ارائه یک روش جدید به منظور محاسبه نرخ بازگشت سرمایه داخلی

1- مقدمه
مفهوم نرخ بازگشت سرمایه داخلی (IRR) توسط کینز (1936) و بولدنیگ (1935و1936) معرفی شد و بیش از هشتاد سال است که به عنوان یکی از پر کاربرد ترین روش ها در تعیین اقتصادی بودن پروژه‏ها و مقایسه اقتصادی آنها استفاده می شود.
اگر روش IRR به درستی استفاده شود، سرمایه‏گذار یا تصمیم گیرنده قادر است تصمیم صحیحی را (سازگار با روش ارزش فعلی خالص ) در مورد پذیرش و یا رد پروژه اتخاذ نماید. اما اگر تصمیم گیرنده درصدد استفاده از این روش است، باید آگاه باشد که روش IRR دارای مشکلات جدی است که بدون در نظر گرفتن آنها، صحت تصمیمات اتخاذی در هاله ای از ابهام قرار خواهد گرفت. این مشکلات عبارتنداز:
1) امکان بوجود آمدن چند نرخ بازگشت سرمایه داخلی واقعی
2) امکان عدم وجود نرخ بازگشت سرمایه داخلی واقعی (بوجود آمدن نرخ بازگشت سرمایه داخلی موهومی )
3) حتی اگر نرخ بازگشت سرمایه منحصر به فرد باشد، باز هم سازگاری نتایج به دست آمده از روش IRR با روش ارزش فعلی قابل تضمین نیست.
4) رتبه بندی پروژه های رقابتی مطابق روش IRR معمولا با روش ارزش فعلی سازگاری ندارد.
5) وقتی نرخ بازار طی دوره های مختلف متغیر باشد، آنگاه به منظور تعیین اقتصادی بودن پروژه ها نمی توان از روش IRR استفاده نمود.
طی سال‏های گذشته تلاش زیادی به منظور حل مشکلات ذکر شده انجام گرفت، که در اینجا به ذکر تعدادی از آنها خواهیم پرداخت.
سامولسن (1964) و هیرشلیفر (1958) به این مساله پرداختند که ضرورتی بر منحصر به فرد بودن IRR در جریان های فرآیند مالی وجود ندارد.
نورستروم (1972) به معرفی شرایط مناسب برای وجود یک نرخ بازگشت سرمایه داخلی غیر منفی منحصر به فرد در ارزیابی اقتصادی پروژه های سرمایه گذاری پرداخت. روش ارائه شده توسط او دارای جذابیت بیشتری بود، زیرا با محاسباتی ساده و با استفاده از فرآیندهای مالی تجمعی توانست دامنه وسیعی از موقعیت های عملی را پوشش دهد. سپس اوکمپ و ایکارت (1976) به توسعه ی این شرایط مناسب پرداختند. به طوری که این شرایط، پیشنهاد نورستروم را به عنوان یک مورد خاص در بر می‏گیرد. آرو و لوهاری (1969) بر روی بیشینه سازی ارزش فعلی پروژه هایی که دارای عمر قابل قطع بدون هزینه هستند کار کردند و نشان دادند که فقط یک نرخ وجود خواهد داشت که ارزش خطی بیشینه شده را صفر می کند.
فلمینگ و رایت (1971) به توسعه تحقیق آرو و لوهاری پرداختند و نشان دادند که نتایج مشابهی ممکن است برای دامنه بزرگتری از توابع نزولی به وجود آید. راس (1980) و دیگران از فرض قابلیت قطع پروژه به منظور بوجود آوردن نرخ بازگشت سرمایه داخلی منحصر به فرد استفاده نمودند.
فلیشر (1994)، اچنباک (1995) و پارک (1997) در مورد مشکلات چند نرخ و عدم وجود نرخ بحث کردند و جریان فرآیند مالی تکی را بررسی کردند.
برلی و همکاران (2006) به بررسی مساله رتبه بندی پروژه ها بر اساس IRR پرداختند و نشان دادند که می توان این مشکل را با تحلیل تفاوت نموی بین دو گزینه حل نمود.
لین (1976)، آتاناساپولوس (1978)، لوهمن (1988) و هاژداسینسکی (2004) فرض سرمایه گذاری مجدد در معیار IRR و انطباق آن با نرخ بازگشت سرمایه داخلی اصلاح شده را تجزیه و تحلیل کردند.
کیرولف (2008) مشکلات موجود در بحث ارزش فعلی خالص و نرخ بازگشت سرمایه داخلی را تشریح کرد و به توضیح چگونگی کاربرد روش IRR در حل ضعف های اصلی بحث NPV و IRR پرداخت.
اوزبورن (2010) با استفاده از همه ی نرخ های بازگشت سرمایه داخلی، اعم از واقعی یا موهومی، مثبت یا منفی به تشریح یک رویکرد جدید در ناسازگاری رتبه بندی پروژه ها بر اساس NPV و IRR پرداخت و یک رابطه جدید بین NPV و IRR معرفی نمود.
هازن (2003 و 2009) با تعریف جریان فرآیند مالی بر حسب جریان سرمایه گذاری خالص یا جریان قرض گیری خالص، دیدگاه جدیدی را ارئه نمود که توانست با استفاده ازآن مشکلات چند نرخی و عدم وجود نرخ بازگشت سرمایه داخلی را حل نماید.
پیرو (2010) نیز به بررسی مشکلات چند نرخی و عدم وجود نرخ بازگشت سرمایه داخلی پرداخت و سعی کرد به طور ساده معنی و مفهوم تعدد نرخ بازگشت سرمایه را بیان نماید.
مگنی در سال 2010 با ارائه یک رویکرد جدید چندین مشکل روش IRR را مورد بحث قرار داد. در روش پیشنهادی او نیازی به محاسبه نرخ (های) بازگشت سرمایه داخلی جریان فرآیند مالی نیست، بلکه او با تعریف یک بردار جریان سرمایه گذاری دلخواه و با استفاده از مفهوم متوسط نرخ بازگشت سرمایه ی داخلی (AIRR) توانست عمده مشکلات روش IRR را برطرف نماید. او در ادامه در سال 2011 رویکرد دیگری را ارائه نمود که در آن با تعریف شاخص مجموع درآمد بر سرمایه گذاری (AROI) به رتبه بندی و تعیین اقتصادی بودن پروژه‏ها می پردازد. مهمترین مزیت این روش این است که در محاسبه نرخ بازگشت سرمایه داخلی نیازی به استفاده از نرخ بازار نیست، اما این روش توانایی تخصیص مقدار عددی مناسب به شاخص IRR را دارا نیست. علاوه بر مقاله های ذکر شده، مگنی (2013) شاخص جدیدی به نام متوسط نرخ بازگشت سرمایه داخلی اقتصادی (EAIRR) را معرفی نمود که توانست مقدار عددی IRR را با دقت بالاتری برآورد نماید، اما این روش توانایی حل بخشی از مشکلات روش IRR را دارد. بنابراین می‏توان بیان کرد که بهترین روش ارائه شده از سوی او روش AIRR است.
این مقاله به ارائه یک روش توسعه یافته و جدید می پردازد که از رویکرد مگنی نشات گرفته اما دارای مراحل حل کمتر و آسان تری نسبت به روش مگنی است. در روش پیشنهادی مقاله نه تنها نیازی به محاسبه نرخ (های) بازگشت سرمایه داخلی جریان فرآیند مالی نمی باشد، بلکه حتی نیازی به تشریح بردار جریان سرمایه گذاری هم نیست. دراین روش با به کارگیری یک رابطه جدید، مقادیر بردار نرخ بهره تک دوره ای محاسبه شده و سپس تصمیم‏گیرنده می‏تواند با استفاده از یک میانگین حسابی ساده از مقادیر بردار نرخ بهره به دست آمده، اقتصادی بودن پروژه را تعیین نماید.

2- فرضیات ریاضی و نتایج اولیه
یک پروژه X = (x0, x1,…, xT) ∊ RT+1 یک توالی از جریان فرآیند مالی می‌باشد. ارزش فعلی خالص پروژه X عبارت است از:
(1)
به طوری‏که پارامتر r معرف نرخ بازار می‏باشد و دامنه تغییرات مجاز آن r > -1 است.
در ضمن، ارزش آینده پروژه X در انتهای دوره t عبارت است از:
(2) PVt (X|r) = PV (X|r). (1+r)t
آنگاه پروژه X اقتصادی است، اگر و فقط اگر ارزش فعلی آن مثبت باشد. (PV(X|r) ≥ 0)
نرخ بازگشت سرمایه داخلی پروژهX، یک نرخ ثابت K≠-1 است که ارزش فعلی پروژه X تحت آن نرخ برابر با صفر است (PV(X|K) = 0).
اگر فرآیند مالیX یک پروژه سرمایه گذاری باشد، آنگاه پروژه X اقتصادی است، اگر و فقط اگر نرخ بازگشت سرمایه داخلی بزرگتر مساوی نرخ بازار (K≥ r) باشد. در ضمن اگر جریان فرآیند مالی X به صورت یک پروژه قرض گیری تعریف شده باشد، آنگاه پروژه X اقتصادی است، اگر و فقط اگر نرخ بازگشت سرمایه داخلی کوچکتر مساوی نرخ بازار (K ≤ r) باشد.
فرض کنید Ct R و t = 0, 1, 2…, T باشد. آنگاه خواهیم داشت:
(3) با و
به طوری که پارامتر Ct-1 بیان کننده میزان سرمایه گذاری شده (قرض گرفته شده) در دوره [t-1, t] است و پارامتر Kt نمایانگر نرخ بهره در دوره t است. در واقع، در ابتدای هر دوره به میزان Ct-1 با نرخ بهره Kt سرمایه گذاری می شود (یا قرض گرفته می‏شود).
به هر بردارC = (c0, c1, …,cT-1) ∊ RT که معادله (3) را ارضا نماید، بردار جریان سرمایه گذاری گفته می شود. اگر ارزش فعلی بردار جریان سرمایه گذاری مثبت باشد (PV(C|r)> 0)، آنگاه پروژه X یک جریان سرمایه گذاری خالص است و اگر ارزش فعلی بردار جریان سرمایه گذاری منفی باشد (PV(C|r)<0)، آنگاه پروژه X یک جریان قرض گیری خالص است.
توالیK = (k1, k2, …, kT) ∊ RT یک بردار نرخ بهره داخلی است و تعداد نا محدودی توالی K از اعداد حقیقی وجود دارد که معادله PV(X|K) = 0 را ارضا می کند.
یک نرخ بازگشت سرمایه داخلی (IRR) اگر با مقدار حقیقی وجود داشته باشد، فقط یک مورد خاص از بردار نرخ بهره داخلی است که همه اجزای آن مقدار ثابت K است (K = (k, k, …, k)). در این حالت معادله (3) را می توان به شکل زیر بیان نمود:
(4) با و
3- تشریح دیدگاه مگنی
در رویکرد مگنی، نیازی به محاسبه نرخ (های) بازگشت سرمایه داخلی جریان فرآیند مالی نیست. بلکه می‌بایست تحلیل گر یک بردار جریان سرمایه‏گذاری را به طور دلخواه انتخاب نماید و سپس با استفاده از معادله (3)، مقادیر بردار نرخ بهره را محاسبه نموده و در نهایت اقتصادی بودن پروژه X را با محاسبه یک میانگین وزنی از مقادیر بردار نرخ بهره تعیین نماید.
مگنی این میانگین وزنی از مقادیر نرخ بهره را تحت مفهوم متوسط نرخ بازگشت سرمایه داخلی (AIRR) معرفی نمود و برای محاسبه آن رابطه زیر را پیشنهاد داد:

(5)
در واقع AIRR متوسط مقادیر نرخ بهره به دست آمده از بردار جریان سرمایه گذاری است که دلخواهانه توسط تحلیل‏گر انتخاب شده است.
این مقاله در ادامه این بخش به توضیح چگونگی تعیین اقتصادی بودن پروژه و رتبه‏بندی پروژه‏های رقابتی مطابق رویکرد مگنی خواهد پرداخت.
3-1- نحوه تعیین مطلوبیت پروژه مطابق رویکرد مگنی
جریان فرآیند مالی X = (x0, x1, …, xT) و جریان سرمایه‏گذاری دلخواه C = (c0, c1, …, cT-1) را در نظر بگیرید. به منظورتعیین اقتصادی بودن جریان فرآیند مالی X باید گام‏های زیر را طی نمود:
1) دلخواهانه یک بردار جریان سرمایه گذاری C انتخاب کنید به طوری‏که ارزش فعلی آن برابر با صفر نباشد.
2) با استفاده از معادله (3) و (5) به ترتیب مقادیر نرخ بهره و متوسط نرخ بازگشت سرمایه داخلی را محاسبه نمایید.
3) اگر جریان فرآیند مالی X، یک جریان سرمایه‏گذاری خالص (قرض‏گیری خالص) باشد، آنگاه پروژه X اقتصادی خواهد بود، اگر و فقط اگر متوسط نرخ بازگشت سرمایه داخلی بزرگتر (کوچکتر) از نرخ بازار باشد.
مثال 1-3- جریان فرآیند مالی (10 ،15 ،10 ،20-) = X را در نظر بگیرید و فرض کنید نرخ بازار برابر با 5% باشد. در ابتدا دو جریان سرمایه گذاری دلخواه را به صورت (20- ،10- ،20) = CІ و (10 ،10 ،20) = CII تعریف می کنیم.
به منظور تشخیص اقتصادی بودن پروژه X، باید بردار نرخ بهره مربوط به هر جریان سرمایه گذاری را محاسبه نموده و سپس متوسط نرخ بازگشت سرمایه داخلی (AIRR) مربوط به هر کدام از بردارهای جریان سرمایه گذاری را تعیین نمود. خلاصه نتایج در جدول (1) قابل مشاهده است.
جدول (1): مقادیر بردار نرخ بهره و متوسط نرخ بازگشت سرمایه داخلی
دوره 0 1 2 3 PV (C | r) AIRR
CІ 20 10- 20- 0 26.66- 42-%
Kt -- 1- 0.5- 1.5-
CII 20 10 10 0 38.59 37%
Kt -- 0 1.5 0

ارزش فعلی بردار جریان سرمایه گذاری CII برابر با 38.59 است و از آنجایی که متوسط نرخ بازگشت سرمایه داخلی آن (37%) بزرگتر از نرخ بازار 5% است، بنابراین جریان فرآیند مالی X اقتصادی است. ارزش فعلی فرآیند مالی X تحت نرخ بازار 5% برابر با 11.77 است و این تاییدی بر صحت نتایج به دست آمده از روش مگنی خواهد بود.

3-2 رتبه بندی پروژه ها مطابق رویکرد مگنی
یکی از مهم‏ترین مشکلات روش نرخ بازگشت سرمایه داخلی، رتبه‏بندی پروژه‏های رقابتی به صورت سازگار با روش ارزش فعلی است، چون رتبه‏بندی پروژه‏ها مطابق روش نرخ بازگشت سرمایه داخلی معمولا با روش ارزش فعلی سازگاری ندارد.
طی چندین دهه گذشته، تلاش‏های گسترده ای به منظور حل مشکل رتبه‏بندی پروژه ها انجام شد، اما هیچکدام به طور شایان توجه موثر واقع نشد و این مشکل تا قبل از مگنی به صورت حل نشده باقی ماند. مگنی گام‏های زیر را به منظور رتبه بندی پروژه‏ها پیشنهاد نمود:
1) برای هر پروژه یک جریان سرمایه‏گذاری دلخواه انتخاب کنید، به طوری‏که ارزش فعلی بردارهای جریان سرمایه گذاری با یکدیگر برابر باشد.
2) اگر جریان های فرآیند مالی به صورت یک جریان سرمایه گذاری خالص (قرض گیری خالص) تعریف شده باشند، آنگاه پروژه ای دارای اولویت بالاتر است که متوسط نرخ بازگشت سرمایه داخلی بزرگتری (کوچکتری) داشته باشد.
(16.05 ،15.5 ،30) =C1 ، (22.1 ،21 ،20) =C2 (10 ،10 ،40) =C3
شایان ذکر است که ارزش فعلی هر سه بردار جریان سرمایه‏گذاری معادل یکدیگر و برابر با 57.35 است. چون بردارهای جریان سرمایه‏گذاری به صورت سرمایه‏گذاری خالص تعریف شده‏اند، بنابر این پروژه‏ای دارای اولویت بالاتر است که متوسط نرخ بازگشت سرمایه داخلی بزرگتری داشته باشد. در نتیجه رتبه‏بندی پروژه‏ها مطابق جدول (2) برابر با X3 >X1 >X2 است که مطابق با روش ارزش فعلی است.
مطابق جدول فوق، ارزش فعلی بردار جریان سرمایه گذاری CІ برابر با 26.66- است، بنابر این جریان سرمایه گذاری CІ یک جریان قرض‏گیری خالص است و از آنجایی که متوسط نرخ بازگشت سرمایه داخلی آن (42-%) کوچکتر از نرخ بازار 5% است، در نتیجه جریان فرآیند مالی X اقتصادی است.ارزش فعلی بردار جریان سرمایه گذاری CII برابر با 38.59 است و از آنجایی که متوسط نرخ بازگشت سرمایه داخلی آن (37%) بزرگتر از نرخ بازار 5% است، بنابر این جریان فرآیند مالی X اقتصادی است. ارزش فعلی فرآیند مالی X تحت نرخ بازار 5% برابر با 11.77 است و این تاییدی بر صحت نتایج به دست آمده از روش مگنی خواهد بود.
جدول(2): رتبه بندی پروژه ها مطابق روش مگنی
دوره 0 1 2 3
پروژه X1 30- 20 10 15
جریان سرمایه گذاری دلخواه 30 15.5 16.05 0
نرخ بهره --- 15-% 100.32% 68.85-%
متوسط نرخ بازگشت سرمایه داخلی پروژه X1 24.81%
پروژه X2 20- 10 15 5
جریان سرمایه گذاری دلخواه 20 21 22.1 0
نرخ بهره --- 55% 76.67% 77.38-%
متوسط نرخ بازگشت سرمایه داخلی پروژه X2 20.05%
پروژه X3 40- 30 20 10
جریان سرمایه گذاری دلخواه 40 10 10 0
نرخ بهره --- 50-% 150% 50-%
متوسط نرخ بازگشت سرمایه داخلی پروژه X3 31.69%
رتبه بندی X3 > X1 > X2

4- ارائه روش جدید به منظور محاسبه نرخ بازگشت سرمایه داخلی
تعیین اقتصادی بودن و رتبه بندی پروژه های رقابتی از مهم‏ترین و قابل شایان‏ترین مسائلی است که مدیران و تصمیم گیرندگان با آن مواجه هستند. این مقاله در این بخش به معرفی یک روش جدید می‏پردازد که به طور کامل با روش ارزش فعلی سازگاری دارد و نسبت به روش مگنی آسان تر و قابل فهم تر است.
مگنی بیان نمود که اگر تحلیلگر بردار جریان سرمایه گذاری را به صورت Ct = -x0(1+r)t با CT =0 تعریف نماید، آنگاه متوسط نرخ بازگشت سرمایه داخلی پروژه، یک میانگین حسابی ساده از مقادیر نرخ بهره خواهد بود.در ادامه، این مقاله با استفاده از نکته ذکر شده رابطه جدیدی را به منظور محاسبه مقادیر نرخ بهره معرفی می‏نماید.
قضیه1-4- فرض کنید X = (x0, x1, …, xT) یک جریان فرآیند مالی باشد. آنگاه با استفاده از رابطه زیر می‏توان مقادیر بردار نرخ بهره را طی دوره های مختلف محاسبه نمود.

t = 1, 2, …, T-1 (6)
t = T
پارامتر T برابر با عمر مفید فرآیند مالی و پارامتر Kt بیانگر نرخ بهره در دوره t است.
اثبات:
مطابق ادعای مگنی بردار جریان سرمایه گذاری را به صورت Ct = -x0.(1+r)t برای t = 1, 2, …, T-1 تعریف می نماییم. با جایگزینی مقدار -x0.(1+r) t به جای Ct و مقدار-x0.(1+r) t-1 به جای Ct-1 در معادله (3) خواهیم داشت:
(7)
سپس با جایگزینی مقدار صفر به جای پارامتر CT و -x0.(1+r) T-1 به جای CT-1 خواهیم داشت:
(8)
بعد از محاسبه مقادیر نرخ بهره با استفاده از معادله (6)، آنگاه متوسط نرخ بازگشت سرمایه داخلی به راحتی قابل محاسبه بوده و برابر با میانگین حسابی ساده مقادیر بردار نرخ بهره است.

(9)
در نهایت تصمیم گیرنده می‏تواند اقتصادی بودن پروژه X را به صورت زیر تعیین نماید:
1) اگر مقدار اولیه جریان فرآیند مالی کمتر از صفر باشد (x0< 0)، سپس جریان فرآیند مالی X اقتصادی خواهد بود، اگر و فقط اگر متوسط نرخ بازگشت سرمایه داخلی بزرگتر از نرخ بازار (K≥ r) باشد.
2) اگرمقدار اولیه جریان فرآیند مالی بزرگتر از صفر باشد (x0>0)، سپس جریان فرآیند مالی X اقتصادی خواهدبود، اگر و فقط اگر متوسط نرخ بازگشت سرمایه داخلی کوچکتر از نرخ بازار (K≤ r) باشد.
مثال1-4- جریان فرآیند مالی پروژه X را به صورت (10 ،15 ،10 ،20-) = X در نظر بگیرید و نرخ بازار را برابر با 5% فرض کنید. ارزش فعلی خالص پروژه X تحت نرخ بازار 5% برابر با 11.77 و مقدار اولیه جریان فرآیند مالی X برابر با 20- است، پس بنابر قضیه (1-4)، پروژه X اقتصادی خواهد بود، اگر و فقط اگر متوسط نرخ بازگشت سرمایه داخلی بزرگتر از نرخ بازار 5% باشد. درابتدا باید با استفاده از رابطه پیشنهادی مقاله (معادله (6))، مقادیر بردار نرخ بهره را محاسبه نمود.



میانگین حسابی ساده مقادیر نرخ بهره برابر است با:

= 0.256 یا %25.6

چون متوسط نرخ بازگشت سرمایه داخلی (25.6%=AIRR) بزرگتر از نرخ بازار 5%=r می‌باشد، بنابراین جریان فرآیند مالی X اقتصادی است و این نتیجه مطابق روش ارزش فعلی می‌باشد.
لم1-4- جریان فرآیند مالیX = (x0, x1, …, xT) را در نظر بگیرید. آنگاه می توان ارزش فعلی پروژه X را تحت بازار rبه صورت زیر به دست آورد:

(10)
اثبات:
با جایگزینی مقادیر نرخ بهره (معادله (6)) در معادله (9) خواهیم داشت:
(11)






مثال2-4- مثال (1-4) را مجددا در نظر بگیرید. حال با استفاده از معادله (10) ارزش فعلی پروژه X را محاسبه می کنیم.

مقدار به دست آمده دقیقا برابر با ارزش فعلی خالص پروژه X است.
قضیه 2-4- پروژه های رقابتی X1, X2, …, Xn را با عمر مفید و مقدار اولیه فرآیند مالی برابر در نظر بگیرید. حال اگر مقدار اولیه فرآیند مالی (X0) منفی (مثبت) باشد، آنگاه پروژه‌ای دارای اولویت بالاتر است که مقدار متوسط نرخ بازگشت سرمایه داخلی بزرگتری (کوچکتری) داشته باشد.
اثبات:
در این روش بردار جریان سرمایه گذاری به صورت Ct = -x0.(1+r)t تعریف شده است، بنابر این ارزش فعلی بردار جریان سرمایه گذاری برابر با –nx0 است. حال مطابق قضیه (1-6) مگنی، اگر X0 منفی (مثبت) باشد، آنگاه ارزش فعلی بردار جریان سرمایه‏گذاری مثبت (منفی) بوده و در نتیجه جریان فرآیند مالی یک جریان سرمایه‏گذاری خالص (قرض‏گیری خالص) خواهد بود. سپس، پروژه‏ای دارای اولویت بالاتر است که مقدار متوسط نرخ بازگشت سرمایه داخلی بزرگتری (کوچکتری) داشته باشد.
مثال 3-4- پروژه های زیر را در نظر بگیرید و فرض کنید نرخ بازار برابر با 10% باشد.
(80 ،20 ،40 ،100-) = X1، (30 ،30 ،70 ،100-) = X2
(25 ،50 ،60 ،100-) = X3
بدیهی است که هر سه پروژه دارای عمر برابر و هزینه اولیه یکسان می‏باشند. مطابق قضیه (2-4)، چون مقدار اولیه جریان فرآیند مالی پروژه‏ها منفی است، بنابراین پروژه‏ای اقتصادی‏تر است که متوسط نرخ بازگشت سرمایه داخلی بزرگتری داشته باشد. جدول (3) خلاصه ای از محاسبات متوسط نرخ بازگشت سرمایه داخلی هر سه پروژه را نشان می‏دهد.
جدول (3): رتبه بندی پروژه های رقابتی با عمر برابر و هزینه اولیه یکسان
K1 K2 K3 AIRR NPV
X1 50% 28.18% 33.88-% 14.77% 12.998
X2 80% 37.27% 75.21-% 14.02% 10.969
X3 70% 55.45% 79.34-% 15.37% 14.65

بنابر این رتبه‏بندی پروژه‏ها بر اساس شاخص AIRR به صورت X3 > X1 > X2 خواهد بود که مطابق روش ارزش فعلی است.
لم 2-4- پروژه های X1, X2, …, Xn را به ترتیب با طول عمر T1,T2, ...,Tn و با مقادیر اولیه متفاوت در نظر بگیرید. به منظور رتبه‏بندی پروژه ها مطابق قضیه (2-4)، ابتدا باید طول عمر و مقدار اولیه پروژه‏ها را به صورت زیر با هم برابر نمایید:
1) پارامتر T را برابر با بزرگترین طول عمر پروژه ها در نظر بگیرید (T = max (T1, T2, ...,Tn)). سپس با اضافه کردن مقدار صفر به انتهای جریان فرآیند مالی پروژه هایی که طول عمر کوچکتری از T دارند، طول عمر همه پروژه‏ها را با هم برابر کنید.
2) پارامتر Xp را برابر با بزرگترین مقدار عددی بین مقادیر اولیه پروژه‏ها در نظر بگیرید. سپس با اضافه کردن عملگر مناسب Zi به هر پروژه، مقدار اولیه تمام پروژه‏ها را با هم برابر نمایید.
Zi = ((Xp-X0), …, -( Xp-X0).(1+r)T)
ارزش فعلی پروژه Xi بعد از اضافه کردن عملگر Zi تغییری نخواهد کرد، زیرا ارزش فعلی عملگر Zi برابر با صفر است.
PV(Zi +Xi|r) = PV (Xi|r), (PV(Z|r) =0)

مثال 4-4- پروژه های زیر را به همراه مقادیر ارزش فعلی آنها تحت نرخ بازار 10% در نظر بگیرید.
88.43 = (10% = r|X1)PV، (140 ،80 ،100-) = X1
67.58 = (10% = r|X2)PV، (30 ،60 ،50 ،50-) = X2
97.94 = (10% = r|X3)PV، (20 ،20 ،20 ،80 ،20-) =X3
مطابق روش ارزش فعلی، رتبه‏بندی پروژه‏ها به صورت X3 > X1 > X2 است. به منظور رتبه‏بندی پروژه‏ها با استفاده از روش پیشنهادی مقاله، ابتدا باید طول عمر تمامی پروژه‏ها را با هم برابر نماییم.
(0 ،0 ،140 ،80 ،100-)=X1، (0 ،30 ،60 ،50 ،50-)=X2 (20 ،20 ،20 ،80 ،20-) = X3
با توجه به مقادیر اولیه جریان های فرآیند مالی، مقدار Xp برابر با 100- می‌باشد. سپس با تعریف عملگرهای زیر مقدار اولیه تمامی پروژه‏ها را با هم برابر می کنیم.
(0 ،0 ،0 ،0 ،0) = (0 ،0 ،0 ،0 ،(100+100-)) = Z1
(4(1.1)50 ،0 ،0 ،0 ،(50+100-))= Z2
(73.205 ،0 ،0 ،0 ،50-)=
(4(1.1)80 ،0 ،0 ،0 ،(20+100-))= Z3
(117.128 ،0 ،0 ،0 ،80-)=
(0 ،0 ،140 ،80 ،100-) = X1+ Z1
(73.205 ،30 ،60 ،50 ،100-) = X2+ Z2
(137.128 ،20 ،20 ،80 ،100-) = X3+ Z3
حال با استفاده معادله (6)، مقادیر بردار نرخ بهره را برای هر پروژه محاسبه نموده و سپس پروژه ها را بر اساس میانگین حسابی ساده مقادیر نرخ بهره رتبه‏بندی می کنیم.
جدول (4): رتبه بندی پروژه ها با طول عمر و مقدار اولیه متفاوت
K1 K2 K3 K4 AIRR
X1 90% 137.3% 10% 100-% 34.32%
X2 60% 64.55% 34.79% 45-% 28.58%
X3 90% 28.18% 26.53% 3.03% 36.93%

همان طور که در جدول (4) قابل مشاهده است، رتبه‏بندی پروژه ها به صورت X3 >X1 >X2 است که با روش ارزش فعلی سازگاری دارد. به عنوان آخرین نکته در این بخش، به این مطلب اشاره می کنیم که وقتی نرخ بازار در دوره‏های مختلف متفاوت باشد، آنگاه تصمیم گیرنده نمی تواند از روش IRR استفاده نماید. مگنی به منظور حل این مشکل، مفهوم متوسط نرخ بازار ( ) را پیشنهاد داد و به منظور محاسبه آن رابطه زیر را ارائه نمود:

(12)
پارامتر rt بیانگر نرخ بازار طی دوره [t-1,t] است. در ضمن vt ضریب تنزیل است و به صورت زیر قابل محاسبه است:
(13)
این مقاله به منظور حل این مشکل پیشنهاد می کند که با جایگزینی مقدار به جای پارامتر Ct-1 در معادله (12) خواهیم داشت:

(14)
سپس تصمیم گیرنده با جایگزینی مقدار به جای r در تمامی محاسبات، می تواند از روش پیشنهادی مقاله استفاده نماید.
مثال 5-4- جریان فرآیند مالی (10،20 ،10 ،20-) = X را در نظر بگیرید و فرض کنید مقادیر بردار نرخ بازار برابر با (12% ،15% ،10%) است. به منظور تعیین اقتصادی بودن پروژه، در ابتدا باید با استفاده از معادله (14) مقدار متوسط نرخ بازار را تعیین نمود. بعد از حل، مقدار متوسط نرخ بازار ( ) برابر با 12.2% به دست آمد. ارزش فعلی پروژه تحت این نرخ برابر با 11.88 است. بعد از محاسبه متوسط نرخ بازار، باید مقادیر بردار نرخ بهره را محاسبه نمود:


سپس باید میانگین حسابی ساده مقادیر نرخ بهره را به عنوان متوسط نرخ بازگشت سرمایه داخلی پروژه X محاسبه نمود:

= 0.344 یا%34.4
چون مقدار اولیه جریان فرآیند مالی منفی (20-) بوده و متوسط نرخ بازگشت سرمایه داخلی (34.4%) بزرگتر از متوسط نرخ بازار (12.2%) است، آنگاه پروژه X اقتصادی است و نتیجه به دست آمده با روش ارزش فعلی مطابقت دارد.
شایان توجه است که کامل‏ترین روشی که تا کنون ارائه شده است روش مگنی است، اما این روش نیز به نوبه خود دارای نواقصی است که کاربرد این روش را در دنیای واقعی محدود ساخته است.
5- مقایسه روش پیشنهادی مقاله با روش مگنی
روش AIRR (مگنی، 2010) یکی از با ارزش‏ترین روش‏هایی است که به منظور حل مشکلات روش IRR معرفی شده است، اما این روش از نقطه نظر اقتصادی کامل نیست و دارای معایب مهمی است. به عنوان مثال فرآیند مالی (121 ،110 ،200-) = X را در نظر بگیرید و فرض کنید نرخ بازار برابر با 5 درصد باشد. این فرآیند مالی دارای یک نرخ بازگشت سرمایه داخلی با مقدار 10% است و ارزش فعلی آن تحت نرخ بازار 5% برابر با 14.51 است. بنابر این فرآیند مالی X مطابق روش ارزش فعلی و هم بر اساس روش نرخ بازگشت سرمایه داخلی اقتصادی است.
به منظور تعیین اقتصادی بودن فرآیند مالی X مطابق روش AIRR، بردار جریان سرمایه گذاری دلخواه C1 را به صورت (209- ،200) = C1 تعریف می‏کنیم. بعد از انجام محاسبات مقدار متوسط نرخ بازگشت سرمایه داخلی برابر با 1605% به دست آمد. چون ارزش فعلی بردار جریان سرمایه گذاری مثبت است و متوسط نرخ بازگشت سرمایه داخلی 1605% بزرگتر از نرخ بازار 5% است، بنابراین فرآیند مالی X اقتصادی است. حال با اندکی تغییر در مقادیر بردار جریان سرمایه گذاری C1، بردار جریان سرمایه‏گذاری C2 را به صورت (211- ،200) = C2 تعریف می‏نماییم. بعد از انجام محاسبات، مقدار متوسط نرخ بازگشت سرمایه داخلی برابر با 1595-% به دست آمد. چون ارزش فعلی بردار جریان سرمایه گذاری منفی است و متوسط نرخ بازگشت سرمایه داخلی 1595-% کوچکتر از نرخ بازار 5% است، بنابراین فرآیند مالی X اقتصادی است.
نتیجه به دست آمده از تحلیل هر دو بردار جریان سرمایه گذاری C1 وC2 مشابه هم بوده و بر اقتصادی بودن فرآیند مالی X دلالت می کند. اما همان‏طور که مشاهده می‏کنید مقادیر به دست آمده برای متوسط نرخ بازگشت سرمایه داخلی (1605% و 1595-%) کاملا بی معنی بوده و هر دو مقدار از لحاظ عددی با نرخ بازگشت سرمایه داخلی واقعی جریان فرآیند مالی (10% ) فاصله زیاد و قابل توجهی دارند.
در ضمن با اندکی تغییر در تعریف بردارهای جریان سرمایه گذاری C1 و C2، مقدار متوسط نرخ بازگشت سرمایه داخلی تغییر بسیار زیادی کرد (از 1605% به 1595-% تغییرنمود). در نتیجه تصمیم‏گیرنده نمی تواند به هیچ وجه بر مقدار عددی AIRR به دست آمده از روش مگنی اعتماد کند و آن را به عنوان نرخ بازگشت سرمایه داخلی پروژه بپذیرد. این مشکلات از اینجا ناشی می شود که در روش AIRR، انتخاب بردار جریان سرمایه گذاری دلخواه بوده و بر عهده تصمیم گیرنده است. مراحل حل طولانی، محاسبات پیچیده، منحصر بفرد نبودن جواب نهایی و عدم اطمینان به مقدار عددی AIRR به دست آمده به عنوان IRR، از جمله معایبی است که استفاده از این روش را برای تصمیم گیرنده دشوار ساخته و موجب عدم کاربرد این روش در عمل شده است.
در روش پیشنهادی مقاله دیگر نیازی به تعریف بردار جریان سرمایه‏گذاری نیست، بلکه تصمیم‏گیرنده با استفاده از رابطه‏ای مشخص، مقادیر بردار نرخ بهره را محاسبه می نماید. در ضمن همین امر موجب کوتاه تر و آسان تر شدن راه حل روش پیشنهادی مقاله نسبت به روش مگنی است.
با استفاده از روش پیشنهادی و بعد از انجام محاسبات، مقدار منحصر بفرد 8.8% برای نرخ بازگشت سرمایه داخلی فرآیند مالی X به دست آمد که به مقدار نرخ بازگشت سرمایه داخلی واقعی فرآیند مالی (10%) نزدیک است. بنابر این، علاوه بر مزایای ذکر شده، مقدار عددی به دست آمده برای نرخ بازگشت سرمایه داخلی مطابق این روش نسبت به روش مگنی، مطمئن تر و دقیق تر است.
6- نتیجه گیری
طی سال‏های گذشته تعداد زیادی از اساتید و محققان سعی در حل مشکلات روش نرخ بازگشت سرمایه داشتند اما تلاش هیچ کدام از آنها به طور شایان توجهی موثر واقع نشد. به عبارت دیگر، روش پیشنهادی تعدادی از مقاله‏ها قابل اعتماد نبود یا روش تعدادی از آنها نمی توانست تمامی مشکلات روش نرخ بازگشت سرمایه را پوشش دهد. تعداد معدودی از مقاله‏های منتشر شده مناسب و کارا بودند اما دارای مراحل حل پیچیده و طولانی بودند به طوری که کاربرد آنها مشکل و برای عموم قابل فهم و تشریح نبود. این مقاله به ارائه یک روش جدید به منظور محاسبه نرخ بازگشت سرمایه داخلی می پردازد که از تفکرات مگنی نشات گرفته اما رویکرد او را بهبود می بخشد. در واقع روش پیشنهادی مقاله، یک رابطه جدید به منظور محاسبه مقادیر نرخ بهره معرفی می‏نماید به طوری که در آن نیازی به تعریف بردار جریان سرمایه گذاری نیست. به همین علت، روش پیشنهادی دارای مراحل حل کمتر نسبت به روش مگنی بوده و به تبع روشی آسان تر و قابل فهم تر است. مراحل حل آسان و کوتاه، قابلیت تشریح برای عموم، منحصر به فرد بودن و قابل اعتماد بودن جواب نهایی از مزایایی است که این روش را از سایر روش‏ها متمایز می‏سازد. شایان ذکر است که نتیجه به دست آمده از این روش چه در تعیین اقتصادی بودن و چه در رتبه بندی پروژه های رقابتی با روش ارزش فعلی کاملا سازگاری دارد.