امروزه در مدیریت سیستم‌های قدرت دستیابی به پایگاه اطلاعاتی کامل، دقیق و نامتناقض به عنوان ورودی به همه مراکز کنترل به صورت همزمان یک عامل کلیدی محسوب می‌شود. تخمین‌گر‌های حالت مرسوم با استفاده از دستگاه‌های اندازه‌گیری که شامل اطلاعات ولتاژ شین، توان اکتیو و راکتیو هستند، فازور ولتاژ شین‌های شبکه را تخمین می‌زنند. تا چندی پیش اطلاعات دستگاه‌های اندازه‌گیر تنها از طریق سیستم کنترل نظارتی و تحلیل اطلاعات[1] (SCADA) که اطلاعاتش را توسط پایانه‌های راه دور[2] (RTUs) جمع‌آوری می‌کنند، قابل دسترسی بودند. با ظهور سیستم موقعیت یاب جهانی[3] (GPS)، دستگاه‌های اندازه‌گیری قادر به مخابره همزمان اطلاعات شدند ]1[. به تازگی سیستم دیگری به نام نظارت، حفاظت و کنترل گسترده سیستم (WAMPC)[4] مطرح شده است که هدف آن جبران کاستی‌های موجود در سیستم  کنترل نظارتی و تحلیل اطلاعات بوده است. واحد‌های اندازه‌گیر فازوری[5] (PMU) یکی از اجزای اصلی این سیستم به شمار می‌روند. این تجهیز از یک سیگنال همزمان کننده که غالباً توسط سیستم موقعیت‌یاب جهانی ارسال می‌شود، استفاده می‌کند ]2[. از طرفی، واحد‌های اندازه‌گیر فازوی عموماً دارای چندین دستگاه اندازه‌گیری در قالب کانال‌های اندازه‌گیری و مخابراتی هستند. ]3[ لذا هزینه این تجهیز در مقایسه با اندازه‌گیر‌های سنتی بالاتر است. به این ترتیب، تعیین مکان و بهینه‌سازی تعداد این تجهیز در سیستم قدرت به منظور مشاهد‌پذیری کامل شبکه از اهمیت ویژه‌ای برخوردار است.

تاکنون تحقیقات متنوعی در رابطه با مسأله‌ مکان‌یابی واحد‌های اندازه‌گیر فازوری به منظور بهبود عملکرد سیستم قدرت انجام گرفته است. بررسی مشاهده‌پذیری کامل شبکه در ]9-3[بررسی شده است. در ]12-9[ مکان‌یابی در حضور احتمال وقوع پیشامد خروج یک خط صورت گرفته است. احتمال خرابی یک واحد اندازه‌گیر فازوری در ]12[ و ]13[ در نظر گرفته شده است. همچنین، در ]14[ و ]15[ مکان‌یابی این واحد‌ها به منظور تخمین حالت سیستم قدرت انجام گرفته است. از طرفی، به منظور دستیابی به اهداف مورد نظر در مسأله‌  مکان‌یابی واحد‌های اندازه‌گیر فازوری، ابزار‌های بهینه‌سازی مختلفی مورد استفاده محققان قرار گرفته است. برای­ نمونه در ]11-7[  سعی شده است که مبتنی بر برنامه‌ریزی اعداد صحیح، مسأله مکان‌یابی واحد‌های اندازه‌گیر فازوری فرموله‌بندی و حل شود. به­کارگیری الگوریتم ژنتیک ]6[ و الگوریتم جستجوی تابو ]4[ نمونه‌های دیگری از تلاش‌های انجام شده برای حل مسأله‌ مکان‌یابی واحد‌های فازوری برای دستیابی به پاسخ‌ بهینه است.

در مسأله جایابی واحد‌های اندازه‌گیر فازوری، طراحان سیستم قدرت و محققان با محدودیت‌های گوناگونی روبه­رو هستند که از مهمترین آنها می‌توان به محدودیت‌های اقتصادی و ملاحظات فنی اشاره کرد. در عمل یک سیستم قدرت واقعی آن قدر بزرگ است که هزینه واحد‌های فازوری مورد نیاز برای مشاهده‌پذیر ساختن شبکه قابل ملاحظه است. از این‌رو، نصب واحد‌های فازوری مورد نظر طی افق برنامه‌ریزی چند ساله در قالب چند مرحله‌ زمانی به اجرا گذاشته می‌شود ]16[. تحقیقات انجام شده در زمینه مکان‌یابی چند‌مرحله‌ای واحد‌های اندازه‌گیر فازوری نیز با اهداف گوناگونی دنبال شده است که افزایش مشاهده‌پذیری در طی مراحل برنامه‌ریزی ]16[، افزایش مشاهده‌پذیری خطوط ارتباطی شبکه انتقال[6]  و اولویت نصب واحد‌های فازور در محل‌های کم تراکم[7] ]17[ و ]18[ نمونه‌هایی از این مطالعات هستند. در ]19[ مکان‌یابی احتمالی چندمرحله‌ای با توجه به توسعه‌ شبکه مورد توجه قرار گرفته است. در ]17[ با استفاده از روش تحلیل سلسله مراتبی[8] (AHP) و ارائه یک مدل خطی، سعی شده است که شاخص‌های مرتبط با مشاهده‌پذیری خطوط ارتباطی شبکه انتقال، مشاهده‌پذیری ولتاژ شین و مشاهده‌پذیری ناحیه کنترل ولتاژ بهبود یابند. در ]16[ روشی مبتنی بر برنامه‌ریزی خطی ارائه شده است که برای هر مرحله از افق برنامه‌ریزی مشاهده‌پذیری سیستم به­صورت مجزا و بدون در نظر گرفتن مراحل افزایش می‌یابد؛ فرآیند بهینه‌سازی مذکور به ازای هر مرحله یک­بار تکرار می‌گردد. روش مکان‌یابی چندمرحله‌ای فوق در مطالعات دیگری همچون ]19[ و ]20[   استفاده شده است.

در این مقاله، با معرفی یک شاخص جدید، روش نوینی ارائه شده است که در آن سعی می‌شود به منظور افزایش مشاهده‌پذیری سیستم در طول افق برنامه‌ریزی، مکان‌یابی چند‌مرحله‌ای واحدهای اندازه‌گیر فازوری به صورت دینامیکی انجام پذیرد. در روش پیشنهادی، ابتدا مکان‌های کاندیدای نصب واحد‌های اندازه‌گیر فازوری برای مرحله‌ زمانی انتها انتخاب می‌شوند. سپس برای مراحل میانی (مرحله‌ اول تا مرحله‌ ماقبل آخر) به صورت همزمان مکان‌یابی انجام می‌شوند؛ بدین ترتیب مکان‌یابی برای هر مرحله با در نظر گرفتن شرایط مراحل قبل و بعد صورت می‌پذیرد. با توجه به پیچیدگی مدل مسأله، از الگوریتم بهینه‌سازی خفاش‌ برای حل مدل پیشنهادی استفاده شده است.

1- مفهوم مشاهده‌پذیری سیستم و تعریف مسأله‌‌ مکان‌یابی چند‌مرحله‌ای

1-1- مفهوم مشاهده‌پذیری سیستم قدرت

مطالعات مشاهده‌پذیری با طراحی تخمین‌گرها ارتباط نزدیکی دارد. یکی از روش‌های ساده و البته بسیار مهم برای طراحی تخمین‌گرهایی که بتوان متغیر‌های حالت یک سیستم را تخمین زد، استفاده از اطلاعات ورودی و خروجی آن سیستم است ]14[. مفهوم مشاهده‌پذیری در تئوری کنترل را می‌توان به صورت کیفیت اندازه‌گیری حالات داخلی یک سیستم با استنباط از دانش حالات خارجی آن سیستم بیان کرد ]21[. عموماً به دلیل سادگی، مشاهده‌پذیری سیستم‌های قدرت با استفاده از روش‌توپولوژیک  صورت می‌گیرد ]2[ که برای ارزیابی آن طبق این روش از قوانین زیر استفاده می‌شود:

• قانون اول: یک واحد اندازه‌گیر فازوری می‌تواند فازور ولتاژ شین محل نصب شده‌اش را اندازه‌ بگیرد.
• قانون دوم: واحد اندازه‌گیر فازوری توانایی اندازه‌گیری فازور جریان تمام خطوط متصل شده به شینی را که در آن قرار گرفته است، دارد. دراین صورت، با مشخص بودن امپدانس خطوط، فازور ولتاژ شین‌های مجاور نیز با استفاده از قانون اهم قابل محاسبه است.

توجه به این نکته ضروری است که دو قانون فوق با این فرض بیان شده‌اند که یک واحد اندازه‌گیری فازوری شامل تعداد کافی کانال اندازه‌گیری و مخابراتی باشد، اما در عمل واحدهای اندازه‌گیری فازوری دارای محدودیت‌های مخابراتی و کانال‌های اندازه‌گیری است. در چنین شرایطی، یک واحد اندازه‌گیری فازوری تنها قادر است به تعداد کانال‌های اندازه‌گیری از پیش تعیین شده‌ خود شین‌های یک سیستم را به صورت مستقیم مشاهده‌پذیر سازد.

• قانون سوم: چنانچه ولتاژ دو شین مجاور مشخص باشد، فازور جریان خط (یا خطوط) ارتباطی بین این دو شین نیز با استفاده از قانون اهم قابل محاسبه است.
• قانون چهارم: چنانچه از میان یک شین توان تزریق صفر و شین‌های مجاورش همگی بجز یکی مشاهده‌پذیر باشند، شین مشاهده‌ناپذیر با استفاده از قانون جریان کیرشهف (KCL) به صورت غیر مستقیم مشاهده‌پذیر می‌گردد.

1-2- مسأله‌ مکان‌یابی واحد‌های فازوری

الف) مکان‌یابی بهینه واحد‌های فازوری

تابع هدف مرسوم در مسأله‌ مکان‌یابی واحد‌های فازوری به صورت روابط (1) و (2) فرمول‌بندی می‌شود.

که در آن متغیر تصمیم دودویی است که یک بودن آن بیانگر حضور واحد اندازه‌گیر فازوری و صفر بودن آن به معنی عدم حضور واحد در شین j است.  درایه‌ای متعلق به ماتریس مجاورت شبکه است؛ به این معنی که چنانچه مقدار آن برابر با یک باشد، شین‌های i و j  به هم متصل‌اند؛ در غیر این صورت خط یا خطوطی شین‌های i و j  را به هم متصل نکرده است. در رابطه‌ (2)، I مجموعه شین‌های شبکه را شامل می‌شود.

ب) مکان‌یابی مرسوم چند‌مرحله‌ای واحد‌های فازوری

از آنجایی که هزینه واحدهایی فازوری مورد نیاز برای یک شبکه بزرگ مقیاس برای مشاهده‌پذیری کامل آن شبکه، قابل ملاحظه بوده و همچنین، به دلیل ملاحظات فنی، امکان نصب همه واحد‌های اندازه‌گیر فازوری در یک بازه زمانی کوتاه میسر نیست. لذا معمولاً شرکت‌های برق به تدریج و در طی چندین مرحله‌ زمانی به نصب این واحد‌ها اقدام می‌نمایند. در اصل می‌توان بیان نمود هدف اصلی بهره‌گیری از واحدهای اندازه‌گیر فازوری در سیستم قدرت، مشاهده حالت سیستم و رصد تمامی اغتشاشات شبکه توسط بهره‌برداران است. بدین ترتیب، واضح است که عدم مشاهده‌پذیری خطوط و شین‌های یک سیستم که عدم مشاهده‌ اغتشاشات شبکه را به دنبال دارد، می‌تواند متحمل هزینه‌های قابل توجهی شود ]2[ و ]22[. از این­رو، مکان‌یابی چند‌مرحله‌ای واحد‌های اندازه‌گیر فازوری عموماً به منظور کمینه‌سازی مشاهده‌ناپذیری در هر مرحله از طراحی انجام می‌شود. در اینجا ذکر این نکته ضروری است که در مکان‌یابی چندمرحله‌ای واحدهای اندازه‌گیر فازوری، هدف کاهش تعداد این تجهیزات نیست؛ بلکه با مشخص بودن تعداد و مکان‌های این تجهیزات در افق نهایی برنامه‌ریزی (مرحله‌ آخر) سعی در کاهش نامشاهده‌پذیری سیستم و هزینه‌های ناشی از آن می‌شود. البته، در برخی موارد در کنار این هدف اصلی، اهداف دیگری نیز دنبال شده است ]17[. در اینجا توجه به این نکته ضروری است که عموماً مکان‌یابی برای مرحله‌ آخر برنامه‌ریزی به چندین پاسخ بهینه از لحاظ تعداد واحد اندازه‌گیری ختم می‌شود؛ اما در نهایت پاسخی به­عنوان پاسخ بهینه انتخاب می‌شود که افزونگی اندازه‌گیری بیشتری را شامل شود ]13[، ]17[ و ]22[. از این­رو، بهره‌برداران شبکه تمایل دارند در انتهای افق برنامه‌ریزی علاوه بر مشاهده‌پذیری کامل شبکه، سیستمی با افزونگی اندازه‌گیری بیشتری را در اختیار داشته باشند. بنابراین، مکان‌های نهایی نصب واحدهای فازوری از ابتدا معلوم در نظر گرفته می‌شوند. این در حالی است که در مکان‌یابی چندمرحله‌ای، از آنجا که در مراحل میانی سیستم مشاهده‌پذیر کامل نیست، افزایش مشاهده‌پذیری سیستم تنها هدف اصلی بوده، مسأله‌ افزونگی اندازه‌گیری آنچنان حائز اهمیت نیست. از این­رو، در تمامی مطالعات صورت گرفته پیرامون مکان‌یابی چندمرحله‌ای واحدهای فازوری تنها به افزایش مشاهده‌پذیری سیستم پرداخته شده است.

تابع هدف و قیود مرسوم در مسأله‌ مکان‌یابی چند‌مرحله‌ای واحد‌های اندازه‌گیر فازوری بدون در نظر گرفتن اثر شین‌های توان تزریق صفر به صورت روابط زیر است:

تابع هدف و قیود ارائه شده در روابط (3) تا (7)، مکان‌یابی واحد‌های فازوری را برای مرحله kام نشان می‌دهد. پارامترNb نیز در رابطه‌ (3) معرف تعداد شین‌های شبکه است. در رابطه (4)،  ماتریس مجاورت شبکه است. در این رابطه بردار‌های و  به ترتیب به صورت و  تعریف می‌شوند. اجزای تشکیل دهنده بردار u همگی متغیرهای دودویی هستند که یک و صفر بودن آنها به ترتیب بیانگر مشاهده‌پذیری و یا عدم مشاهده‌پذیری شین مربوطه است؛ از این­رو، تابع هدف رابطه (3) بیشینه‌سازی مشاهده‌پذیری در سیستم قدرت را دنبال می‌کند. در رابطه‌ (5)، M تعداد مراحل برنامه‌ریزی و مجموعه  شین‌های کاندیدا برای نصب واحد‌های اندازه‌گیر فازوری جهت مشاهده‌پذیری کامل شبکه و همچنین در رابطه‌ (6)،  تعداد واحد‌های اندازه‌گیر فازوری قابل نصب در هر مرحله را نشان می‌دهد. مجموعه‌  نیز بیانگر مکان‌های نصب واحد‌های فازوری در مرحله‌ k است.

بدیهی است که به منظور در نظر گرفتن اثر شین‌های توان تزریق صفر دیگر نمی‌توان از رابطه‌ (4) بهره جست، چراکه این رابطه تنها سه قانون اول مشاهده‌پذیری را پوشش می‌دهد. از این­رو، در ]13[ و ]16[ روابطی خطی ارائه شده است که اثر شین‌های توان تزریق در نظر گرفته شده است.

تابع هدف ارائه شده در رابطه (3) مبنای بسیاری از پژوهش‌های انجام شده در زمینه مکان‌یابی چند‌مرحله‌ای واحدهای فازوری قرار گرفته‌است. در این مدل شین‌های کاندیدای نصب واحد فازوری شبکه با استفاده از تابع هدف ارائه شده در رابطه‌ (1) به عنوان مجموعه‌‌  مشخص می‌شود. سپس مسأله در مرحله اول به منظور افزایش مشاهده‌پذیری حل می‌شود. شایان ذکر است که پس از یافتن مجموعه پاسخ ، مراحل بهینه‌سازی به ترتیب از مرحله اول تا مرحله ماقبل آخر با حذف پاسخ‌های مراحل قبل از مجموعه‌  به عنوان مکان‌های کاندیدای مرحله‌ جدید ادامه می‌یابد.

ج) ضرورت طرح یک مدل جامع به منظور مکان‌یابی چندمرحله‌ای واحدهای اندازه‌گیری فازوری

پیش از ارائه مدل پیشنهادی لازم است با ذکر یک مثال ضرورت مدل پیشنهادی در مقایسه با مدل مکان‌یابی چندمرحله‌ای مرسوم بیان شود.

برای نمونه، فرض شود یک شبکه 39 شین فرضی توسط 8 واحد فازوری در مکان‌های معین (شین‌های a, b, c, d, e, f, g, h) مشاهده‌پذیر گردد که  باید  این هشت تجهیز اندازه‌گیری در طی سه افق زمانی در شبکه نصب گردند: مرحله‌ اول 3 واحد، مرحله دوم 3 واحد و مرحله‌ آخر 2 واحد. حال چنانچه فرض شود این مسأله توسط روش چندمرحله‌ای مرسوم مکان‌یابی گردد و پاسخ بهینه مطلق مسأله چنان باشد که بتوان در مراحل اول تا سوم به ترتیب 15، 28 و 39 شین را مشاهده‌پذیر ساخت. به عبارت دیگر، در مراحل اول تا سوم به ترتیب 24، 11 و 0 شین رؤیت ناپذیرند (مجموعاً 35 شین در طی افق برنامه‌ریزی). پرسشی که در اینجا مطرح می‌شود، این است که آیا پاسخ به­دست آمده پاسخی بهینه است؟ در اینجا می‌توان به یک پاسخ محتمل اشاره نمود که در فضای جستجوی مدل مرسوم قرار ندارد؛ برای نمونه، چنانچه این 8 واحد اندازه‌گیری فازوری به ترتیبی در شبکه نصب شوند که در مراحل اول تا سوم به ترتیب 14، 30 و 39 شین مشاهده‌پذیر باشند. به عبارت دیگر، در مراحل اول تا سوم به ترتیب 25، 9 و 0 شین رؤیت ناپذیرند (مجموعاً 34 شین در طی افق برنامه‌ریزی). واضح است که حالت دوم نسبت به پاسخ روش مرسوم برتری دارد؛ چراکه در مجموع تعداد شین‌های بیشتری را مشاهده‌پذیر ساخته، هزینه‌های ناشی از عدم مشاهده‌پذیری کمتری بر سیستم تحمیل می‌گردد. به وضوح مشخص است که پاسخ حالت دوم در فضای جستجوی مدل مرسوم قرار نمی‌گیرد؛ این مهم بدین دلیل است که در روش مرسوم ابتدا مکان‌یابی برای مرحله‌ اول با هدف افزایش مشاهده‌پذیری سیستم صورت گرفته و قطعاً پاسخی بهتر از مشاهده‌پذیر نمودن 14 شین را انتخاب می‌کند (15 شین). سپس با کنار گذاشتن شین‌های انتخاب شده‌ مرحله‌ اول، فرایند بهینه‌سازی برای مرحله‌ دوم بار دیگر مجدداً تکرار شده، این روند تا مرحله‌  ماقبل آخر ادامه می‌یابد. نکته‌ای که  ‌باید مورد توجه قرار گیرد، آن است که روش‌های مرسوم با وجود تحصیل بهینه مطلق مدل خود از فضای جستجوی محدودی برخوردار است و تمامی حالت‌های ممکن را شامل نمی‌شود.

شایان ذکر است که پاسخ احتمالی فوق، تنها یکی از حالت‌های بهتر را نشان می‌دهد. پاسخ محتمل دیگری را می‌توان مطرح نمود که در فضای جستجوی مدل مرسوم قرار ندارد: مشاهده‌پذیر ساختن به ترتیب 15، 29 و 39 شین در مراحل اول تا سوم. در نگاه اول شاید این­گونه به نظر رسد که این پاسخ محتمل نیز قطعاً ‌باید در فضای جستجوی مدل مرسوم قرار گیرد؛ اما لزوماً چنین نیست. نکته ظریفی در این میان وجود دارد که به ماهیت مدل‌های خطی مرسوم بر می‌گردد. در اینجا یادآوری این نکته ضروری است که مدل‌های خطی‌ای که دارای چندین بهینه مطلق هستند، همواره در اجراهای مختلف تنها به یکی از چند پاسخ بهینه منتهی می‌شوند. حال با در نظر گرفتن نکته‌ فوق در روش مکان‌یابی چند مرحله‌ای مرسوم، عدم  پاسخ محتمل فوق در فضای جستجوی مدل مرسوم توجیه‌پذیر است. در مسأله مکان‌یابی چندمرحله‌ای، چنانچه مکان‌یابی طبق مدل مرسوم که مبتنی بر برنامه‌ریزی خطی است، صورت پذیرد و چنانچه مسأله در مرحله‌ اول دارای بیش از یک بهینه مطلق باشد آنگاه طبق نکته ذکر شده، مدل خطی مرسوم یکی از بهینه‌های موجود را دنبال می‌کند؛ در این حالت ممکن است پاسخ بهینه کلی مسأله دنبال نشود. برای روشن‌تر شدن موضوع، چنانچه فرض شود در مثال فوق بتوان با نصب 3 واحد فازوری در شین‌های a, e و f ، و یا در شین‌های a, c و f تعداد 15 شین را مشاهده‌پذیر ساخت. حال این دو دسته جواب، پاسخ‌های بهینه مطلق مرحله‌ اول هستند. پاسخی که در اینجا مطرح است این است که کدام یک ‌باید به­عنوان پاسخ بهینه انتخاب شود؟ از آنجاکه روش مکان‌یابی چندمرحله‌ای مرسوم برای هر مرحله مستقل است، هیچ تمایزی برای این دو دسته جواب قائل نمی‌شود و طبق نکته‌ای که پیش از این بدان اشاره شد، همواره از این دو پاسخ تنها یکی از آنها (بر اساس تکنیک حل کننده[9] برنامه‌ریزی عدد صحیح) انتخاب می‌شوند؛ اما محتمل است دسته جوابی که انتخاب نشده است، در مراحل بعد عملکرد بهتری از لحاظ مشاهده‌پذیری داشته باشد.

حالت فوق در وضعیت‌های توپولوژیک خاص اتفاق می‌افتد (جدول (1) از آزمون اول) و لزوماً این­گونه نیست که روش مرسوم همواره به پاسخ بهینه دست نیابد؛ اما آنچه اهمیت دارد این است که شبکه‌های سیستم واقعی بزرگ مقیاس بوده و احتمال بروز شرایط مطرح شده در مسائل با مقیاس بالا و تعداد افق‌های برنامه‌ریزی بیشتر، بسیار محتمل‌ است. از این­رو،  ‌باید مکان‌یابی برای هر مرحله با توجه به مراحل قبل و بعد و به صورت دینامیک و همزمان انجام پذیرد. بنابراین، ضرورت مدل جامع و فراگیر در این زمینه منطقی است.

د) مکان‌یابی چند‌مرحله‌ای دینامیکی واحد‌های اندازه‌گیر فازوری

در این مقاله برای افزایش مشاهده‌پذیری سیستم در طول افق برنامه‌ریزی‌، یک روش دینامیکی جدید ارائه شده است که در آن بر خلاف روش‌های موجود، مکان‌یابی واحدهای فازوری برای هر مرحله وابسته به مراحل قبل و بعد آن است که نتیجه‌  آن افزایش فضای جستجوست. لذا برای تعریف و فرمول‌بندی تابع هدف، شاخص جدیدی با عنوان متوسط شین‌های رؤیت‌ناپذیر به صورت زیر معرفی شده است:

در این رابطه، شاخص AUB بیانگر میانگین شین‌های مشاهده نشده است. متغیر دودویی  نشان دهنده مشاهده‌پذیر بودن شین iام به ازای عدد یک است. شاخص معرفی شده در مرحله‌ tام به صورت رابطه‌ زیر قابل تعمیم است:

در رابطه (9)،  معرف مشاهده‌پذیری شین iام در مرحله tام به ازای عدد یک است. در این مدل، همانند روش مرسوم مسأله، ابتدا برای مرحله‌ زمانی آخر حل شده و شین‌های کاندیدا برای نصب واحدهای اندازه‌گیر فازوری مشخص می‌شوند. این مجموعه به صورت  تعریف می‌شود. در تعریف این مجموعه، M تعداد مراحل افق برنامه‌ریزی و ، پاسخ به دست آمده از نتایج مکان‌یابی واحد‌های اندازه‌گیر فازوری طبق تابع هدف رابطه‌ (1) برای مرحله‌ آخر است؛ به عبارت بهتر،  متغیرهای دودویی مربوط به مرحله‌ آخر افق برنامه‌ریزی هستند که یک بودن آنها نشان دهنده حضور واحد اندازه‌گیر فازوری در مرحله‌ی آخر است. از این­رو،  شماره‌ شین‌هایی را نشان می‌دهد که  ‌باید پس از اتمام افق برنامه‌ریزی به واحدهای فازوری مجهز شده باشند. با معرفی شاخص AUB مدل پیشنهادی برای مکان‌یابی چند‌مرحله‌ای دینامیکی واحد‌های اندازه‌گیر فازوری به صورت روابط زیر بیان می‌شود:

رابطه‌ (10) مجموع شاخص‌های متوسط شین‌های رؤیت نشده همه مراحل زمانی را شامل می‌شود. در این صورت فضای جستجو برای مکان‌یابی نسبت به مدل‌های موجود گسترش می‌یابد؛ چرا که بر خلاف روش‌های موجود جواب به دست آمده در هر مرحله از جواب‌های کاندیدای مرحله‌ بعد کنار گذاشته نمی‌شود. قید (11) به منظور محدود کردن تعداد واحد‌های اندازه‌گیر فازوری هر مرحله برابر با تعداد تعیین شده بر اساس محدودیت اقتصادی و ملاحظات فنی اعمال شده به سیستم قدرت است. به عبارت بهتر، در انتهای مرحله‌ tام برنامه‌ریزی باید به تعداد مجموع واحدهای قابل نصب از مرحله  اول تا مرحله‌ tام واحد اندازه‌گیری فازوری در شبکه نصب شده باشد. در مورد رابطه‌ (11) باید به این نکته توجه نمود که متغیرهای دودویی تصمیم در این رابطه عبارتند از:  برای مرحله اول،  برای مرحله‌ دوم، الی  برای مرحله‌ آخر. مشخص است که تعداد این متغیرها نسبت به رابطه‌ (6) از مدل مرسوم M برابر بوده، در نتیجه فضای جستجوی مسأله افزایش می‌یابد. قید (12) بیانگر این محدودیت است که مکان واحد‌های فازوری باید از نقاط کاندیدای به دست آمده از مجموعه  انتخاب شود. همچنین، قید رابطه‌ (13) بدین منظور به­کارگرفته شده است تا تضمین گردد چنانچه در مرحله‌ tام یک واحد اندازه‌گیر بر روی شین jام نصب گردد، در مراحل بعدی برنامه‌ریزی شین مذکور مجهز به واحد اندازه‌گیری باشد. در انتها جواب نهایی مسأله مطابق با روابط زیر بیان می‌شود:

که در رابطه‌ (14)،  مجموعه مکان‌های کاندیدای نصب واحدهای اندازه‌گیری فازوری از مرحله‌ اول تا مرحله‌ tام است. در رابطه‌ (15) نیز مجموعه‌  بیانگر مکان‌های نصب واحد‌های فازوری در مرحله‌ زمانی t است.

مدل‌سازی ریاضی پیشنهادی در مقایسه با مدل‌ مرسوم دارای دو تفاوت اساسی است: اول اینکه متغیر‌های تصمیم‌ در تابع هدف پیشنهادی با توجه به تعداد مراحل، بیشتر از مدل مرسوم است. دومین تفاوت  مدل‌سازی ریاضی پیشنهادی و مدل مرسوم را می‌توان به پیچیدگی ریاضی بین متغیر‌های  و به ازای   دانست که به علت دینامیک بودن روش حل، بر خلاف مدل مرسوم (رابطه‌ی (4)) به سادگی قابل ارائه نیست.

و) مکان‌یابی احتمالی چند‌‌مرحله‌ای دینامیکی

تاکنون در اغلب تحقیقات انجام شده، مشاهده‌پذیری سیستم قدرت از دیدگاه قطعی بررسی شده است؛ به این معنی که یک شین یا مشاهده‌پذیر است یا خیر. مرجع ]19[ با معرفی شاخص‌های احتمالی، از جمله شاخص احتمال مشاهده‌پذیری که در رابطه‌ زیر به آن اشاره شده، به بررسی احتمالی مکان‌یابی واحد‌های فازور پرداخته است:

رابطه‌ فوق برای مرحله‌ زمانی tام به صورت زیر قابل تعمیم است:

مطالعات نشان می‌دهد که احتمال مشاهده‌پذیری شین‌هایی که تنها توسط اثر شین تزریق صفر و یا اندازه‌گیر توان تزریقی مشاهده‌پذیر می‌شوند، بسیار کم است ]19[، از این‌رو، شاخص ارائه شده در روابط (16) و (17) صرف نظر از اثر شین تزریق صفر است. در این روابط  مقدار ثابتی است که تشریح کننده احتمال مشاهده‌پذیری شین شماره i خواهد بود. این مقدار به صورت رابطه زیر تعریف می‌شود:

در این رابطه  و  به ترتیب بیان‌ کننده دسترسی به ولتاژ اندازه‌گیری شده توسط واحد اندازه‌گیر فازوری نصب شده در شین j  و دسترسی به جریان اندازه‌گیری شده خط i-j است که این مقادیر توسط دسترس‌پذیری ترانسفورماتور‌های ولتاژ و ترانسفورماتور‌های جریان قابل محاسبه است.  و  نیز به ترتیب بیانگر احتمال بهره‌برداری موفقیت‌آمیز از واحد فازوری نصب شده در شین j  و ارتباط مخابراتی آن است. همچنین  معرف دسترس‌پذیری خط i-j است. در رابطه‌ (18)،  خواهد بود. بر این اساس شاخص سیستم با عنوان میانگین مشاهده‌پذیری احتمالی به صورت زیر قابل بیان است:

با فرض مشخص بودن شین‌های کاندیدا به عنوان مجموعه‌ ، تابع هدف و قیود مسأله مکان‌یابی احتمالی چند مرحله‌ای دینامیکی به صورت زیر مدل‌سازی می‌شود:

با توجه به مدل پیشنهادی برای افزایش احتمال مشاهده‌پذیری سیستم، تابع هدف به صورت رابطه (20) مدل می‌شود که در آن به صورت همزمان با در نظر گرفتن همه مراحل با یکدیگر، سعی در بهبود شاخص احتمالی مورد نظر شده است.

2- الگوریتم بهینه‌سازی خفاش[10] (BA)

خفاش‌ها جانوران شگفت‌انگیزی هستند. آنها تنها پستاندارانی هستند که پرواز می‌کنند و همچنین، بسیاری از آنها از توانایی پیشرفته تعیین مکان با استفاده از صوت برخوردارند. اغلب خفاش‌ها برای تعیین مکان از صوت‌هایی با فرکانس در محدوده خاص استفاده می‌کنند. در میان تمام گونه‌های خفاش‌ها، خفاش‌های کوچک مثالی معروف هستند که از صوت به عنوان ابزاری برای تعیین مکان استفاده می‌کنند. خفاش‌های کوچک پالس‌های صوتی بسیار بلندی را از خود ساطع کرده، از پژواک ناشی از برخورد پالس‌ها با اجسام محیط، آنها را پردازش می‌کنند ]23[ و ]24[.

الگوریتم بهینه‌سازی خفاش که در سال 2010 برای نخستین بار توسط Xin-She Yang ارائه شد ]24[، الهامی از خصوصیات ردیابی خفاش‌های کوچک در جستجوی شکار است. به منظور بسط این الگوریتم بهینه‌سازی از قوانین کلی استفاده شده است که در زیر به آنها اشاره می‌گردد:

• قانون اول: همه خفاش‌ها به کمک پژواک فاصله را تشخیص می‌دهند و همچنین، همه آنها تفاوت صدای پژواک شده ناشی از غذا و اجسام اطراف پیرامونشان را می‌دانند.
• قانون دوم: خفاش‌ها به صورت تصادفی با سرعت  در موقعیت  با فرکانس ثابت  و طول موج‌های مختلف و بلندی صوت  شکار خود را دنبال کرده، می‌توانند به صورت خودکار طول موج و همچنین، نرخ پالس‌های ارسالی خود را ( ) با توجه نزدیکی به شکارشان تنظیم کنند.
• قانون سوم: اگر چه بلندی صوت می‌تواند در بسیاری از حالات متفاوت باشد، با این حال فرض می‌شود که این تغییرات از بیشترین مقدار  تا کمترین مقدارش به عنوان  محدود باشد.

با توجه به قوانین توصیف شده در بالا، به  منظور مدل‌سازی ریاضی، برای هر خفاش مجازی i در فضای جستجوی d بعدی، موقعیت  و سرعت  در هر تکرار الگوریتم می‌توان از روابط ذیل استفاده کرد:

در روابط بالا  شمارنده تکرار الگوریتم و  یک عدد تصادفی با توزیع یکنواخت در بازه صفر و یک است.  بهترین موقعیت فعلی است که در هر تکرار پس از مقایسه با موقعیت‌های جدید خفاش‌های مجازی انتخاب می‌شود. از سوی دیگر در هر تکرار، جستجوی محلی بر اساس گردش تصادفی حول موقعیت بهترین خفاش به صورت  انجام می‌شود که در آن  برای جهت محدود کردن پله‌های گردش تصادفی به کار گرفته شده است. در رابطه‌ فوق  میانگین بلندی اصوات همه خفاش‌های در تکرار  تعریف می‌شود. از طرفی، بلندی صوت  و نرخ پالس ارسالی  در هر تکرار الگوریتم باید مطابق روابط ذیل بروز شود:

شکل (1): مراحل کلی الگوریتم بهینه‌سازی خفاش

همان طور که از رابطه‌ (28) مشخص است بازه‌  تغییرات  بین صفر و یک است؛ عدد صفر به معنی عدم ارسال پالس و عدد یک به معنی ارسال بیشینه‌ آن. مراحل کلی الگوریتم بهینه‌سازی خفاش مطابق شکل (1) انجام می‌پذیرد. نکته‌ای که باید بدان توجه نمود، این است که کاربرد نرخ پالس ارسالی  دقیقاً برگرفته از آن چیزی است که در واقعیت اتفاق می‌افتد. چنانچه خفاش به هدف خود نزدیک ‌شود، به منظور رصد نمودن هرچه بهتر موقعیت شکار خود پالس‌های بیشتری ارسال می‌کند. شبیه‌سازی این رفتار در الگوریتم بهینه‌سازی خفاش با تنظیم پارامتر  امکان‌پذیر است. هرچه این نرخ به عدد یک نزدیکتر باشد، جستجوی محلی در اطراف بهترین موقعیت با احتمال بیشتری صورت می‌پذیرد، و بالعکس. موضوع فوق در روند الگوریتم شکل (1) نشان داده شده است. نکته‌ حائز اهمیت این است که با انتخاب متغیر‌های 0=  این الگوریتم مشابه الگوریتم تجمع ذرات عمل می‌کند و یا با برابر قرار دادن متغیر‌های 7/0=  این الگوریتم شبیه الگوریتم جستجوی هارمونی رفتار می‌کند ]25[. شایان ذکر است که شرط توقف الگوریتم، تعداد تکرار‌های معینی فرض شده است.

3- روش حل مسأله

3-1- کاربرد الگوریتم بهینه‌سازی خفاش در حل

مسأله‌ مکان‌یابی چند‌مرحله‌ای دینامیکی واحد‌های اندازه‌گیر فازوری

در ابتدا مکان‌های کاندیدای نصب واحد‌های فازوری شبکه در مرحله آخر مطابق با تابع هدف ارائه شده در رابطه‌ (1) با عنوان مجموعه   مشخص می‌شوند. برای بهینه‌سازی تابع هدف رابطه‌ (10) و برآورده کردن قیود مسأله، گروهی از خفاش‌ها به دنبال طعمه حرکت می‌کنند. در کد‌بندی این مسأله موقعیت هر خفاش به صورت یک بردار به طولی برابر با تعداد واحد‌های فازوری کاندیدا مشخص می‌شود. درایه‌های این بردار ناگزیر باید همگی عضو مجموعه  باشند.

برای ساده‌سازی کد‌بندی مسأله، می‌توان  درایه اول بردار موقعیت هر خفاش را به عنوان شین‌های کاندیدای نصب واحد فازوری در مرحله‌ اول ( ) و  درایه بعدی را کاندید نصب واحد فازوری در مرحله‌ دوم ( ) در نظر گرفت و این روند را تا مرحله آخر ادامه داد. برای مثال، چنانچه فرض شود که در شبکه‌ 30 شین IEEE کاندیدای نصب واحد‌های فازور به منظور مشاهده‌پذیری کامل شبکه شین‌های 2, 4, 10, 12, 15, 20, 27 باشند و افق برنامه‌ریزی، سه مرحل‌ و به صورت  در نظر گرفته شده باشد، آنگاه  به صورت  تعریف می‌شود. از طرفی، چنانچه فرض شود موقعیت یک خفاش مجازی به صورت  تعریف شود، طبق توضیحات بالا کدبندی موقعیت این خفاش به صورت شکل (2) اعمال می‌شود. بر این اساس، همان گونه که از شکل (2) مشخص است، مجموعه‌های ، ، ، ،  و  به صورت  ، ، ، ،  و  مشخص می‌شوند.

شکل (2): نحوه کدبندی موقعیت خفاش p1

3-2- برآورده کردن قیود مدل پیشنهادی توسط  الگوریتم خفاش

با توجه به ماهیت پیوسته بودن الگوریتم خفاش، اصلاح نحوه کد‌بندی ارائه شده در قسمت قبل به منظور رعایت قیود مسأله امری اجتناب‌ناپذیر است. در زیر دو قید از مسأله‌  مکان‌یابی پیشنهادی معرفی و به تشریح راهکارهای برآورده کردن این قیود پرداخته شده است.

الف) قید شماره 1- شین‌های کاندیدای نصب واحد‌های فازور در مراحل مختلف باید عضو مجموعه  باشند:

ماهیت الگوریتم خفاش این گونه است که برای دستیابی به موقعیت جدید هر خفاش مجازی طبق رابطه‌ (26) تغییراتی به موقعیت قدیم خفاش‌ها افزوده می‌شود. پس از این مرحله، از آنجا که شماره شین عدد صحیحی است، باید موقعیت جدید گرد شود. از طرفی، بسیار محتمل است برخی از اعداد گرد شده عضو مجموعه  نباشند. از این‌رو، برای بر‌آورده ساختن این قید، ابتدا به هر کدام از شین‌های عضو این مجموعه عددی غیرتکراری بین 1 تا n (برابر با تعداد اعضای مجموعه ) اختصاص داده می‌شود. بر این اساس با توجه به اعداد اختصاص داده شده، برای موقعیت اصلی هر خفاش یک موقعیت معادل نیز وجود دارد؛ لذا از این موقعیت معادل در طول اجرای الگوریتم بهینه‌سازی به منظور رعایت قید شماره 1 استفاده می‌شود. به سادگی مشخص است که با به­کارگیری این شیوه، پس از گرد شدن بردار موقعیت جدید معادل، تمام درایه‌های این بردار همچنان در محدوده 1 تا n قرار خواهند گرفت و این به آن معنی است که درایه‌های بردار موقعیت اصلی هر خفاش همگی زیر مجموعه‌ی   هستند. قابل ذکر است که تنها به هنگام محاسبه برازندگی هر خفاش، این اعداد دوباره به حالت اولیه برگردانده می‌شوند. بدیهی است که حد بالا و پایین درایه‌های بردار موقعیت معادل جدید برای هر خفاش به ترتیب برابر با n و 1 انتخاب می‌شوند. در شکل (3) به نحوه چگونگی کدبندی موقعیت خفاش p1 (خفاش ذکر شده در مثال قبل) برای رعایت قید شماره 1 پرداخته شده است.

 ب) قید شماره 2- همه اعضای مجموعه  باید در بردار موقعیت جدید خفاش آمده باشند:

بسیار محتمل است که بردار موقعیت جدید یک خفاش، پس از رعایت کردن قید شماره 1 (بردار موقعیت جدید معادل) و گرد شدن، از اعداد تکراری تشکیل شده باشد. برای رفع این مشکل، اعداد غیرتکراری از بردار موقعیت جدید را در مکان‌هایشان ثابت کرده، اعداد تکراری از این بردار حذف می‌شوند. در مرحله‌‌ بعد اعداد ثابت شده از بردار موقعیت قدیم

شکل )3(: نحوه کدبندی موقعیت خفاش P1 به منظور رعایت قید شماره 1

کنار گذاشته و اعداد باقیمانده به ترتیب موقعیتشان در مکان‌های خالی بردار موقعیت جدید قرار می‌گیرند. برای مثال، چنانچه فرض شود  بردار موقعیت قدیم یک خفاش مجازی باشد (که به منظور رعایت نمودن قید شماره 1، هر یک از اعداد 1 تا 7 نماینده عضوی از مجموعه  هستند) و پس از اجرای مراحل الگوریتم بهینه‌سازی، بردار موقعیت جدید به صورت  باشد، اکنون به این دلیل که از عدد 1 در بردار موقعیت جدید استفاده نشده و در عوض از عدد 4 دو بار استفاده شده است، باید این موقعیت مطابق با گفته‌های بالا اصلاح شود. روند اصلاح این موقعیت در دو گام زیر تشریح شده است:

گام اول: ابتدا اعداد غیرتکراری در مکان‌هایشان ثابت و اعداد تکراری از این بردار به صورت  حذف می‌شوند.

گام دوم: با حذف اعداد ثابت شده از بردار موقعیت قدیم ، اعداد باقیمانده به ترتیب قرار ‌گرفتنشان که در این مثال به ترتیب اعداد 4 و 1 هستند، در جای خالی بردار موقعیت به صورت  قرار خواهند گرفت.

4- مطالعات عددی و نتایج

4-1- معرفی

در این قسمت به منظور استفاده از مدل پیشنهادی مسأله مکان‌یابی چند‌مرحله‌ای واحد‌های فازور برای شبکه‌های 14، 57 و 118 شین IEEE و همچنین، شبکه انتقال  ^kv230 و ^kv400 ایران بررسی شده و در ادامه با ارائه چند آزمون، نتایج به دست آمده از این روش با پاسخ‌های سایر روش‌ها مقایسه و ضمن نشان دادن کارایی مدل پیشنهادی نسبت به مدل مرسوم، نتیجه‌گیری لازم انجام شده است. همچنین، در انتها مقایسه‌ای در نظر گرفته شده است که توانمندی الگوریتم بهینه‌سازی خفاش را در مدل پیشنهادی نشان می‌دهد. شایان ذکر است که برنامه‌‌های مربوطه در محیط نرم‌افزار MATLAB 7 نوشته شده است. کامپیوتر استفاده شده در این مطالعه دارای مشخصات فنی شامل، 1GB رم و پردازنده 2GHz است.

4-2- مکان‌یابی چند‌مرحله‌ای واحد‌های فازوری در شبکه نمونه

الف) آزمون اول: مکان‌یابی احتمالی چند‌مرحله‌ای دینامیکی با در نظر گرفتن توسعه شبکه

به منظور مکان‌یابی احتمالی چند‌مرحله‌ای دینامیکی، سیستم 57 شین IEEE ارائه شده در ]26[ که شامل 80 خط انتقال است، در نظر گرفته شده است. در این آزمون نصب واحد‌های فازوری در سه مرحله‌ زمانی انجام می‌پذیرد که همزمان با این مراحل شبکه نیز بر اساس مدل ارائه شده در ]27[ در حال توسعه است. اطلاعات احتمال خروج خطوط شبکه مورد مطالعه و نیز برنامه توسعه این شبکه در ]19[ موجود است.

به منظور بیشینه‌سازی میانگین مشاهده‌پذیری احتمالی این شبکه در مرحله‌ سوم به نحوی که احتمال مشاهده‌پذیری هر شین در این مرحله کمتر از 985/0=  نباشد، روشی در ]19[ ارائه شده است که عنوان می‌کند با شرایط فوق شبکه در مرحله سوم نیازمند 24 واحد فازوری است که مکان این واحد‌ها به صورت  است. نتایج روش پیشنهادی این مقاله برای افزایش مشاهده‌پذیری احتمالی شبکه با نتایج ]19[ در جدول (1) مقایسه شده است. همان­گونه که ملاحظه می‌گردد، در مرحله اول نصب واحد‌های فازور در هر دو روش تعداد شین‌های مشاهده‌ناپذیر، یکسان و برابر با 21 بوده؛ هر چند که مکان نصب واحد‌های فازور یکسان نیست. همچنین، مشاهده می‌شود که میانگین مشاهده‌پذیری احتمالی شبکه در مرحله اول در هر دو روش برابر با  است.

در مرحله دوم طبق روش پیشنهادی با نصب 8 واحد فازوری دیگر تعداد شین‌های مشاهده‌ناپذیر شبکه از عدد 21 به عدد 5 کاهش می‌یابد. این در حالی است که طبق نتایج گزارش شده در ]19[ این مقدار از عدد 21 به عدد 6 رسیده است. بر این اساس، انتظار می‌رود با کاهش تعداد شین‌های مشاهده‌ناپذیر در مقایسه با ]19[، شاخص احتمالی سیستم به نسبت افزایش یابد، همان طور که از نتایج پیداست، شاخص   با استفاده از روش پیشنهادی از مقدار 8867/0 (گزارش شده در ]19[) به مقدار 9026/0 ارتقا یافته است. با توجه به نتایج عنوان شده در این شبکه نمونه، می‌توان دریافت اگر مکان‌یابی چند‌مرحله‌ای، مبتنی بر روش پیشنهادی و به صورت دینامیکی پذیرد، از مرحله دوم به بعد می‌توان از نظر مشاهده‌پذیری شبکه‌ای قویتر طراحی کرد.

جدول (1): مکان‌یابی احتمالی واحد‌های اندازه‌گیر فازوری (آزمون اول)

جدول (2): افق برنامه‌ریزی شبکه‌های نمونه به منظور نصب واحد‌های فازوری در عدم حضور شین‌های تزریق صفر (آزمون دوم)

ب) آزمون دوم: مکان‌یابی چند‌مرحله‌ای دینامیکی واحدهای اندازه‌گیری فازوری بدون در نظر گرفتن اثر شین‌های تزریق صفر

در این آزمون، مکان‌یابی چند‌مرحله‌ای دینامیکی در سه مرحله بر رویشبکه‌های نمونه 14، 57 و 118 شین IEEE صورت گرفته است. اطلاعات مربوط به افق برنامه‌ریزی برای شبکه‌های نمونه در هر مرحله در جدول (2) آورده شده است. نتایج حاصل از این آزمون در جدول (3) گزارش شده است. همچنین، در این جدول نتایج روش پیشنهادی با نتایج ]16[ مقایسه شده است. همان طور که ملاحظه می‌گردد، برای شبکه نمونه 57 شین IEEE از مرحله دوم به بعد، مشاهده‌پذیری سیستم با افزایش تعداد شین‌های مشاهده‌پذیر بهبود یافته است. همچنین، در شبکه نمونه 118 شین IEEE  در بازه زمانی مرحله اول تا دوم سیستم از نظر مشاهده‌پذیری عملکرد بهتری داشته است.

جدول (3): پاسخ مکان‌یابی چند‌مرحله‌ای در عدم حضور شین‌های تزریق صفر (آزمون دوم)

جدول (4): افق برنامه‌ریزی شبکه‌های نمونه به منظور نصب واحد‌های فازوری در حضور شین‌های تزریق صفر (آزمون سوم)

جدول (5): پاسخ مکان‌یابی چند‌مرحله‌ای در حضور شین‌های تزریق صفر (آزمون سوم)

ج) آزمون سوم: مکان‌یابی چند‌مرحله‌ای دینامیکی واحدهای اندازه‌گیری فازوری در حضور شین‌های تزریق صفر

بدیهی است با اعمال قاعده چهارم مشاهده‌پذیری به منظور در نظر گرفتن اثر شین‌های تزریق توان صفر تعداد واحدهای فازوری مورد نیاز شبکه کاهش می‌یابد. به منظور مکان‌یابی چندمرحله‌ای پیشنهادی در این آزمون، شبکه‌های نمونه 57 و 118 شین IEEE در نظر گرفته شده است که اطلاعات مربوط به افق برنامه‌ریزی و همچنین، تعداد و مکان واحدهای فازوری مورد نیاز برای مشاهده‌پذیر ساختن آنها در مرحله‌ نهایی (فرضیات مسأله) در جدول(4) آورده شده است. همچنین، تعداد و مکان واحدهای فازوری مورد نیاز در مرحله آخر برنامه‌ریزی برای شبکه‌های 57 و 118 شین به ترتیب برابر با 11 و 29 شین و مطابق با مدل ارائه شده در ]22[ در نظر گرفته شده است.

نتایج حاصل از این آزمون در جدول (5) گزارش شده است. نکته‌ای که در اینجا لازم است بدان توجه نمود، این است که تاکنون مطالعات اندکی در زمینه مکان‌یابی چندمرحله‌ای واحدهای اندازه‌گیری فازوری با در نظر گرفتن اثر شین توان تزریق صفر صورت پذیرفته است. در ]16[ برخلاف در نظر گرفتن اثر شین‌های تزریق صفر در مکان‌یابی تک مرحله‌ای، اثر این نوع شین‌ها در نتایج مکان‌یابی چندمرحله‌ای لحاظ نشده است. همچنین، در ]20[ مکان‌یابی چندمرحله‌ای با در نظر گرفتن واحدهای فازوری بر روی شبکه‌های نمونه مشابه بررسی شده است که اخیراً در ]22[ عدم مشاهده‌پذیری کامل برخی از شبکه‌های مطالعه شده و در نتیجه عدم جامعیت مدل ارائه شده در این مرجع نشان داده شده است. از این رو، در این آزمون نمی‌توان مقایسه‌ای با دیگر مطالعات انجام داد. در اینجا شایسته یادآوری است که روش مکان‌یابی چندمرحله‌ای استفاده شده در ]16[، ]19[ و ]20[ همگی یکسان و به صورت مستقل است (روش مرسوم).

د) آزمون چهارم: مکان‌یابی چندمرحله‌ای دینامیکی با در نظر گرفتن محدودیت کانال‌های اندازه‌گیری

آزمون پیش رو برای در نظر گرفتن محدودیت کانال‌های اندازه‌گیری در مسأله مکان‌یابی دینامیکی پیشنهادی انتخاب شده است. همان­گونه که پیش از این اشاره شد، در عمل واحدهای اندازه‌گیری فازوری توانایی اندازه‌گیری تعداد نامحدود فازورهای جریان خطوط متصل شده به شین محل نصب خود را ندارند. از این رو، در مسأله مکان‌یابی واحدهای فازوری قید محدودیت کانال اندازه‌گیری برای هر تجهیز مطرح می‌شود. در این قسمت آزمونی بر روی شبکه در طول یک افق سه مرحله‌ای در نظر گرفته شده است که هر تجهیز اندازه‌گیری حداکثر دارای سه کانال اندازه‌گیری بوده؛ در نتیجه هر واحد فازوری قادر است حداکثر سه شین را مشاهده‌پذیر سازد. علاوه بر این، در این آزمون اثر شین‌های توان تزریق صفر نیز در نظر گرفته شده است.

پیش از بررسی مکان‌یابی چندمرحله‌ای پیشنهادی بر روی شبکه‌ نمونه فوق باید تعداد بهینه و مکان واحدهای فازوری برای مرحله‌ آخر برنامه‌ریزی  مشخص شود. بدین منظور، نتایج مکان‌یابی تک مرحله‌‌ای صورت گرفته با در نظر گرفتن محدودیت حداکثر کانال اندازه‌گیری برابر 3 برای هر واحد اندازه‌گیری فازوری در حضور شین‌های توان تزریق صفر مطابق با جدول (6) است. بر اساس نتایج گزارش شده در جدول (6) لازم است در مرحله‌ آخر برنامه‌ریزی 14 واحد فازوری در این شبکه نصب گردد تا شبکه مشاهده‌پذیر کامل گردد (نتایج به‌دست آمده از نظر تعداد بهینه‌ واحدهای فازوری مورد نیاز با آنچه در ]13[ گزارش شده است، همخوانی دارد). شایان ذکر است که در جدول (6) علاوه بر ذکر مکان‌های نصب تجهیزات اندازه‌گیری، مشخص شده است هر واحد فازوری بر اساس محدودیت حداکثر کانال اندازه‌گیری خود، کدام یک از شین‌های شبکه را مشاهده‌پذیر می‌سازد. برای مثال، از اولین ردیف این جدول پیداست که واحد اندازه‌گیری نصب شده بر روی شین 2 با کد مشخصه‌ A تنها قادر است شین‌های 1، 2 و 3 را مشاهده‌پذیر سازد؛ و این تعداد دقیقاً برابر با حداکثر تعداد کانال اندازه‌گیری از پیش مشخص شده است. شایان ذکر است که مطالعات انجام شده در زمینه‌  مکان‌یابی تک مرحله‌ای واحد فازوری با در نظر گرفتن محدودیت کانال‌های اندازه‌گیری، حداکثر تعداد کانال اندازه‌گیری برای این شبکه‌  نمونه را برابر با 2، 3، 4 و 5 در نظر می‌گیرند ]13[. در این آزمون این عدد برابر با 3 در نظر گرفته شده است.

در ادامه‌ این آزمون، مقصود این است که با استفاده از نتایج به­دست آمده از جدول (6) به عنوان ورودی مسأله، مکان‌یابی سه مرحله‌ای دینامیکی پیشنهادی بر روی شبکه‌ 57 شین IEEE بررسی شود. بدین منظور، تعداد واحدهای قابل نصب در مراحل اول تا آخر برنامه‌ریزی به ترتیب برابر با 5، 5 و 4 واحد اندازه‌گیری در نظر گرفته شده است. در این صورت نتایج به‌دست آمده مطابق جدول (7) است. همان­گونه که از این جدول مشخص است، در مرحله‌ اول با نصب پنج واحد فازوری با کدهای مشخصه‌ N, M, F, E, C (مطابق با جدول (6)) که به ترتیب بر روی شین‌های 12،  18، 22، 51 و 54 قرار می‌گیرند می‌توان تعداد 30 شین از 57 شین سیستم را قابل رؤیت ساخت. در مرحله‌ دوم نیز با مجهز نمودن شین‌های 8، 14، 25، 29 و 36 به واحد اندازه‌گیری فازوری می‌توان به مشاهده‌پذیری 45 شین دست یافت، اما باید توجه نمود که نصب واحدهای فازوری بر روی این پنج باس باید مطابق با کدهای مشخص مربوطه صورت پذیرد. برای نمونه، در صورت نصب واحد فازوری بر روی شین شماره‌ 8 باید توجه نمود تا سه کانال اندازه‌گیری این تجهیز مطابق کد مشخصه B شین‌های 7، 8 و 9 را رصد کند (جدول (6)).

جدول (6): مکان‌یابی تک مرحله‌ای واحد‌های فازوری برای شبکه 57 شینه با در نظر گرفتن محدودیت حداکثر سه کانال اندازه‌گیری

*شین‌های 5، 6، 11، 20، 21، 26، 27، 32، 36، 39، 45، 46، 47، 56، 57 به صورت غیرمستقیم و بر اثر شین‌های تزریق صفر قابل رؤیت هستند (قانون چهارم مشاهده‌پذیری).

جدول (7): مکان‌یابی سه مرحله‌ای دینامیکی برای شبکه 57 شینه با در نظر گرفتن محدودیت حداکثر سه کانال اندازه‌گیری

و) آزمون پنجم: مکان‌یابی چند‌مرحله‌ای واحد‌های فازوری شبکه سراسری ^kv230 و  ^kv400 انتقال ایران

شبکه‌ مورد مطالعه استفاده شده در این آزمون، شبکه‌ واقعی سراسری ^kv230 و  ^kv400 انتقال ایران در سال 1385 است که شامل 242 شین و 364 مسیر خط انتقال است. در شکل (4) دیاگرام تک خطی شبکه مذکور نشان داده شده است.

در مرجع ]2[ و ]22[ با استفاده از روشی مبتنی بر اتوماتای یادگیر سلولی، مکان‌یابی واحد‌های اندازه‌گیری فازوری در این شبکه صورت گرفته است. طبق مطالعات انجام شده در این مقاله، کمترین تعداد واحد فازوری که شبکه مذکور را در حالت عادی مشاهده‌پذیر کامل می‌سازد، بر اساس تابع هدف رابطه‌ (1) برابر 65 واحد است که این تعداد قبلاً در ]2[ و ]22[، 71 واحد گزارش شده است. نتایج مربوط به این مکان‌یابی مطابق با جدول (8) است.

شکل (4): شبکه انتقال  ^kv230 و  ^kv400 ایران (در سال 1385)

جدول (8): مکان‌یابی واحد اندازه‌گیری فازوری به منظور مشاهده‌پذیری کامل در شبکه انتقال ایران (در سال 1385)

جدول (9): مکان‌یابی سه مرحله‌ای واحد‌های فازوری برای شبکه سراسری انتقال ایران مبتنی بر روش پیشنهادی

جدول (10): مکان‌یابی پنج مرحله‌ای واحد‌های فازوری برای شبکه سراسری انتقال ایران مبتنی بر روش پیشنهادی

با توجه به قابل ملاحظه بودن هزینه این تعداد واحد فازوری و محدودیت‌های اقتصادی و ملاحظات فنی، مسأله مکان‌یابی چند مرحله‌ای دینامیکی در قالب دو طرح پیشنهادی که افق برنامه‌ریزی سه مرحله‌ای و پنج مرحله‌ای را شامل می‌شود، حل و نتایج مربوطه به ترتیب در جداول (9) و (10) ارائه شده است.

به منظور تحقیق درستی و توانمندی الگوریتم خفاش در دستیابی به پاسخ بهینه در رهیافت چندمرحله‌ای پیشنهادی، مکان‌یابی چندمرحله‌ای برای شبکه انتقال سراسری ایران در سه بازه زمانی، بار دیگر با استفاده از الگوریتم تجمع ذرات و ژنتیک بررسی شده است. در این شبیه‌سازی، مکان‌یابی چندمرحله‌ای برای این شبکه با تعداد جمعیت اولیه و کدبندی یکسان مطابق با آزمون انجام شده توسط الگوریتم خفاش صورت گرفته است. در این مقایسه، مکان‌یابی انجام شده توسط هر الگوریتم 30 مرتبه اجرا شده است که در نهایت نتایج به­دست آمده از این شبیه‌سازی‌ها در جدول (9) آمده است.

همان­طور که از نتایج این جدول مشخص است، الگوریتم خفاش در دستیابی به جواب بهینه نسبت به دو الگوریتم دیگر عملکر بهتری داشته است؛ چراکه علاوه بر پاسخ بهینه میانگین پاسخ‌های به­دست آمده نیز از دو الگوریتم دیگر بهتر است. شایان ذکر است که زمان اجرای برنامه نیز توسط الگوریتم خفاش کمتر از ژنتیک و تجمع ذرات است؛ اما واضح است که این تمایز را نمی‌توان در این زمینه یک برتری دانست؛ چراکه مسأله مکان‌یابی واحدهای اندازه‌گیری فازوری در فاز طراحی مطرح می‌شود و عملاً یک برنامه‌ریزی آفلاین است. از این رو، دقت در دستیابی به پاسخ بهینه بسیار پراهمیت‌تر از زمان اجرای شبیه‌سازی است. شکل (5) بهترین پاسخ به­دست آمده از هر الگوریتم را از میان 30 اجرای انجام شده نمایش می‌دهد. شایان ذکر است که محور افقی این شکل تکرارهای الگوریتم است که این تعداد برای هر الگوریتم 1000 تکرار در نظر گرفته شده است. همچنین، محور عمودی این شکل مجموع شین‌های رؤیت نشده در طول تمامی مراحل برنامه‌ریزی را نشان می‌دهد.

شکل (5): مقایسه بهترین پاسخ‌های به­دست آمده از الگوریتم‌های خفاش، ژنتیک و تجمع ذرات از میان 30 اجرای انجام شده به منظور مکان‌یابی سه مرحله‌ای شبکه سراسری انتقال ایران

جدول (9):مقایسه نتایج مکان‌یابی سه مرحله‌ای واحد‌های فازوری برای شبکه سراسری انتقال ایران توسط الگوریتم‌های خفاش، ژنتیک و تجمع ذرات در 30 اجرا