب‌های ذخیره‌شده در آرشیو نامغلوب‎‍اند، در این صورت با توجه به طول لیست آرشیو، دو حالت زیر اتفاق می‌افتد:

• در صورتی ‌که طول لیست آرشیو از L کمتر باشد، جواب کاندید به‌طور مستقیم به لیست آرشیو اضافه می‌شود؛
• در صورتی ‌که طول لیست آرشیو از L بیشتر باشد، از یک رویکرد جدید برای پذیرش جواب کاندید استفاده می‌شود. به این صورت که جواب کاندید، هر بار جایگزین یکی از جواب‌های آرشیو و یک مرز پارتو جدید با اضافه‎‍کردن جواب کاندید ایجاد می‌شود؛ سپس مرز پارتو ایجادشده با مرز پارتو قبلی مقایسه و در صورت بهتر‎‍بودن مرز جدید، جواب کاندید جایگزین جواب آرشیو‎‍ و جواب قبلی از آرشیو حذف می‌شود. شاخص‌های مختلفی برای مقایسۀ دو مرز پارتو وجود دارد که در این الگوریتم از شاخص HA^[xx] استفاده می‌شود. این شاخص به‌طور هم‎‍زمان پوشش و توزیع یک جبهۀ پارتو را ارزیابی می‌کند‎‍ (Hartigan & Wong, 1979). مقدار این شاخص برای هر جبهۀ پارتو از رابطۀ (55) به دست می‌آید که در این رابطه و به ترتیب مقدار تابع هدف اول و دوم برای جواب نامغلوب t ام، n تعداد کل جواب‌های نامغلوب و  مقدار شاخص پوشش و توزیع برای مرز پارتو A است. این رابطه درواقع مساحت زیر‎‍منحنی مرز پارتو را نسبت‎‍به تابع هدف اول‎‍ محاسبه می‌کند.

در مدل ارائه‌شده، توابع هدف در تضادند، به همین دلیل برای مقایسۀ دو مرز پارتو نمی‌توان بر‎‍اساس یکی از توابع هدف اظهارنظر کرد؛ بنابراین از رابطۀ (56) به‌منظور محاسبۀ مساحت زیر‎‍منحنی مرز پارتو نسبت‎‍به تابع هدف دوم و درنهایت به‌منظور مقایسۀ دو مرز پارتو از نسبت این دو مساحت مطابق با رابطۀ (57) استفاده می‌شود که  نسبت مساحت‌های زیر‎‍منحنی پارتو A است.

با توجه به مفاهیم بیان‎‍شده و بر‎‍اساس این شاخص، در صورتی ‌که  باشد، جواب کاندید جایگزین جواب آرشیو می‌شود و در غیر این صورت آرشیو تغییری نمی‌کند. فرآیند بیان‎‍شده در هر دما، به تعداد دفعات مشخصی اجرا و در هر تکرار، لیستی از بهترین جواب‌های نامغلوب به دست آمده تا آن مرحله از اجرای الگوریتم، حاصل می‌شود؛ سپس با توجه به قاعدۀ هندسی کاهش دما، دما کاهش و این فرآیند تا زمان رسیدن به‌ شرط توقف الگوریتم، ادامه می‌یابد. بر طبق رابطۀ (53)، دما ارتباط مستقیمی با پذیرش جواب‌های نامطلوب دارد؛ به‌طوری‌ که در دماهای بالا، احتمال پذیرش جواب‌های بد بالاست و تقریباً همۀ جواب‌ها پذیرش می‌شود؛ اما با کاهش دما، احتمال پذیرش جواب‌های بد کمتر می‌شود؛ به‎‍طوری که در دماهای پایین، تنها جواب‌هایی پذیرفته می‌شود که از جواب فعلی بهتر باشد.

شرط توقف الگوریتم‎‍

در این الگوریتم، شرط توقف علاوه بر رسیدن به دمای نهایی، زمان اجرای الگوریتم است. بر این اساس، فرآیند بهینه‌سازی چندهدفه پس از تعدادی تکرار مشخص، متوقف می‌شود.

4-2 مطالعۀ کاربردی و یافته‌ها

در این تحقیق، از روش طراحی آزمایش‎‍های تاگوچی برای تنظیم پارامترهای الگوریتم استفاده شده است. به‌منظور اجرای بهتر الگوریتم ارائه‌شده، سه سطح برای 4 پارامتر ورودی شامل دمای اولیه، دمای نهایی، نرخ سرد‎‍شدن و تعداد تکرارها در دمای ثابت در نظر گرفته شده است. حدود مقادیر پارامترها با توجه به مقادیر استفاده‌شده در پیشینۀ موضوع تعیین و سطوح در نظر گرفته ‌شده برای این پارامترها، در جدول 2 نشان داده شده است. ماتریس آزمایش برای تنظیم پارامترها، شامل 9 ترکیب مختلف برای انجام آزمایش‌هاست. به‎‍جهت تنظیم پارامترها، مسئله‌ای در ابعاد متوسط در نظر گرفته و برای هر سناریوی طراحی‌شده در آزمون، مسئله 3 مرتبه حل شده است.

                                                                            iii.            جدول2- سطوح مختلف پارامترهای الگوریتم

1. Table 2- Levels of Algorithm Parameters

با توجه به اینکه مسئلۀ ارائه‌شده دو‎‍هدفه و نتایج به ‌دست‌ آمده به‌جای یک جواب مشخص، مجموعه‌ای از جواب‌های نامغلوب است، باید ابتدا جواب‎‍های نامغلوب به‌ دست‌ آمده بر‎‍اساس معیارهای مقایسه ارزیابی و به یک متغیر پاسخ تبدیل شود. به‌منظور ارزیابی و مقایسۀ نتایج به‌ دست ‌آمده، از شاخص‌های همگرایی و پراکندگی ازجمله‎‍ شاخص فاصله از جواب ایده‌آل^[xxi]،‎‍ گوناگونی^[xxii]، فاصله^[xxiii] و زمان اجرای الگوریتم استفاده شده است.

با توجه به اینکه شاخص‌های ارائه‌شده هم‌مقیاس و هم‌جهت نیستند، به‌منظور بی‎‍مقیاس‎‍کردن شاخص‌های مثبت DM از رابطۀ (58) و برای شاخص‌های منفی MID، SM و زمان حل از رابطۀ (59) استفاده می‌شود که  مقداری است، ترکیب i را در شاخص j کسب می‌کند و ماهیت مثبت دارد؛ یعنی مقادیر بیشتر بیانگر عملکرد بهتر دارند.

پس از نرمال‎‍شدن معیارها، مقادیر آنها به‌راحتی با هم جمع می‌شوند. با در نظر گرفتن ضریب اهمیت متفاوت برای معیارها، از جمع سادۀ وزن‌دار به‌منظور محاسبۀ مقدار نهایی متغیر پاسخ، طبق رابطۀ (60) استفاده می‌شود.

‎‍  وزن شاخص j ام و مقدار متغیر پاسخ برای ترکیب i است. وزن‌ها برای شاخص‌های اول تا چهارم به ترتیب با نسبت‌های 30،30،30 و 10 درصد، در نظر گرفته شده است.

مقادیر به ‌دست ‌آمده در نرم‌افزار Minitab وارد و نتایج‎‍ در شکل 3 نمایش داده شده است. در نمودارهای شکل 3، پارامترهایی به‌عنوان مقدار بهینه در نظر گرفته می‌شوند که بیشترین مقدار میانگین نرخ را دارند.

                                                                  iv.            شکل 3- میانگین نرخ  برای سطوح مختلف پارامترها

1. Fig. 3- Average S⁄N rate for different parameter levels

مقادیر به ‌دست ‌آمده در نرم‌افزار Minitab وارد و نتایج‎‍ در شکل 3 نمایش داده شده است. در نمودارهای شکل 3، پارامترهایی به‌عنوان مقدار بهینه در نظر گرفته می‌شوند که بیشترین مقدار میانگین نرخ را دارند و مقادیر بهینۀ پارامترها در جدول 3 گزارش شده است.

                                                                          v.            جدول3- مقادیر بهینۀ پارامترهای الگوریتم (الف)

1. Table 3- Optimal values ​​of algorithm parameters (a)

در این پژوهش، پردازش‌های مربوط به حل دقیق مسئله در ابعاد کوچک و با نرم‌افزار GAMS 24.3.1 انجام شده است. الگوریتم ابتکاری برای حل نمونه‌ها در ابعاد متوسط و بزرگ، در محیط Visual studio و با استفاده از حل‌کنندۀCPLEX 12.8 کد نویسی و از سیستمی با مشخصات Intel(R)Core i8,4GHz وRAM 16GB استفاده شده است. به‌منظور تولید برخی از پارامترهای مسئله، با توجه به پیشینۀ موضوع، از توزیع یکنواخت (جدول 4‎‍) استفاده شده است.

                                                                                  vi.            جدول 4- بازۀ پارامترهای مسئله (الف)

1. Table 4- Problem parameter range (a)

‎‍داده‌های وزارت بهداشت نیز به‎‍عنوان دیگر پارامترهای مسئله‎‍ لحاظ شده است. پارامتر  وابسته به میزان عرضه و تقاضای عضو است که به‌صورت نسبت مجموع این دو به‎‍ازای هر عضو پیوندی به دست می‌آید (جدول 5). همچنین پارامتر یک مقدار ثابت بوده و برابر 20 در نظر گرفته شده است.

                                                                                  vii.            جدول 5- بازۀ پارامترهای مسئله (ب)

1. Table 5- Range of parameters of problem (b)

به‌منظور بررسی کارایی الگوریتم پیشنهادی، 15 نمونه مسئله در ابعاد کوچک، متوسط و بزرگ طراحی شد (جدول 6). اندیس‌های I،J، K، H، O وT به ترتیب بیانگر مجموعه بیمارستان‌ها، مکان‌های بالقوه استقرار مراکز فراهم‌آوری، مکان‌های بالقوۀ استقرار مراکز پیوند‌، مجموعه مناطق متقاضی دریافت عضو، مجموعه اعضای پیوندی و تعداد دوره‌های زمانی است.

مسائل طراحی‌شده در ابعاد کوچک و متوسط، با هر دو روش محدودیت اپسیلون تعمیم‌یافته و الگوریتم ابتکاری حل‎‍شده، که به‎‍جهت بررسی عملکرد الگوریتم پیشنهادی و مقایسۀ آن با نتایج حاصل از حل مدل، مقادیر شاخص‌های مقایسه برای هرکدام از جواب‌های پارتو محاسبه و در جداول 7 و 8 گزارش شده است؛ همان‌گونه که در ستون آخر جدول 8 مشخص است، روش محدودیت اپسیلون تنها در نمونه‌های 1 تا 5 و در زمان کمتر از 1 ساعت به جواب رسیده است. از نمونۀ 6 تا 9 با محدود‎‍کردن زمان حل به 3600 ثانیه، جواب موجهی برای مدل به دست آمده است که از نمونۀ 9 به بعد، روش محدودیت اپسیلون قادر به یافتن جواب موجه در زمان تعیین‌شده نیست و تنها الگوریتم پیشنهادی قادر به حل مسئله‎‍ است.

                                                                                 viii.            جدول6- مشخصات مسائل تولیدشده

1. Table 6- Characteristics of generated issues

                                                              ix.            جدول 7- مقادیر شاخص‌های مقایسۀ جواب‌های پارتو (الف)

1. Table 7- Values ​​of Pareto comparison indicators (a)

با توجه به بررسی جدول 7، در نمونه‌های کوچک (1 تا 5) و با توجه به شاخص‌های فاصله و پوشش و توزیع، روش محدودیت اپسیلون تعمیم‎‍یافته، عملکرد بهتری نسبت‎‍به الگوریتم ابتکاری دارد و با افزایش ابعاد مسئله از نمونۀ 5، الگوریتم ابتکاری عملکرد بهتری نسبت‎‍به روش محدودیت اپسیلون تعمیم‎‍یافته دارد. در جدول 8 ، الگوریتم ابتکاری با توجه به شاخص‌های زمان و میانگین فاصله از جواب ایده‌آل، همواره عملکرد بهتری نسبت‎‍به روش محدودیت اپسیلون تعمیم‌یافته داشته و برای نمونه‌های کوچک نیز در زمانی کوتاه،‌ به جواب خوبی رسیده است.

                                                                  x.            جدول8- مقادیر شاخص‌های مقایسۀ جواب‌های پارتو(ب)

1. Table 8- Values ​​of comparison indices of Pareto solutions (b)

به‌منظور ایجاد درک بهتر از جواب‌های ایجادشده با الگوریتم و مقایسۀ آن با جواب به ‌دست ‌آمده از روش محدودیت اپسیلون، جواب‌های پارتو حاصل از حل مسئله با هر دو روش، برای نمونۀ‌ 9 (برگرفته از جدول 6) با ابعاد متوسط در شکل 4 نشان داده شده است. محور افقی، بیانگر تابع هدف اول (کمینه‌سازی هزینه) و محور عمودی، بیانگر تابع هدف دوم (بیشینه‌سازی جریان) است. مدت‌زمان حل نرم‌افزار گمز، محدود به 3600 ثانیه است و الگوریتم در زمان 2926 ثانیه متوقف شده است. با توجه به شکل، برتری نسبی روش ابتکاری نسبت‎‍به روش محدودیت اپسیلون، در این مسئله مشهود است.

                                       xi.           

                                   xii.            شکل 4- مقایسۀ جواب‌های پارتو حاصل از روش محدودیت اپسیلون و الگوریتم ابتکاری

1. Fig. 4- Comparison Of Pareto Solutions Obtained from the Epsilon-Constraint Method and the Heuristic Algorithm

5. بحث و تحلیل نتایج

در این بخش، میزان حساسیت توابع هدف در نتیجۀ تغییر پارامتر λ (احتمال از دسترس خارج شدن مراکز پیوند) و پارامتر تقاضا بررسی می‌شود. شکل 5، اثر تغییر مقادیر پارامتر λ را بر توابع هدف‎‍ نشان می‌دهد. محور افقی به تابع هدف اول (کمینه‌سازی هزینه‌ها) مربوط است، محور عمودی به تابع هدف دوم (بیشینه‌سازی جریان) ارتباط دارد و منحنی‌ها نیز بیانگر جواب‌های پارتو بر‎‍اساس مقادیر مختلف λ است.

همان‌طور که مشاهده می‌شود، احتمال از دسترس خارج شدن مراکز پیوند، تأثیر بسزایی در توابع هدف داشته باشد. با افزایش مقدار این پارامتر، مقدار تابع هدف اول افزایش می‎‍یابد و تابع هدف دوم کاهش پیدا می‌کند؛ بنابراین هرچه احتمال از دسترس خارج شدن یک مرکز پیوند کمتر باشد، هزینه‌های شبکۀ پیوند عضو کمتر است و همچنین جریان بیشتری پوشش داده می‌شود. با افزایش احتمال از دسترس خارج شدن یک مرکز پیوند، هزینه‌هایی نظیر هزینۀ انتقال بیمار متقاضی و عضو اهداشده به مرکز پشتیبان، با توجه به ‌احتمال افزایش فاصلۀ جغرافیایی و همچنین تغییر گونۀ حمل‌ونقل مناسب به‎‍جهت انتقال عضو، به‌منظور پیشگیری از هدر‎‍رفتن عضو پیوندی افزایش می‌یابد. همچنین با توجه به محدودیت زمانی که در انتقال عضو وجود دارد، با از دسترس خارج شدن یک مرکز، امکان هدررفتن عضو وجود دارد و تعداد پیوندهای ممکن از‎‍طریق انتقال به‌موقع گیرنده و عضو اهدا‎‍شده به مرکز پیوند، که درواقع همان جریان بین تسهیلات است، کاهش می‌یابد.

پارامتر بعدی بررسی‎‍شده، پارامتر تقاضاست. تأثیر تغییرات این پارامتر بر توابع هدف اول و دوم، در شکل 6 نشان داده شده است. همان‌گونه که مشاهده می‌شود، با افزایش میزان تقاضا، هزینۀ کل شبکه نیز افزایش می‌یابد. با افزایش بیشتر تقاضا، منحنی پارتو آنها کاملاً بر هم منطبق می‎‍شود (سه منحنی پارتوی آخر) و بیانگر این مطلب است که میزان هزینه‌ها از نقطه‌ای به بعد‎‍ ثابت می‌ماند؛ زیرا میزان تقاضای پاسخ داده نشده کاملاً به میزان عضو اهدایی وابسته است و تقاضای بیشتر از عرضه به تقاضای پاسخ داده نشده منجر می‌شود. همچنین با افزایش تقاضا، میزان کل جریان تا مقدار مشخصی رشد دارد و بعد از آن، تقاضای برآورده‎‍نشده تأثیری بر جریان کل ندارد.

6- نتیجه‌گیری

پیوند عضو از شاخه‌های اصلی حوزۀ سلامت و از روش‌های درمانی پیچیده در علم پزشکی است که در برخی موارد، مؤثرترین درمان است. ‎‍با وجود پیشرفت‌های پزشکی و تکنولوژی و اهمیت زیاد آن در حوزۀ سلامت، هنوز در بیشتر کشورها،‌ هزاران بیمار در انتظار دریافت عضو به سر می‌برند و تعداد زیادی از آنها قبل از دریافت عضو، فوت می‌کنند. یک شبکۀ پیوند عضو با کارآیی بالا، علاوه بر کاهش هزینه‌های شبکه، تأثیر چشمگیری در بهبود وضعیت لیست‌های انتظار عضو و آمار تلفات دارد. در این پژوهش با هدف کارایی بیشتر شبکۀ پیوند، یک مدل برنامه‌ریزی چندهدفه برای مسئلۀ مکان‎‍یابی-تخصیص تسهیلات شبکۀ پیوند ارائه شد. بهره‌گیری از پژوهش پیشنهادی، به بهبود فرآیند پیوند عضو کشور، به‌ویژه کاهش اعضای پیوندی از دست‌ رفته و نرخ مرگ‌ومیر ناشی از آن منجر می‎‍شود. عمدۀ تفاوتی که این مدل با تحقیقات گذشته دارد، بحث تعیین پشتیبان برای مراکز پیوند است. این مدل علاوه بر کمینه‌سازی مجموع کل هزینه‌های شبکۀ پیوند، بر‎‍ جریان عضو بین مراکز فراهم‌آوری و مراکز پیوند تمرکز کرده و به بیشینه‌سازی این جریان با در نظر گرفتن زمان سفر بررسی شده است. علاوه بر این، در این پژوهش به‌منظور نزدیک‎‍کردن مسئله به شرایط واقعی، سطح اول تسهیلات شبکه، بیمارستان‌ها در نظر گرفته‎‍ و جریان بین بیمارستان‌ها با مراکز فراهم‌آوری عضو لحاظ شد. به‌منظور حل مسائل در ابعاد بزرگ، یک الگوریتم ابتکاری بر مبنای الگوریتم شبیه‌سازی تبرید چندهدفه توسعه داده شد. نتایج نشان داده است که الگوریتم ابتکاری ا‎‍زلحاظ زمان حل، در حل نمونۀ مسائل متوسط و بزرگ، عملکرد نسبتاً بهتری در مقایسه با روش محدودیت اپسیلون تعمیم‌یافته دارد.

در ادامۀ این تحقیق و به‎‍جهت بهبود بیشتر کارایی شبکه، شانس موفقیت پیوند در هر مرکز، زمان انتظار در مراکز و استفاده از گونۀ حمل‌ونقل هوایی در انتقال بیماران اهداکننده و گیرنده مدنظر قرار گرفته می‎‍شود. در مدل ارائه‌شده، احتمال در دسترس بودن مراکز پشتیبان ثابت فرض شده است؛ بنابراین، فرض‎‍ دسترس‎‍نا‌پذیری مراکز پشتیبان برای توسعۀ مدل در نظر گرفته می‎‍شود. همچنین لحاظ مواردی نظیر ظرفیت برای مراکز فراهم‎‍آوری و پیوند به‎‍دلیل تراکم جریان ورودی، تلاش در جهت کمینه‌سازی عضوهای هدررفته، مکان‎‍یابی آژانس‌های حمل‌ونقل هم‎‍زمان با مکان‌یابی دیگر تسهیلات شبکه و بررسی تأثیر آن بر زمان انتقال عضوهای اهدایی و هزینه‌ها‎‍ در مطالعات آتی پیشنهاد می‌شود.

این مقاله برگرفته از پایان‌نامۀ کارشناسی ارشد خانم الهام شریفی با عنوان «مکان‎‍یابی تسهیلات بر‎‍ شبکۀ پیوند عضو با در نظر گرفتن پشتیبان برای مراکز پیوند» در دانشگاه صنعتی اصفهان است.

[i] Organ Transplant Network

[ii] Stahl et al.

[iii] Kong et al.

[iv] Branch and Price

[v] Zahiri et al.

[vi] Robust Possibilistic Programming

[vii] Simulated Annealing

[viii] Differential evolution

[ix] Rajmohan et al.

[x] Aghazadeh et al.

[xi] Rabbani & Talebi

[xii] Goli et al.

[xiii] Salimian & Mousavi

[xiv] Fathollahi-Fard et al.

[xv] Madani et al.

[xvi] Haimes et al.

[xvii] Lexicographic

[xviii] Hybrid Multi-Objective Simulated Annealing (HMOSA)

[xix] Bandyopadhyay et al.

[xx] Hyperarea

[xxi] Mean Ideal Distance

[xxii] Diversification Metric

[xxiii] Spacing Metric