1- مقدمه

منابعِ طیف فرکانسی، شاهراه اصلی انتقال اطلاعات در شبکه­های بی‌سیم است و محدودیت آن یکی از مهم­ترین چالش­ها است و پیش­بینی می­شود تا چند سال آینده به‌عنوان مانعی بزرگ بر سر راه شبکه­های نسل آینده مخابرات سیار قرار گیرد.

با توجه به این محدودیت منابع طیفی، تاکنون راهکارهای مختلفی برای برون رفت از این مشکل پیشنهاد شده است. تمامی راه‌حل‌های پیشنهادشده تا به امروز در مفهومی جدید به نام رادیو شناختگر خلاصه شده است [1].

بخش آشکارسازی یا حسگریِ طیف یکی از مهم‌ترین بخش‌های لازم جهت پیاده‌سازی سیستم‌های رادیوشناختگر است که دقت و سرعت عمل آن تأثیر مستقیم بر روی استفادۀ هرچه بهتر از منابع طیفی دارد. در یک تعریف کلی، آشکارسازی طیفی را می‌توان وارسی‌کردن پیوستۀ طیف فرکانسی برای یافتن باندهای خالی تعریف کرد.

حسگری طیف را می‌توان به دو دسته تقسیم کرد: حسگری طیف بر روی باند باریک و حسگری طیف بر روی باند وسیع. در حسگری طیف باند باریک، محدودۀ طیفی بررسی‌شده حوزۀ کوچکی از باند فرکانسی است. در مقابل، در حسگریِ طیف باند وسیع، عملیات تشخیص بر روی محدودۀ وسیعی از فرکانس‌ها انجام شده است و به این ترتیب احتمال پیداکردن طیف‌های بدون استفاده افزایش می‌یابد و ظرفیت عملکرد سیستم بالا می‌رود. با این وجود به دلیل حضور چندین فرکانس حامل در سیستم‌های مبتنی بر حسگری طیف باند وسیع، این سیستم‌ها دارای ساختار پیچیده‌تری نسبت به سیستم‌های باند باریک هستند.

در رادیو شناختگر، آشکارسازی فرستنده اولیه براساس آشکارسازی سیگنال ارسالی توسط فرستندة اولیه ازطریق مشاهدات محلی کاربران رادیو شناختگر انجام می­شود که برای این منظور از الگویتم‌های حسگری طیف در باند باریک مرسومی مانند فیلتر منطبق [2]، آشکارسازی انرژی [3] و آشکارسازی ویژگی­های ایسـتان گردشی [4] استفاده می‌شود. از سوی دیگر، حسگری طیف بر پایۀ خصوصیات ایستان گردشی مطرح‌شده در [5]، حسگری طیف مبتنی بر فشرده‌سازی سیگنال (به کمک مبدل‌های مناسب آنالوگ به دیجیتال) و محاسبۀ تابع خودهمبستگی آن در [6] و حسگری طیف مبتنی­ بر روش چند نرخی [7و8]  مثال‌هایی از حسگری طیف باند وسیع هستند. در مرجع [9] نیز مروری بر روش‌های گوناگون حسگری طیف باند وسیع ارائه شده است.

با توجه به دسته‌بندی مطرح‌شده، دسته‌ای از روش‌ها، چه در باند باریک و چه در باند وسیع، مبتنی­بر ویژگی‌های ایستان گردشی سیگنال‌ها هستند. برای مثال، [5] و [10] را مشاهده کنید.

در بین روش‌های مطرح در حسگری طیف که هم در باند باریک و هم در باند وسیع ارزیابی و تحلیل شده‌اند، آشکارسازهای مبتنی بر رفتار ایستان گردشی سیگنال‌ها، دقت عملکرد بسیار خوبی حتی در سیگنال به نویزهای بسیار پایین دارد [5]. درواقع، مزیت اصلی الگوریتم­های آشکارسازی براساس ویژگی ایستان گردشی، توانایی تفاوت قائل‌شدن بین سیگنال کاربر اولیه از نویز و تداخل است. علاوه‌براین، چون ویژگی ایستان گردشی با تغییر نسبت سیگنال به نویز تغییر نمی‌کند، در شرایطی که نسبت سیگنال به نویز پایین است نیز، رفتار آن مناسب است. در مقابل، عملکرد مطلوب این آشکارسازها در گرو آگاهی از فرکانس‌های گردشی سیگنال‌ها بوده و زمان پردازش آن‌ها طولانی است.

در بیشتر پژوهش‌هایی که در زمینۀ حسگری طیف مبتنی‌بر فرآیندهای ایستان گردشی صورت گرفته است به جای استفادۀ مستقیم از همبستگی فرکانسی بین مؤلفه‌های مختلف سیگنال، معمولاً با محاسبۀ کیفی توابع چگالی طیف توان یا توابع وابسته به آن (که لازمۀ آن داشتن نمونه‌های زیاد و انجام محاسبات طولانی و پیچیده است) و مقایسۀ نتایج حاصل با یک سطح آستانه، وجود داشتن یا نداشتن سیگنالی غیر از نویز، در محیط تشخیص داده می‌شود.

مطابق بررسی‌های صورت‌گرفته، تنها پایۀ عملکرد مراجع [10] و [11]، استفادۀ مستقیم از ویژگی همبستگی فرکانسی است. با این وجود، مبنای عملکرد آن‌ها در باند باریک است. بنابراین، پژوهش در حسگری طیف باند وسیع مبتنی بر ویژگی‌های ایستان گردشی و تلاش برای ارائۀ روشی سریع که مبتنی بر استفادۀ مستقیم از همبستگی فرکانسی است، جایگاه مناسبی در حوزۀ حسگری طیف باند وسیع خواهد داشت.

در این مقاله سعی شده است با توجه به تحقیقات نوین صورت‌گرفته در جهت بهبود سرعت عمل سیستم‌های حسگری طیف در باند وسیع، ساختار منطقی، مناسب و با سرعت عملکرد مطلوب در باند وسیع و مبتنی­ بر رفتار ایستان گردشی سیگنال‌ها ارائه داده شود و عملکرد آن با آخرین روش‌های حسگری طیف باند وسیع مطرح‌شده مقایسه شود. اساس کار انجام‌شده مبتنی ­بر استفادة مستقیم از همبستگی فرکانسی بین مؤلفه‌های متفاوت فرکانسی در یک سیگنال ایستان گردشی است.

در این مقاله، فرآیندهای تصادفی زمان گسسته را با                          نشان داده شده است.  نشان‌دهندة امید ریاضی[1] متغیر تصادفی  است. مزدوج مختلط[2] کمیت عددی مختلط  را با  و ترانهادة مزدوج مختلط[3] بردار  را با  نشان داده شده است.  و    به ترتیب نشان‌دهندة قدر مطلق کمیت عددی مختلط  و بردار  هستند. برای بردار  با ابعاد ،  نشان‌دهندة  است که  بیانگر عملگر ترانهاده است.

ادامة این مقاله به‌صورت زیر سازمان‌دهی شده است:

در بخش 2، مفهوم و ویژگی‌های فرآیندهای ایستان گردشی بیان شده است. عملکرد الگوریتم NLMS در بخش 3 به‌صورت مختصر ارائه شده است. در بخش 4، ساختار روش پیشنهادی مطرح شده است. در بخش 5، احتمال آشکارسازی صحیح و احتمال خطا در اعلام حضور سیگنال به­صورت تحلیلی به ­دست آمده­ است. در بخش 6، نتایج شبیه‌سازی‌ها آورده گرفته است و در بخش 7 نتیجه‌گیری شده است.

1- فرآیندهای ایستان گردشی

فرآیند آماری  با میانگین صفر، فرآیند ایستان گردشی نامیده می‌شود، اگر تابع همبستگی آن به‌صورت زیر باشد:

بسیاری از سیگنال­های مخابراتی، دارای ویژگی ایستان گردشی هستند. سیستم‌ها با پارامترهای متفاوت مانند نوع مدولاسیون، دورة سمبل، فرکانس حامل و... ویژگی ایستان گردشی را در فرکانس‌های گردشی مختلف خود نشان می‌دهند [14-12]. در تئوری فرآیندهای ایستان گردشی، بسیاری از سیگنال‌های مخابراتی می‌توانند به‌عنوان فرآیند تصادفی ایستان گردشی مدل شوند [15]. سیگنال‌های کاربران اولیه، به دلیل متناوب‌بودنِ تابعِ همبستگی‌شان (به‌خصوص در سیستم‌های مبتنی بر رادیو شناختگر) می‌توانند به‌عنوان سیگنال ایستان گردشی در نظر گرفته شوند.

2- الگوریتم NLMS

زوج‌های ورودی - خروجی  را در نظر بگیرید.  برداری به­ طول  و  کمیتـی عددی است. این دو به­ترتیب، ورودی و سیگنال مرجع سیستمی هستند که رابطة (3) آن‌ها را به­هم مربوط می‌کند.

در این رابطه  اختلال­های سیستم ناشی از سنجش­ها و یا سیگنال نویز جمعی است.

با داشتن دنبالة ، الگوریتم NLMS تلاش می‌کند به­صورت بازگشتی بردار ناشناخته‌ی  را با رابطة به‌هنگام‌سازی (4) تخمین بزند.

خطای تخمین  از رابطة زیر به ­دست می­آید:

 اندازة گام الگوریتم است که یک مقدار مثبت و غالباً کمتر از یک است.  تخمیـن  در لـحظة (گام) است [16].

در روش پیشنهادی، الگوریتم NLMS برای تخمین پاسخ ضربة تعدادی فیلتر خطی تغییرناپذیر با زمان به­ کار گرفته می‌شود. مجموع خروجی‌های این فیلترها، تخمینی مطلوب از سیگنال دریافتی براساس معیار کمترین مربعات خطا هستند. فیلتر‌ها با یک فرم پاسخ ضربة محدود[4] مدل شده‌اند. ورودی هر فیلتر، یک انتقال‌یافتة فرکانسی (با یکی از فرکانس‌های گردشی غیرصفر) سیگنال دریافتی است. با این فرض که سیگنال دریافتی دارای ویژگی ایستان گردشی با فرکانس‌های گردشی غیر صفر است (یعنی وقتی که سیگنال دریافتی، دربردارندة سیگنال هدف با فرکانس‌های گردشی شناخته‌شده است)، در این شرایط الگوریتم NLMS به مجموعه‌ای از فیلتر‌های پاسخ ضربة محدود با ضرایب غیر صفر همگرا می‌شود. ازطرف‌دیگر، هنگامی که سیگنال دریافتی یک نویز سفید بدون ویژگی ایستان گردشی است، الگوریتم NLMS به مجموعه‌ای از فیلتر‌های پاسخ ضربة محدود با وزن‌های نزدیک به صفر همگرا می‌شود. بنابراین، الگوریتم NLMS، از نتیجة تخمین ضرایب، وجود داشتن یا نداشتن سیگنالی غیر از نویز در سیگنال دریافتی را به­دست خواهد آورد.

3- روش پیشنهادی حسگری طیف براساس همبستگی فرکانسی

سیگنال باند وسیع دریافتی گسسته زمان  حاوی  سیگنال ایسـتان گردشی  است. این سیگنال به‌صورت زیر در نظر گرفته شده است:

در رابطة بالا،  نویز گوسی سفید با میانگین صفر و واریانس  است. فرض شده است سیگنال­های  با یکدیگر همبستگی فرکانسی ندارند.

اگر سیگنال ایستان گردشی  فرکانس­های گردشی  داشته باشد، درصورت حضور هر  سیگنال و با فرض ناهمبستگی آن­ها، سیگنال  نیز یک سیگنال ایستان گردشی با فرکانس­های گردشی  خواهد بود [15].

فرض کنید هدف، تشخیص حضورداشتن یا نداشتن اُمین سیگنال ایستان گردشی  باشد، که درصورت حضور در باند  قرار دارد (از این سیگنال گاهی به­عنوان سیگنال هدف یاد می‌شود.). در این صورت مسئلة حسگری طیف در باند وسیع، معادل تصمیم‌گیری بین فرضیه­های دودویی زیر است:

در رابطة بالا،  و   به ­ترتیب بیانگر حضورداشتن و نداشتن سیگنال  در باند فرکانسی معین‌‌شده هستند.

شکل (1) ساختار روش پیشنهادی برای تشخیص حضورداشتن یا نداشتن سیگنال  در سـیگنال دریافتی را نشـان می­دهد.

شکل(1): ساختار روش پیشنهادی برای تشخیص حضورداشتن یا نداشتن سیگنال  در سیگنال دریافتی

در رابطة بالا  است که در آن  ناشــی از ورود مؤلفة  به فیلتر و  ناشـــی از ورود مؤلفة  به­فیلتر است. توجه کنید که به­ دلیل غیر ایدئال‌بودن فیلتر،  علاوه بر نمونه­های نویز، حاوی نمونه­هایی از دیگر مؤلفه‌های تضعیف‌شدة سیگنال دریافتی نیز هست.

پارامتر  را به­صورت نسبت توان  به‌توان  تعریف شده است. مقدار پارامتر  بیان­‌کنندة دقت لازم در طراحی فیلتر است، هرچه مقدار  بیشتر باشد، نشان­دهندة این است که فیلتر در روش پیشنهادی دارای دقت کمتر و ساختار ساده­تری بوده است. با بررسی احتمال آشکارسازی صحیح و احتمال خطا در اعلام حضور سیگنال، و نیز در شبیه‌سازی‌های انجام‌شده، تأثیر پارامتر  بر احتمال آشکارسازی سیگنال بررسی شده است.

همان‌طور که در شکل (1) مشاهده می‌شود، در روش پیشنهادی از تعدادی از فرکانس‌های گردشی شناخته­شدة سیگنال ، برای تولید سیگنال‌های جدید استفاده شده‌ است. متعاقباً این سیگنال‌ها که انتقال‌یافتة فرکانسی سیگنال دریافتی بوده است و درصورت ایستان گردشی‌بودن سیگنال دریافتی، با آن همبستگی دارند، در به‌هنگام‌سازی وزن‌های الگوریتم وفقی (NLMS) استفاده شده‌اند. مطابق روش پیشنهادی، اندازه و یا نُرم وزن‌های تخمین زده شده، درمورد حضورداشتن یا نداشتن سیگنال  اطلاعات دارند.

اگر  فرکانس­های گردشی غیر صفر  باشند،  را به­صورت رابطة (9) تعریف می‌شود.

که  تعداد انشعاب‌های (طول)[5] هر یک از فیلتر‌های پاسخ ضربة محدود مورد استفاده در الگوریتم پیشنهادی است. همان­طور که قبلاً نیز اشاره شد، درصورت حضور  در ، سیگنال  نیز یک سیگنال ایستان گردشی حاوی فرکانس­های گردشی  و همبسته با  خواهد شد و با توجه به مطالب عنوان‌شده درمورد فرآیندهای ایستان گردشی، بین  و انتقال‌یافتة فرکانسی  یعنی

، همبستگی وجود دارد. به­ عبارت دیگر،  و  همبسته‌اند و یک ترکیب خطی از انتقال‌یافته‌های فرکانسی می‌تواند  را تخمین بزند. توجه کنید که همبستگی برای فرکانس گردشی برابر مقدار صفر بدیهی است؛ بنابراین انتقال فرکانسی به­ اندازة صفر مدّ نظر نیست. در غیاب سیگنال ایستان گردشی، این ترکیب خطی هم‌ارز صفر خواهد بود. برای نشان‌دادن این موضوع توجه داشته باشید که اگر بدون ازدست‌دادن کلیت مسئله، فرض شود که  مؤلفة ( ) اول در نظر گرفته ‌شده است و این مؤلفه‌ها هیچ‌یک فرکانس گردشی سیگنال  نیستند، در این‌صورت:

در رابطة بالا،  خــطای تخمیــــن و  است.

براساس معیار کمترین میانگین مربعات خطا، یعنی کمینه‌کردن مقادیر  را می‌توان طبق اصل تعامد محاسبه کرد، یعنی:

در رابطة بالا،  است. اگر به دو طرف رابطه، عملگر  را اعمال شود، با توجه به رابطة (2) و روابط جبری متعارف، خواهیم داشت:

در روند رسیدن به رابطة (12) تنها باید به این نکته توجه داشت که درصورتی­که فرکانس‌های گردشی انتخاب‌شده و مربوط به ، هیچ اشتراکی با فرکانس‌های گردشی دیگر سیگنال‌های ایستان گردشی موجود در  نداشته باشند، آنگاه برای هر  داریم: . ازطرف‌دیگر، برای فرکانس گردشـی صـفر  این برابری به­صـورت

 خواهد بود. نکتة مضــاعف اینکه برای هر  داریم:

. برای بررسی بیشتر این برابری‌ها می‌توانید به مبانی فرآیندهای ایستان گردشی در [15] مراجعه کنید.

زمانی­که سـیگنال  در ســیگنال دریافتی نباشـد،  و درنتیجه مقدار  برای مقـادیر  برابر صفر خواهد بود. دقت کنید که در این حالت ها (یعنی فرکانس­های گردشی اختصاصی ) در مجموعة فرکانس‌های گردشی  وجود نداشته است؛ بنابراین . ازطرف‌دیگر، اگر سیگنال  در سیگنال دریافتی حضور داشته باشد، سیگنال  یک سیگنال ایسـتان گردشی خواهد شد ( ) و ضرایب تخمین، مخالف صفر خواهند شد. به عبارت دیگر، اگر  و  به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

با استفاده از روابط تعریف‌شدة (13) و (14) در رابطة (10) به رابطة (15) رسیده‌ایم.

بنابراین با توجه به رابطة (8):

به این ترتیب با توجه به توضیحات ذکرشده، درصورت حضور سیگنال ایستان گردشی  در سیگنال دریافتی، با توجه به فرکانس‌های گردشــی انتخـابی،  خواهد بود.ازطرف‌دیگر، درصورت حضورنداشتن سیگنال  در سیگنال دریافتی، فرکانس‌های گردشی ، فرکانس‌های گردشی سیگنال  نبوده است؛ بنابراین بین  و  همبستگی وجود نخواهد داشت. درنتیجه، در ترکیب خطی  برحسب ،  خواهد شد.

مشاهده می‌کنید که رابطة (16) فرمی دقیقاً مشابه رابطة (10) دارد (برای این منظور فرض کنید که: ). بنابراین می‌توان از الگوریتم وفقی NLMS برای تخمین مقادیر  و درنتیجه تشخیص حضور سیگنال  استفاده کرد. این الگوریتم تلاش می‌کند  و به­طور معادل، وزن‌های  را تخمین بزند. رابطة به‌هنگام‌سازی برابر است با:

اگر نتیجة اجرای الگوریتم تخمین‌زن، به­صفر همگرا شود، به ­این معنی است که سیگنال ایستان گردشی مدّ نظر وجود ندارد (فرضیه‌ی ). ازطرف دیگر، هنگامی که سیگنال ایستان گردشی مدّ نظر وجود داشته باشد، تخمین ضرایب برابر صفر نیست (فرضیة ).

در روال عادی عملکرد الگوریتم NLMS در تخمین ضرایب، درصورت حضورنداشتن سیگنال ایستان گردشی  و نویزبودن سیگنال دریافتی فیلترشده ( ) و یا به عبارت دقیق‌تر، عدم انطباق فرکانس‌های گردشی انتخابی در ساختار تخمین‌زن با فرکانس‌های گردشی این سیگنال، روند همگرایی  به صفر و درصورت حضور سیگنال ایستان گردشی، به­مقادیر غیر صفر، به­صورت عادی ادامه ‌می‌یابد. با واردشدن سیگنال ایستان گردشی و یا خارج‌شدن آن، بلافاصله روند همگرایی ضرایب تغییر می‌کند و تغییرات آنی شدیدی در مقدار آن‌ها رخ می‌دهد. درواقع با ورود سیگنال، این روند به­سمت مقادیر غیر صفر نهایی و درصورت خروج سیگنال، به­سمت صفر تغییر جهت می‌دهد. برای تشخیص لحظة وقوع چنین حالتی کافی است، نُرم  در هر لحظه با یک سطح آستانة  سنجیده شود. بزرگ‌تر (کوچک‌تر) شدن اندازة فوق از این سطح آستانه در یک زمان مشخص، نشانگر وارد (خارج) شدن سیگنال ام به (از) باند مربوطه است. به ­این ترتیب درصورتی‌که تا این لحظه روند همگرایی ضرایب تخمینی به سمت صفر (غیر صفر) بوده، از این پس به سمت غیر صفر (صفر) تغییر جهت داده است.

روش پیشنهادی، پیچیدگی و زمان تشخیص بسیار پایین‌تری نسبت به روش‌های دیگر تشخیصِ طیف دارد. درواقع، دو ویژگی بسیار درخور ‌توجه الگوریتم NLMS، یعنی توانایی تشخیص بسیار سریع تغییرات پارامتر و میزان بسیار اندک حجم محاسباتی آن نقش بسزایی در سادگی ساختار و دقت زیاد روش پیشنهادی دارند. این در حالی است که استفاده از تنها یک فرکانس گردشی و فیلتری با تعداد انشعاب‌های بسیار کم نیز در شرایط متعارف می‌تواند منجر به نتایج رضایت‌بخشی شود. بر خلاف این روش، با توجه به مطالعات انجام‌شده، تقریباً تمامی روش‌های دیگر،نیاز به تخمین چگالی طیف توان گردشی دارند که بار محاسباتی آن بسیار زیاد است.

با درنظرگرفتن تعداد عملیات ضرب در الگوریتم NLMS، پیچیدگی محاسـباتی این الگوریتم برای هر نمونة زمانی از مرتبة  اســـت ( ). اگر  نشـان­دهندة تعداد نمونه­های لازم برای تصمیم­گیری در مورد حضورداشتن و یا نداشتن سیگنال هدف باشد (  تابعی از ثابت زمانی همگرایی الگوریتم NLMS است و در روش پیشنهادی این مقاله عدد کوچکی است.)، پیچیدگی محاسباتی کلی در عملیات حسگری طیف،  خواهد بود. برای مثال، با توجه به اینکه معمولاً در عملیات حسگری طیف، استفاده از 2 فرکانس گردشی و  انشعاب فیلتر کافی است و  یا  نمونة اول، نشان­دهندة حضورداشتن و یا نداشتن سیگنال هدف هستند، تعداد عملیات ضرب که عمل اصلی در اجرای الگوریتم است در حدود  عدد خواهد بود.

این در حالی است که در روش‌های دیگر ازجمله روش پیشنهادی [17]، چون نیاز به محاسبة ترکیبی تبدیل فوریه سریع[6] و همبستگی طیفی نمونه­ها دارد، پیچیدگی محاسـباتی برابر اسـت با  که  اندازه تبدیل فوریه سـریع است. به‌عنوان مثال برای  تعداد عملیات ضربی که نیاز است در حدود  عدد خواهد بود که در مقایسه با روش پیشنهادی این مقاله مقدار بزرگی است.

همچنین در روش پیشنهادی [18] چون نیاز به محاسبة معکوس ماتریس است، پیچیدگی برابر  خواهد بود ( ، تعداد نقاطی است که از تابع چگالی طیف توان گردشی بازسازی می‌شود و تابع در آن نقاط دارای قله‌های همبستگی طیفی است.). برای مثال، اگر در کمترین حالت  باشد، در آن روش، تعداد عملیات ضربی که در محاسبة معکوس ماتریس نیاز است، در حدود  خواهد بود که در مقایسه با رویکرد پیشنهادی این مقاله مقدار بسیار بزرگی است.

در قسمت بعد، احتمال آشکارسازی و هشدار غلط (خطا در اعلام حضور) در روش پیشنهادی بررسی شده است.

4- آنالیز عملکرد روش پیشنهادی

در این قسمت، احتمال آشکارسازی صحیح و احتمال خطا در اعلام حضور سیگنال در روش پیشنهادی به دست آمده است. بررسی مسئله در حالت کلی تا حدودی دشوار است. بنابراین به‌منظور ساده‌سازی و امکان­پذیرکردن محاسبات، فرضیات زیر در نظر گرفته شده است.

1) فرض می‌شود که فقط از یک انتقال فرکانسی (مثلاً ) استفاده شده است. در این صورت رابطة (16) به‌صورت زیر خواهد شد:

که  از رابطة (9) به­ازای  به­ دست می‌آید.

2) در آستانة تغییر وضعیت، فرض می‌شود که الگوریتم به پاسخ نهایی خود همگرا شده است و خطای تخمین فقط ناشی از نویز جمعی است؛ یعنی در حالتی که سیگنال  در لحظة  وارد می­شود، ضریب تخمین  به مقدار واقعی  رسیده است و در حالت خروج ســیگنال  در لحظة ،  به مقدار  رسـیده اســت که در این حالت  و از رابطة (12) با درنظـــرگرفتن  و  به‌صورت زیر به دست خواهد آمد:

که منجر به رابطة زیر خواهد شد:

 در رابطة بالا،  یک ماتریـس  با  و  یک بردار  با  است.

با درنظرگرفتن فرضیات بالا، احتمال آشکارسازی صحیح و احتمال خطا در اعلام حضور سیگنال به ترتیب در حالت ورود و خروج سیگنال محاسـبه خواهند شد. گفتنی است، در تمامی فرمول­هایی که در ادامه خواهند آمد،  در رابطة (21) نشان‌دهندة حالتی است که سیگنال  در طیف حضور دارد (یعنی ظهور  در روابط بعدی نشانگر غیر صفربودن آن و حضور سیگنال مربوطه در باند است).

با درنظرگرفتن شرایط فوق، اگر سیگنال  در لحظة  وارد سـیسـتم شود، از روابط (17) و (18) با قراردادن

 و ، خـــــــطای تخمین برابر  خواهد بود؛ بنابراین:

با انتخاب سطح آستانة  برای آشکارسازی ورود سیگنال ، احتمال آشکارسازی صحیح،   برابر است با:

به‌طور معادل:

اگر فرض شود که  یک فرآیند با میانگین صفر باشد و قسمت‌های حقیقی و موهومی آن به­طور آماری گوسی مستقل[7] با واریانس  باشند، آنگاه  دامنة فرآیند نرمال دو متغیری دایره‌ای[8] است که دارای توزیع ریسین است و داریم:

در رابطه بالا تابع ، Marcum -functionاست. متدهای تکرار­شونده و تقریب­های متنوعی برای محاسبة معکوس Marcum -functionوجود دارد، برای مثال، مرجع [19] را مشاهده کنید.

رابطة زیر نشـان می­دهد که چگونه ســطح آسـتانه  به احتمال آشکارسازی صحیح مربوط می­شود (  در برابری  صدق می‌کند.):

برای محاسبة احتمال خطا در اعلام حضور سیگنال، اگر سیگنال  در لحظة  خارج شود با توجه به فرضیات اولیة ، داریم:

احتمال خطا در اعلام حضور سیگنال برابر است با:

که در آن

با توجه به نامساوی زیر

خواهیم داشت:

و با جایگزینی  و محاسبات جبری ساده:

در این حالت هم مثل قبل فرض می­شود که مؤلفه‌های حقیقی و موهومی  دارای توزیع یکسان مستقل گوسی با واریانس برابر  و میانگین صفر هستند. در این حالت  دارای توزیع رایلی خواهد بود و داریم:

با استفاده از روابط (34) و (35) داریم:

با جایگزاری رابطة (28) در رابطة (36) خواهیم داشت:

رابطة بالا ارتباط بین احتمال آشکارسـازی صحیح و احتمال خطا در اعلام حضور سیگنال را نشان می­دهد.

5- نتایج شبیه‌سازی

در این قسمت نتایج شبیه­سازی­ها و توضیحات مربوط به آن­ها آورده شده است.

فرض کنید محدودة طیفی تحت نظارت دارای پهنای باند  باشد، سیگنال دریافتی باند وسیع  که متشکل از  سیگنال ایستان گردشی  است را به­صورت رابطة (39) در نظر گرفته می‌شود. 

در رابطة بالا،  و  به ترتیب سمبل‌های اطلاعاتی و فیلتر شکل­دهندة پالس مربوط به اُمین سیگنال ایستان گردشی هستند.  نویز گوسی سفید جمع‌شونده در باند مربوط به اُمین فرستنده است.  و  نیز به ترتیب فرکانس­ حامل و دوره سمبل مربوط به اُمین سیگنال ایستان گردشی هستند. فرض می‌شود که سمبل­های اطلاعات ارسـالی دارای میانگین توان  و فیلتر شکل­دهندة پالس  با انرژی واحد هستند. مقدار SNR را به­صورت  در نظر گرفته شده است که  واریانس نویز در کانال مربوط به  است. همچنین توان­های دریافتی از تمام فرستنده­ها برابر فرض می­شوند؛ درنتیجه، SNR در باند برای تمام سیگنال­های حاضر، مشابه خواهد شد. بنابراین عملکرد آشکارسازی باندهای مطلوب برای تمام  سیگنال یکسان می­شود. در شبیه­سازی­ها فرض شده است که سیگنال­های  به یکی از دو صورت BPSK و یا QPSK مدوله شده­اند. هرگاه سیگنال از نوع BPSK باشد، فرکانــس‌های گردشــی آن برابر  برای  و  خواهد بود و هرگاه سیگنال از نوع QPSK باشـد، فرکانس‌های گردشــی آن برابر  خواهد بود. پس از دریافت سیگنال باند وسیع، از آن با نرخ نایکوئیست  نمونه­برداری شده است و سپس حضورداشتن و یا نداشتن سیگنال، مطابق روال مطرح‌شـــــده در این مقاله، بررســـی شده است. در کلیـة شـبیه­سازی­هایی که در ادامه نشان داده خواهند شد، پهنای باند محدودة طیفی تحت نظارت برابر  و نرخ نمونه­برداری نیز برابر  درنظر گرفته شده است.

برای بررسی عملکرد الگوریتم پیشنهادی، حالتی در نظر گرفته شده است که در آن، سیگنال باند وسیع دریافتی متشکل از سه سیگنال باشد که  و  دارای مدولاسیون BPSK و  دارای مدولاسیون QPSK باشد و به ترتیب در فرکانس­های مرکزی ،  و   قرار داشته باشند. دوره سمبل سه سیگنال ذکرشده برابر ،  و  در نظر گرفته شده است. همچنین اندازه گام الگوریتم  برابر ،  برابر  و از فیلترهای FIR با  انشعاب استفاده شده است. نویز سیستم نیز نویز گوسی سفید با میانگین صفر و  در نظر گرفته شده است. در این شبیه‌سازی از بین تمامی فرکانس‌های گردشی، فقط  برای سیگنال­های BPSK و  برای سیگنال QPSK در نظر گرفته شده است. برای ارزیابی درستی و دقت الگوریتم پیشنهادی، سیگنال  در سیگنال ارسالی حذف شده است. همان‌طور که در شــکل (2) مشـاهده می‌شـود، به­درســتی، حضورداشتن و یا نداشتن سـیگنال­ها در میزان نُرم

شکل(2): عملکرد آشکارسازی روش پیشنهادی در حالت عدم وجود سیگنال

با درنظرگرفتن شرایط شبیه­سازی قبلی، در شکل (3) احتمال آشــکارسازی روش پیشـنهادی در دو حالت شـبیه­ســازی و اســتفاده از رابطة تحلیلی (27) به­ازای به‌کارگیری فیلترهای مختلف نشــان داده شده اسـت. همان­طور که در شکل (3) مشاهده می­کنید، الگوریتم پیشنهادی حتی در شرایطی که در آن از فیلترهای بسیار ساده و غیر ایدئال (  بالا) استفاده شود، عملکرد مناسبی دارد.

شکل (3): احتمال آشـکارسـازی روش پیشــنهادی به­ازای به­کارگیری فیلترهای کیفی مختلف

در شکل (4)، مقایسه میان احتمال آشکارسازی، در روش­های پیشنهادی مطرح‌شده در مراجع [17] و [18] و احتمال آشکارسازی روش پیشنهادی آشکارسازی مطرح‌شده در این مقاله در دو حالت شبیه­سازی و استفاده از رابطة تحلیلی (27)، با به‌کارگیری فیلترهای پاسخ ضربة محدود با انشعاب‌های مختلف، صورت گرفته است. در مرجع [17] حضورداشتن و یا نداشتن سـیگنال­ها با مقایسة پارامتر تصمیم­گیری (که تابعی از مقادیر تابع چگالی طیف توان گردشی در فرکانس­های گردشی سیگنال بررسی شد) با یک سطح آستانه تشخیص داده می­شود. همچنین در [18] از سیگنال دریافتی با استفاده از روش نمونه­برداری فشرده، نمونه­برداری می­شود. سپس تابع چگالی طیف توان گردشی نایکوئیست از نمونه­های پایین­تر از نرخ نایکوئیست بازسازی می­شود و پس از آن با استفاده از تابع چگالی طیف توان گردشی به­دست‌آمده درباره حضورداشتن و یا نداشتن سـیگنال مدّ نظر در طیف، تصـمیم­گیری می­شـود. گفتنی است، برای رعایت عدالت، عـملکرد الگوریتم­­های پیشنهادی در مراجع [17] و [18] به ترتیب برای حالتی که از نمونه­های نایکوئیست استفاده‌شونده و نسـبت فشردگی برابر 1، به دست آمده­اند و با روش پیشنهادی در این مقاله مقایسه شده‌اند. همان­طور ‌که در شکل (4) مشاهده می‌شود، هرچند هر سه الگوریتم در SNRهای بالا عملکرد مشابهی دارند، اما الگوریتم آشکارسازی پیشنهادی این مقاله در SNRهای پایین، عملکرد بهتری نسبت به روش­های آشکارسازی پیشنهادی در مراجع [17] و[18] دارد. همچنین در روش پیشنهادی با افزایش تعداد انشعاب‌های فیلترها با پاسخ ضربة محدود، عملکرد الگوریتم پیشنهادی به علت نزدیک‌شدن به حالت بهینه بهتر می‌شود.

در شکل (5)، احتمال خطا در اعلام حضور سیگنال، با استفاده از الگوریتم پیشنهادی در دو حالت شبیه­سازی و اســـتفاده از رابطة تحلیلی (38) و به­ازای به‌کارگیـری

شکل (4): مقایسه میان احتمال آشکارسازی روش­های پیشنهادی در مراجع [17] و [18] در SNRهای مختلف با روش پیشنهادی بر حسب انشعاب­های مختلف

شکل (5): احتمال خطا در اعلام حضور سیگنال در روش پیشنهادی با به­کارگیری فیلترهای با انشعاب­های مختلف

فیلتر‌های پاسخ ضربة محدود با تعداد انشعاب‌های متفاوت نشان داده شده است.

در شبیه­سازی بعدی نحوة عملکرد الگوریتم پیشنهادی در مواقعی که سیگنال هدف فقط در یک بازة زمانی حضور نداشته باشد، بررسی شده است. برای این منظور در شرایط در نظر گرفته شده در اولین شبیه­سازی، این­بار هر سه سیگنال ایستان گردشی به همراه نویز در بازة  ارسال شده است؛ ولی در بازة  سیگنال ایستان گردشی  حذف شده است؛ یعنی در بازة [1000,3000] فقط سیگنال­های ،  و نویز وجود داشته­اند. همان­طور که در شـکل (6) مشاهده می‌شود، این­بار نیز میزان نُرم بردار ضرایب تخمین زده‌شده با الگوریتم به‌درستی، حضورداشتن و یا نداشتن سیگنال­ها را نشان داده است.

شکل (6): عملکرد آشکارسازی روش پیشنهادی در حالت عدم وجود سیگنال  در بازة زمانی