یک رهیافت جدید برای جایگاه یابی مسائل چند مدی با استفاده از الگوریتم بهبود یافته جهش قورباغه

مقدمه

در سال­های اخیر الگوریتم­های جستجوی تصادفی، از جمله الگوریتم­های تکاملی، در حل بسیاری از مسائل دشوار بهینه سازی استفاده شده اند. شکل­های استاندارد این الگوریتم‌ها معمولاً برای پیدا کردن یک بهینه (بهینه فرامحلی Global optimum^[1]) طراحی شده‌اند. با وجود این بسیاری از مسائل دنیای واقعی ذاتاً به صورت چند مدی هستند به طوری که چندین نقطه بهینه برای حل آنها وجود دارد. برای حل مسائل بهینه‌سازی با چندین بهینه محلی و فرامحلی ممکن است به مشخص کردن مکان تمامی بهینه­ها نیاز باشد. در گذشته تکنیک­های زیادی برای پیدا کردن این مکان­ها ارائه و توسعه یافته‌اند. مسأله جایگاهیکی از روش‌های مهم برای بهینه سازی مسائل چند مدی^[1]است. روش‌های جایگاه یابی حتی برای زمانی که هدف پیدا کردن یک نقطه بهینه فرامحلی است مؤثر واقع می‌شوند. از آنجایی که این روش‌ها به جستجوی موازی چندین بهینه در فضای مسأله می­پردازند، لذا الگوریتم کمتر، در بهینه­های محلی گیر می­کند. موفقیت الگوریتم­های تکاملی در کاربرد­های دنیای واقعی با استفاده از روش‌های جایگاه یابی همراه شده است [21-1]. همچنین برای حفظ کردن تنوع جمعیت در الگوریتم‌های تکاملی از روش‌های جایگاه یابی استفاده شده است. برای معرفی این روش‌ها، می‌توان به روش ازدحامی^[2] [5]، روش ازدحامی قطعی^[3] [6]، روش تسهیم شایستگی^[4][7]، روش جایگاه یابی ترتیبی^[5][8]، روش انتخاب رقابت محدود شده^[6] [9]، روش موازی سازی^[7] [10]، روش خوشه‌بندی^[8] [11]، روش پاکسازی^[9] [12]، روش حفظ گونه^[10][13]، اشاره کرد. عموماً پارامترهای جایگاه برای تعیین کردن فاصله بین دو بهینه نزدیک به هم استفاده می­شوند. مثال مشخصی از این موضوع می­توان به  در روش تسهیم شایستگی اشاره کرد [7]. دیگر استفاده­هایی که از پارامتر‌های جایگاه می­شود، انتخاب  در روش ازدحامی [5]، مقدار  در روش انتخاب مسابقه­ای محدود شده [9] یا میانگین­های دسته­ها در روش خوشه بندی است [11و7]. دلایل ارائه روش جدید در مقاله برای حل مسائل چند مدی به شرح زیر است:

1- دشواری در حفظ کردن جواب­های پیدا شده در یک بار اجرای مسأله: برای مثال، روش ازدحامی دی جانگ نمی تواند تمامی قله­ها را در تکرار­های رو به جلو حفظ کند [6]. یک الگوریتم جایگاه خوب باید قادر به حفظ کردن و نظم دادن به جواب­های پیدا شده باشد.

2- در روش‌های مرسوم جایگاه می­توان مشاهده کرد که عمل همبری بین دو فرد شایسته از جمعیت در دو جایگاه متفاوت ممکن است باعث تولید یک نوزاد با شایستگی پایین تر از والد شود[3].

3- بعضی از روش‌های جایگاه فقط برای مشخص کردن تمام بهینه فرامحلی طراحی شده اند و از تعیین بهینه­های محلی چشم پوشی شده است. برای مثال، در روش‌های جایگاه ترتیبی GA [8]،پاکسازی [12]، SCGA [13]، NichePSO [14]، SPSO [16و15] این امر اتفاق می­افتد.

4- پیچیدگی محاسبات بالا. بیشتر روش‌های مربوط به جایگاه به جز روش ازدحامی قطعی از این عیب رنج می­برند. با این حال، بسیاری از محققین بر این عقیده هستند که روش ازدحامی قطعی به تعداد ارزیابی بالایی در پیدا کردن جواب نیاز دارد [17] و از توزیع جمعیتی مناسبی برای پیدا کردن جایگاه­ها برخوردار نیست [18]. هدف این مقاله توسعه الگوریتم جایگاه با ارائه موارد زیر است:

1- نیازی به پارامتر­های مربوط به جایگاه برای مشخص کردن فاصله بین دو نقطه بهینه یا تعدادی از بهینه­ها نباشد.

2- قادر به مشخص کردن چندین بهینه (بهینه محلی و فرامحلی) و حفظ کردن مکان بهینه جواب­های پیدا شده تا پایان اجرای برنامه باشد.

3- در مقایسه با روش‌هایی که همه نقاط جایگاه­ها را ارائه می­دهند دارای پیچیدگی محاسباتی کمتری باشد.

سازماندهی مقاله به این طریق است که در بخش دوم الگوریتم جهش قورباغه متحرک بیان می­شود و در بخش سوم الگوریتم جدید پیشنهادی این مقاله برای جایگاه یابی مسائل چند مدی بیان می‌گردد. در بخش چهارم نتایج حاصل از پیاده سازی الگوریتم پیشنهادی بر روی توابع محک استاندارد، تحلیل نتایج و مقایسه با بعضی از روش‌های موجود در حیطه مسائل مربوط به جایگاه ارائه و در بخش پنجم نتیجه گیری آورده شده است.

2- الگوریتم جهش قورباغه

الگوریتم جهش قورباغه^[11] یکی از الگوریتم­های الهام گرفته از طبیعت است که توسط لنزی^[12] و یوسف^[13] توسعه داده شد. در این الگوریتم گروهی از قورباغه­ها ( مجموعه­ای از جواب­ها) به چندین زیر مجموعه^[14]تقسیم می­شوند، که هر قورباغه فرهنگ مختص به خود را دارد و می­تواند از فرهنگ‌ها^[15] یا ایده­های قورباغه­های دیگر در طول روند تکامل استفاده کند [27-22]. مراحل اجرای این الگوریتم در زیر توضیح داده شده است:

2-1-تولید جمعیت اولیه

همانند تمامی الگوریتم‌های شهودی^[16] جمعیت اولیه (قورباغه‌ها) به صورت تصادفی^[17] بین بازه مسأله با توجه به رابطه (1) تولید  می­شود:

که در آن،  مقدار معادل هر عضو از جمعیت،  کران پایین متغیر  ،  کران بالای متغیر  و rand یک مقدار تصادفی بین 0 الی 1 است.

هر قورباغه نمایانگر یک راه حل قابل قبول در مسأله بهینه سازی است که دارای یک مقدار شایستگی است. قورباغه­ها بر اساس شایستگی شان به صورت نزولی مرتب می­شوند و بر اساس روندی خاص به زیر مجموعه‌های مختلف تقسیم می‌شوند که در بخش 2-2 توضیح داده شده است.

2-2- دسته بندی قورباغه‌ها

فرض کنید که جمعیت اولیه با P قورباغه تولید شده است. با توجه به شکل(1)، P قورباغه به m مجموعه تقسیم می­شوند. روند تقسیم بندی قورباغه­ها بدین صورت است که قورباغه اول به مجموعه اول، قورباغه دوم به مجموعه دوم و قورباغه m به مجموعه m ام و قورباغه m+1 به مجموعه اول تعلق دارند. این روند به صورت مشابه تا قورباغه آخر تکرار می‌شود. هر مجموعه m شامل n قورباغه است به طوری که رابطه (2) ارضا می­شود:

(2)                                                        P =m×n

شکل (1): دسته بندی قورباغه‌ها به m زیر مجموعه

2-3- مراحل جستجوی محلی در الگوریتم SFL

در هر مجموعه موقعیت قورباغه i –ام، بر اساس اختلاف بین قورباغه بهتر (با بهترین شایستگی X_b ) و قورباغه بدتر

( با بدترین شایستگی X_w) با استفاده از معادله زیر به دست می آید:

Position change:                                                       (3)

D(i) =rand()

که rand() یک عدد تصادفی یکنواخت بین 0 و1 است. موقعیت جدید قورباغه توسط رابطه (4) به دست می­آید که  ماکزیمم تغییراتی است که در موقعیت قورباغه می‌توان اعمال کرد.

New Position:

(4)

اگر این تغییر موقعیت، قورباغه‌ای با شایستگی بهتر تولید کرد این قورباغه جایگزین قورباغه بدتر می­شود. در غیر این صورت، قورباغه با بهترین شایستگی در کل جمعیت (بهینه فرامحلی^[18]) X_g جایگزین X_b در معادله (3) شده و قورباغه جدیدی تولید می شود. اگر قورباغه‌ای با شایستگی بهتر تولید شود این قورباغه جایگزین قورباغه بدتر می­شود. در غیر این صورت، قورباغه‌ای جدید به صورت تصادفی تولید و جایگزین بدترین قورباغه می­گردد.

2-4- به هم آمیختن جمعیت^[19]

پس از تکامل درونی چندین نسل، تمام مجموعه­ها به هم آمیخته و بر اساس ارزش شایستگی آنها به صورت نزولی مرتب می­شوند. سپس دوباره به چند زیر مجموعه تقسیم می‌گردند و روند تکامل در هر مجموعه تا زمانی که به معیار توقف برسد ادامه می­یابد.

2-5- معایب الگوریتم SFL

در الگوریتم­های تکاملی که بر پایه جمعیت تصادفی هستند، عمدتاً دو جنبه باید بررسی شود: 1- کاوش؛ 2- بهره وری. کاوش به جستجوی بهتر فضای جستجو می­پردازد و بهره وری قادر به پیدا کردن بهینه بهتر حول بهترین جواب است. نکته مهم برای داشتن عملکرد مناسب، ایجاد مصالحه بین کاوش و بهره وری است. الگوریتم SFL ممکن است در بعضی از توابع بهینه سازی قادر به پیداکردن بهینه فرامحلی نباشد و به رکود و افتادن در بهینه محلی دچار شود. رکود الگوریتم SFL ممکن است به دو دلیل زیر باشد:

1- در الگوریتم SFL، قورباغه‌ها متناسب با شایستگی شان به صورت نزولی مرتب و سپس همه جمعیت به چند زیر مجموعه تقسیم می‌گردند. این نوع دسته بندی نامتعادل است، زیرا عملکرد زیر مجموعه اول نسبت به زیر مجموعه‌های دیگر بهتر است. این توزیع نامتعادل قورباغه‌ها باعث ایجاد مشکلاتی در روند یادگیری می­شود چون دیگر قورباغه‌های خوب در زیر مجموعه آخر وجود ندارند.

2- چنانچه که ذکر شد در الگوریتم SFL موقعیت بدترین قورباغه با توجه به رابطه (3) به‌دست می‌آید. قورباغه بدتر فقط از قورباغه بهتر تاٌثیر می­پذیرد و قورباغه بهتر شانس کمتری برای یادگیری پیدا می­کند مگر اینکه قورباغه‌های بهتر در طول تکامل تبدیل به قورباغه بدتر گردند. بنابراین این الگوریتم از مکانیزم یادگیری مناسبی برخوردار نیست.

تاکنون روش‌هایی توسط محققان برای بهبود الگوریتم SFL ارائه شده است. بخش بعدی به بیان این روش‌ها اختصاص می­یابد و سپس الگوریتم پیشنهادی این مقاله ارائه می­شود.

2-6- مروری بر کار­های انجام شده در بهبود الگوریتم SFL

در سال 2007 ژن^[20] و همکارانش الگوریتم ممتیک جدیدی از ترکیب الگوریتم­های SFL وPSO ارائه دادند [24]. سپس در سال 2008 لی^[21] و همکارانش مقاله‌ای با عنوان الگوریتم جهش قورباغه آشوبناک ارائه دادند[25]. در [26] از ایده ممتیک در بهبود SFL استفاده شد. در سال 2008،‌ هان^[22] پرش غیر دقیق قورباغه‌ها را با اضافه کردن عبارت عدم قطعیت به رابطه (3) اصلاح کرد و گامی جدید در بهبود این الگوریتم برداشت و مکانیزم یادگیری را تا حدی تصحیح کرد [27]. از آنجایی که روش پیشنهادی دراین مقاله بر اساس روش ارائه شده‌ هان است، بنابراین، روش پیشنهادی‌ هان در بخش بعد توضیح داده می­شود.

2-7- تصحیح کردن قانون پرش قورباغه با استفاده از روش پیشنهادی ‌هان

پس از ارائه نسخه ابتدایی لنزی و یوسف که در قسمت قبل بیان گردید، در سال 2008 مقاله‌ای با عنوان «بهبود دادن الگوریتم جستجوی قورباغه برای به دست آوردن ضرائب کنترولر PID» توسط‌ هان مطرح شد که به اصلاح قانون پرش قورباغه‌ها منجر گردید (رابطه (3)). بدین گونه که به دلیل درک ناقص، قورباغه با شایستگی بدتر نمی‌تواند دقیقاً در موقعیت قورباغه بهتر قرار گیرد و این حرکت غیر دقیق، باعث می‌شود که قورباغه با شایستگی بدتر نتواند به طور مستقیم به موقعیت هدف پرش کند. این مورد در شکل (2) برای یک مسأله دو بعدی نشان داده شده است.

شکل (2): حرکت غیر دقیق قورباغه بدتر به سمت قورباغه بهتر

با توجه به این عدم قطعیت ، موقعیت قورباغه جدید با شایستگی کمتر لزوما به مسیر مستقیمی که بین موقعیت جدیدش و موقعیت بهترین قورباغه است، محدود نمی‌شود. بنابراین قورباغه بدتر می‌تواند از روی خط مستقیم پرش کند. این ایده به یک قانون پرش جدید منتهی می‌شود که در شکل (3) نشان داده شده است.

شکل (3): پرش قورباغه بدتر از روی خط مستقیم

قانون جدید پرش قورباغه پیشنهادی‌هان به صورت زیر است:

که مقدار W از رابطه (6) تعیین می­گردد:

که r یک مقدار تصادفی بین 0 و 1 است و c ثابتی است که مقداری بین 1 و 2 دارد و  یک عدد تصادفی بین 1- و 1 می­باشد.   بیشترین درک اجازه داده شده و عدم قطعیت در i-امین بعد از فضای جستجوست که به صورت رابطه زیر تعریف می شود:

 برای هر متغیر مستقل S، 0.1 تا 0.2 بازه مسأله در نظر گرفته می­شود. در هر حال، اگر خیلی بزرگ باشد، قانون جهش قورباغه مشخصه هدایتی خود را از دست می­دهد.

سپس مقدار پرش جدید در رابطه (5) به مقدار بدترین قورباغه طبق رابطه (8) اضافه می­شود:

(8)

بقیه الگوریتم همانند SFL استاندارد است. در قسمت بعد به بیان الگوریتم پیشنهادی این مقاله پرداخته می­شود.

3- معرفی الگوریتم جدید پیشنهادی این مقاله برای جایگاه یابی مسائل چند مدی (NSFL ^[23])

در این بخش ابتدا راهکاری برای دسته بندی قورباغه‌ها برای رفع نخستین عیب الگوریتم SFL (بخش 2-5 )ارائه می شود. سپس روش‌هان توسعه داده می شود و راه حلی برای رفع دومین عیب الگوریتم SFL پیشنهاد می شود.

3-1- دسته بندی قورباغه‌ها با استفاده از تابع قله-دره^[24]

به طور کلی، مشخص کردن شعاع همگرایی در روش‌های به دست آوردن جایگاه بسیار سخت است. بنابراین، اگر دو نقطه قله مربوط به تابع چند بعدی متعلق به فضای جستجو را داشته باشیم، دیگر به شعاع همگرایی نیازی نیست. این روش در ابتدا در سال 1999 توسط ارسم^[25] معرفی گردید [21]. روش پیشنهادی ارسم در شکل (4 ) نشان داده شده است.

Hill_valley(ip,iq,samples)

minfit=min(fitness(ip), fitness(iq))

for j=1 to samples.length

Calculate point iinterior on the line between the pints ip and iq

If(minfit>fitness(iinterior))

return 1

end if

end for

return 0

شکل (4): شبه کد تابع قله-دره

شکل (5): ایده جدا سازی قله‌ها به وسیله تابع قله-دره

همان گونه ذکر شد، در الگوریتم SFL جمعیت متناسب با شایستگی مرتب می شود. در روش پیشنهادی، ابتدا دو قورباغه A وB در نظر گرفته، سپس قورباغه‌ای تصادفی بین A و B به نام D با توجه به رابطه (9)تولید می­شود.

(9)

اگر مینیمم شایستگی A و Bاز شایستگی D بیشتر شد می‌توان این نتیجه را گرفت که A و Bدر قله‌های متفاوت هستند، در غیر این صورت، قورباغه B ام و قورباغه A ام مربوط به یک قله هستند و در یک زیر مجموعه قرار می­گیرند. ممکن است قورباغه D در موقعیتی همانند  شکل (5) باشد.

همان طور که در شکل (5)دیده می­شود، مینیمم شایستگی A و B از D کمتر است و همچنان A و B در قله­های متفاوت هستند. در صورت بروز چنین حالتی باید تعداد عدد­های تصادفی بین A و B را زیاد در نظر گرفت تا شایستگی عدد تولید شده D از A وB کمتر شود. در اینجا این نکته قابل اهمیت است که در الگوریتم جهش قورباغه متحرک با توجه به مرتب کردن جمعیت قورباغه‌ها متناسب با شایستگی همیشه شایستگی قورباغه B از A کمتر است (مسأله بیشینه سازی). پس از دسته بندی قورباغه‌ها با توجه به جایگاه‌ها، بر روی هر کدام از مجموعه‌ها یک جستجوی محلی انجام می­شود. در قسمت بعد با ارائه روشی جدید به بهبود الگوریتم‌هان پرداخته می‌شود که الگوریتم پیشنهادی بهتر از الگوریتم ارائه شده توسط‌هان عمل می نماید.

3-2- بهبود روش پیشنهادی ‌هان

هرچند روش پیشنهادی ‌هان تا حدودی الگوریتم SFL را بهبود بخشید اما الگوریتم هنوز از مکانیزم یادگیری چندان موثری برخوردار نیست، از آنجایی که پرش مد نظر از اختلاف بین قورباغه‌های بهتر و بدتر حاصل می­شود و از یادگیری بقیه قورباغه‌ها به نحوی جلوگیری می­کند، بنابراین، در این مقاله، قانون پرش به صورت زیر تصحیح می­شود؛ بدین گونه که پرش مورد نظر از اختلاف تک تک اعضای قورباغه‌ها در هر زیر مجموعه و بدترین عضو از همان مجموعه، به دست می‌آید:

که در آن i=1:P  و X  هر عضو جمعیت یا قورباغه در هر مجموعه و  بدترین عضو جمعیت در هر مجموعه است،r  یک مقدار تصادفی بین 0 و 1 است و c ثابتی است که مقداری بین 1 و 2 دارد.

سپس موقعیت جدید قورباغه توسط رابطه زیر به دست می­آید:

اگر این تغییر موقعیت، قورباغه‌ای با شایستگی بهتر تولید کرد این قورباغه جایگزین قورباغه بدتر می­شود در غیر این صورت  جایگزین  می شود.  بیانگر بهترین قورباغه در کل مجموعه­هاست. اگر قورباغه بهتری تولید شد جایگزین بدترین قورباغه می­گردد. در غیر این صورت، قورباغه‌ای به صورت تصادفی تولید و با توجه به رابطه زیر جایگزین بدترین قورباغه می­گردد.

(12)      

که rand() یک عدد یکنواخت بین 0 و 1 است.

اما الگوریتم پس از مدتی دچار رکود می­گردد، چون یادگیری قورباغه بدتر از بهترین­ها متوقف می­شود. بنابراین، نیاز به حرکت دوباره قورباغه­ها در جهت دیگر در فضای جستجو است. بنابراین، پس از آنکه یادگیری قورباغه بدتر از بهترین قورباغه در کل فضای جستجو پایان یافت از رابطه (13) برای پرش قورباغه استفاده می­شود.

(13)                       

حال این پرش طبق رابطه (14) به  اضافه می­گردد و اگر شایستگی قورباغه تولید شده از i–امین قورباغه بهتر شد جایگزین قورباغه‌ای که دچار رکود شده است.

(14)

شایان ذکر است که بقیه الگوریتم همانند SFL استاندارد است. برتری روش پیشنهادی نسبت به الگوریتم‌ هان در پیوست مقاله نشان داده شده است.

در بخش بعد با پیاده سازی الگوریتم پیشنهادی بر روی توابع محک استاندارد، توانایی آن در پیدا کردن مکان تمامی جایگاه­ها و رسیدن به جواب بهینه سنجیده می­شود و با روش‌های مطرح در این زمینه مقایسه می شود.

4- آزمایش‌ها ونتایج و مقایسه با سایر روش‌ها

در این قسمت نتایج حاصل از پیاده سازی الگوریتم پیشنهادی باچند روش دیگر ارائه شده در مقالات گوناگون، برای حل تعدادی از مسائل چند مدی که در آنها هدف یافتن همه بهینه‌های محلی و فرامحلی است، ارائه شده است. توابع F1  الی F5 توسط گلدبرگ^[26] و ریچاردسون^[27] معرفی شده‌اند. این توابع برای آزمودن الگوریتم جایگاه­یابی توسط محققان مختلف استفاده شده‌اند [17و8و3]. این توابع توسط روابط (15) الی (21) تعریف می­شوند. توابع F1 الی F4 در یک بعد تعریف شده و در بازه  [1 0] دارای پنج نقطه بهینه است. تابع F1 و F2 دارای پنج نقطه بهینه در مکان‌های 0.1،0.3،0.5،0.7، و 0.9 هستند. برای تابع F1 مقدار بهینه‌ها برابر 1 است، ولی برای تابع F2 مقدار بهینه‌ها با یکدیگر متفاوت است. اما مکان بهینه‌ها در توابع F3 وF4  0.930 ، 0.681 ، 0.450 ،.246 و 0.079 است. برای تابع F3 مقدار بهینه‌ها برابر 1، ولی برای تابع F4 مقدار بهینه‌ها با یکدیگر متفاوت است. تابعF5 به تابع هیملبلائو^[28] مشهور است، در فضای دو بعدی تعریف می­شود و در ناحیه تعریف شده چهار بهینه در نقاط (3و2)، (3.7790- و3.2834- )، (2.8064- و3.1304) و (3.5840 و 1.8480-) دارد.

تابع F6  معروف به تابع فریبنده، توسط عمرانی^[29] [19] و عالمی^[30] [20] به کار گرفته شده است. این تابع در یک بعد و در فاصله [6 0] تعریف می­شود و دارای دو بهینه مرزی است. این تابع دارای یک بهینه محلی در 3X= با مقدار 0.6 و دو بهینه فرامحلی با مقدار 1 در 0X= و 6X= است.

تابع F7 توسط مایکولز^[31] معرفی و توسط ژانگ استفاده شده است [28]. این تابع در یک بعد در فاصله [10 10-] تعریف می­شود. این تابع 19 بهینه دارد که 3 تا از آنها بهینه­های فرامحلی هستند. در این تابع تعداد بهینه‌ها افزایش یافته است تا الگوریتم پیشنهادی جهت یافتن تعداد بیشتر جایگاه‌ها محک زده شود. توابعF6  و F7 توسط روابط (20) و (21) تعریف می شوند.

(20)                                

(21)                                     

شایان ذکر است که جمعیت اولیه برای توابع F1 تا F6 برابر 50 و برای تابع F7 برابر 150 در نظر گرفته شده است. مقدار D_max هم برای تمامی توابع برابر با بی نهایت در نظر گرفته شده است.

درصد موفقیت برای حل مسائل چند مدی به صورت نسبت تعداد بهینه‌های یافته شده توسط الگوریتم به کل بهینه‌های موجود در فضای مسأله در همه تکرارها تعریف می‌شود [1]. جدول (1) درصد موفقیت در یافتن نقاط بهینه طی 30 بار اجرای مستقل الگوریتم را با تعدادی از الگوریتم‌های دیگر مقایسه می‌کند. جدول (2) خطای میانگین الگوریتم پیشنهادی را نشان می‌دهد. برای هر جواب، خطای میانگین به صورت میانگین فاصله اقلیدسی جواب پیدا شده توسط الگوریتم تا مکان بهینه واقعی تعریف می­شود. این خطا طبق رابطه (22) محاسبه می شود. در این رابطه  مکان واقعی بهینهi  ام و  مکان بهینه یافته شده توسط الگوریتم و M تعداد بهینه­های یافت شده است [2].

(22)                            

نتایج جدول (2) بیانگر آن است که کارایی الگوریتم پیشنهادی در مقایسه با الگوریتم­های دیگر بهتر بوده است. به عبارت دیگر، الگوریتم پیشنهادی توانسته است در هر بار اجرای برنامه جایگاه نقاط بهینه را پیدا کند.

جدول (1): درصد موفقیت الگوریتم پیشنهادی

جدول (2): بهترین جواب دیده شده در 30 بار اجرای الگوریتم