تعدیل روش حداقل مجذورات برای تعیین وزن شاخص‌ها در محیط فازی شهودی

تعدیل روش حداقل مجذورات برای تعیین وزن شاخص‌ها در محیط فازی شهودی

عماد روغنیان^1*

1- دانشیار دانشکده مهندسی صنایع دانشگاه خواجه نصیر طوسی، تهران، ایران

چکیده

تاکنون فرآیند تجزیه وتحلیل سلسله ‌مراتبی به طورگسترده‌ای به منظورتصمیم‌گیری درمسائل واقعی به کارگرفته شده است. اما علیرغم سادگی وکارایی بالای آن، به جهت عدم درنظرگرفتن بی‌دقتی وعدم اطمینان ذاتی ادراکات تصمیم‌گیرندگان، اغلب مورد انتقاد قرارگرفته است. بدین منظوردراکثر روشهای حل مدل تجزیه وتحلیل سلسله مراتبی ازاعداد فازی برای انجام مقایسات زوجی استفاده گردیده وتابع عضویت مبنای تعیین وزن معیارها و زیرمعیارها بوده است. این مقاله درصدد است تابا استفاده ازداده‌های فازی شهودی که درآنها تابع عدم عضویت نیزدرارزیابی ها اعمال می‌شود به ارائه مدلی جدید بپردازد.

واژه‌های کلیدی: فرآیند تجزیه و تحلیل سلسله مراتبی، مجموعه های فازی شهودی، مقایسات زوجی.

مقدمه

فرایند تجزیه‌وتحلیل سلسله‌مراتبی¹(AHP) در سال 1980 به‌همت ساعتی، ابداع و ارائه شده است. این فرایند، تصمیم‌گیرندگان را یاری می‌کند تا اولویت‌ها را براساس اهداف، دانش و تجربۀ خود تنظیم کنند، به‌نحوی‌که احساسات و قضاوت‌‌های خود را به‌طور کامل در نظر گیرند. برای حل مسائل تصمیم‌گیری از طریق AHP، باید مسئله را به‌دقت و با همۀ جزئیات، تعریف و تبیین کرد و جزئیات آن را به‌صورت ساختار سلسله‌مراتبی ترسیم کرد ( مؤمنی، 1387). AHP یک ابزار مؤثر و کارا در دادن ساختار و مدل‌سازی مسائل چندمعیاره است که به طور موفقیت‌آمیزی در کاربردهای متنوع مدیریتی استفاده شده است (هوانگ² و همکاران، 2006).

در AHP معمولی، نظرهای تصمیم‌گیرندگان در قالب یک عدد قطعی بیان می‌شود، اما این کار ممکن است به دلیلی ابهام و عدم‌‌اطمینان موجود در ارزیابی به‌خوبی میسر نباشد؛ چرا که بسیاری از معیارها ذاتاً کیفی و ذهنی بوده و برای تصمیم‌گیرنده اختصاص یک عدد کمی مطلق و قطعی برای ارزیابی آن‌ها غیرممکن است. به همین دلیل تصمیم‌گیرندگان ترجیح می‌دهند از اعداد فاصله‌ای یا فازی بدین‌منظور استفاده کنند (زنجیرچی، 1390). ازاین‌رو تاکنون مدل‌‌های AHP فازی بسیاری ارائه شده است که از داده‌‌های فازی برای ارزیابی و انتخاب گزینه‌های مناسب استفاده می‌کنند.

بیان مسئله و ضرورت تحقیق

در مدل‌های AHP فازی ارائه شده تاکنون، استفاده از مجموعه‌های فازی به‌منظور سازگاری بیشتر با عبارات زبانی و بعضاً مبهم انسانی بوده است تا با ارائۀ قضاوت‌های فاصله‌ای به‌جای قضاوت‌های ارزشی ثابت، تصمیم‌گیری مطمئن‌تر و معتمدتری به عمل آید، حال آنکه درجۀ تردید و اطمینان‌نداشتن تصمیم‌گیرندگان در مقایسات زوجی شاخص‌ها و تعیین اولویت‌ها فرموله نمی‌شد.

در تئوری مجموعه‌های فازی که زاده³(1965)، ارائه داده، درجۀ عضویت اعداد فازی بین صفر و یک بوده و درجۀ عدم‌عضویت تنها مکمل درجه عضویت از یک است. این در حالی است که زمانی که تصمیم‌گیرنده، نظر خود را در قالب یک عنصر از مجموعۀ فازی بیان می‌کند درجۀ عدم‌عضویت‌ را به‌عنوان مکمل درجۀ عضویت از یک در نظر نمی‌گیرد و درواقع ممکن است درجۀ تردیدی⁴ وجود داشته باشد. ازاین‌رو به‌منظور گسترش مجموعه‌های فازی، مجموعه‌های فازی شهودی⁵ معرفی شدند که به‌وسیلۀ دو مفهوم درجۀ عضویت⁶ و درجۀ عدم‌عضویت⁷ نشان داده می‌شوند. این مجموعه‌ها ابزاری مناسب برای توصیف اطلاعات مبهم و نادقیق تصمیم و مواجهه با عدم‌قطعیت و ابهام موجود در فرایند تصمیم‌گیری هستند(وو و ژانگ⁸، 2010). هدف این مقاله، ارائۀ یک مدل AHP مبتنی بر مجموعه‌های فازی شهودی است که قادر است نه‌تنها اطلاعات نادقیق و مبهم بلکه عدم‌اطمینان و قطعیت تصمیم را در مقایسات زوجی به‌منظور تعیین وزن و اهمیت گزینه‌‌ها به‌خوبی اعمال کند.

مروری بر ادبیات موضوع

تاکنون بسیاری از محققان تئوری مجموعه‌های فازی شهودی را در انواع مختلفی از مسائل تصمیم‌گیری به کار گرفته‌اند. لیو و وانگ⁹(2007) روش‌های تصمیم‌گیری چندمعیارهمعیاره‌ای را بر پایۀ مجموعه‌های فازی شهودی ارائه کرده‌اند. آن‌ها ابتدا یک تابع ارزیابی برای اندازه‌گیری درجۀ رضایت و عدم‌رضایت تصمیم‌گیرندگان ارائه کردند، سپس مفهوم عملگرهای نقطه‌ای فازی شهودی¹⁰ را بیان کردند تا به‌وسیلۀ آن درجۀ عدم‌قطعیت را کاهش دهند. بدین‌ترتیب مجموعه‌ایی از توابع امتیازدهی جدیدی را برای مسئلۀ تصمیم‌گیری چندمعیاره ارائه کردند. ژانگ و لیو¹¹(2011) روشی برای حل مسائل تصمیم‌گیری چندمعیاره فازی شهودی بر پایه تجزیه‌وتحلیل روابط خاکستری¹²(GRA) ارائه کردند. آن‌ها در روش پیشنهادی خود از روش میانگین وزنی فازی شهودی¹³(IFWA) به‌منظور محاسبۀ نقطه‌نظرات ادغامی تصمیم‌گیرندگان استفاده کردند، و در ادامه از روش آنتروپی فازی شهودی برای محاسبه اوزان معیارها و از روش GRA برای رتبه‌بندی گزینه‌ها استفاده نمودند. وو و ژانگ (2010) یکروش تصمیم‌گیری چندمعیاره برپایۀ آنتروپی وزنی فازی شهودی ارائه کردند. آن‌ها در مقالۀ خود از چندین مقیاس آنتروپی برای مجموعه‌های فازی شهودی برای به‌دست‌آوردن اوزان معیارها در روش تصمیم‌گیری چندمعیاره استفاده کردند. وانگ¹⁴ و همکاران (2011) یک رویکرد AHP مبتنی بر فازی شهودی (IF-AHP)برپایۀ تلفیق بردارهای ویژه از ماتریس مقایسات فازی شهودی¹⁵(IFCM)ارائه کردند و در ادامه برای اثبات اعتبار و درستی روش خود از دو مثال عددی استفاده کردند. هدف این مقاله ارائۀ یک مدل AHP با استفاده از داده‌های فازی شهودی است که در آن علاوه‌بر تابع عضویت، به تابع عدم‌عضویت نیز در ارزیابی‌ها مدنظر واقع می‌شود تا درجۀ اطمینان تصمیم‌گیرندگان از نظرهایی که ارائه می‌دهند به‌طور دقیق‌تری فرموله شود.

در ادامه، در بخش دوم به معرفی مجموعه‌های فازی شهودی و عملگرهای ریاضی مخصوص آن‌ها پرداخته می‌شود. در بخش سوم مدل پیشنهادی مقاله ارائه می‌گردد. در بخش چهارم یک مثال کاربردی ارائه شده و با استفاده از نرم‌افزار LINGO 8 حل می‌شود و در بخش نهایی نیز، نتیجه‌گیری مقاله بیان می شود.

مواد و روش‌ها

مجموعه‌های فازی شهودی (IFSs)

مجموعه‌های فازی شهودی را اولین‌بار اتاناسسو¹⁶ در سال 1986 ارائه داده است. این مجموعه‌ها با سه تابع که درجۀ عضویت، درجۀ عدم‌عضویت و درجۀ عدم‌قطعیت¹⁷ را نشان می‌دهند، توصیف می‌شوند.

تعریف1: یک مجموعۀ فازی شهودی A از مجموعۀ مرجع X به‌صورت زیر تعریف می‌شود (لیو و وانگ، 2007):

(1)

به‌طوری‌که توابع  و   به‌ترتیب درجۀ عضویت و درجۀ عدم‌عضویت عنصر  نامیده می‌شوند و همواره شرایط زیر برقرار است:

(2)

برای هر عنصر x ، درجه عدم‌قطعیت یک مجموعه فازی شهودی Aبه‌صورت زیر تعریف می شود:

(3)

اگر مقدار  کوچک باشد، دانش راجع‌به متغیر x قطعی‌تر است. اگر  بزرگ باشد، دانش دربارۀ x مبهم‌تر است. بدیهی است برای تمامی عناصر مجموعۀ مرجع، زمانی که رابطۀ   برقرار باشد، همان عدد فازی معمولی حاصل می‌شود (بوران¹⁸ و همکاران، 2009).

تعریف2: یک عدد فازی شهودی مثلثی¹⁹(TIFN)مانند  بر مجموعۀ اعداد حقیقی R، دارای   تابع عضویت و عدم‌عضویتی به‌صورت زیر است (لی²⁰، 2010):

(4)

(5)

مجموعۀ فازی شهودی مثلثی  در شکل (1) نمایش داده شده است.

شکل (1) عدد فازی شهودی مثلثی

تعریف3: اگر  و  دو عدد فازی شهودی مثلثی باشند و  نیز یک عدد حقیقی باشد، عملگرهای ریاضی مخصوص آن‌ها به‌صورت زیر است (لی، 2008):

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

ارائۀ مدل AHPبا استفاده از داده‌های فازی شهودی

در این بخش با استفاده از مفهوم مسئلۀ اولویت‌بندی فازی²¹، روشی برای حل مدل AHP با استفاده از داده‌های فازی شهودی مثلثی ارائه می‌شود. در این روش ابتدا بردار اولویت قطعی²² استخراج می‌شود به‌طوری‌که نسبت اولویت  تقریباً در قضاوت‌های اولیۀ فازی صدق کند یا به‌عبارت‌دیگر (داگدویرن و همکاران²³، 2008):

(12)

به جای تبدیل عبارت فوق به دو نامعادلۀ ساده خطی می‌توانیم برای هر قضاوت، تابع عضویت و عدم‌عضویتی تشکیل دهیم که نسبت به  خطی باشند:

(13)

و

(14)

به‌منظور تعیین مقادیر  و  می‌توان منطقۀ موجهی را از فصل مشترک محدودیت‌ها و با استفاده از عملگرهای min یا max تعیین و با استفاده از رویکرد max-min یا min-max جواب مدل را محاسبه کرد. با توجه به فرضیات ارائه‌شده، گام‌های رسیدن به مدل پیشنهادی به شرح زیر است:

گام 1 : تعریف بردار اولویتی برای توابع عضویت، به‌طوری‌که درجۀ کلی عضویت را حداکثر کند.

قانون تصمیم‌گیری حداکثر²⁴، برگرفته از تئوری بازی‌ها را برای اولین‌بار بلمن و زاده²⁵(1970)برای حل مسائل تصمیم‌گیری در محیط فازی به کار گرفته‌اند. زیمرمن²⁶(1990)نیز با به‌کارگیری این ایده برای مسائلی با اهداف و محدودیت‌های فازی خطی، نشان داد که مسئلۀ خطی فازی با تابع حداکثر، می‌تواند به مسئلۀ خطی عادی تبدیل شود. از همین رو داگدویرن و همکارانش (2008) از روش اولویت‌بندی فازی به‌منظور حداکثر‌سازی جواب بهینۀ برنامه‌ریزی خطی برای به‌دست‌آوردن اوزان شاخص‌ها در روش AHP استفاده کردند. در این مقاله نیز روش عمومی‌یافتن جواب حداکثر برای مسائل تصمیم‌گیری با اهداف و محدودیت‌های فازی، با استفاده از عملگر max-min پیشنهاد می‌شود. بنابراین متغیر  به‌صورت زیر تعریف می شود:

(15)

که ، kامین سطر از مجموعۀ محدودیت‌های فازی تابع عضویت را نشان می‌دهد. بنابراین تابع هدف برای حداکثر توابع عضویت به‌صورت زیر است:

(16)

k=1,2,…, m

گام 2: تعریف بردار اولویتی برای توابع عدم‌عضویت به‌طوری‌که درجۀ کلی عدم‌عضویت را حداقل کند.

بدین‌منظور روش عمومی‌یافتن جواب حداقل برای مسائل تصمیم‌گیری با اهداف و محدودیت‌های فازی، با استفاده از عملگر min-max پیشنهاد می‌شود و این بار متغیر  به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

(17)

بنابراین تابع هدف برای حداقل‌کردن توابع عدم‌عضویت به‌صورت زیر است:

(18)

k=1,2,…, m

گام 3 : حل مدل نهایی چندهدفه با توجه به دو مدل حاصل‌شده در گام‌های قبل:

(19)

k=1,2,…, m

برای حل این مدل ابتدا برای هر  یک بار مدل مینیمم () و یک بار مدل ماکزیمم () محاسبه می‌شوند تا حداکثر و حداقل جواب قابلِ‌قبول برای  حاصل شود. سپس برای  نیز مدل مینیمم ()و ماکزیمم () جداگانه حل می‌شوند تا حداقل و حداکثر جواب قابل قبول برای  نیز به دست آید. در ادامه با توجه به جواب‌های به‌دست‌آمده برای مدل‌های ذکرشده، توابع عضویت دو متغیر  و  به‌صورت زیر حاصل می‌شوند.

(20)

و

(21)

حال با استفاده از عملگر max-min مدلی برای توابع عضویت فوق تعریف می‌شود که در آن متغیر به‌صورت زیر مفروض است:

(22)

بنابراین تابع هدف برای حداکثر توابع عضویت ذکر شده به‌صورت زیر می باشد:

(23)

k=1,2,…, m

درنهایت،با توجه به روابط (13)، (14) ،(20) و (21)، مدل نهایی تحقیق به‌صورت زیر خواهد بود :

(24)

k=1,2,…, m

مثال کاربردی

در این بخش با ارائۀ مثالی کاربرد مدل پیشنهادی ارائه‌شده نشان داده می شود. اینمثال برای اندازه‌گیری سطح رقابت‌پذیرییک سازمان در چهارچوب تحلیل مدل نیروهایپنجگانه رقابتی پورتر با استفاده از رویکرد سلسله‌مراتبی AHP فازیاست. در ابتدا با استقرار تیم ارزیابی، معیارها و زیرمعیارها را شناساییمی‌کند و ساختار مدل تصمیم‌گیری به دست می‌آید. این معیارها و زیر معیارها به شکل زیرهستند :

- رقبای موجود(C) :

- مهارت رقبا  (C1)

- درک قدرت رقبا (C2)

- نرخ رشد بازار (C3)

- شرایط افزایش ظرفیت  (C4)

- افراد و رقبای بالقوه (PE)

- ویژگی‌های سرمایه‌گذاری‌های ثابت (PE1)

- درجۀ اهمیت از لحاظ مقیاس اقتصادی  (PE2)

- وفاداری مشتریان محصولات موجود به مارک خاص تجاری  (PE3)

- واکنش رقبای موجود (PE4)

- محصولات جانشین  (SP)

- قیمت پرداخت‌شده توسط خریداران برای محصولات جایگزین  (SP1)

- قیمت محصولات جایگزین  (SP2)

- کیفیت محصولات جایگزین  (SP3)

- مکان محصولات عمده و اصلی در منحنی عمر محصول (SP4)

- خریداران  (B)

- درجۀ شدت رقابت در بازار محصول (B1)

- شرایط جایگزینی محصولات اصلی و عمده (B2)

- درجۀ وفاداری سازمان به مشتریان خود(B3)

- تعداد مشتریان برای محصولات اصلی و عمده(B4)

- تأمین‌کنندگان (S)

- درجۀ شدت رقابت در بازار عرضه‌کنندگان (S1)

- درجۀ وفاداری به سازمان تأمین‌کنندگان موجود (S2)

- شرایط جایگزینی محصولات عرضه‌شده برای سایر محصولات (S3)

نمودار سلسله‌مراتبی حاصل از مدل پورتر به‌صورت شکل(2) است.

حال با توجه به نمودار سلسله‌مراتبی فوق و طراحی مقایسات زوجی، وزن هریک از معیارها و زیرمعیارها با استفاده از تکنیک AHP فازی شهودی پیشنهادی، به دست آورده می‌شود. مقایسات زوجی 5 معیار اصلی پورتر نسبت به هدف در جدول (1) نشان داده شده است.

جدول (1): ماتریس مقایسات زوجی ابعاد پنج‌گانه مدل پورتر

امروزهبسیاریازمدل‌هایبهینه‌سازی،اعمازخطیوغیرخطیبهکمکنرم‌افزارهایکامپیوتریبه‌سادگیتجزیهوتحلیلمی‌شوند.یکیازاین نرم‌افزارها 8LINGO²⁷است. این نرم‌افزار فرایند ایجاد و حل مسئلۀ بهینه‌سازی ریاضی را ساده‌تر و مؤثرتر می‌کند (راهنمای کاربران لینگو، 2008). برنامه‌نویسی گام‌به‌گام مدل‌های این تحقیق نیز با استفاده از نرم‌افزار LINGO 8صورت گرفته است.

وزن هر یک از معیارها و زیرمعیارها با استفاده از مدل AHP فازی شهودی پیشنهادی به‌صورت جدول (2) تعیین شده است.

جدول(2) وزن‌های نهایی زیرمعیارهای مدل پورتر با استفاده از مدل پیشنهادی

نتیجه‌گیری

تاکنوندرروش‌هایAHPفازیموجود،اوزانشاخص‌هابدوندرنظرگرفتندرجۀعدم‌‌عضویتاعدادفازیتعیینمی‌شدودرجۀاطمینانتصمیم‌گیرندگانازنظرهاییکهارائهمی‌دادندراتنهابایکدرجۀعضویتبیانمی‌کردند. ازاین‌روهدفمقالۀحاضرارائۀروشیبرایحلمدلAHPبااستفادهازداده‌هایفازیشهودیبودهکهعلاوه‌برتابععضویت،تابععدم‌عضویترادرانجاممقایساتزوجیاستفادهشود،تابااستفادهازاعدادفازیشهودیدرجۀاطمینانتصمیم‌گیرندگانرابادرجۀعضویتوعدم‌عضویتبه‌صورتدقیق‌تریفرمولهکند.

درهمینراستاابتداباارائهتعاریفیازمجموعههایفازیشهودیوعملگرهایریاضیآنها،گامهایرسیدنبهمدلپیشنهادیبیانگردیدهوسپسباارائهیکمثالکاربردینحوهبکارگیریمدلپیشنهادیبااستفادهازنرمافزار LINGO 8 تشریحگردیدهاست. نتایجحاکیازآناستکهمدلپیشنهادیمقالهکههردوتابععضویتوعدمعضویترادرانجاممقایساتزوجیمبنایمحاسباتقراردادهاست،بامحاسبهدقیقتردرجهاطمینانتصمیمگیرندگاننسبتبهمدلهایپیشینازنتایجدقیقتریبرخوردارمیباشد.

بهمنظوربهبودکیفیتتحقیقاتآتیدرزمینهتصمیمگیریدرمحیطفازیشهودییپیشنهادمیگرددازاعدادفازیشهودیارزشفاصلهای28 (IVIFNs) درایننوعتصمیمگیریهااستفادهشودونتایجباتحقیقاتحاضرمقایسهگردد.

منابع

زنجیرچی، سید محمود (1390). فرایند تحلیل سلسه مراتبی فازی، انتشارات صانعی شهمیرزادی.

مؤمنی، منصور (1387). مباحث نوین تحقیق در عملیات، انتشارات دانشکدۀ مدیریت دانشگاه تهران، چاپ دوم.

Atanassov, K,.(1986) "Intuitionistic fuzzy sets".Fuzzy Sets and Systems, 20, 87–96.

Bellman, R., &Zadeh, L. A. (1970), "Decision-making in a fuzzy environment".Management Science, 17, 141–164.

Boran, F.E, Genç, S, Kurt, M., &Akay, D, (2009) "A multi-criteria intuitionistic fuzzy group decision making for supplier selection with TOPSIS method".Expert Systems with Applications. 36, 11363-11368.

Dağdeviren, M., Yüksel, _I.,& Kurt, M. (2008). "A fuzzy analytic network process (ANP) model to identify faulty behaviors risk (FBR) in work Systems. Safety Sciences, 34, 96–107.

Huang, Ch. Ch., Chu, P.Y., &Chiang, Y.H. (2006). "A fuzzy AHPapplication in government-sponsoredR&D project selection".TheInternational Journal of ManagementScience, 15.

Li, D.F. (2008) "A note on using intuitionistic fuzzy sets for fault-tree analysis on printed circuit board assembly".Microelectronics Reliability, 48, 1741.

Li, D.F. (2010)  " A ratio ranking method of triangular intuitionistic fuzzy numbers and its application to MADM problems". Computers and Mathematics with Applications, 60, 1557-1570.

Lingo User’s Guide. 2008. Lindo System Inc.

Liu, H.W., & Wang, G.J. (2007) "Multi-criteria decision-making methods based on intuitionistic fuzzy sets".European Journal of Operational Research, 179, 220–233.

Wang, H., Qian, G,.&Feng, X. (2011) “An intuitionistic fuzzy AHP based on synthesis of eigenvectors and its application". Information technology journal, 10, 1850-1866.

Wu, J.Z., & Zhang, Q. (2010) "Multicriteria decision making method based on intuitionistic fuzzy weighted entropy".Expert Systems with Applications,

Zadeh, L.A., (1965) "Fuzzy sets". Information and Control, 8, 338–356.

Zimmermann, H.-J.(1990). Fuzzy set theory and its applications. New York: Kluwer Publication.

Zhang, S., & Liu, S, (2011). 'A GRA-based intuitionistic fuzzy multi-criteria group decision making method for personnel selection". Expert Systems with Applications, 38, 11401–1140

1 Analytic Hierarchy Process

2 Huang.

3Zadeh

4 Hesitation degree

5 Intuitionistic Fuzzy Sets

6 Degree of membership

7 Degree of non-membership

8Wu and Zhang

9 Liu and Wang

10 Intuitionistic fuzzy point operators

11 Zhang and Liu

12 Grey Relational Analysis

13 Intuitionistic fuzzy weighted averaging

14 Wang.

15IntuitionisticFuzzyComparison Matrix

16 Atanassov

17 Degree of uncertainty

18 Boran

19 Triangular Intuitionistic Fuzzy Number

20 Li

21 Fuzzy prioritisation problem

22Crisppriorityvector

23Dağdeviren

24 Maximum decision rule

25 Bellman and Zadeh

26 Zimmermann

27 Language For INteractive General Optimization

28 Interval-valued Intuitionistic Fuzzy Numbers