1- مقدمه[1]

امروزه نمایش گرافیکی فعالیت‌های الکتریکی قلب یا همان سیگنال‌های الکتروکاردیوگرام (ECG) نقش بسیار مهمی در تعیین و تشخیص و یا حتی پیشگیری از بیماری‌های مختلف قلبی دارند. برای تشخیص‌دادن دقیق بیماری‌های گوناگون لازم است این سیگنال‌ها به‌صورت طولانی مدت (یک یا دو هفته و یا حتی بیشتر به‌صورت پیوسته) ضبط و ثبت شوند. ذخیره‌سازی، ارسال و یا پردازش این مقدار زیاد از اطلاعات، مخصوصاً اگر با چندین الکترود و با رزولوشن بالا نمونه‌برداری شوند، بسیار مشکل است و فضای ذخیره‌سازی و زمان بسیار زیادی را می‌طلبد؛ ازاین‌رو، لازم است سیگنال‌های مدّنظر با استفاده از روش‌هایی فشرده شوند.

در سال‌های گذشته روش‌های بسیار زیادی برای فشرده‌سازی بهینه و با میزان فشرده‌سازی بالا برای سیگنال‌های قلبی استفاده شده‌اند. قبل از مطرح‌شدن نظریۀ حسگری فشرده، روش‌ها بیشتر مبتنی بر روش‌های مستقیم فشرده‌سازی بوده‌اند. روش‌هایی مانند (AZTEC)[1]، [2](CORTES) و (SAPA)[3] [1-3] از روش‌های فشرده‌سازی مستقیم هستند که بر پایۀ برداشتن مستقیم نمونه‌های مهم سیگنال و حذف قسمت‌های غیرمهم هستند. در این روش‌ها بیشتر قسمت‌های سیگنال حذف می‌شوند؛ همچنین گاهی حتی قسمت‌های مهم، دادۀ قابل حذف تلقی و با دیگر داده‌ها حذف می‌شوند. از دیگر روش‌های فشرده‌سازی، استفاده از تبدیل‌هایی برای بردن سیگنال به فضایی دیگر است. تبدیل‌هایی مانند تبدیل فوریه، تبدیل کسینوسی گسسته و تبدیل موجک گسسته ازجملۀ این تبدیل‌ها هستند که بارها استفاده می‌شوند [4-8]؛ بااین‌حال، میزان فشرده‌سازی این تبدیل‌ها چندان مطلوب نیست و هیچ‌کدام از این تبدیل‌ها، ماتریس پایۀ مناسبی را برای سیگنال‌های قلبی، به دلیل شباهت‌نداشتن به آن‌ها تشکیل نمی‌دهند. روش سوم استفاده‌شده برای فشرده‌سازی سیگنال‌های قلبی، استفاده از روش‌های استخراج پارامتر است که درواقع، ترکیبی از روش فشرده‌سازی مستقیم و تبدیل‌های ذکر شده است؛ روش‌هایی مانند برداشتن پیک (PP)[4] و کوانتیزاسیون برداری (VQ)[5] [9].

روش حسگری فشرده (Compressed Sensing) روش جدید فشرده‌سازی انواع سیگنال‌ها است که در سال‌های اخیر بسیار استقبال و استفاده شده است. در این روش، نمونه‌برداری و فشرده‌سازی سیگنال‌های با نمایش تنک به‌صورت هم‌زمان انجام می‌گیرند. سیگنال‌های با نمایش تنک یا تقریباً تنک با استفاده از نمونه‌های بسیار کمتری نسبت به روش نمونه‌برداری نایکوییست بازسازی می‌شوند. در چند سال گذشته از نظریۀ حسگری فشرده نیز برای فشرده‌سازی سیگنال‌های قلبی به‌صورت تک الکترود و چند الکترود استفاده شده است. در [10] نظریۀ حسگری فشرده برای فشرده‌سازی یک الکترود سیگنال قلبی اعمال شده است. استفاده از روش حسگری فشرده برای فشرده‌سازی 12 تا 15 الکترود سیگنال قلبی نیز در سال‌های اخیر رواج داشته است [11-14]. در همۀ این منابع برای نمایش تنک سیگنال قلبی از ماتریس پایۀ موجک استفاده شده است. همان‌طور که در قسمت‌های قبل ذکر شد، ماتریس پایۀ موجک شباهت چندانی به سیگنال‌های قلبی ندارد و انتخاب ایدئالی برای تنک‌سازی سیگنال قلبی نیست. در [15] نشان داده شده است که سیگنال‌های قلبی بیشترین شباهت را به سیگنال گوسی دارند و سیگنال‌های قلبی به‌صورت کاملاً بهینه با استفاده از توابع گوسی مدل می‌شوند. با توجه به این شباهت، در این مقاله ماتریس پایه‌ای شامل کرنل‌های گوسی برای تنک‌سازی الکترود‌های سیگنال قلبی ساخته شده است. درنهایت برای به دست آوردن نمایش تنک سیگنال قلبی باید مسئلۀ بهینه‌سازی را حل کرد.

در این مقاله، نظریۀ حسگری فشرده برای چندین الکترود سیگنال قلبی به‌کار گرفته شد. ابتدا برای به دست آوردن نمایش تنک سیگنال قلبی یک دیکشنری از کرنل‌های گوسی تشکیل شد تا شرایط لازم برای استفاده از نظریۀ حسگری فشرده برآورده شود. استفاده از این ماتریس پایه، بهبود میزان فشرده‌سازی را باعث خواهد شد. سپس یک ماتریس حسگری ساخته شد که شرایط لازم نظریۀ حسگری فشرده را برآورده سازد تا با آن سیگنال‌های مدّنظر با تعداد بسیار کمتری نمونه فشرده شود. در آخر با روش‌های بهینه‌سازی، سیگنال‌ها بازسازی شد و نشان داده‌ شد که می‌توان سیگنال‌ها را به‌صورت کاملاً بهینه و دقیق از حالت فشرده، خارج و بازسازی کرد.

در بخش 2 این مقاله، نظریۀ حسگری فشرده معرفی کوتاهی شده است. در بخش 3، نظریۀ حسگری فشرده به سیگنال‌های قلبی واقعی و مصنوعی اعمال شده‌اند. سپس در بخش 4، نتایج شبیه‌سازی و کارابودن نظریۀ پیشنهادی، ارائه و در بخش 5، جمع‌بندی و نتیجه‌گیری شده است.

2- مروری کوتاه بر نظریۀ حسگری فشرده

سه ریاضیدان پایه و اساس ریاضی روش حسگری فشرده را در سال 2004 بنا کردند و اثبات شد اگر سیگنال‌های مدّنظر خاصیت تنک‌بودن را برآورده کنند، در شرایط خاصی می‌توان آن‌ها را به نسبت بسیار زیادی فشرده کرد. شرط اولیه، خاصیت تنک‌بودن سیگنال‌ها است. تنک‌بودن به این معنی است که بیشتر نمونه‌های سیگنال، صفر و یا نزدیک به صفر باشند؛ بنابراین از این نمونه‌های غیر‌صفر که تعدادشان نسبت به ابعاد سیگنال بسیار کم است، برای نمایش سیگنال استفاده می‌شوند. شرط تنک‌بودن سیگنال‌ها در نظریۀ حسگری فشرده به همان اندازۀ شرط پهنای باند در نظریۀ نایکوییست اهمیت دارد [16]. درواقع اگر این شرط برقرار نباشد، استفاده از نظریۀ حسگری فشرده امکان‌پذیر نخواهد بود. از نظر ریاضی، سیگنالی مانند  را k-تنک نامیده می‌شود هرگاه k تا از نمونه‌های سیگنال غیرصفر و بقیه صفر باشند. بیشتر سیگنال‌های موجود ازجمله سیگنال‌های قلبی خاصیت تنک‌بودن را ندارند؛ بنابراین لازم است یک ماتریس پایه مانند  تعریف شود تا با آن، نمایش تنک سیگنال به‌دست آید. در این صورت سیگنالی مانند x، k-تنک نامیده می‌شود؛ زیرا می‌توان سیگنال را به‌صورت  نوشت که در آن  و  است.

سیگنال‌های قلبی با چندین الکترود (12 تا 15 الکترود) به‌صورت هم‌زمان نمونه‌برداری می‌شوند؛ بنابراین الگوی نمایش تنک برای نمونه‌های چند-الکترود به‌صورت زیر است:

که در آن  ماتریسی شامل S سیگنال قلب است و هر ستون از ماتریس X نشان‌دهندۀ یک الکترود است.  همان ماتریس پایه است و  نمایش تنک هرکدام از سیگنال‌های قلبی است؛ به‌گونه‌ای که c_j  نمایش تنک به الکترود x_j مربوط است.

با به دست آوردن نمایش تنک سیگنال، شرط اولیه نظریۀ حسگری فشرده برآورده می‌شود و سیگنال‌ها مطابق فرمول زیر فشرده می‌شوند:

که در آن  ماتریس اندازه‌گیری است و  سیگنال فشرده‌شدۀ مربوط به هرکدام از الکترود‌های سیگنال قلبی است. مسئلۀ مهم و شرط دیگر استفاده از نظریۀ حسگری فشرده‌ساختن ماتریس اندازه‌گیری مناسب است. در [17-18] دو ریاضیدان به نام‌های کاندس و تائو اثبات کردند اگر هرکدام از درایه‌های ماتریس اندازه‌گیری نمونه‌هایی مستقل از هم و به‌صورت یکسان پخش‌شده‌ای از یک توزیع گوسین(iid) باشند، ماتریس اندازه‌گیری مهم‌ترین شرط نظریۀ حسگری فشرده به نام RIP[6] را برآورده می‌کند. طبق این شرط، اگر  وجود داشته باشد، ماتریسی مانند  شرط RIP با درجۀ k را برآورده می‌کند؛ به‌گونه‌ای‌که

نتایج ریاضی نشان می‌دهند اگر ماتریس اندازه‌گیری این خاصیت را برآورده سازد، استفاده از نظریۀ حسگری فشرده ممکن خواهد بود؛ به‌گونه‌ای‌که یک سیگنال N بعدی به یک سیگنال فشردۀ m بعدی تبدیل می‌شود؛ به‌طوری‌که .

مقدار m باید به گونه‌ای باشد که نامساوی زیر را برآورده سازد

که در آن  است.

برای بازسازی سیگنال، روش‌های بهینه‌سازی متعددی وجود که دارند که با توجه به نوع کاربرد می‌توان هریک از آن‌ها را برای حل مسئلۀ مدّنظر انتخاب کرد.

3- بیان الگوریتم پیشنهادی

در این قسمت، الگوریتم پیشنهادی برای فشرده‌سازی سیگنال‌های قلبی معرفی شده است. همان‌طور که ذکر شد، سیگنال‌های قلبی در حالت عادی خاصیت تنک‌بودن را ندارند و برای به دست آوردن نمایش تنک این سیگنال‌ها ماتریس پایۀ مناسبی لازم است. ابتدا باید ماتریس پایه‌ای با کرنل‌های گوسی ساخته شود تا نمایش تنک سیگنال به‌دست آید. سپس با استفاده از ماتریس اندازه‌گیری مناسبی که شرط RIP را برآورده می‌کند، سیگنال اصلی N بعدی به m بعد فشرده می‌شود . نشان‌دادن اینکه ماتریس اندازه‌گیری خاصیت مهم RIP را برآورده می‌کند، آسان نیست و به حل و اثبات روابط پیچیده و دشوار ریاضی نیازمند است؛ ازاین‌رو، معمولاً سعی می‌شود به‌جای استفاده از خاصیت RIP از معادل‌های دیگر این شرط برای اثبات کارکرد ماتریس اندازه‌گیری استفاده شود. بدین منظور از مفهوم همبستگی (Coherency) استفاده خواهد شد. بدین معنا که شباهت میان ستون‌های ماتریس اندازه‌گیری طبق رابطۀ (5) محاسبه می‌شود؛

که در آن  و  ستون‌های ماتریس اندازه‌گیری هستند. اگر همبستگی به اندازۀ کافی کم باشد، بازسازی‌شدن سیگنال فشرده‌شده با حداقل خطا تضمین می‌شود [19]. همچنین مقدار همبستگی همواره در بازۀ  قراردارد. ماتریس حسگر کلی  نیز باید خاصیت (RIP) را برآورده سازد.

اولین قدم برای فشرده‌سازی سیگنال‌های مدّنظر به دست آوردن نمایش تنک سیگنال است. بدین‌منظور باید ماتریس پایه‌ای با کرنل‌های گوسی ساخته شود. برای این کار باید توابع گوسی به مقدار کافی با میانگین‌ها و واریانس‌های مختلف داشته باشیم. یک کرنل گوسی به‌صورت زیر در نظر گرفته می‌شود؛

که در آن a و b پارامترهای تنظیم هستند که به ترتیب برای جا‌به‌جایی و مقیاس هستند. برای ساختن ماتریس پایه‌ای که مناسب سیگنال‌های قلبی باشد، باید بازه‌های مناسبی برای جا‌به‌جایی و مقیاس انتخاب شوند. یکی از مشخصه‌های سیگنال قلبی این است که پیک R در این سیگنال‌ها کاملاً مشخص و درخور شناسایی است. از این خاصیت برای یافتن بازۀ مناسب مقادیر جا‌به‌جایی استفاده می‌شود؛ برای مثال با پیداکردن پیک R در سیگنال مربوطه و دانستن اینکه طول بازۀ پیک‌های P-R وR-T، برای فرکانس نمونه‌برداری 360 هرتز، در یک سیگنال نرمال قلبی به ترتیب حداکثر 200 و 450 میلی‌ثانیه هستند، تعداد نمونه‌های مربوط به این بازه‌ها به‌دست می‌آید. تعداد نمونه‌های مربوط به بازه‌های P-R و R-T به ترتیب 72 نمونه و 162 نمونه هستند. بنابراین جابه‌جایی مربوط به کرنل‌های گوسی باید در بازۀ  قرار داشته باشند تا یک دورۀ تناوب از سیگنال قلبی را کاملاً پوشش دهند. در این بازه،  اندیس مربوط به پیک R است. علاوه بر این، مطابق [15] بازۀ مناسب برای مقیاس یک سیگنال قلبی با فرکانس نمونه‌برداری 360 هرتز [02/0-06/0] است. اندازۀ ستون‌های ماتریس پایۀ  برابر با  است که در آن r و t به ترتیب تعداد مقادیر مختلف جا‌به‌جایی و مقیاس کرنل‌های گوسی هستند. درنهایت ماتریس پایه به‌صورت زیر است:

پس از ساختن ماتریس پایه، نمایش تنک سیگنال به‌دست می‌آید. برای به دست آوردن نمایش تنک، روش‌های متفاوتی ازجمله روش‌های بهینه‌سازی محدب وحریص وجود دارند که می‌توان از هرکدام از آن‌ها استفاده کرد. در این مقاله از روش بهینه‌سازی حریص OMP استفاده شده است که یکی از بهترین و متداول‌ترین روش‌ها برای حل مسائل بهینه‌سازی در نظریۀ حسگری فشرده و بازسازی سیگنال‌ها از حالت فشرده است. الگوریتم OMP کار خود را با یافتن ستونی از ماتریس پایۀ  آغاز می‌کند که بیشترین شباهت را به سیگنال مربوطه دارد. این الگوریتم این کار را با پیداکردن شباهت بین ماتریس پایه و باقیماندۀ سیگنال انجام می‌دهد که باقیماندۀ سیگنال با کم‌کردن جزء حساب‌شده در مرحلۀ قبل از سیگنال اصلی محاسبه می‌شود. مراحل مختلف اجرای الگوریتم OMP در شکل (1) آمده است که در آن  نشان دهندۀ عملگر آستانه‌گذاری سخت‌روی x است که همۀ جزءهای ورودی غیر از k ورودی از x که بیشترین مقدار دامنه را دارند، صفر قرار می‌دهد [19].

از الگوریتم OMP برای به دست آوردن نمایش تنک تمامی الکترود‌های سیگنال قلبی به‌صورت جدا استفاده می‌شود. پس از به دست آوردن نمایش تنک تک‌تک الکترود‌ها و قراردادن هریک از آن‌ها در ستون‌های یک ماتریس، شرایط برای استفاده از نظریۀ حسگری فشرده فراهم می‌شود. قدم بعدی، ساختن ماتریس اندازه‌گیری است که شرط RIP را برآورده سازد. پس از ساختن این ماتریس، فشرده‌سازی با استفاده از (7) انجام می‌گیرد؛

شکل (1): مراحل مختلف الگوریتم OMP

ماتریس حسگر نیز باید شرط RIP را برآورده کند. با استفاده از شبیه‌سازی‌های کامپیوتری به‌صورت تجربی نشان داده‌ شد این ماتریس همبستگی کمی بین ستون‌ها دارد و درنتیجه، شرط RIP را برآورده می‌سازد؛ هرچند اثبات ریاضی و منطقی اینکه ماتریس حسگر این شرط را برآورده می‌کند را به تحقیقات آینده موکول کرده‌ایم.

4- نتایج شبیه‌سازی

در این قسمت نتایج شبیه‌سازی الگوریتم پیشنهادی برای فشرده‌سازی سیگنال‌های قلبی آورده شده است. این تکنیک برای فشرده‌سازی سیگنال‌های مصنوعی و واقعی استفاده شده است. سپس میانگین خطای بازسازی برای سیگنال مصنوعی اصلی و بازسازی‌شده حساب شده است. نمودار میزان فشرده‌سازی بر حسب میانگین مربعات خطا نیز آورده شده است که میزان ابعاد سیگنال اصلی و بازسازی‌شده را به خطای بازسازی مربوط می‌کند. در آخر نیز روش پیشنهادی در [8] که در آن از ماتریس پایۀ موجک استفاده شده است با الگوریتم پیشنهادی مقایسه شده است. نتایج شبیه‌سازی، برتری ماتریس پایه گوسی و الگوریتم پیشنهادی را در مقایسه با استفاده از ماتریس پایۀ موجک نشان می‌دهند.

4-1- فشرده‌سازی سیگنال قلبی مصنوعی

برای ارزیابی مؤثربودن عملکرد الگوریتم پیشنهادی از سیگنال قلبی مصنوعی نیز به دلیل در دسترس بودن سیگنال اصلی استفاده شده است.  مزیت در دسترس بودن سیگنال اصلی، اضافه‌کردن نویز به آن و بررسی‌کردن عملکرد الگوریتم به‌ازای شرایط مختلف است. همچنین میزان خطای واقعی از این راه به‌دست می‌آید. طریقۀ ساخت یک الکترود سیگنال قلبی به‌صورت مصنوعی در [16] معرفی شده است.

با استفاده از الگوی یک کانالۀ تولید سیگنال قلبی مصنوعی، ابتدا یک تناوب از سیگنال قلبی مصنوعی تولید شده است. سپس فیلتر کالمن استاندارد که در [21] معرفی شده، نویز مصنوعی را با استفاده از تخمین پارامتر‌های متغیر بازمان AR به‌دست آورده است. نویز تولیدشدۀ این روش، تمامی ویژگی‌های نویز سیگنال قلبی واقعی را داراست. الگوی ساده‌شده و گسسته برای تولید سیگنال قلبی مصنوعی به‌صورت زیر است؛

(8)

که در آن ،  نویز اضافه‌شده به سیگنال و جمع بر روی i شامل پنج موج غالب در سیگنال قلبی است (P,Q,R,S,T). پارامترهای لازم برای رابطۀ (8) در جدول (1) آمده است.

جدول (1): پارامترهای تولید سیگنال قلبی مصنوعی

با داشتن معادلات دینامیکی و پارامترهای لازم، سیگنال قلبی مصنوعی با فرکانس نمونه‌برداری دلخواه تولید می‌شود. برای نمونه، یک دورۀ تناوب از این سیگنال در شکل (2) نشان داده شده است. فرکانس نمونه‌برداری آن 500 هرتز است.

نمایش تنک سیگنال که با استفاده از ماتریس پایۀ  با ابعاد6000×3000 به‌دست آمده، در شکل (3) نمایش داده شده است. ضرایب غیرصفر با استفاده از الگوریتم  OMP به‌دست آمده که در آن میزان تنک‌بودن سیگنال 55 است.

ماتریس اندازه‌گیری A ابعاد 3000×130 دارد که ورودی‌های آن از توزیع‌های i.i.d گوسی با میانگین صفر و واریانس 1 برداشته شده است. عدد 130 مطابق رابطۀ (4) انتخاب شده که برابر با اندازۀ سیگنال فشرده شده است. نمایش تنک بازسازی‌شده پس از فشرده‌سازی نیز در شکل (3) نشان داده شده است. در این قسمت نیز دوباره از الگوریتم OMP برای بازسازی نمایش تنک سیگنال استفاده شده است. همان‌طور که در شکل (3) مشخص است نمایش تنک بازسازی‌شده بر نمایش تنک اصلی در بیشتر محل‌های مهم منطبق بوده و به‌خوبی بازسازی شده است. پس از بازسازی ضرایب تنک، سیگنال قلبی با استفاده از این ضرایب، بازیابی شده است. همان‌طور که در شکل (2) مشخص است سیگنال قلبی بازسازی‌شده بر روی سیگنال اصلی کاملاً منطبق است و نشان از بازسازی دقیق آن دارد. در شکل (4) سیگنال اصلی به‌همراه نمایش تنک آن نشان داده شده است. از شکل (4) کاملاً مشخص است که ضرایب تنک کاملاً منطبق بر سیگنال اصلی است و الگوریتم OMP در راستای تشخیص محل ضرایب مهم و تخمین اندازۀ آنها درست عمل کرده است. در شکل (5) نیز سیگنال فشرده‌شده نمایش داده شده است.

برای نمایش مؤثربودن الگوریتم پیشنهادی در زمینۀ صاف‌ترکردن سیگنال و کاهش نویز، یک سیگنال دیگر نیز با افزایش نویز در شکل (6) آورده شده است. نسبت سیگنال به نویز در سیگنال شکل (6) نسبت به شکل (2)، 7 دسیبل کاهش یافته است. همان‌طور که در شکل مشخص است سیگنال بازسازی‌شده کاملاً صاف‌تر است و از اثر نویز به نسبت بسیار زیادی کاسته شده است.

شکل (2): سیگنال اصلی و بازسازی‌شده

شکل (3): نمایش تنک سیگنال و شکل بازسازی‌شدۀ آن

شکل (4): سیگنال اصلی و نمایش تنک آن

شکل (5): نمایش سیگنال فشرده‌شده

شکل (6): سیگنال اصلی و بازسازی‌شده با افزایش نویز

شکل (7) میزان میانگین خطای بازسازی برای سیگنال قلبی مصنوعی و شکل بازسازی‌شدۀ آن با 100 بار آزمایش مونته کارلو را نشان می‌دهد که با (9) محاسبه شده است؛

(9)

که در آن  و  به ترتیب سیگنال اصلی و سیگنال بازسازی‌شده هستند.

شکل (7): میانگین خطای بازسازی برای سیگنال اصلی و بازسازی‌شده

در مرحلۀ بعد برای ارزیابی عملکرد الگوریتم پیشنهادی و قدرت فشرده‌سازی آن، معیار میزان فشرده‌سازی به‌صورت زیر معرفی شده است؛

که در آن m طول سیگنال فشرده‌شده و N طول سیگنال اصلی هستند. مطابق (10) CR از 1 تا ∞ تغییر می‌کند (1≤CR<∞). رابطۀ بین CR و خطای بازسازی شده برای سه مقدار متفاوت N توسط شبیه سازی مونته کارلو محاسبه شده است؛

شکل (8) رابطۀ بین خطای بازسازی‌شده و میزان فشرده‌سازی را نشان می‌دهد. دامنۀ سه نمودار نشان داده شده به دلیل متغیربودن N یکسان نیست و برای هر یک متفاوت است.

شکل (8): میزان فشرده‌سازی و خطای بازسازی مربوط به آن

4-2- فشرده‌سازی سیگنال قلبی واقعی

در این قسمت الگوریتم پیشنهادی به سیگنال قلبی واقعی اعمال شده و نتایج به‌دست‌آمده با الگوریتم پیشنهادی در [8] مقایسه شده که در آن از ماتریس پایۀ موجک استفاده شده است و نتایج شبیه‌سازی، برتری محسوس الگوریتم پیشنهادی و استفاده از ماتریس پایۀ گوسی را بر استفاده از موجک گسسته نشان می‌دهد.

پانزده الکترود سیگنال قلبی واقعی با فرکانس نمونه‌برداری 360 هرتز از بانک اطلاعاتی فیزیونت (Physionet ATM) برداشته شده‌اند [21]. سیگنال قلبی به یک خانم 44 سالۀ غیر سیگاری مربوط است.

به دلیل آنکه سیگنال‌های قلبی واقعی معمولاً نویز زیادی دارند، مقداری از ضرایب تنک تولیدشده، اضافی و به نویز سیگنال مربوط هستند؛ بنابراین برای حذف ضرایب اضافی از یک روش آستانه‌گذاری استفاده شده است؛ به‌طوری‌که؛

که اگر در آن، ضریب تنک تولیدشده از آستانۀ T بزرگ‌تر باشد، ضریب مهم تلقی می‌شود و اگر از آن کوچک‌تر باشد، ضریب غیرمهم، تلقی و برابر با صفر می‌شود. با استفاده از این روش آستانه‌گذاری ضرایب تنک تولیدشده از 55 به 30 تقلیل پیدا می‌کند. یک دورۀ تناوب از الکترود دوم این سیگنال قلبی همراه با نمایش تنک آن در شکل (9) نشان داده شده است که در آن مقیاس نمایش تنک برای هماهنگ‌شدن با سیگنال اصلی تغییر داده شده است. نمایش تنک اصلی آورده‌شده در شکل (10) از دیکشنری به ابعاد 6000×800 استفاده کرده است. نمایش سیگنال فشرده‌شده  نیز در شکل (11) آورده شده است.

شکل (9): سیگنال قلبی واقعی و نمایش تنک آن

شکل (10): نمایش تنک الکترود دوم سیگنال قلبی واقعی

این کار برای تک‌تک الکترودها به‌صورت جداگانه، انجام و سپس سیگنال‌ها بازسازی شده‌اند. نمایش سیگنال اصلی و بازسازی‌شده هر 15 الکترود سیگنال قلبی به‌صورت یکجا در شکل (14) آورده شده‌اند. تطابق تک‌تک سیگنال‌های بازسازی‌شده و سیگنال‌های اصلی با وجود میزان فشردگی زیاد نشان‌دهندۀ دقت الگوریتم پیشنهادی است.

در قسمت بعدی سیگنال قلبی با استفاده از ماتریس پایۀ موجک همانند [8] به حالت تنک درآورده و سپس نظریۀ حسگری فشرده به سیگنال قلبی اعمال شده است. بدین‌منظور از تابع مادر دابشیتز 3 (db3) استفاده شده و تبدیل ویولت تا سه مرحله انجام شده است. همان‌طور که در شکل (12) مشخص است میزان تنک‌بودن سیگنال در این حالت برابر با 104 است. همچنین در این نمایش تنک مقدار ضرایب جزئی برابر صفر هستند.

شکل (11): سیگنال فشرده‌شده

شکل (12): نمایش تنک الکترود دوم سیگنال قلبی واقعی

به‌منظور مقایسه دو دیشکنری، خطای بازسازی هرکدام به‌ازای CRهای متفاوت نشان داده شده است. به این صورت که خطای بازسازی برای هرکدام از الکترود سیگنال قلبی محاسبه شده است؛ سپس خطای هرکدام از الکترودها با هم جمع زده و میانگین گرفته شده است. شکل (13) مقایسۀ عملکرد دو الگوریتم را به‌ازای میزان‌های فشرده‌سازی متفاوت نشان می‌دهد. برتری الگوریتم پیشنهادی و استفاده از ماتریس پایۀ گوسین بر استفاده از ماتریس پایۀ موجک گسسته کاملاً مشخص است. نتایج شبیه­سازی برای شش نفر متفاوت از پایگاه داده Physionet در جدول (2) آورده شده‌اند. ستون اول این جدول حاوی خطای بازسازی برای الگوریتم پیشنهادی با استفاده از توابع پایه گوسی پیشنهادی است و ستون دوم نیز نشان‌دهندۀ خطای بازسازی در حالتی از توابع پایه ویولت است. میزان بهبود کیفیت متوسط نیز در سطر آخر این جدول آورده شده که تأییدکننده عملکرد بهتر الگوریتم فشرده‌سازی با استفاده از روش پیشنهادی است.

شکل (13): میزان خطای بازسازی الگوریتم پیشنهادی و الگوریتم [8] به‌ازای میزان‌های فشرده‌سازی متفاوت

جدول (2): خطای بازسازی برای الگوریتم پیشنهادی با کرنل‌های گوسی و ویولت

S0190lrem             0.0321                                   0.2327                         

S0195lrem             0.0055                                   0.177     

S0242lrem             0.0077                                   0.2702

5- نتیجه‌گیری

در این مقاله، روش جدیدی برای الگو‌کردن سیگنال قلبی و فشرده‌سازی آن براساس نظریۀ حسگری فشرده ارائه شد. در ابتدا نمایش تنک سیگنال‌ها برای استفاده از این روش لازم است که با استفاده از ماتریس پایه‌ای با کرنل‌های گوسی و روش بهینه‌سازی حریص، نمایش تنک تک‌تک سیگنال‌ها به‌دست آورده شده است. سپس نظریۀ حسگری فشرده برای فشرده‌سازی سیگنال‌ها به‌کار برده شده و سیگنال‌ها با تعداد نمونه‌های بسیار کمتری نسبت به سیگنال اصلی فشرده شده است. برای بازسازی لیدهای سیگنال قلبی نیز دوباره از روش بهینه‌سازی حریص استفاده شده است و سیگنال‌ها به‌طور کامل و با دقت بالا بازسازی شده‌اند. این روش برای سیگنال‌های قلبی مصنوعی و طبیعی به‌کار برده شده است. دقت الگوریتم برای سیگنال قلبی مصنوعی با نمایش میزان‌های فشرده‌سازی متفاوت و میزان خطای بازسازی نشان داده شده است. برای سیگنال قلبی واقعی نیز بین یکی از روش‌های رایج فشرده‌سازی سیگنال‌های قلبی و روش پیشنهادی مقایسه‌ای انجام شده که با نشان‌دادن میزان خطای بازسازی، برتری الگوریتم پیشنهادی نشان داده شده است.

(الف) الکترود اول

(ب) الکترود دوم

(پ) الکترود سوم

(ت) الکترود چهارم

(ث) الکترود پنجم

(ج) الکترود ششم

(چ) الکترود هفتم

(ح) الکترود هشتم

(خ) الکترود نهم

(د) الکترود دهم

شکل (14): سیگنال‌های قلبی اصلی و بازسازی‌شده از الکترود اول تا دهم